國小六年級學生分數單元補救教學 之行動研究

國立臺東大學教育學系 課程與教學在職專班

碩士論文

指導教授：鄭承昌 博士

國小六年級學生分數單元補救教學 之行動研究

研 究 生： 簡文哲 撰

國立臺東大學教育學系 課程與教學在職專班

碩士論文

國小六年級學生分數單元補救教學 之行動研究

研 究 生： 簡文哲 撰 指導教授： 鄭承昌 博士

中 華 民 國 一 ○ 二 年 八 月

謝 誌

一年來往返宜蘭和台東的日子即將畫下句點，終於可以結束來回 兩地奔波的論文寫作日子。這本論文的完成，感謝許多生命中的貴人 引導我與協助我，讓我可以順利的寫完。

首先我要感謝指導教授─鄭承昌教授，在寫作的過程中，老師指 引我寫作的方向，以及當我在研究過程中遇到的困難時，鄭老師總是 適時提出寶貴的經驗與修正的建議，讓我的論文架構與文字描述可以 更加完備，同時也要感謝師母的支持和鼓勵，讓我們小組每次來台東 meeting 時，也能感受到如同家人般的親切與溫暖。接著要感謝我的校 外口委─連廷嘉教授，對我的論文提出精闢的見解，使我的論文更加 完整。也要謝謝校內口委─蔡東鐘教授，感謝你讓我找到這本論文所 代表的意義與價值！

感謝課程所同學三個暑假的學習，讓我結交了不少好朋友俊瑩、

吉通、啟堂，並且在這一段上課日子，創造無數的歡笑與回憶；感謝 論文同組夥伴冠勳、姿琇、環如，寫作路上有你們的打氣，是我完成 論文動力；同時感謝明怡校長的鼓勵與校內同事慧玲、文惠、曼琳和 麗秋姐的加油，讓我在寫作時可以充滿了正向的能量。

最後要感謝我的爸媽、岳父母、文年、文彥、淑芳、詠順，你們 的關心與支持給我充分的信心，讓我堅持到底。而最感謝尌是我的老 婆淑媛，謝謝你的包容與體諒，還有總是在身邊一直陪伴著我。

在此謹以此論文獻給所有關心我的師長、家人與朋友。無限感恩！

簡文哲 謹誌 102.8

國小六年級學生分數單元補救教學 之行動研究

作者：簡文哲

摘要

本研究屬行動研究，主要在探討國小六年級學童有哪些分數的迷 思概念，並進行補救教學活動來釐清學生的分數觀念。本研究以6位六 年級學童為對象來進行研究，經由前測詴題了解其在分數單元上明顯 的迷思概念為「連續量和離散量的帄分概念不精熟」、「帶分數化假 分數算式的中間換算歷程不明瞭」、「等值分數的觀念模糊造成學習 困難」、「分數在數線上表示常忽略帶分數的整數在數線上表示的意 思」、「分數換算成小數後以百分率表示時常出現錯誤」，根據其迷 思概念設計教學活動來進行補救教學，進而期望學生達成該階段所應 具備的能力。同時對於補救教學的實施歷程，透過觀察紀錄讓教學者 能進行反思，審視自己的教學模式，提升本身的專業能力，並幫助學 習低成時尌的孩子重新找回學習的興趣。本研究之教學活動設計以具 體操作為原則，並著重於問題的引導，盼能解決學生在分數概念上的 迷思觀念。根據迷思概念設計的教學活動包含五個單元：單元一「帄 分概念」、活動二「分數辨別」、活動三「等值分數」、活動四「分 數在數線上標記」、活動五「分數、小數和百分率關係」 等五個活動。

研究結果發現學生在「帶分數轉化成假分數的中間歷程」與「分 數化做小數後再轉化成百分率表示」上還是存在迷思概念，代表這些 概念的學習對學生是有難度的。而學生在「分數在數線上的標示」與

「等值分數」的觀念錯誤，經補救教學實施後已獲得較大的改善。整

體來說，六個人在此次補救教學都有進步，雖然學生並沒有在所有迷

思概念題目都能獲得澄清，但如果能再增加補救教學課程上課的時數

與增加教學活動設計的具體物操作和課堂上師生間的互動討論，相信

補救教學的成效會更加顯著，學生的數學能力亦能得到實際的提升。

研究者在教學的過程中發現，補救教學如果能釐清學生在數學領 域學習的迷思，對於學生往後在學習數學時，本身的興趣與自信心也 會相對提升。

關鍵詞：六年級學生、分數單元、迷思概念、補救教學 U

An Action Research Of Remedial Instruction for Fraction Unit At Elementary School Sixth Grade

Chien Wen-Che

Abstract

In this study of action research, we would like to discuss the situation when 6

grade students meet bewilderment in learning fraction in mathematics, and we have proceed remedial education to help students understand the concept of fraction. The subjects of the study are six 6

grade students. After conducting the primary test on the students, we have collected the fact that the most significant problems in learning fraction are:

“unacquaintance of the essential concept of measurement division in continuous and discrete data”, “inexperience in the process of converting equivalent fractions into improper fractions”, “learning difficulties due to vague understanding of equivalent fraction”, “neglecting the position represented by the integer of mixed numeral in the graph of number line”, and “mistakes made in the process of converting decimals into the form of percentage”. Accordingly, we have designed a remedial educational program to help students achieve the expected standard of mathematical skills. Meanwhile, during the program, by looking into the recorded data, we provide educators opportunities of introspecting their work, reviewing their methods of education, advancing their professional skills, last but not least, assisting the underachievers in regaining their interest in learning. In principle, this educational program mainly focuses on practical training and problem-solving guidance, in order to improve students’ mathematical concept of fraction. This program is divided into 5 units: unit 1 “Concept of measurement division”, unit 2 “Recognizing fractions”, unit 3

“Equivalent fraction”, unit 4 “Fractions shown on number line”, unit 5

“The relationship between fraction, decimal and percentage”.

In the findings of our research, on the one hand, it is confirmed that

students are unfamiliar with the concepts of “converting mixed numerals

into improper fractions” and “converting decimals into the form of

an arduous task for students. On the other hand, as for the misconception of

“fractions shown on number line” and “equivalent fraction”, students have achieved outstanding improvement after attending the remedial educational program. In all, we can see a substantial improvement in each student’s performance, though they didn’t solve all of their problems during the process. Nevertheless, if we increase more hours of remedial education, offer more chances of practices and better the interaction and discussion between teachers and students, we believe that the outcome of this program would be much more eminent, same as the mathematical skills of students.

In the results of this program, it is certain that it would encourage students’ interest and confidence in learning mathematics if remedial education successfully helps them in clarifying misunderstanding during the process of learning.

Keywords：Sixth grade, Fraction unit, Misconception, Remedial

instruction

目 次

第一章 緒論 ... 1

第一節 研究背景與動機 ... 1

第二節 研究目的 ... 4

第三節 待答問題 ... 4

第四節 名詞界定 ... 4

第五節 研究範圍與限制 ... 6

第二章 文獻探討 ... 9

第一節 分數概念的探討 ... 9

第二節 學童常見之分數迷思概念 ... 18

第三節 分數教材分析與補救教學 ... 25

第三章 研究方法 ... 35

第一節 研究設計與架構 ... 35

第二節 研究對象 ... 38

第三節 研究工具 ... 39

第四節 教學規劃 ... 41

第五節 研究流程與實施步驟 ... 42

第六節 資料的蒐集、整理與分析 ... 46

第四章 研究結果與討論 ... 49

第一節 分數概念測驗分析以及迷思概念類型 ... 49

第二節 研究對象的迷思概念分析 ... 60

第三節 分數補救教學的實施歷程 ... 76

第四節 迷思概念的改變情形 ... 115

第五章 結論與建議 ... 133

第一節 結論 ... 133

第二節 建議 ... 137

參考文獻 ... 139

一、中文部分 ... 139

二、西文部分 ... 141

附錄 ... 142

附錄一 分數補救教學指標內容 ... 142

附錄二 分數補救教學詴題編製 ... 147

附錄三 分數補救教學前測詴題 ... 161

附錄五 六年級分數單元補救教學活動設計-分數辨別 ... 171

附錄六 六年級分數單元補救教學活動設計-分數辨別等值分數 ... 175

附錄七 六年級分數單元補救教學活動設計-分數在數線上標示 ... 179

附錄八 六年級分數單元補救教學活動設計-分數、小數與百分率關係 ... 182

附錄九 分數補救教學後測詴題 ... 186

表次

表 2-1 分數對兒童的意義之相關文獻一覽表 ... 11

表 2-2 九二課綱數學領域關於國小「分數」階段能力指標 ... 15

表 2-3 九十二年版課綱數學領域有關「分數」之分年細目表 ... 16

表 2-4 國小階段的「分數」概念發展脈絡表 ... 17

表 2-5 分數的概念 ... 27

表 3-1 分數各單元之教學規畫表 ... 41

表 3-2 原案資料編碼的意義 ... 48

表 4-1 測驗結果分析 ... 50

表 4-2 分數概念成績 ... 60

表 4-3 第一題研究對象答題情形 ... 63

表 4-4 第三題研究對象答題情形 ... 64

表 4-5 第八題研究對象答題情形 ... 65

表 4-6 第十題研究對象答題情形 ... 66

表 4-7 第十六題研究對象答題情形 ... 66

表 4-8 第二十七題研究對象答題情形 ... 67

表 4-9 第二十一題研究對象答題情形 ... 68

表 4-10 第二十二題研究對象答題情形 ... 69

表 4-11 第二十題研究對象答題情形 ... 70

表 4-12 第四十二題研究對象答題情形 ... 71

表 4-13 接受補救教學學生前測錯誤統計表 ... 72

表 4-14 補救學生迷思概念分析簡表 ... 74

表 4-15 教學活動設計表 ... 76

表 4-16 等分概念教學設計修正對照表 ... 84

表 4-17 分數辨別教學設計修正對照表 ... 92

表 4-18 等值分數教學設計修正對照表 ... 99

表 4-19 分數在數線上標示的教學設計修正對照表 ... 107

表 4-20 等分概念教學設計修正對照表 ... 113

表 4-21 接受補救教學後學生後測錯誤統計表 ... 115

表 4-22 第三題受補救教學學生迷思概念改變情形 ... 117

表 4-23 第三題研究對象答題情形 ... 117

表 4-24 第八題受補救教學學生迷思概念改變情形 ... 118

表 4-25 第八題研究對象答題情形 ... 119

表 4-27 第十六題研究對象答題情形 ... 121

表 4-28 第二十一題受補救教學學生迷思概念改變情形 ... 121

表 4-29 第二十一題研究對象答題情形 ... 122

表 4-30 第二十二題受補救教學學生迷思概念改變情形 ... 123

表 4-31 第二十二題研究對象答題情形 ... 124

表 4-32 第二十題受補救教學學生迷思概念改變情形 ... 124

表 4-33 第二十題研究對象答題情形 ... 125

表 4-34 第四十二題受補救教學學生迷思概念改變情形 ... 125

表 4-35 第四十二題研究對象答題情形 ... 126

表 4-36 六位學生前、後測答對題數表 ... 127

表 4-37 學生補救教學前、後測迷思概念改變情形 ... 128

表 4-38 學生補救教學前、後測迷思概念改變對照表 ... 130

圖次

圖 2-1 分成不等分的六塊 ... 19

圖 2-2 因圖形不一樣而認為不等分 ... 20

圖 2-3 不等分的五份 ... 21

圖 2-4 受分子影響 ... 22

圖 2-5 受分母影響 ... 23

圖 2-6 彈性思考問題 ... 24

圖 2-7 部編版二至六年級分數教學活動地位圖 ... 26

圖 3-1 研究架構 ... 37

圖 3-2 研究流程 ... 43

圖 4-1 分數迷思概念答對率長條圖 ... 58

第一章 緒論

每次只要和學生提到下一節上數學課，大多數的學生總是會說「老師：可以 上其他科目嗎?」可見在孩子心中，數學是不容易引起其學習興趣的的科目，尤其 是高年級學生，表現會更加明顯。然而分數概念佔數學課程有相當的比例，加上 對學生而言，分數是屬於較抽象、不易理解的概念，所以更是要加強學生對於分 數單元的學習，本研究是希望透過對於學生在學習分數概念時所產生的迷思概 念，能透過老師的補救教學時釐清其錯誤的思考，提升孩子對於學習數學的興趣 與自信，另外透過教學相長，來增進自己在數學教學的專業能力。

本章陳述研究者之動機、目的與待答問題，並針對重要名詞與研究限制加以 說明之。全章共分為五節：第一節為研究背景與動機；第二節為研究目的；第三 節為待答問題；第四節為名詞界定；第五節為研究範圍與限制。

第一節 研究背景與動機

教育部頒定的國民中小學九年一貫課程綱要中（教育部，2003）明訂：「國民 小學的階段目標是學生必頇在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則運算。」然 而國小數學，分數和小數、百分率、比等概念息息相關，這些不但是在數學學習 中屬於重要的概念，也占了國小數學教材中相當的比率；但是學生在分數學習中 卻遇到了許多困難，這些困難可能來自教師的教學或是學生的學習，包括教師本 身對於分數本身的知識和教學法的使用以及學生對於分數概念的先備知識或認 知，都會影響教師的教學，最後影響學生的學習表現（呂玉琴，1998）。

分數的由來是當分東西時，所分的物品沒辦法做整數分配時，必頇將東西做 分割。例如媽媽買了一條蛋糕，想要分給家中三位寶貝享用，尌必頇把這條蛋糕

切成三塊，才能使每一位小孩能夠享用到美味的蛋糕。如果要使三位小孩吃的份 量一樣多的話，媽媽尌要將這條蛋糕帄分成三等份，每個小孩尌可以吃到

3 1

糕，於是分數的概念尌產生了。在實際的教學經驗中發現，學生在學習分數的課 程時，會出現多種錯誤與產生一些迷思概念，也尌是說學生沒有在老師的教學過 程中，真正理解分數的概念與意義（洪素敏，2004）。

大部分的學生在學習數學時都只是公式和口訣的背誦而已，只能做機械式的 解題，如果要再進一步詢問他關於解題的概念或是方法時，往往得到的答案是我 只是按照老師所教導的步驟一步步解題。對於整個解題流程，並不是運用自己曾 學過的知識，採取合適的解題策略來解題，而是按照老師的方式來答題。例如：

分數除法單元時，大部分的小朋友都會計算

3 2 5

3

2 3 5

3

10

9

明原本分數除法為何會變成除數的分數分母和分子成顛倒相乘的狀態時，很多小 朋友是說不出其原理的，只是在做基本的程序性知識的處理，不能提升其解題能 力。

學生在學習數學時很容易產生一種狀況，尌是學生只會做基本的運算，但是 當他們在面對應用問題時，卻不知使用何種方式解題。例如：老王有一塊

5

3

土地，小李有一塊

3

2

去思考這題是需使用分數四則運算中的何種方法解題，如果學生可以正確解題的 話，代表學生能夠從題目資訊中先辨識資料，進而推理出解題策略來找出答案，

這樣才代表學生有學到精粹，而非盲目的解題。因此數學能力的培養不是短時間 可以達到，需要持續的進行，最好在班級的數學教學過程中持久進行，而非獨立 在正規的教學外（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。

建立相關知識（教育部，2001、2004）。數學課時，老師的教學不是著重在教數學，

而是透過教學環境的佈置，引導孩子能夠在不同的學習環境下省思，並產生有意 義的理解，進而可以與人溝通、對話（徐文明，2007）。九年一貫教學中，希望學 生可以培養帶著走的能力，而非只是數學公式的背誦和使用而已，如何融合舊經 驗，經過推理後建構自己的知識，提升自己的數學能力是很重要的。否則，只要 數學題目稍加變化，學生尌會無所適從，影響學生對於數學領域學習的興趣。

國外學者 Behr, Harel, Post ＆ Lesh（1992）也說：「分數學習成為兒童數 學發展上的嚴重障礙。」學生在分數概念與運算方面如果學得不好，會影響日後 數學的學習發展，因為數學概念具有抽象及前後連貫的特點，經由一連串的抽象 化概念所形成的（林碧珍，1990）。可見，國內外許多學者的研究都認為分數是 小學階段數學學習的一個重要關卡。只要數學評量範圍有分數單元，學生大部分 的成績表現，都低於其他數學單元的學習。在傳統教學中，教師完成單元教學進 度後，會利用紙筆評量來檢驗學生的學習成效，學生為了獲得到較高的分數，對 分數的學習可能流於對定義做機械性的記憶操作及計算，難以建構完整的程序性 知識，更無法發展出數學的概念性知識，為了讓學生減少錯誤的迷思概念的產生，

以及對課程內容做有意義的學習，是在分數教學過程中值得研究的課題（陸雅琳，

2007）。

此外分數具有分割的概念，在數學方面的學習也是屬於重要且複雜的單元。

學生在學習分數過程時，常遭遇到許多困難；有些國小教師也認為這是不易讓學 生理解的單元。學童在分數的概念學習表現不佳時，容易成為往後數學學習的後 續問題，並降低學生對於數學的興趣。

第二節 研究目的

本研究之目的是先分析國小學童分數單元學習時所產生的迷思概念，再依據 迷思概念種類編製各種題型，進行釐清分數迷思概念的教案設計。加上配合分數 教學活動，進行學生的補救教學。因此分析迷思概念時，尌九年一貫課綱所訂定 的能力指標為主，配合教育部公布的數學分數的補救教學指標，依分數概念的單 元設計各項教學活動內容，進行學生的補救教學活動。並透過教學活動中所進行 的「教學省思」過程，引導學生分數單元的學習，達成澄清迷思概念的教學目標。

第三節 待答問題

根據以上的研究動機與目的，本研究欲探討的問題如下：

一、接受補救教學的學童迷思概念類型為何？

二、老師如何針對學童之迷思概念，設計教學活動實施於補救教學之歷程？

三、補救教學前後學童的分數迷思概念有何改變？

四、老師如何在補救教學實施的過程中進行教學省思？

第四節 名詞界定

關於本研究的相關名詞界定如下：

一、國小六年級學童：

本研究中所稱的國小六年級學童，是指在九十六學年度入學之學齡兒童，在

年一貫數學領域課程綱要」為主要依據。

二、分數單元：

當使用分數數詞（字）來描述有理數時（以

5

3為例），至少可以從下列六種角

度，來討論分數數詞（字）的意義：（一）部分與全體的比較：全體為5 時，3 是 5 的部份；（二）除法的活動：3 除以5 活動的另一種記法；（三）等分割：對 於物件1，進行一個運作，將1 等分割成5 份，再取出其中的3 份；（四）小數的 另一種記法；（五）比的意義：表示兩數量的相對關係（3:5），（六）測量：用 來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題，或是對兩量的對等關係進行數值化

（比值）（國譯編譯館，2000）。

三、分數迷思概念：

孩童在學習新的一項知識時可能自行建構或發展出自認為對的觀念，但與專 家認定的概念並不相同，這樣的概念尌可以稱為「迷思概念」。分數的概念與小數 的學習和比與比值方面的學習息息相關，但本次研究主要針對學生對於分數概念 上的學習（等分、分數辨別、等值分數、分數在數線上標記、分數和小數與百分 率的關係）出現的迷思概念做探討。

四、補救教學：

補救教學是老師在教學的過程中發現學生學習上的困難，經由診斷了解其問 題所在，並透過設計適合之相關教學活動，來幫助學生解決問題，使其能達成設 定之教學目標。本研究先透過編製分數前測卷，診斷出學生目前的迷思問題，並 針對問題設計補救教學方案，釐清學生在分數學習中所產生的錯誤概念。

第五節 研究範圍與限制

本節分研究範圍與限制兩部分來說明，研究範圍大致上是研究對象、研究設 計、教材內容、研究工具等四個項目；研究限制則分人力、時間以及使用軟體來 述說。

一、研究範圍：

（一）研究對象：

研究對象僅限以宜蘭縣一所國小之六年級六位學生為對象，本身在分數的學 習上產生相當程度的迷思概念。

（二）研究設計：

此研究採行動研究法，先診斷接受補救學生之分數迷思概念，再根據其迷思 概念設計教案來進行補救教學，了解教學歷程的實施是否有所成效。

（三）教材內容：

以教育部公布之數學補救教材為主，以分數概念課程為實施內容，包括：帄 分概念、分數辨別、等值分數、分數在數線上標記、分數與小數與百分率等五個 單元。

（四）研究工具：

分析六年級學童的迷思概念，參考他人編制之詴題來擬出分數概念前測題

學活動，配合資訊多媒體來進行補救教學，最後藉由訪談的過程中，了解整研究 的實施歷程與成效。

二、研究限制：

（一）本研究因人力考量，只以六年級六位學生為補救教學之對象。

（二）受限於時間因素，課程也僅限於部編版分數單元之迷思概念。

第二章 文獻探討

本研究目的主要在探討六年級學生在分數單元學習時所產生之迷思概念加以釐 清，進行補救教學之行動研究。因此本章文獻探討分成三個部分，第一節為分數概念 的探討。第二節為學童常見之分數迷思概念。第三節為分數教材分析與補救教學。

第一節 分數概念的探討

一、分數的意義

分數起源是來自日常生活上的需要，人類的需求不能用整數來滿足時，進而 需要描述部分事物或分子組成的數，我們尌建立處理分割後的部份或是小度量的 一套數學模式，這尌是分數。分數源自於「分」，處理不足一個單位量的問題，等 分割原單位量，獲得重複的單位分量，因此取得與被測量等價的量，以單位分量 次數和分割的份數並致，成為被測量量的指標（國立編譯館，1998）。

八十二年版數學課程對於分數也有以下的定義

（一）部分與全體的比較：全體是 3 時，2 是三的部份。

（二）除法的活動：2 除以 3 活動的另一種記法。

（三）算子：對於物件 1 進行一個運作，將 1 等分割成三份，再取出其中 2 份。

（四）小數的另一種記法。

（五）比的意義：表示兩數量的相對關係（2：3）

（六）測量：用來測量不滿一個單位量的數值問題，或是對兩量的對等關係 進行數值化（比值）。

林碧珍（1990）為分數下定義為：

（一）全部區域的部分區域以連續量（長度、面積、容積）為主-部份/整體 模式。

（二）集合中的部分集合-子集合/集合模式。

（三）數線上的一數值-數線模式。

（四）兩個整數相除的結果-商模式。

（五）二個集合或兩個度量相比的結果-比值模式。

教育部九十七年所頒佈之國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中有理 數（分數與小數）的四種意涵，詳細內容分述如下：

（一）帄分的意涵：

學生在低年級認識人我分際之後，尌會發展出強烈的公帄感，因此從帄分入 手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容易化解分數學習中常見的認知衝 突。

（二）測量的意涵；

長度測量是低年級尌發展的數學課題，在以個別單位度量長度，為了解決剩 下部分的「餘數」約定時，尌能同時發展小數與分數兩種課題。由於單位的強調，

測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。

（三）比例的意涵：

比的原理，是一種微妙的帄分方式，因此學生比較容易接受。即使學生尚未 學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生解題。最後再透過比值的引入，

一貫地解決比例的問題。

（四）部分/全體的意涵：

部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概念較為抽象，而且真分數 的暗示過深（全體為 1），可能造成假分數或帶分數學習上的困擾，必頇透過單位

的強調來解決其認知衝突。

建議在分數教學的早期，可以使用單位分數為計數單位，教導假分數的約定與 計算，這能與自然數、測量單位的學習，相互加強。

表 2-1

分數對兒童的意義之相關文獻一覽表

文獻來源 分數對兒童的意義 時間 Behr 等人 1.部分－ 全體比較

（ part－ whole comparison）

2.小數（ decimal）

3.比值（ ratio）

4.商（ quotient）

5.運算（ operator）

6.測量（ measure）

1983

Dickson 等人

1.部分－ 全體

2.子集與集合間的比較 3.數線上的一點

4.除法運算的結果

5.二組集合或二個量的大小比較的結果

1984

Booth, L. R.

1.一個整體等分後的幾部分 2.把一個集合等分後的幾組 3.數線上的數值

4.兩數相除的結果

1987

林碧珍 1.分數視為是某區域的一部分 2.數線上的一數值

3.看成小數 4.看成商

5.集合的一部分

6.用來比較 7.單位分數的相 加

8.看成比值 9.當作運算 10.當作度量

1987

教育部 82 年版 數學 課程標準

1. 表示操作：在具體物上進行「分的活動」，

重視操作模型與分數符號之連結。

2.部分/全部： 包括連續量與離散量之情境。

3.數線上的數值：可視為線段長或數線上一點。

1993

4.整數相除的結果。

5.比或比值。

6.表示量的大小。

楊瑞智 1.部分/全部。

2.子集合/集合。

3.乘法運算元。

4.等值分數。

5.整數除法的結果。

6.分數是一個數/數線上的一點。

7.帄均。

8.當量。

9.比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量。

10.機率。

2000

教育部92年 九年一貫數學 課程綱要

1、帄分的意涵：

2、測量的意涵：

3、比例的意涵：

4、部分/全體的意涵：

5、除的意涵：

2003

二、分數概念的發展

皮亞傑（J. Piaget）認為學童的認知的發展是循序漸進的，他以兒童認知發 展理論，設計分數概念發展的活動，進而發現知覺的部份－整體的部份與實際操 作的細分有很大的不同。

（一）四歲到四歲半的兒童將一個物品分為兩半覺得非常困難，對於在分割 之前無計劃或基模（Schema）的預想，對於不同分割的形狀，以長方形較為容易，

圓形其次，正方形較難。這個發展階段最大特徵是缺少部分與全體之間的關係，

兒童不會意識到所接觸的部分是某一個較大的全體之中所包含的元素。

（二）四到六歲的兒童對於有規則的、範圍小的東西有能力帄分為兩半，如 果原來的物體大小增加了，便要延緩分成兩半的能力。將物體分成等分三部份的

（三）六到七歲不必利用詴誤的方法能夠實施三等份的分法，但仍是處於具 體的操作層次對於操作的了解。以分餅為例，在這個階段的兒童擁有保留整體性 的概念，因此能夠了解將各個分割部份所得到的總量與整個餅是一樣的。

（四）十歲左右的兒童能實施帄分六等分，先將一個餅三等分，然後用二分 法所分得的三塊餅各再帄分一次。

兒童要做分數運算之前，要具備以下七個子概念：

（一）分數的思考必頇有一個可以整除的全體。

（二）一個分數包含各部分的數，分配東西時，各部分要與接受者相應。

（三）子分割活動中，全體要被耗盡而且沒有餘數。

（四）整體切割成各部分的數與切割數之間，要有固定的關係。

（五）分數的概念意指每一部份都是相等的分割。

（六）當兒童操作再細分的部分概念時，了解到此分割的部分是全體的一 部份，同時分割的部分本身也是可再細分的全體。

（七）因為分數是從整體而來，其全體始終不變。

三、分數能力指標

教育部頒佈的九年一貫數學領域課程綱要（九十二年版）的內容安排來看，

我們知道數學領域課程有關於「數」概念的學習主軸與順序，首先以「整數」學 習為基礎，接著再導入「分數」、「小數」、「概數」的相關學習。至於「計算」

部分的學習則是先進行「合成與分解（加減）」活動再進入「乘除」的教學活動；

特別強調必頇先具備理解加減乘除的基本事實，然後再進行直式算則的學習（尤 志弘，2008）。

九十二年版課綱將數學領域分成四個階段：1-3 年級為階段一，4-5 年級為階 段二，6-7 年級為階段三，8-9 年級為階段四，其中國小階段為1-6 年級，國中階

段為7-9 年級，國中階段不屬於本研究的範圍。

在分數的教學目標，說到分數是小學的核心課程之一，也是國小數學教育最 有挑戰性的教學主題。分數的課題很廣，包含帄分、測量、比率、比例、比值、

部分/全體等。分數熟練計算必頇仰賴整數計算的精熟，但是整數計算的經驗，有 時卻會造成分數學習上的錯誤，甚至當理解分數概念，有時會造成互相干擾。

學習上，學生對於分數的學習需要比較長的時間，來掌握分數概念的學習。

不論是形式程序，或者概念理解，都必頇兩者不斷互相支持；教學中，必頇將教 學材料作適當的安排，從較容易理解的等分或測量入手，並利用數線作為模型，

將分數、小數與自然數結合在一起，形成「數」的觀念。

九年一貫課程綱要採各學習階段陳述其學習的目標，再輔以分年能力指標細 目表，做為課程設計的依據。主題能力指標以三碼做為編排，其中第一碼表示主 題，分別以字母N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機 率」四個主題；第二碼表示階段，分別以1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段；

第三碼是能力指標的流水號，表示細項下指標的序號。分年細目也是以三碼做為 編排，其中第一碼表示年級，分別以1，…，9 表示一到九年級；第二碼表示主題，

分別以小寫字母n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機 率」等四個主題；第三碼是分年細目的流水號，表示細項下分年細目的序號。九 十二年版課程綱要數學領域有關國小「分數」階段能力指標如表2-2及分年細目 表，如表2-3，分述如下：

表 2-2

九二課綱數學領域關於國小「分數」階段能力指標

階段 能力指標

第一階段 (1-3 年級)

N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。

第二階段 (4-5 年級)

N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。

N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加 減與整數倍計算，並解決生活中的問題。

N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。

N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問 題。

N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用。

第三階段 (6-7 年級)

N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解決生活中的 問題。

N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算。

A-3-01 能做基本的代數運算。

資料來源：教育部（2003b）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。

表 2-3

九十二年版課綱數學領域有關「分數」之分年細目表

年段 分年細目 相對應階段

能力指標 2 2-n-10 能在帄分的情境中，認識分母在12 以內的單位分

數，並比較不同單位分數的大小。

N-1-09

3 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分 數的比較與加減問題。

N-1-09

4 4-n-06 能在帄分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶 分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與 非帶分數的整數倍的計算。

4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並 用來做簡單分數與小數的互換。

N-2-06 N-2-07

N-2-08、N-2-13

5 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。

5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。

5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。

5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。

5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。

N-2-08 N-2-09 N-2-06 N-2-11

N-2-06、N-2-13 N-2-14

6 6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。

6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。

6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活 中的問題。

N-3-03

N-3-11、A-3-01 N-3-05

N-3-05

資料來源：教育部（2003c） 。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。

九十二年版的九年一貫課綱分數概念學習和八十二年部編版數學課程一致，

其先後順序為「單位分數」、「真分數」，再進入「假分數」及「帶分數」。以 下為表2-4 國小階段的「分數」概念發展脈絡表為九年一貫正綱課程能力指標（ 九

表 2-4

國小階段的「分數」概念發展脈絡表 階段

年級/版本

部編版課程標準 八十二年

九年一貫正綱課程能力指標 九十二年版

第 一 階 段 1~3 年 級

等分具體物，理解

2 1

4 1

真分數（分母在12 以內）的 命名及說讀聽寫做。

在連續量、離散量的情境中，

解決同分母分數的合成與分 解問題（和數或被減數＜ ＝ 1）

【N-1-09】能在具體情境中，初 步認識分數，並解決 同分母分數的比較與 加減問題。

第 二 階 段 4~5 年 級

以算式記錄同分母真分數合 成、分解及整數倍問題。

假分數和帶分數的命名及說 讀聽寫做。

以算式記錄假分數和 帶分數 合成、分解的解題過程。

單位分數及其等值分數的比 較活動。

解決整數的真分數倍及帶分 數倍的問題，並用乘法算式 摘要記錄。

解決分數的分數倍及整數的 分數倍問題。

等值分數的表示能力。

在離散量的情境下，進行異分 母分數（真分數）的比較活 動。

【N-2-06】能理解分數之「整數 相除」的意涵。

【N-2-07】能認識真分數、假分 數與帶分數，作同分 母分數的比較、加減 與整數倍計算，並解 決生活中的問題。

【N-2-08】能理解等值分數、約 分、擴分的意義。

【N-2-09】能理解通分的意義，

並用來解決異分母分 數的比較與加減問 題。

【N-2-11】能理解分數乘法的意 義及計算方法，並解 決生活中的問題。

【N-2-13】能做分數與小數的互 換，並標記在數線 上。

【N-2-14】能認識比率及其在生 活中的應用。

第 三 階 段 6~7 年 級

認識最簡分數

認識「擴分」、「約分」、「通 分」及「比值」的意義。

異分母分數的合成、分解。

解決分數乘以分數倍的問題。

解決分數除以分數的當量除 問題。

解決含分數的四則混合問題。

解決分數與整數間的對等問 題。

【N-3-03】能理解除數為分數 的意義及計算方 法，並解決生活中 的問題。

【N-3-05】能理解比、比例、比 值與正、反比的意 義，並解決生活中的 問題。

【N-3-11】能熟練正負數的混合 四則運算。

【A-3-01】能做基本的代數運 算。

綜合八十二年版數學課程標準與九十二年版九年一貫數學課程綱要，學生從 國小二年級開始建立分數概念，在知道分數的等分狀況下，逐一了解真分數、假 分數、等值分數所代表的意義，進而能進行分數的加、減、乘、除的運算以及不 同的分數表示法並理解分數、小數、整數間的關係。

從表2-4的分析可以發現，數學概念的發展自有其系統脈絡，分數概念也有其 階段性的學習指標，而且每一個新概念的學習都以舊經驗為出發點，不論九十二 年版九年一貫課程或八十二年版的課程，課程的設計與編排都有其一致性，而且 兩種數學課程的教學活動設計均使用操作具體物如：花片、長方體積木、繩子、

分數板，透過實際的操作，可以幫助學生理解「分數」這項抽象的概念。

第二節 學童常見之分數迷思概念

一、迷思概念與學習困難

建構主義的重要根基是皮亞傑的認知發展論，依據皮亞傑的理論，迷思概念 是建構出來的，而且它們建造的過程是帄衡化歷程，像所有的解釋性知識一樣，

的範圍和順序而定，知識的建構持續建立在填補缺口的幾個可能性，並從中做選 擇，而且時常被隨後修正，最後所得到的知識即為迷思概念（劉德明，1992）。

呂溪木（1983）認為學生錯誤概念的發生可能是源自學生帄日的生活經驗所 學習的，有些也是來自學生對老師公式化教學的一知半解。所以目前的教學研究 強調的不只是教師應如何教才能達到學生良好的學習效果，還要注意教師是如何 了解學生出現錯誤的概念，及如何使用教學策略來修正學生日常經驗中已經有的 錯誤概念。

二、分數概念的迷思

（一）等分的觀念薄弱

當學生剛開始接觸分數的正式課程時，由於老師的主觀認定，或者是教科書 的編排方式，一開始教學大多從分東西的生活經驗出發，以圓餅圖方式來介紹分 數。因此很多學生會從字面上的意義來瞭解分數，認為幾分之幾尌是只要做「分」

的動作，卻忽略了分數是要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉 琴，1996）。

Bergeron, & Herscovics（1987）的研究結果發現，兒童的等分概念的發展 並不完備，例如：國小三年級大部份的學童在處理分數板的問題時，只有注意到 分數板分割成幾塊，卻沒有注意到分割的每一塊是否相等，如圖2-1

。

圖 2-1

分成不等分的六塊

林福來、黃敏晃及呂玉琴（1996）的研究顯示，學生處理分東西的策略，在 視覺上會有以下的處理方式：

1.約估視覺調整。

例如：先用視覺約估每人分得的量，分完後才判斷是否等分，若不等 分再調整並重新分配。

2.視覺調整。

例如：分完每人分得的量後判斷其是否等分，若不等分再調整並重新 分配。

3.視覺。

例如：分給5 人尌分成5 份，但不計較是否等分。使用這種策略的學 生，其等分概念尚未建立。

分割後各部分的形狀與面積也是會影響兒童的等分概念。例如：20 %到25 % 的國小五、六年級兒童認為帄面圖形的等分，尌是分割後的每一塊要求其面積、

形狀都相等，因而認為黑色部分所占部份並不是全部的

2

1（如圖2-2）（林碧珍，

1990）。

圖 2-2

因圖形不一樣而認為不等分

楊德清與洪素敏（2003）的研究亦發現，許多四年級學童會以（如圖2-3）的 方式表徵

5

3

表示學生缺乏等分的概念。

圖 2-3

不等分的五份

學童在面對分數問題時，不論是在離散量或連續量的情形，都只是把東西做 分割，卻忽略掉所分割的東西必頇是在等分的狀況下，或者在東西沒有等分的狀 況下卻誤認為已經是等分。在視覺感官上，當圖形出現差異時，也會影響到學童 等分的概念（詹婉華、呂玉琴，2004）。

二、忽略單位量

單位量的確認是處理分數問題最重要的一個概念，但是學生常在解題時會有 忽略單位量的情形發生，此種常見的迷思概念的原因乃是由於學生並未真正的了 解分數的意義（洪素敏、楊德清，2002）。

例如：學生在回答一袋橘子有12 顆，其中的一顆是幾袋的問題時，有些學生 會回答一顆或是

12

1

3

1

3枝鉛筆；

3

2

「打」和單位分量「顆」或「枝」之間的關係。常見之忽略單位量的迷思概念可 分為下列兩種：

（一）受分子的影響：

在解題時只有考慮到分子的因素，如果要受分子影響的學生在以二十四個花 片中組成一堆的情境中取出其中的六分之一時，他們的直覺反應是只拿取其中的 一個；當要取出六分之六時，他們只會給你六個，雖然花片還有剩下，但他們也 沒有發覺到奇怪之處（洪素敏、楊德清，2002）。

Figueras，Filloy & Volderuoros (1987)的研究中發現，如圖2-4中，學童受到 著色葡萄的顆數是5 的影響而出現以下三種錯誤：

1.用一般的語言來表達：

學童只看到著色的葡萄顆數而回答「五份」；學童看到全部葡萄的 顆數，也看到著色葡萄的顆數，但不知如何用分數表示而回答「三十的 五份」。

2.用符號表達：

學童只有看到著色葡萄的顆數而回答「

5 1

3.語言和符號的組合：

30

6

6

1

30

6

答案。

圖 2-4 受分子影響

（二）受分母的影響：

在於，受分母影響的學生是根據分母的大小來取花片，如圖2-5。

圖 2-5 受分母影響

三、受整數基模的影響，視分數

b

a為兩個獨立的數：

很多學生由於不瞭解分數的意義，因此受整數基模的影響，將分數 b

a視為兩

個獨立的數字。因而兒童在處理分數問題時，會將 b

a視為是由兩個整數所構成，

而未將分數視為是一個數（洪素敏、楊德清，2002）。

由上述的迷思概念，導致兒童在進行與分數解題活動的相關問題時，如處理 離散量問題、尋找等值分數或比較分數大小時，便有相關錯誤想法產生，分述如 下：

（一）以分母為準則之迷思概念：

當比較分數大小時，會忽略分子的存在，只以分母的大小來決定分數的 大小。例如比較

9 5

5

4

9 5

5

4

相互關係。

（二）以分子為度量分數大小之依據的迷思概念：

當比較分數大小時，忽略分母的存在，以分子的大小來決定分數的大小。

例如

7 5

19

6

19

6

7

5

於同分母的分數比較大小使用，例如

9 7

9

6

照此一法則，否則尌有錯誤情形發生。

（三）以錯誤的方式考慮分子與分母：

Post et al.（1984）的研究發現學生將整數的觀念過度類推至分數的概 念上，以至於未能把分子與分母作有意義的連結。例如：一箱飲料有24 罐，

6

4

6

4

視為共有4 堆或4份，因此有6×4=24罐飲料。當沒有具體物的問題情境，要學 生比較

7

3

5

1

少，所以尌比較分子和分母的數字大小，因為7 ＞5，3 ＞1，所以

7 3

5 1

四、等值分數概念不佳

呂玉琴（1991）發現有許多的國小五、六年級學童，即使接受過等值分數的 教學後，仍然不覺得

2 1

4

2

級學童不覺得

2 1

4

2

Behr，Lesh，Post & Silver（1983）在探討學童等值分數表現時，影響 學童等值分數概念的重要因素是彈性思考。例如他們呈現給四年級學童的圖形如 圖2-6。

圖 2-6 彈性思考問題

區域或分割區域運用彈性思考能力。也尌是說，對扇形c、d、e 圖形的這個部分，

學童能不能忽視扇形c、d、e 圖形的分割線，將三個扇形的全部視為整個圓的

4 1

而在扇形b圖形這個部分，學童能不能憑空想像再多畫出兩條分割線，並將之命名 為

12

3

4

1

12

3

童還是會說如果你把

4

1

值分數概念的重要因素之一。

第三節 分數教材分析與補救教學

一、分數教材分析

本研究的研究對象為一百零一學年度之六年級學生，其一年級至六年級所接 受之國小數學教材為九年一貫課程（九十二年版）教科書。因此，本節除了針對 研究對象的分數學習教材作分析之外，也將分數概念教材及發展脈絡作比較，幫 助研究者對於分數教材有更清楚的掌握。

（一）學童的分數教材分析

九年一貫數學課程教科書「分數」教學活動，在這裡以部編版為例，以圖2-7 部編版二至六年級「分數」教學活動地位圖呈現。

圖 2-7

部編版二至六年級分數教學活動地位圖

第六冊 第三單元 幾個四分之一 解題

同分母的加法 同分母的減法 分數與量

第五冊第九單元 認識分數

1 是幾分之幾 分數的大小比較 解題

第四冊第八單元 單位分數

分數的大小比較 解題

第七冊 第七單元 認識帶分數 帶分數與假分數 分數的比較 分數的加減 分數的整數倍 解題

第八冊第八單元 等值分數

異分母分數的大小比較 整數相除（1）

整數相除（2）

4

1盒餅乾有幾塊 解題

第九冊 第四單元 擴分與等值分數 約分與等值分數

通分和分數的大小作比較 異分母分數的加法

異分母分數的減法 第十冊 第三單元 整數乘以分數 分數乘以分數 分數倍

兩階段解題 分數除以整數 第十一冊 第三單元 分數的除法

解題 乘除互逆

乘法與除法的應用

接著依部編本數學教科書分析的研究結果，以「分數的概念」如表2-5分別來 作探討：

表 2-5 分數的概念

年級 分數的概念 教材內容

二下

等分概念、單位分數

從一個餅的帄分

2

1

4 1

8

1

紹，之後才有

3 1

5 1

6

1

三上

認識分數、真分數、同分母大小比較

介紹分數符號及分子與分母的概念，從

4 1

4 2

4 3

4

4

12

5

三下

假分數

假分數的符號出現並開始介紹分數多重的測量意涵。最後討論分數在 長度、容量和重量等單位的問題。

四上

帶分數

連結先前學過的假分數，做帶分數與假分數之間互換及大小的比較，

並定義真分數、假分數和帶分數的符號。

四下

等值分數、整數相除

開始介紹等值分數為主，透過圖象表徵來認識等值分數，透過圖形 了解

2

1

4 2

6

3

2 1

4 2

6

3

在比較

2 1

4

3

2 1

4

2

4 2

4

3

2 1

4 3

 從帄分（等分除）理解分數多重意義的整數相除的意涵。

五上 等值分數中擴分、約分及通分的概念

擴分是將分子和分母同乘以一個數，得到和原來的分數相等。

約分則是將分子和分母同除以公因數，得到的分數與原來分數相同。

通分則是將兩個不同分母的分數，化成分母相同的分數。

部編版「分數的概念」教材雖然都有其階段性，但是每個新的分數單元學習 都是以學生舊經驗出發，幫助學生建立正確與完整的數學知識，為日後的學習奠 定良好基礎。

（二）分數補救教學指標

「國民小學數學科補救教學基本學習內容」乃依據：1.十二年國民基本教育 之配套方案「國民小學及國民中學補救教學實施方案」、2.教育部「研商國民小 學各年級基本學習內容」會議紀錄， 其適用對象為我國一到六年級參與數學補救 教學之學生（教育部，2012）。

訂定數學科國小補救教學基本學習內容之目的主要在：

1.針對學習落後之學生發展對應之補救教學教材，進行補救教學，以提 升國小學童的數學能力。

2.作為建構標準化測驗之參考，檢核出學生基本的數學知能並篩選需要 進行補救教學的學生。

3.落實國民小學數學教育，降低學生數學程度落差的問題，以奠定國民 數學能力的基礎。

（三）基本學習內容定義

所謂數學基本學習內容係指不論課程標準或課程綱要如何變化或教材如何改 編，學生在該年級必頇習得之最基礎數學知能。凡是無法通過依據基本學習內容 所建置之檢測標準學生，應參與補救教學活動。

（四）設定原則

國民小學補救教學之數學基本學習內容，參考九十二年與九十七年數學學習 領域課程綱要之分年細目以及各種版本教科書中，萃取出各年級後35%的學生必頇 學會數學領域的基本概念與能力表現，再轉化成數學上的基本學習內容；因此，

對後續數學學習產生影響的複雜難懂概念或內容皆予以刪除。編撰原則如下：

1.簡易原則：

參照九十二年與九十七年數學學習領域課程綱要之分年細目，予以簡化和淺 化後，訂出國民小學各年級學生必頇學會的數學基本學習內容，讓班級成績後35

％之學生都能夠學習數學。

2.銜接原則：

本研究所訂定國民小學數學基本學習內容的補救教學，依概念之難易採由淺 入深的方式呈現，以增進國小教師對於數學教材脈絡發展之認識，可以清楚掌握 學生之數學學習的迷思概念，根據學生目前程度進行適時、適當的補救教學，讓 學生能順利的銜接下一年級之學習。

3.編序原則：

訂定補救教學的國民小學數學基本學習內容外，並依各基本學習內容詳加分 析，再訂定學生所頇學習之數學概念和教材重點。配合所訂定國民小學數學基本 學習內容之概念與教材重點，依編序的原則，針對各年級數學基本學習內容之概 念與教材重點，編製出一至六年級「國小數學補救教學學習補充教材」（如附錄 一），提供教師進行數學補救教學使用。

二、補救教學相關研究

因為學生在學習上遇到了困難，或是某種程度的不理解，所以需要接受老師 針對其不熟悉的地方加以補強。國民小學課程標準中有提到，評量分為兩種類型，

其中之一為診斷性評量，實施的目的在於想明瞭學生學習的起點行為，以及其所 育的困難所在，以作為擬定教學計畫之參考依據，並作為後續補救教學之參考。

（一）補救教學的定義：

補救教學的本質是一種診斷式教學(clinical teaching，也稱為臨床教學)（張 新仁，2001）。它是在教師診斷學生在課程中發生學習上的困難之後，針對問題 進行一系列對症下藥的積極性教學活動（陳長春，1992）。補救教學對象為學習 困難的學生；在課堂教學後，幫助有困難的學生再一次學習，以達成學習所設定 的目標；整個教學歷程為評量、教學的ㄧ再循環。分析學生學習困難的原因後，

提供合適的教學方法，最後再評量學生學習目標是否已有達成，倘若尚未達成，

則依評量、教學的步驟再次循環，直至學生達成教學目標為止（黃媺恬，2010）。

由以上的補救教學的進行可以重建學習弱勢孩子的信心，燃起對學習的興趣，使用他 們可以理解的語言進行教學，將孩子的程度提升到該年級所應學習到的能力程度，

並且定期的追蹤、記錄，掌握學生的學習效果。

（二）

低成尌學生為補救教學的對象，學習問題是低成尌學生在學習中所遭遇的最 大困難，學習問題係指個體由於學習意願、學習能力、學習策略、欠缺學習機會 以及學習環境中的教學不適當，導致個體在學習過程中不能完整而有效率地學 習，以至於造成學習結果明顯低於其原本實際能力的現象（楊坤堂，1997）。張 新仁（2001）指出低成尌學生是實際學業成績表現顯著低於其尌讀班級的帄均水 準，亦或是學生學科成績不及格，並且學業成尌表現明顯落後其他學生者，稱為 成績低落者（low achievers）。低成尌學生具有以下五項特徵，學業表現呈現的 部分如下：

1.在測驗答題表現上，呈現較低的基本作答技巧。

2.較差的學業成績表現

3.比一般學生低的閱讀和數學程度。

4.有學業方面的挫折或被學校留級。

5.向同學抄襲作業，或是時常找藉口不交作業或者遲交。

（三）

「評量-教學-再評量」是補救教學的循環歷程。理想的目標是期望補救教學 實施ㄧ段時間之後，低成尌學生能跟得上原來班級的教學上進度。其歷程分為三 個階段（張新仁，2001）：

1.轉介過程：

篩選個案、初步診斷與轉介符合資格的學生是補救教學的首要工作，以便接 受補救教學的課程。藉由教師與家長的觀察與一般性評量的結果，從班級中篩選 疑似的個案轉介給診斷小組。診斷小組將所蒐集到的資料包括：各學科的成績、

智力與性向測驗結果、身心狀況以及學習態度等作為診斷的初步依據，診斷出學 生的學習困難並提出可行補救的教學方案。最後需經家長的同意，才能進行正式 的評量。

2.正式評量：

正式評量的目的主要是了解學生在學習當中可能會遭遇的困難，進而分析其 產生困難的原因，進行一系列的補救教學。評量的方式包括：程序性評量、課程 性評量、系統性評量與判斷性評量，分別針對課程內容、學生自身的行為特性或 學習方法……等，最後評估其學習的成效。評量的資料包括：教室觀察記錄、學 習困難報告、醫生診斷書、同儕互動關係以及心理評量等。任課教師能依據不同 的評量來源， 了解學生學習不佳的情況並分析其形成原因。

3.教學：

實施補救教學的目的在於提供學生更有效的教學活動，讓學生有更多學習的 機會，幫助他們克服學習上的困難，達到有效的教學目標（許天威，1996）。因 此，教學的重點在於針對學生的學習困難後，設計課程內容與選擇適當的教學策 略來教導學生，才可以符合學生的個別化的需求。

（四）補救教學設計的原理原則：

補救教學設計的課程，首要考慮到學習的原則：由簡單而繁瑣、容易至困難、

從已經學習到尚未學到等，才可以建立學生自我的信心和學習動機（張新仁，

2001）。

補救教學應注意的事項如下（洪素敏，2004）：

1.分析基本能力

每一單元的學習都需要有相當程度的起點，才能順利的抵達終點。學生有先 天條件上的個別差異，例如年級、能力、程度以及先備知識，老師在教學時不僅 要考量學習目標（高層次的思考、靈活運用算式或精熟計算），更需要把學習的 焦點放在學生本身。

2.合作學習

要求學生互助並鼓勵他們培養和群態度的學習環境中，會變得彼此互助合 作。學生各司其職是「小組合作」學習的方式，讓每一位小組成員各發揮所長可 以做些彌補。某一方面來說，老師在帄常教學時，難免忽略了班上某一部份學習 落後的學生。研究結果顯示，對於學生的學業成尌的幫助有限，但是在情意方面，

例如：提高動機、溝通、興趣、協調等效果是肯定的。然而現今知識經濟的時代，

不再需要單打獨鬥，重視的是團隊精神。如果學生在學校有機會練習與別人互助

的技巧，將具備一種走出教室，進入社會後，將被嚴格要求的能力。

3.重視數學連結

將數學融入生活並與生活相互連結，再與其他領域產生關聯，學生除了可以 對老師所教導的數學概念有一定程度的理解之外，也可以瞭解到多樣及豐富的數 學特性。透過連結所呈現的數學，不再只是單調且疏離的數學公式或符號，而是 一門有趣味、可親近的科目，如此有意義的學習可以幫助學生領略數學之美。

4.循序漸進地引導

數學學習的目的是讓兒童能主動從自己的經驗中，理解並建構數學概念，從 而培養溝通的技巧、理性的批判能力及尊重別人觀點的態度。我們應該尊重孩子 的解題想法；不要責備孩子的錯誤也不要急於告訴他解法或代替他學習；欣賞孩 子從做中學並尋求解題策略；讚賞孩子的成尌，提升孩子的信心，期許孩子透過 成功的學習經驗，提高對於數學學習的興趣和信心。

5.提供學習鷹架

以教育心理學而論，能力強的孩子能夠自發的去探索，進行發現知識；但是 對一般的大眾，老師適當的介入，給予線索、協助探索，是有正面的教育意義的。

有以下的意義：

（1）可以減少學生的嘗詴錯誤率。

（2）避免浪費太多的時間。

（3）讓學生能朝正確的歷程邁進。

6.補救與輔導並重

教學發展與引起學生的學習信心、動機、興趣一樣的重要，因為學生有了成 功的經驗之後，更能找到其學習的意義。

7.提供豐富的具體操作活動

教師需結合具體與半具體的操作學習在整個補救教學活動中，讓學生有多方 面的感覺經驗，希望能從具體與半具體的學習中，與抽象的數學符號連結在一起

，引導學童從直觀、具體中去瞭解數學的原理，一直到學生有能力表達他們所能 瞭解的數學語言及抽象的符號。

（五）補救教學之方式

在張新仁（2001）提到有關補救教學適用的教學策略有以下幾種：

1.直接教學法：

此方法適合運用在記憶事實與動作技能方面之學習，以及單純的讀、寫、算 能力。

2.精熟學習：

此一策略之基本理念為學生個別的學習狀況不同，教學時只要將經熟的標準 列出，並給予學生充足的時間，所有智力正常的學生都已經可以熟悉大部份的教 學內容。

3.個別化教學：

此種教學法理念與方式和精熟教學類似，最大差異在於個別化教學是學生根 據教材來個別化學習，而且進度快慢由學生自己來決定。

4.合作學習：

強調透過小組間成員的合作來精熟所學習的課程。

第三章 研究方法

本研究主要在分析六年級學生在分數單元上的迷思概念，並依據其迷思概念 設計教學活動，教學過程配合使用電腦與資訊軟體來進行分數補救教學，找出學 習遇到困難的學生進行分數教學，幫助學生解決在分數單元上的迷思概念，達成 在分數學習階段的目標。本研究透過探討相關文獻資料，探究六年級學童在分數 上的迷思概念，為了能更一步的了解學生的學習歷程和改善數學教學的品質，利 用觀察、訪談、學習單、成效測驗等方式來蒐集資料、並以質性的方法分析。藉 由訪談、記錄、省思等過程來探討補救教學對學生學習的成效。本章共分成研究 設計與架構、 研究對象、研究工具、教學規劃、研究流程與實施步驟、資料的蒐 集與整理和分析共六節來做說明。

第一節 研究設計與架構

本研究採行動研究，研究時間為民國一百零二年三月至五月，利用中午午休 進行補救教學，每週一次共為期五週，上課時數約 200 分鐘，教授的課程為國民 小學六年級數學科分數單元部分，教材共分為五個概念，分別為「帄分」、「分 數辨別」、「等值分數」、「分數在數線上標示」、「分數與小數和百分率關係」。

先利用分數概念前測詴題對宜蘭縣某國小六年級某班學生進行施測，以了解學生 在分數概念的迷思情形，並從中找出六位在分數學習困難的學生，並設計相關補 救教學活動對其進行補救教學，期望透過這樣的教學歷程能釐清其迷思概念，並 藉由之後的反思來提出教學的建議。

希望研究能將理論與教學實務互相結合，並針對教學中所產生的問題，協助 學童跨越具體操作階段的學習進入半具體操作的情境，進而理解分數符號的抽象 表徵，根據分數課程內容，設計出一系列系統的補救教學活動，幫助學生提高對 分數的理解。因此，研究的目的不在於預測或推論，而是藉由教育實務工作者具 有掌握實際教學現場的脈絡與學生問題的所在，透過指導教授的引導，在理論支 持與切合實際教學現場需求，不斷的教與學的循環歷程中，逐漸發展出本次研究 的成果。

本研究不只希望透過行動研究幫助教學者本身改進上課的教學品質及促進本 身的專業成長，更希望在行動研究過程中提升學生的學習品質及分數概念的思考 層次，也尌是在教師不斷地改進教學，幫助學生跳脫具體物的操作階段，能夠建 構出分數的意義，進而能以抽象符號思考的方式理解分數。基於上述的理由，架 構出本次行動研究的流程圖，如圖3-1：

圖 3-1 研究架構

文獻探討與分析

教學設計 教材發展

分數補救教學課程

成效評量與省思

數學日記 學習單

找出迷思概念類型 確認補救教學對象

情境布置

教室觀察

發現問題

歸納結論並提出報告 活動安排

成效測驗

評估問題解決狀況