模糊集群分析理論及概念詮釋結構模式分析理論

一、模糊集群分析理論

模糊集群分析又稱模糊分割，是植基於模糊理論所進行的集群分析。

在模糊集群分析中，隸屬度（membership）是決定元素之間距離的重要因 素(劉湘川、許天維、林原宏，1998)，透過模糊集群(fuzzy clustering)的演算，

可得到適當的受試者分群和各群中心向量，呈現各群意義並供補救教學實 施之用。因此，以下分別描述模糊理論與模糊集群分析。

(一)模糊理論

對於元素和集合的關係，古典集合(classical set)將元素和集合的關係以 二元邏輯來描述，元素和集合的關係以特徵函數(characteristic function)定義 如下：

Zadeh(1965)提出模糊理論，擴充古典集合論中元素和集合的關係，將 元素和集合的關係用隸屬度函數(membership function)來表示，其隸屬度介 於

 

^0,1 之間。模糊集合基本上可分為離散型(discrete)及連續型(continuous)，

其表示法為：

A的 α 截集的隸屬度函數^A(x)為：

集群分析(cluster analysis)之目的，是根據一組樣本的觀察變數進行適當 的分類。在教學過程中，依據學童學習結果予以分群，以利進行補救教學(林 原宏，2005a)。結合模糊理論的集群分析，主要有兩種最基本的不同方法，

第一種是fuzzy c-means，例如目標函數法(objective function)；另一種是 fuzzy equivalence relation-based hierarchical clustering，例如 λ 截矩陣法、最大樹 法。本研究使用目標函數法是最為簡明易懂且容易設計應用程式的分群 法，此方法是非線性最佳化(non-linear optimality)的數學規劃方法，

Dunn(1974)首先以目標函數的極小值方法，引入模糊集群的概念，

Bezdek(1973)導出一般化公式並求得一般解(劉湘川等，1998)。

1.以下述敘 Bezdek(1981)提出 fuzzy c-means 的演算方式(引自林原宏，

(4)定義目標函數(objective function)，其中 q 為大於或等於 1 的實數，

q 值愈大，則分割愈模糊，以表示資料的模糊度。

(6)利用上述兩個式子進行迭代運算，設 ε 為收斂標準，當第 t 次和第 (Bezdek, 1981)：

(1)分割係數(partition coefficient)

公式為 ²

(2)分割亂度(partition entropy)

公式為 ²

Lin, Hung and Huang(2006)提出概念詮釋結構模式(concept advanced

interpretive structural modeling, CAISM)，其分析目的係就受試者的測驗資 料，提供個人化的概念階層結構訊息。此模式根據概念向量比對(concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)等計算方法，並利用詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)的階層結構運算法則(Warfield, 1976, 1982)，可以數值和圖形結構呈現個人化概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)。以下先就 ISM 的理論進行說明，再介紹概念詮釋結構 模式分析之演算。

(一)ISM 的理論

在心理計量領域的研究方面，如何適切地表達個人的概念結構特性，

一直是方法論探討的主題。除了常見古典測驗理論(classical test theory)與試 題反應理論外，例如徑路搜尋、試題關連結構和學童問題表(student-problem chart，S-P)等分析方法常為研究者所應用。具體而言，這些分析方法的目的 是在元素關係的資料中，找尋出能有意義地表示受試者的概念特徵(林原 宏，2005b)。

ISM 分析法是由 Warfield(1976)提出的一種社會系統工學(social system engineering)之彙整訊息的建模方法，係植基於離散數學和圖形理論。假設 欲分析的系統內有K個元素，且已知其中任意兩元素A_i與A_j的二元關係，

以A

 

aij _KK表示。ISM 可系統化地表示整體元素之間的階層結構關係，分 析方法的要點如下(許天維、林原宏，1994)：

1.相鄰矩陣(adjacent matrix)的運算 兩個相鄰矩陣A運算的結果定義為：

2.傳遞閉包(transitive closure)

定義Aˆ  AA² A³A^P的矩陣，Aˆ 稱為傳遞閉包。

3.可到達矩陣(reachability matrix)

根據圖形理論，先定義AˆI  AA²A³A^PI (AI)^P，其中I表

Ak R(A^k) M(A^k) R(A^k)M(A^k)

ISM 分析法中的原始資料之元素關係只限於二元關係，這對於 ISM 的 應用性有其限制。尤其是在心理計量所獲得的概念、解題能力之關係，非 僅 用 二 元 關 係 即 能 描 述 。 因 此 ，Lin et al.(2006)提出概念詮釋結構模式 (concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)，根據模糊理論 α 截矩陣及概念向量比對(concept vector matching)等計算方法，重新定義對於 概念間關係與階層結構的分析方法。

(3)試題屬性矩陣(item-attribute matrix)Y

M

(8) 依 Luce(1959) 的 選 擇 規 則 (choice rule) 理 論 和 相 對 適 合 度 準 則 (relative goodness rule，RGR)，以及察覺的模糊邏輯模式之觀點，

對受試者n而言，其概念a為概念a'的先備概念 (即合概念a指向 概念a'的機率)之從屬關係機率(subordination relation probability) 如下 (Massaro & Friedman, 1990)：

 relation matrix)的相鄰矩陣(adjacent matrix)。亦即：

A

11001 11010

圖 2-5-3 學童 4 與學童 5 概念詮釋結構圖

由上圖知，兩位學童的作答分數一樣，但因答對題項的不同，而有不 一樣的概念詮釋結構圖，根據此圖分析，學童4 對概念 3 的精熟度為 0.6，

概念1 與概念 2 的精熟度分別為 0.5 並互為等價關係，概念 3 是概念 1 與概 念2 的下階概念；學童 5 對概念 1 與概念 3 的精熟度為 1 並互為等價關係，

概念2 精熟度為 0，因此概念 2 的困難度高於概念 1 與概念 3，且概念 1 與 概念 3 為概念 2 的先備知識概念。教師可依此個人化的概念結構圖了解學 童的概念層級，以進行補救教學之效。

本研究在進行三年級學童減法概念前後測結果分析時，採用目標函數 法的軟分割，將每位學童的概念精熟度做適切的分群，觀察出不同能力值 之個別受試者的 CAISM 圖，以進行個別晤談，找出學童釐清減法迷思概念 的學習成效。

在文檔中 減法迷思概念之實驗研究－以國小三年級為例 (頁 30-44)