減法計算錯誤類型及原因

學童在學習計算的過程中難免會出現計算錯誤的情況，早期的心理學 家認為錯誤可以分為兩種：一種是由於不小心做錯而產生的，稱為疏忽 (slips)，而另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性錯 誤(systematic errors)(李芳樂，1993)。疏忽通常發生在分心、匆忙之際；而 系統性錯誤是一種有組織、一致性過程所產生的錯誤(Ginsburg, 1987)。當學 童在學習數學計算時，企圖利用自己的觀念去修正所學的知識，因此造成 錯誤觀念，並在往後的作業中一再出現相同的錯誤類型(梅文慧，2003)，以 認知心理學的術語來說，可能是來自學童學習過程中的迷思概念

(misconcept)(秦麗花，1995)，因此透過診斷學童的系統性錯誤，並提供適 切的補救教學，研究者對學童學習減法計算時可能出現的迷思概念加以整 理，做為教學概念澄清之用，以減少學童迷思概念的發生。

一、減法計算錯誤類型及原因

(一)楊瑞智(1990)提出 Brown and Burton(1978)的研究裡有下列最一般的減 法錯誤演算法：

1.由大減小 2.從零借 3.跨越零借

4.跟零借，但不改零 5.0－N＝N

6.0－N＝0 7.N－0＝0 8.零沒有消耗

9.以零代替借位 10.遇到零從底部借

(二)在梅文慧(2003)的研究中發現減法計算錯誤類型包括：

1.用錯誤的運算符號計算

(1)在同一題中同時以兩種不同的運算方式計算 (2)以加法的運算代替減法

2.使用錯誤的數字相減

(1)用同位數中的較大數減去較小數

(2) 0－N＝N、0－N＝0、N－0＝0、N－N＝N 3.退(借)位時的錯誤

(1)個位向十位借位，十位未退位 (2)借 1 當 10，忽略原有個位數數值 (3)借位後，十位數未消耗

(4)不須借位而借位、不須退位而退位

4.位值觀念錯誤：二位數減一位數時，被減數的個位和十位數分別減去 減數

(三) Resnick(1987)所提出的減法計算錯誤類型如下：(引自陳威辰，2006) 1.大數減小數

2. 0－N 時，借位之後，左方數字沒有退位 3. 0－N＝N

4. 0－N＝0 5. N－0＝0

6. 0－N 時向左方的數字借 1，但 0－N＝N 或 0 7.向 0 借 1，但 0 仍當作 0，0－N＝N 或 0－N＝0 8.向 0 借 1，忘了 0 值變成 9，仍以 10 來減

9.應當向左邊借 1，沒有借而直接寫 0 10.向被減數借 1，且 0－N＝N 或 0

(四) Vanlehn(1990)指出減法運算的系統性錯誤，將出現頻率最高的前 12 種 整理如下：

1.大數減小數

2.借位碰到 0 時，就跳過該位向次一位借位，向次一位借位後，未將 0 值變成 9，仍以 10 來減

3.借位碰到 0 時，就跳過該位向次一位借位

4.借位碰到 0 時，就跳過該位向次一位借位，借位後將 0 值變成 9，其 左邊一位的數目卻忘了退位

5.向十位數借 1 之後，十位數未退位

6.被減數為 0，借位又碰到 0 時，0－N＝N，但第二次的借位不是 0 時，

便能正確借位

7.向最左邊的位數借位

8. 0－N 時，借位之後，左方數字沒有退位 9.借位碰到 0 時，自動將 0 改為 1 而沒有借位 10. 0－N＝N

11.需多次借位時，只有第一次借位來減，其他都以大數減小數來計算 12. 0－N＝0

二、減法錯誤類型歸納

本研究者根據國內外學者所分析的減法錯誤類型研究(朱瑞珠，1998；

林逸文，2002；秦麗花，1995；梅文慧，2003；黃偉鵑，1994；楊瑞智，

1990； Cox, 1975； Chang, 1992； Resnick, 1987； Vanlehn, 1990)歸納整 理如下：

(一)借(退)位的錯誤

1.不該借位卻借位：以二位數減二位數的例子來看 48－21=17，個位夠 減8－1＝7，十位數 4 被借 1，出現 3－2＝1 的十位數答案，不須借 位卻借位。

2.借位後數字未消耗：例如 64－28＝46，個位向十位借 1，14－8＝6，

運算正確，但是十位被借1 之後，卻沒有退位，直接相減 6－2＝4。

3.借 1 當 10，減完減數位值後，忘了加回被減數的位值：例如 83－16

＝64，個位向十位借 1，因 10－6＝4，忘了加回被減數 3，產生錯誤 的答案。

4.向最左邊的位數借位、跨越借位：例如個位不夠減時，直接向最左邊 的位數借位或越過中間的位值，產生借位順序錯誤。

(二)借位遇到 0 的錯誤

學童遇到借位條件的位數剛好是0 的時候，易有迷思概念的發生(蔡宜 馨、易正明，2010)，包含了跨零借位、零沒有消耗、零的左方忘記退位等，

表示學童對0 的位值觀念不夠清楚。

(三)用錯誤的運算符號計算

因為加法單元的學習在先，減法單元學習在後，因此學童在處理減法 計算時，以加法運算代替減法，或在同一個題目中，以兩種不同的運算方 式計算。

(四)位值觀念錯誤

當兩數的位數不同，例如被減數為三位數，減數為一位數，647－2＝

425，學童將被減數多出來的十位與百位分別減去減數的個位數字，而得到 425 的錯誤答案。

(五)用錯誤的數字相減

1.用同位數中的較大數減去較小數：例如 326－187＝261，此迷思概念

普遍出現在各種題型中，學童均有此錯誤的觀念產生(蔡宜馨、易正 明，2010)，亦是減法計算錯誤類型出現頻率最高的，可能因為學童 缺乏借位的概念而產生的錯誤。

2. 0－N＝N、0－N＝0、N－0＝0：0 的概念對學童不夠具體，導致學 童易在 0 的位值上產生錯誤計算。

三、小結

研究者參閱上述文獻及張瑞欣(2006)的研究，據以四種減法迷思概念，

作為評量學童減法概念的錯誤依據，分述如下：

(一)較大的減較小的

大數減小數的錯誤觀念(Cox, 1975; Resnick, 1987; Vanlehn, 1990)，當 需要從左邊借位時，學童交換上下位數，要被借位的位數保持不變。例：

306－187＝281。

(二)在零的地方停止借位

在個位要從零借位，此部分減法運算正確，但是，在十位的零保持不 變，Vanlehn(1990)借位碰到 0 時，自動將 0 改為 1 而沒有借位；Resnick(1987) 向0 借 1，忘了 0 值變成 9，仍以 10 來減，然而在百位的減法運算，被十 位借位，可以正確的減一。例：306－187＝129。

(三)跨零借位

Vanlehn(1990)借位碰到 0 時，就跳過該位向次一位借位，向次一位借 位後，未將 0 值變成 9，仍以 10 來減；梅文慧(2003)提出跨越零借位，個 位從百位去借位，十位的零保持不變。例：306－187＝29

(四)借位沒有減一

梅文慧(2003)提到借位後數字未消耗，個位借位正確運算，但是被借位 的十位、百位沒有減一。例：306－187＝229。

因此本研究者綜合相關文獻資料以此四種錯誤觀念作為測驗工具之分

析，分別為較大的減較小的、在零的地方停止借位、跨零借位、借位沒有 減一，每個題目被設計成能引出最少 2 個、最多 4 個的迷思概念。