第四章 研究結果與討論
第三節 實驗組學童的解題表現
第二節的結果顯示，兩組學童在構面三「十、百位借位；被減數十位 為0」的後測分數經由單因子共變數分析達到顯著差異；構面一「十位借位、
被減數為2 位數」、構面二「十位借位、減數為 3 位數」未達顯著差異，進 行成對樣本t 檢定，顯示錢幣教學活動對實驗組學童在此兩構面上的運算概 念亦有顯著的提升效果。
本節將使用模糊集群分析軟體 FCUT，對前、後測樣本進行分群，依據 軟體所輸出的分割係數與分割亂度，找出最佳的分群組數，分析每群學童 對減法概念精熟度的表現，再對實驗組學童繪製CAISM 概念詮釋結構圖，
並進行晤談，以了解在實施錢幣教學活動後，學童的思考模式與解題策略，
探討學童對減法迷思概念的釐清情形。
表 4-2-12 兩組學童在減法測驗構面三單因子共變數分析檢定摘要表(2)
組別 調整後的
平均數 平均數差異 (I-J) 標準誤 實驗組(I) 6.637
控制組(J) 6.015 .622 .296
一、前、後測模糊集群分析
當分割係數較大值時及分割亂度較小值時，代表所選取的集群數是較 佳的結果，本研究利用林原宏(2003)以目標函數法所設計的模糊集群分析軟 體FCUT，將研究中的前後測成績進行分群，其前、後測分割係數與分割亂 度如下表4-3-1 及 4-3-2，由表知前、後測各分成二群是為最佳的分割數。
表 4-3-1 前測模糊集群分析分割係數與分割亂度
群組數 分割係數 分割亂度
2 0.83 0.27 3 0.76 0.44 4 0.71 0.55
表 4-3-2 後測模糊集群分析分割係數與分割亂度
群組數 分割係數 分割亂度
2 0.92 0.14 3 0.83 0.27 4 0.83 0.30
二、前測不同群間概念結構圖分析
以受試者 st9、st30 分別作為第一群、第二群的代表，其答題情形如表 4-3-3，概念結構圖分別如圖 4-3-1 所示。
表 4-3-3 前測不同組群之受試者答題情形
學童 群組 總分(16 分) 反應組型
st9 第一群 16 1111111111111111 st30 第二群 3 1110000000000000
st9 概念結構圖 st30 概念結構圖
圖 4-3-1 第一群 st9 與第二群 st30 之概念結構圖 (一)階層結構
對於第一群受試者而言，減法概念幾乎達到精熟階段，以 st9 的概念結 構圖為例，此三個概念精熟度皆為1，表示受試者達到完全精熟，所有概念 皆位於同一階層。對於第二群受試者而言，以st30 的概念結構圖為例，三 個概念分別位於不同的三個階層，精熟度分別依次遞減，概念3 對於學童 而言是較為困難的，表示減法的借位條件愈多，加上被減數 0 的位值出現，
會導致學童錯誤概念的增加。
(二)關聯指向
概念結構圖中，概念間的關聯以箭頭來表示，以 st9 的概念結構圖為 例，概念間互為雙箭頭，表示互為等價關係；st30 的概念結構圖，概念 1 為概念 2 的下階概念，概念 3 為概念 2 的上階概念，下階概念的精熟有助 於上階概念的建立。
(三)小結
經由模糊集群分析將前後測樣本各分為兩群，前測第一群的學童表 現，三個概念大多精熟度皆為 1，表示學童在減法運算上有清楚的概念，第 二群的學童表現在概念 3－「十、百位借位；被減數十位為 0」精熟度較為 概念1 與概念 2 低，表示當減法借位條件增加，遇上被減數有 0 的位值，
學童若無正確的減法運算概念，就會產生錯誤，並在往後的作業中一再出 現相同的錯誤類型(梅文慧，2003)，因此透過實驗教學讓學童釐清減法迷思 概念達到運算正確率 100％乃本研究的教學目標。
三、實驗教學後實驗組學童的解題表現
實驗教學後依據前測模糊集群分析為第二群，後測模糊集群分析為第 一群的原則，選出四名具代表性的學童進行晤談，再參考晤談結果與概念 結構圖，最後選出以下兩名學童，做詳細的減法學習認知歷程解析。
(一) st30 前測與後測減法概念分析如下：
前測概念結構圖 後測概念結構圖
圖 4-3-2 st30 之前後測概念結構圖 1.前測概念結構圖
觀察概念結構圖可以得知，第一階層中的概念1 指向第二階層中的概 念2，第二階層的概念 2 指向第三階層的概念 3，表示要精熟概念 3 之前 必須先學會概念 1、概念 2，概念精熟度依序遞減，顯示越高階層的概念 學習較為困難。此學童對於概念學習的困難度依序為「十、百位借位；被 減數十位為 0」、「十位借位、減數為 3 位數」、「十位借位、被減數為 2 位 數」，參閱學童的試題作答情形，對於被減數為二位數以內，都能做正確 運算，因此範圍為二年級的學習歷程，對之前的先備經驗尚有保留，但對 其他題目無法做出正確的演算，且學童都用此種「較大的減較小的」錯誤
策略來解決被減數為三位數以上的減法問題類型，可以推之該名學童具有
「較大的減較小的」迷思概念。
2.後測概念結構圖
經由實驗教學，觀察概念階層圖，學童於各概念的精熟度皆為1，顯 示學童在「十位借位、被減數為 2 位數」、「十位借位、減數為 3 位數」、「十、
百位借位；被減數十位為 0」此三個概念皆達到完全精熟，所有概念皆位 於同一階層且互為等價概念。
3.減法迷思概念釐清之診斷
表 4-3-4 實驗教學後 st30 晤談摘要內容
減法迷思概念之處－較大的減較小的 師：(第五題)為什麼會選 1？
生：我把兩個反過來！
師：哪兩個反過來？
生：8 跟 9！
師：所以 4－2 是對的答案，你把十位 8 跟 9 反過來，所以 9－8＝1 生：恩…對。
師：你知道是上面的十位數減下面的十位數嗎?
生：恩…(疑惑)大的減小的。
運算方式 師：那你現在已經學會的話，你會怎麼算？
生：個位的 4 減掉下面的 2。
生：8 不夠跟百位借位，變成 18－9＝9，百位變成 5 寫下來。
師：好！
師：你剛剛跟老師說，十位8－9 不夠要跟誰借？
生：百位。
師：百位 6 變成 5，這個 5 是還是一個 5、50 還是 500？
生：500。
師：那百位借給十位一個 10 嗎？
(續下頁)
分析學童前測的迷思概念皆落在大數減小數的迷思概念選項中，顯示 出學童對被減數與減數上下位值概念的錯誤判斷，以致於在同位數中使用 較大數減去較小數(梅文慧，2003)，以上述訪談摘要紀錄表為例，學童對 於684－92 的運算，配合實驗教學法，利用定位表將直式列出，教師先檢 查學童的位值順序，了解上面被減數家族需減下面減數家族，不可大數減 小數，由最右邊開始做運算，所以從個位小弟算起 4－2=2，遇到數值不夠 時，被減數十位二哥 8 減 9，會向隔壁的百位大哥借位，且理解 600 借位 後剩 500，化成十個 10 借給十位二哥，因此 18－9＝9，對於位值觀念有 正確的建立，注意到減法家族順序借位的規則，遇到數值不夠需向隔壁的 哥哥求救借位，以避免大數減小數的錯誤概念。學童在後測已達到百分百 的正確率，因此釐清此不正確的運算。
生：(搖頭)100。
師：100 是幾個 10？
生：十個 10。
師：所以…..
生：十個 10 加 80 再減 90。
師：很好！
(二) st36 前測與後測減法概念分析如下：
前測概念結構圖 後測概念結構圖
圖4-3-3 st36 之前後測概念結構圖 1.前測概念結構圖
觀察概念結構圖可以得知，第一階層中的概念1 與概念 2 皆指向第二 階層中的概念 3，表示第一階層中的兩個概念為概念 3 的先備知識，概念 1 與概念 2 互為等價概念，且在前測中精熟度皆為 1，但概念 3 精熟度為 0，
顯示此學童在「十、百位借位；被減數十位為 0」的概念上有學習困難之 處。參閱學童的前測作答試卷，在被減數有 0 的位值時，學童出現跨零借 位、在零的地方停止借位之迷思概念，顯示學童對於 0 的位值觀念不夠清 楚明瞭。
2.後測概念結構圖
經由實驗教學，觀察概念階層圖，學童於各概念的精熟度皆為1，顯 示學童在「十位借位、被減數為 2 位數」、「十位借位、減數為 3 位數」、「十、
百位借位；被減數十位為 0」此三個概念皆達到完全精熟，所有概念皆位 於同一階層且互為等價概念，表示釐清了學童在概念 3 的迷思概念，能正 確的運算。
3.減法迷思概念釐清之診斷
表 4-3-5 實驗教學後 st36 晤談摘要內容(一)
減法迷思概念之處－在零的地方停止借位
師：(第九題)206－39，你選第 4 個答案，你可以告訴老師你怎麼算？
生：6－9 不夠要跟 0 借位，變成 16－9＝7。
師：所以你一開始想跟十位的0 借位？
生：對。
師：那借位之後它還是 0 沒有任何改變嗎？
生：……(疑惑)0 變成 10－3＝7。
師：那2 呢？
生：剩下 1。
師：為什麼？
生：因為 0 跟它借 1
運算方式 師：那你現在會怎麼算呢？
生：6 先跟 0 借，不夠再跟 2 借，然後 10－9＋6＝7，9－3＝6，2 剩下 1。
(學童未在數值上方做下記號) 師：所以 6 不夠減跟 0 借？
生：對。
師：0 不夠減跟誰借？
生：2。
師：那200 剩下？
生：100。
師：100 給十位？
生：10。
師：是10 嗎？你給十位 100，100 跑去哪裡？
生：……因為它有用定位板。
師：所以百位給它的是 10，那你知道是幾個 10 嗎？
生：一個 10。
師：可是不是跟百位借了 100，100 有幾個 10？
生：十個 10。
師：對，那其他的10 跑去哪裡？
生：不知道………(學童對於此處借位的數值仍不清楚，只知道在上面寫下 10 的數字)。 (續下頁)
此學童在概念三「十、百位借位；被減數十位為0」的題型表現上，
出現「在零的地方停止借位」的迷思概念，對於被減數有 0 的位值，尚無 法正確了解其意義，以上述訪談摘要內容(一)為例，206－39 的運算，學童 對個位 6 減 9，知道不夠減，會有 16－9＝7 的正確運算，但在十位 0 停止 退位，而直接 10－3＝7，百位 2 借給十位 0 剩下 1，此外學童未在借位的 數值上做退位後的紀錄，會導致退位數值的錯誤，無法運算正確，而學童 雖然後測作答全對，但在訪談的過程中，對於位值間百位、十位、個位等 的轉換，無法清楚說明原因，可能訪談期間學童有些緊張，經過一次說明 後，學童在後續的訪談過程，能立即的說明解釋，因此歸納之，學童在實 驗教學後，了解位值是 0 的借位運算，個位小弟 6 減 9 不夠減，向十位二 哥 0 借，0 無法借的時候再向隔壁的百位大哥 2 借，200 元借走一個 100，
0 的位值貼上 100 元，再從 100 元裡拿一個 10 元給個位小弟 6，因此百位 2 借給十位 0 十個 10，再借給個位 6 一個 10，十位 0 剩下九個 10，並提 醒在位值上方做退位記錄，個位 10－9＋6＝7，十位 9－3＝6，百位 1 放下 來，學童達到正確的運算能力，借位順序正確，了解借位之後位值單位的
0 的位值貼上 100 元，再從 100 元裡拿一個 10 元給個位小弟 6，因此百位 2 借給十位 0 十個 10，再借給個位 6 一個 10，十位 0 剩下九個 10，並提 醒在位值上方做退位記錄，個位 10－9＋6＝7，十位 9－3＝6，百位 1 放下 來，學童達到正確的運算能力，借位順序正確，了解借位之後位值單位的