第五章 結論與建議
第二節 建議
一、對教學上的建議
根據研究結果與討論，提出日後減法教學上的建議，提供教師在實務 經驗上的參考與應用。
(一)錢幣教學活動對減法運算概念的提升，有顯著的效果，縱使學童已 有認識錢幣、數錢幣等的舊經驗，但在面臨三位數以上的減法問題 時，利用紙鈔與錢幣的位值單位轉換，可以改善學童對抽象數值的 減法概念，更利於學習。
(二)學童在減法計算的直式紀錄是教師觀察了解學童學習減法歷程的 重要來源，本研究在實驗組學童的減法測驗試題中發現，部分學童 未將退位後的數值記錄在被減數的位值上，如此導致了借位後的計 算錯誤，須給予提醒與加強確實做下記號。
二、對未來研究上的建議
(一)被減數與減數的組合條件情形廣泛，未來研究者可針對減法組合條 件概念再細分出更多子概念，以做更細項的認知診斷功能。
(二)本研究旨在釐清減法迷思概念，以達到 100％的正確計算結果，但 是對於速度的要求上可再經由訪談結果，了解學童的計算歷程如何 達到正確又快速的運算。
參考文獻
一、中文
朱瑞珠(1998)。國小二年級學童在數學減法上的認知網路之研究。臺北市立師範 學院國民教育研究所碩士論文。
呂玉琴譯(1990)。加、減法文字題的分類、解題策略及影響因素。國民教育，28
（8,9），17-29。
李芳樂(1993)。數學錯誤成因的探討。香港中文大學初等教育學報，4(1)，77-82。
李維蔓、詹岱倫(2010)。SPSS 統計分析與專題應用。臺北市：學貫行銷。
林清山(1992)。心理與教育統計學。臺北市：東華。
林逸文(2002)。原住民數學低成就學童數學問題解題分析之研究。國立彰化師範 大學特殊教育研究所碩士論文。
林生傳(2003)。教育研究法：全方位的統計與分析(第 14 章，頁 315-352)。臺北市：
心理。
林原宏(2003)。Fcut 軟體【軟體和說明】。臺中市：國立臺中教育大學。
林原宏(2005a)。模糊集群。教育研究月刊，138，142-143。
林原宏(2005b)。模糊取向的詮釋結構模式之概念結構分析與應用。國立政治大學 教育與心理研究，28，161-183。
秦麗花(1995)。國小數學學障學童數學解題錯誤類型分析。特殊教育季刊，55，
33-38。
張麗芬(1990)。學童簡單加減法計算能力的發展。國教輔導，29(5)，5-11。
張瑞欣(2006)。以貝氏網路為基礎之線上適性測驗系統演算法。亞洲大學資訊工 程學系碩士班碩士論文。
教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要。臺北：教育部。
梅文慧(2003)。國小三年級數學學習困難學童加減法算式填充題錯誤類型分析之 研究。國立彰化師範大學特殊教育學系在職進修專班碩士論文。
許天維、林原宏(1994)。詮釋結構模式(Interpretive Structural Modeling)的理論與應 用簡介。國教輔導，34(1)，31-35。
許靜雯(2007)。數學低成就學童加減法計算能力診斷與補救教學方案實施成效分 析。國立高雄師範大學特殊教育學系碩士論文。
郭生玉(1991)。教育研究法。臺北縣：精華。
陳威辰(2006)。數學加減法錯誤診斷系統之改善研究。國立清華大學資訊系統與 應用研究所碩士論文。
黃偉鵑(1994)。小學童數學運算錯誤類型之研究。國立政治大學教育學系碩士論 文。
黃光雄、簡茂發(1995)。教育研究法。臺北市：師大書苑。
黃秀玉(2008)。國小低年級學童在整數加減法概念之縱貫研究－模糊集群分析與 次序理論的整合應用。國立臺中教育大學數學教育學系碩士論文。
楊瑞智(1990)。四則運算的錯誤類型研究及教學上的應用。國教月刊，39（9,10），
18-25。
葉重新(2006)。教育研究法(第 11 章，頁 238-278)。臺北市：心理。
劉秋木(1996)。國小數學科教學研究。臺北：五南。
劉湘川、許天維、林原宏(1998)。知識空間的模糊理論分析。測驗統計年刊，6，
113-162。
蔡宜馨、易正明(2010，11)。評析國小三年級學童減法運算的迷思概念。2010 年 臺灣教育學術研討會發表之論文。國立臺中教育大學。
蔣治邦、鍾思嘉(1991)。低年級學童加減概念的發展。國立政治大學教育心理與 研究，14，35-68。
二、日文
佐籐隆博(1987）。ISM 構造學習法。東京：明治圖書出版株式會社。
三、英文
Ashlock, R. B.(1990) . Error patterns in computation:A semi-programmed approach (5th ed.). Columbus, Ohio: Merrill.
Bezdek, J. C. (1973). Fuzzy mathematics in pattern classification. Unpublished doctoral dissertation. Ithaca, New York : Cornell University.
Bezdek, J. C. (1981). Pattern recognition with fuzzy objective function algorithms.
New York: Plenum.
Brown, J. S., & Burton, R. R. (1978). Diagnostic models for procedural bugs in basic mathematical skills. Cognitive Science, 2, 153-192.
Cebulski, L. A. (1984). Children’s errors in subtraction: An investigation into casuses and remediatioon. (ERIC Document Reproduction Servies No. ED 243684)
Chang, R. (1992). Analyzing Children’s Systematic Errors in Subtraction Algorithms.
國立花蓮師範學院初等教育學報，2，177-196。
Cox, L.S. (1975). Systematic errors in the four vertical algorithms in normal and handicapped populations. Journal for Research in Mathematics Education, 6, 202-220.
Dunn, J. C. (1974). A fuzzy relative of the ISODATA process and its use in detecting compact well-separated clusters. Journal of Cybern, 3(3), 32-57.
Ginsburg, H. P. (1987). Assessing the arithmetic abilities and instructional needs of student. Austin, TX: PRO-ED.
Lin, Y. H., & Yih, J. M. (2008). Fuzzy logic approach on cognition diagnosis with application on number concept for pupils. Proceedings of the Seventh
International Conference on Machine Learning and Cybernetics.
Lin, Y. H., Hung, W. L., & Huang, K. J.(2006).CAISM software【manual and software for CAISM】.Taiwan, Taichung City: National Taichung University.
Liu, H. C., Jeng, B. C., Yih, J. M., & Yu, Y. K. (2009). Fuzzy C-Means Algorithm Based on Standard Mahalanobis Distances. Proceedings of the 2009 International Symposium on Information Processing (ISIP’09).
Liu, H. C., Yu, Y. K., Yih, J. M, & Chen, C. C. (2011). Identifying the Mastery Concepts in Linear Algebra by Using FCM-CM Algorithm. Mechanics and Materials, 44-47, 3897-3901.
Luce, R. D. (1959). Individual choice behavior. New York: Wiley.
Massaro, D. W., & Friedman, D. (1990). Models of integration given multiple sources of information. Psychological Review, 97, 225-252.
Resnick, L. B. (1987). The development of mathematical intuition. In M. Perlmutter (Ed.), Minnesota Symposium on Child Psychology (Vol. 19, pp. 159-194).
Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
VanLehn, K. (1990). Mind bug: The origins of procedural misconceptions. Cambridge, MA: MIT press.
Warfield, J. N. (1976). Societal Systems Planning, Policy and Complexity. New York:
Wiley.
Warfield, J. N. (1982). Interpretive structural modeling (ISM). In S. A. Olsen(Eds.), Group Planning & Problem Solving Methods in Engineering(pp.155-201). New
York:Wiley
Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, 8, 338-353.
附錄
2.2000 以內的減法(被減數<2000) 3.四位數的減法直式問題
<10000，含多重借位）。
10/11
<10000，含多重借位）。
教學活動
3.需提醒學童在借位的數字上方作上記錄，並注意減法家族順序借位的規則，遇到數值 不夠需向隔壁的哥哥求救借位，以避免大數減小數的錯誤概念。
（三）應用題 3 三位數減法退位：
1.大龍採 311 顆－被減數 小玲採183 顆－減數 大龍比小玲多幾顆－差
2.教師用紙鈔、錢幣磁鐵將 311 與 183 黏貼在黑板上，由最右邊開始做運算，1 元減 3 元 不夠減，向隔壁的 10 元借一個 10－>11 元減 3 元；0 元減 80 元不夠減，向隔壁的 300 元借一個 100－>100 元減 80 元；最後 200 元減 100 元。
3.利用定位板將直式列出，由最右邊個位開始算起。個位小弟不夠減，須向十位二哥借 一個10，10＋1－3＝8；十位二哥變成 0，從百位大哥借一個 100，化成十個 10，10＋
0－8＝2；再算百位大哥 2－1＝1。
4.借位方向必須是左方一位，不能跨數借位。
（四）應用題 4 三位數連續退位：
1.此題是三位數減二位數，學童需有位值概念，能在定位板上寫出正確數值。
2.上個月 502 人
這個月比上個月少 67 人 這個月?人
3.教師用紙鈔、錢幣磁鐵將 502 與 67 黏貼在黑板上，由最右邊開始做運算，2 元減 7 元 不夠減，向隔壁借，此時需提醒學童 0 無法借的時候再向隔壁的 500 元借一個 100，0 的位值貼上 100 元，再從 100 元裡拿一個 10 元給位值 2－>12 元減 7 元；90 元減 60 元；最後剩下 400 元。
4.個位小弟不夠減時，須向左方的二哥 0 借位，當二哥 0 也不夠借位時，須向左方大哥百 位5 借位，拿一個 100，換成十個 10，從十位拿一個 10，換成十個 1，10＋2－7＝5；
十位的十個 10 被拿走一個 10，剩下九個 10，9－6＝3 百位剩下 4，直接寫在定位板上。
5.此題被減數十位為 0，在引導上要留意 0 的計算，除了位值正確之外，還有借位的順序 與紀錄。
参、綜合活動
（一）教師總結今天所上的內容。
（二）課本 38 頁與 39 頁習題練習。
---第一節
結束---第二堂課
壹、準備活動
（一）教師準備：情境圖、定位板、白板筆、紙鈔、錢幣磁鐵卡。
（二）學童準備：定位板、白板筆。
貳、發展活動：四位數的減法 (一)應用題 1 四位數不退位減法 1.上周賣了 2890 顆雞蛋
這周賣了 1750 顆雞蛋 這周比上周少賣了?顆雞蛋
2.教師用紙鈔、錢幣磁鐵將 2890 與 1750 黏貼在黑板上，由最右邊開始做運算，此題各位 值無需借位，0 元減 0 元；90 元減 50 元；800 元減 700 元；2000 元減 1000 元。
3.此題運用口訣減法家族四兄弟，由右至左，小弟、三哥、二哥、大哥順序進行運算。
(二)應用題 2 四位數退位減法 1.欣欣有 1633 元
買一瓶蜂蜜後剩下 171 元 蜂蜜多少元?
2.教師用紙鈔、錢幣磁鐵將 1633 與 171 黏貼在黑板上，由最右邊開始做運算，3 元減 1 元；30 元減 70 元不夠減，向隔壁 600 元借一個 100－>130 元減 70 元；500 元減 100 元；最後 1000 元不變
3.減法四兄弟減三兄弟的運算，教師需注意學童定位板上位值的記錄正確，小弟 3－1＝2；
三哥不夠減 7，向二哥 6 借一個 100 化成十個 10－>10＋3－7＝6；二哥 5－1＝4；大哥 1 不變。
(三)應用題 3 四位數退位減法 1.今年人數 3527 人
去年人數 3619 人 哪一年較多人?多幾人?
2.四家族兄弟比大小，由大哥開始比，再依此類推，二哥 6 比 5 大，因此 3619>3527。
3.教師用紙鈔、錢幣磁鐵將 3619 與 3527 黏貼在黑板上，由最右邊開始做運算，9 元減 7 元；10 元減 20 元不夠減，向隔壁 600 元借一個 100－>110 元減 20 元；500 元減 500 元(0 不記錄)；最後 3000 元減 3000 元(0 不記錄)。
4.學童定位板上記錄位值，小弟 9－7＝2；三哥不夠減向二哥借一個 100 化成十個 10，10
＋1－2＝9；二哥 5－5＝0；大哥 3－3＝0。
5.注意答案百位 0 與千位 0 不記錄。
(四)應用題 4 四位數退位減法 1.爸爸有 5000 元
買了一些農產品剩下 4200 元 農產品多少元?
2.教師用紙鈔、錢幣磁鐵將 5000 與 4200 黏貼在黑板上，由最右邊開始做運算，兩次 0 元 減0 元；0 元減 200 元不夠減，向隔壁 5000 元借一個 1000－>1000 元減 200 元；最後 4000 元減 4000 元(0 不記錄)。
3.學童定位板上記錄位值，小弟 0－0＝0；三哥 0－0＝0；二哥不夠減向大哥借一個 1000 化成十個 100，10＋0－2＝8；大哥 4－4＝0(0 不記錄)。
參、綜合活動：
（一）課本 40 頁與 41 頁習題練習。
---第二節
結束---第三堂課
結束---第四堂課
1.課本練習四總複習。
2.個別觀念指導
---第四節
結束---附錄二 減法概念運算測驗
減法概念運算試卷
臺中市 國小 年 班 座號： 性別： 姓名：
選擇題：
1. ( ) 16－9＝ ○1 17 ○2 7 ○3 13 ○4 3 2. ( ) 14－5＝ ○1 9 ○2 1 ○3 19 ○4 11 3. ( ) 50－27＝ ○1 37 ○2 23 ○3 33 4. ( ) 45－29＝ ○1 16 ○2 24 ○3 26 5. ( ) 684－92＝ ○1 612 ○2 692 ○3 592 6. ( ) 843－235＝ ○1 608 ○2 618 ○3 612 7. ( ) 413－157＝ ○1 366 ○2 256 ○3 344 8. ( ) 350－178＝ ○1 228 ○2 282 ○3 172
9. ( ) 206－39＝ ○1 233 ○2 177 ○3 77 ○4 277 ○5 167 10. ( ) 500－136＝ ○1 436 ○2 274 ○3 364 ○4 374 ○5 474 11. ( ) 1028－309＝ ○1 1321 ○2 719 ○3 1729
12. ( ) 1200－965＝ ○1 1765 ○2 245 ○3 145 ○4 235 ○5 1345 13. ( ) 2546－568＝ ○1 2022 ○2 1978 ○3 2088
小朋友你好：請詳細閱讀試卷填答說明之後再作答喔!
一、依照自己的運算方式，空白處可做計算記錄。
二、請選出每一題正確答案的選項，再將選項填入括號中。
14. ( ) 4007－1139＝ ○1 3978 ○2 2978 ○3 3132 ○4 2868 ○5 978 15. ( ) 9305－5847＝ ○1 4542 ○2 3468 ○3 3368 ○4 4568 ○5 3458 16. ( ) 10000－3579＝ ○1 13579 ○2 7531 ○3 6421 ○4 17531 17. ( ) 10000－7368＝ ○1 17368 ○2 3742 ○3 2632 ○4 13742
附錄三 減法前測試題分析
難度 鑑別度
題號
P (PH+PL)/2 PH-PL rxy t
1 .96 .93 .09 .17* -1.76
2 .83 .82 .36 .47*** -4.93***
3 .91 .88 .24 .52*** -3.77***
4 .87 .87 .22 .41*** -3.30**
5 .81 .78 .40 .58*** -5.20***
6 .80 .77 .47 .58*** -6.21***
7 .73 .71 .54 .62*** -6.89***
8 .61 .54 .85 .72*** -15.33***
9 .62 .60 .76 .67*** -11.49***
10 .82 .78 .44 .60*** -5.93***
11 .58 .54 .85 .70*** -15.33***
12 .79 .72 .51 .64*** -6.58***
13 .57 .57 .87 .73*** -16.91***
14 .49 .52 .91 .69*** -21.34***
15 .62 .53 .93 .78*** -24.82***
16 .56 .54 .85 .69*** -15.33***
*p<.05 **p<.01 ***p<.001
附錄四 減法後測試題分析
難度 鑑別度
題號
P (PH+PL)/2 PH-PL rxy t 1 .96 .96 .09 .37*** -2.33*
2 .93 .91 .19 .32*** -3.47**
3 .94 .93 .15 .58*** -3.04**
4 .94 .92 .17 .56*** -3.26**
5 .92 .90 .20 .64*** -3.68**
6 .91 .89 .22 .74*** -3.90***
7 .92 .90 .20 .69*** -3.68**
8 .87 .84 .33 .64*** -5.15***
9 .92 .90 .20 .74*** -3.68**
10 .94 .93 .15 .61*** -3.04**
11 .90 .87 .26 .69*** -4.31***
12 .92 .90 .20 .60*** -3.68**
13 .88 .85 .31 .73*** -4.94***
14 .89 .85 .30 .62*** -4.72***
15 .92 .90 .20 .70*** -3.68**
16 .91 .88 .24 .68*** -4.10***
*p<.05 **p<.01 ***p<.001
附錄五 晤談原稿 晤談 st30 原案
師：(第五題)為什麼會選 1？
生：我把兩個反過來！
師：哪兩個反過來？
生：8 跟 9！
師：所以 4－2 是對的答案，你把十位 8 跟 9 反過來，所以 9－8＝1。
生：恩…對。
師：你知道是上面的十位數減下面的十位數嗎?
生：恩…(疑惑)大的減小的。
師：那你現在已經學會的話，你會怎麼算？
生：個位的4 減掉下面的 2。
生：8 不夠跟百位借位，變成 18－9＝9，百位變成 5 寫下來。
師：好！
師：你剛剛跟老師說，十位8－9 不夠要跟誰借？
生：百位。
師：百位6 變成 5，這個 5 是還是一個 5、50 還是 500？
生：500。
師：那百位借給十位一個10 嗎?
生：(搖頭)100。
師：100 是幾個 10?
生：十個10。
師：所以…..
生：十個10 加 80 再減 90。
師：很好！
師：(第六題)你寫 612 是怎麼想的?
生：2 是 5－3，1 是 4－3，8－2 是 6。
師：那你知道錯在哪裡嗎？
生：十位要借位！
師：恩…不可以大的減小的，不夠要…….
生：借位。
師：你現在會算了，你這題怎麼算？
生：答案是608。
生：答案是608。