減法計算能力之發展

一、計算能力的發展

張麗芬(1990)的研究中指出學童必須發展一些基本的數字概念及數數技巧 後，才能學會以「自某數開始數數」的方法代替「數數全部」的方法。Fuson(1982) 詳細分析了這種發展過程，他認為學童必須具備以下的數字概念，才可能發展出 較簡單的計算方法：

1.知道數數(counting)與基數(cardinality)的互換關係，此關係稱為基數原 則(cardinal principle)，數數的最後一個數字即代表此數列的個數，反 之亦然。

2.知道數數活動最後一個數字就是整個數數活動的縮寫，例如「3」即 代表了「1,2,3」的數數活動。

3.知道第一個加數是繼續順數第二個加數的起點。

4.每個加數都扮演雙重角色，既是加數，又有和的一部份。

此外，學童所需具備的技巧有：

1.能自任何一個數字開始數數。

2.能同時進行雙重數數活動；即數數時，學童需記住所數的數列，同時

也要追蹤第二個加數，以便知道何時數完。

3.追蹤第二個加數的技巧。

Carpenter(1981)提出從學童在正式受教育之前所發展出來的非正式的 數數策略(counting strategies)及具體物策略(Modeling Strategies)轉移到使用 記憶九九加法，九九減法及正式的加、減法運算是學童學習數學的關鍵，

而且有些學童在往後的解題活動中發生困難的原因可以追溯到開始接受正 式的加、減法教育時(呂玉琴譯，1990)。

Carpenter(1985)透過個別訪問的方式，探索低年級學童的解題策略以及 其發展趨勢。依據其所代表的數學知識，策略可分為三個層次：(引自蔣治 邦、鍾思嘉，1991)

1.模擬(modeling)層次，學童用實物來模擬問題情境，然後使用數物 (object couning)的知識來計算答案。

2.數序(advanced counting)層次，學童不再需要模擬出所有的數字，而可 以利用數的順序(counting sequence)，由某一數字直接向上數或倒數 來計算答案。

3.記憶(number fact)層次，學童已能直接由記憶中提取九九加法事實，

或相對應的減法事實，或者依據已知的加減法事實作推論而得到答 案。

Fuson(1992)將學童的加減法計算能力發展分成三個水準，這三個水準 與基數概念和數數策略的發展並行(劉秋木，1996)：

1.水準Ⅰ：一個加數或和的單一表徵(The single representation of an addend or the sum)。這階段的幼兒使用知覺單位為數數對象，依題意 拿出一些東西，直接模擬加或減的運算，用來計數的知覺對象在計數 的過程中，有時候代表加數，有時候代表和，不會同時代表加數或和。

2.水準Ⅱ：省略的順序計數程序(addreviated sequence counting

procedures)。此階段的學童亦是靠數數來解決問題，但不再使用知覺 對象，而是以數字順序為數數對象，學童已理解基數的原則，在數數 時第一個加數不必從1 開始數而是從基數開始接著數第二個加數。

3.水準Ⅲ：推導的事實或已知事實的程序(derived fact and known fact procedures)。本階段學童能將一個數分解和結合，他們可以利用已知 的事實或加以推導而解決問題，所以在這階段的計數單位是「理想單 位」，每個數是兩個部份的和，學童具有部分－部分－整體的結構。

二、減法策略

數數模式也可以應用到簡單減法的計算，Groen and Poll(1973)及 Woods, Resnick and Groen(1975)用精密計時分析法後，歸納出五個減法模式(表 2-2-1)，傳統上對減法的概念是，自一大數列中取走若干個，再數數所剩下 的數列，就是二數的差(模式 1)。學童若具備前述的數字概念與技巧，並有 了倒數的能力(例如學童能數數「5,4,3,2,1,」)，就可以直接以被減數為底數，

然後倒數n 次，最後的數字就是答案，這稱為倒數模式(decrementing model)(表 2-2-1 中的模式 2)。有時學童會運用加法的原理計算減法問題，

將底數設在減數，然後順數 m－n 次，直到被減數(m)出現，則自 n 順數到 m 的次數就是差，這稱為順數模式(incrementing model)(模式 3)。而最有效、

最省時的方法是，視減法問題的情況，彈性地使用倒數或順數模式，端視 使用那個模式所花的時間較少(模式 5)，稱為選擇模式(choice model)。因此 計算8－2＝？時，學童會數「8(暫停)7,6,答案是 6」；而計算 8－6＝？時，

學童則數「6(暫停)7,8,答案是 2」。Woods et al.(1975)發現，選擇模式最適合 解釋學童計算簡單減法的心理歷程 (張麗芬，1990)。

表 2-2-1 減法的五個數數模式

模式 說明 舉例

模式1 將底數設定在 0，順數到 m，再倒數 n 次，最後數到的數字，即二數的差，A

「1,2,…3,4,5,6,7,…6,5,答案 是5。」B

模式2 將底數設定在 m，再倒數 n 次，最後 數到的數字即二數的差

「7,…6,5,答案是 5。」

模式3 將底數設定在 n，順數 m－n 次，直到 m 出現，所順數的次數即二數的差

「2,…3,4,5,6,7 答案是 5。」

模式4 將底數設定在 0，順數到 n，再順數到 m，則順數到 n 次以後增加的數數次數 即二數的差

「1,2,…3,4,5,6,7 答案是 5。」

模式5 視所給的問題，選擇用模式 2 或模式 3，選擇標準是那一個模式的計算步驟 較少

「7,…6,5,答案是 5。」用模 式2，只需 2 個步驟

A：問題型式為 m－n＝？(0<m≦9，0<n≦9) B：以 7－2＝？為例

資料來源：整理自 Woods 等(1975)(引自張麗芬，1990)

Carpenter(1982)提出減法策略如表 2-2-2，解法的分類是基於問題為 a

－b＝？或 b＋？＝a。

表 2-2-2 減法策略

型態 描述

具體物策略

分開法(Separating From) 用物品或手指造一個含 a 個物體的集合，再從這 個集合中拿掉 b 個物體，剩下的物體個數就是答 案。

(續下頁)

分至法(Separating To) 用具體物造一個含 a 個元素的集合，再從這個集 合中拿掉一些元素直到剩下的元素個數為 b 個，

那麼拿掉的元素個數就是答案。

累加法 用具體物造一個含 b 個元素的集合，再加一些元

素到這個集合，直到這個集合共有a 個元素，數 一數加入的元素個數就是答案。

配對法 造一個含 a 個元素的集合和一個含 b 個元素的集

合，其元素作一對ㄧ的配對，則沒有被配對到的 元素個數就是答案。

數數策略 往後數了策略(Counting Down From)

從 a 開始依序往後數，直到數了 b 個數為止

往後數到策略(Counting Down To)

從 a 開始依序往後數，直到數到 b 為止

往前數策略 從 b 開始依序往前數，直到數到 a 為止

選擇策略 從往後數了策略和往前數策略中選一個較有效的

策略

資料來源：加、減法文字題的分類、解題策略及影響因素，呂玉琴譯，1988，

國民教育，28(8,9)，21

綜合上述文獻可知，減法計算能力發展可歸納為由具體物策略進步到 數數策略，而後達到記憶數字事實層次，能直接由記憶中提取九九加法事 實，或相對應的減法事實，或者依據已知的加減法事實作推論而得到答案；

再者熟練基本加減法，可養成學童簡單心算的能力和習慣，做為日後計算 的基礎(教育部，2003)，進一步達到流暢加減法運算的階段。