第四章 研究結果與討論
第一節 小婷老師實施數學探究教學之歷程與任務
本節主要參照徐偉民(2019)IBMI 的架構圖，從教師以七題挑戰性數學問題 進行數學探究教學的過程，說明教師的探究本位數學教學之歷程及各歷程階段所 涵括之任務，共分兩部分，第一部份為小婷老師實施數學探究之歷程，第二部份 為小婷老師實施數學探究之任務。
一、小婷老師實施數學探究之歷程
小婷老師以探究的方式實施了七題挑戰性數學問題，在所收集的資料中，可 以發現小婷老師實施數學探究教學之歷程的研究結果大致與徐偉民(2019)所提 出之IBMI 相符，從一具有挑戰性之數學問題開始，歷經想像、聚焦階段再到一 般化階段，最後理解其中數學概念。以下說明各個階段中小婷老師的實施歷程與 焦點。
(一) 想像階段
在「圓周長」的探究單元中，挑戰性問題為：
「老師畫了一個直徑為 20cm 的圓形，然後在直徑上隨意選一點，在這 點的兩邊各畫一個圓，得出以下的圖案。請問：最大圓的圓周長度，以 及其餘兩個圓圓周長度的和，相較之下哪一個較長？(圓周率為 3.14)」
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在「想像階段」中，小婷老師一開始先將題目敘述過一遍後，確認學生是否 了解題意，當遇到有些學生對於題意無法了解時，小婷老師會協助他們簡化問題，
並幫助他們從題目的字句中擷取關鍵字：
T：直徑為 20 公分，我就會在這邊寫 20，接下來就不用看這句，然後 在直徑上隨意選一點，隨意就是隨便，好我隨便選一點，它說什麼我做 什麼，在這點的兩邊各畫一個圓，我幫你畫好了，好這是一個直徑 20 公分得圓，隨便點一點，然後在這個點的兩邊各畫一個圓，得出以下的
圖案就是這個圖案。到目前為止，對這個圖案有疑問的舉手。
(AOb11080601) 接著，小婷老師透過講述個人的推測想法使學生產生疑點，引發學生對問題 的探究與思考：
T：請問橘色這個跟綠色兩個，哪一個比較長？先想，先不要舉手，是 A 大圓比較長，還是 B 小圓比較長？因為它有兩個餒。C 一樣長，還是 D 不知道。大圓看起來比較大？兩個小圓，因為它有兩個啊？
(AOb11080601) 在「圓面積」的探究單元中，挑戰性問題為：
「小明打算在女朋友生日的時候買一個 8 吋的披薩一起回家慶生，但 是老闆做錯做成 4 吋的披薩，於是老闆為了補償小明，再多送他一個 4 吋的披薩。綜合上述，請問小明是「賺到」還是「吃虧」還是「沒賺到 也沒吃虧」呢？為什麼？(一吋= 2.5 公分) (圓周率為 3.14)」
在「想像階段」中，小婷老師首先會將題目敘述過一遍後，接著針對學生對 題意所提出的問題進行回應，並適時地給予學生提示來引發其對問題進行搜尋：
T：(老師敘述題目…)好，題目有問題的請舉手。
T：吋是一種長度單位，你記記看，長度單位你記過什麼？
S：里、……。
T：你要記住吋是另外一個長度的單位，我只是在跟你解釋，它多長它
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大概是 2.多公分，然後有問題請舉手。
S：所以那個 8 吋的意思是指公分嗎？
T：8 吋的吋是指它的直徑，我們在講幾吋的蛋糕、幾吋的披薩，那個 吋都是指直徑，那一個蛋糕的直徑，那一個披薩的直徑，所以它是一個 長度，好問題還有嗎？好開始。 (AOb11250702) 在「比、比值與成正比」的探究單元中，挑戰性問題為：
「聖誕節即將來臨，聖誕老公公打算將 6 公斤的糖果分給小紅、小藍、
小黃三個小朋友。已知小紅和小藍的糖果重量比是 2：3，小黃比小藍 少 1600 公克。請問小紅、小藍和小黃各有多少公克的糖果？」
在「想像階段」中，一開始小婷老師會確認學生對於題意都了解，之後請學 生先試著解題，再抓取適當時機給予其提示，學生便能根據老師所給的線索進行 腦力激盪：
T：接下來，我們比的這個單元算是結束，等下有兩題沒有在課本裡面 的，很有挑戰度喔！等下先看題目，看完以後看我這裡。請問一下，哪 裡看不懂？每個字都看得懂，合在一起看不懂。現在給你兩分鐘掙扎。
T：好，來貼上來，你認為你們是真的算得出來的還是亂湊答案的？你 真的知道自己在算什麼的舉手？
S：他們兩個加起來等於 5…。
T：誰加起來等於 5？
S：2 和 3 加起來是 5。
T：是。
S：所以 5÷6000=…
T：5÷6000？
S：等下，我忘記我是怎麼算的了？哦，6000÷5。這個答案都符合上面 的條件。
T：都符合上面的條件？
S：小紅和小藍，所以小藍會比較大。
T：首先，停看這裡，他說 6000÷5 因為小紅跟小藍的重量比是 2:3，所
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以他用紅跟藍，恩好…有問題。
T：前面來看一下，我沒有看到有一組對。第一個提示，請你嘗試用線 段圖去畫出小紅跟小藍的糖果重量，看看這樣你能不能解得出來？
(AOb12250901) 經由上述三個例子，研究者認為在「想像階段」中，老師最主要的目的有三 點：
1. 確 認 學 生 對 於 題 意 是 否 了 解 ， 例 如 ：AOb11080601 、 AOb11250702 、 AOb12250901。
2. 透過 老師 提出 的疑 點引 發 學生 對 於模糊 不清的 部分進 行思考，例如：
AOb11080601。
3. 在腦海中搜尋自己過往所習得的數學相關知識以聯結數學問題，例如：
AOb11250702、AOb12250901。
(二) 聚焦階段
在「圓周長」的探究單元中，挑戰性問題為：
「老師畫了一個直徑為 20cm 的圓形，然後在直徑上隨意選一點，在這 點的兩邊各畫一個圓，得出以下的圖案。請問：最大圓的圓周長度，以 及其餘兩個圓圓周長度的和，相較之下哪一個較長？(圓周率為 3.14)」
在「聚焦階段」中，小婷老師會讓學生行小組討論，並在小組間將自己解題 的推理過程與他人分享，最後也會要求各組輪流上台說明解題的方法：
T：時間到，抽到的那個組別，那組派的人就上來。3 號那組。
S1：我們不知道小的兩個加起來圓周是多少，也不知道大的圓周長是多 少，然後他們的直徑都是一樣的，所以都是×3.14，所以他們兩個答案 會是一樣的。
S2：總之就是直徑是 20 嘛，圓周長就是×3.14，然後這兩個小的這邊直 徑跟這邊直徑加起來是 20 公分，假如它這邊加起來是 20 公分的話，然 後再×3.14，就跟這個大圓一樣。
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T：所以你們結論是？
S2：一樣長。
T：好，如果你聽不懂沒關係先稍等，有問題的等下一起問。下一組，
先講結論再講為什麼。 (AOb11080601) 在小組發表的過程中，當學生提出的想法不符合一般常理時，小婷老師會針 對他們的想法進行提問，從中修正學生不合理之推測想法：
S：我覺得它們兩個周長是不一樣大的。
T：為什麼？圓周長為什麼不一樣大？理由是什麼？
S：把這個圓展開，只有到它的一半。
T：你怎麼知道？
S：用看的。
T：用看的，目測，是一種 fu 摟。
(經過一段時間後…)
S：老師我想到我要怎麼證明裡面了。
T：好你來。
S：因為他們兩個絕對會有地方重疊的，想辦法把它拆開後，重疊的地 方那個會比較小。
T：為什麼？
S：因為兩個圓這裡會有一個交會的地方，那假如把它延展開來，有一 部分會交織在這臨界的地方。
T：是，不好意思哦，我們現在講這個圓跟這個圓的圓周的和，是把它 加在一起，跟要算這個圓跟這個圓的面積中間重疊那不一樣喔，所以跟 面積無關。 (AOb11080601)
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在「圓面積」的探究單元中，挑戰性問題為：
「用 2 個 14 圓扇形合起來拼成正方形，哪個部分會重疊？這兩個扇 形
重疊部分的面積大約是多少？
」 在「聚焦階段」中，小婷老師會讓學生以小組為單位進行討論，並讓各組有 機會藉由上台發表來展現其解題想法，在分享完後，老師也會確認學生的理解程 度：
T：聽得懂嗎？第二組的策略用整個正方形扣掉 1/4 圓，剩下斜線的部 分(一塊綠色)，然後再把斜線部分×2，×2 就是有兩個的意思，我再把 這兩個扣掉以後就等於眼睛的部分，這組的策略算是很清楚的。再來第 三組。
S：我們就是先算出這個 1/4 圓扇形，然後呢我們再算出這個三角形，
然後這個扇形-這個三角形就是這塊(眼睛的一半)。
T：暫停，聽得懂嗎？
第三組 S：然後×2 就是這塊(眼睛)。 (AOb11210701) 在小組發表的過程中，小婷老師會要求學生專注並傾聽他人不一樣的 解題想法，鼓勵學生對於他人不合理之信念進行批判，並提出不同的意見：
S1：我們的策略是全部的正方形然後減掉扇形…
T：暫停，他講完策略，我會抽一個人告訴我合不合理。
S1：我們的策略是全部的正方形然後減掉扇形會等於旁邊兩個綠色的，
然後正方形再剪掉旁邊兩個綠色的就等於這個扇形，然後因為它有重 疊，所以扇形要×2。
T：來你同意扇形-1/4 圓扇形等於綠色這塊×2 嗎 S2？
S2：不同意。
(圖一)
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T：為什麼不同意？
S2：就是你已經算出整個正方形了，然後你扣掉一個扇形這邊都會被去 掉，但你又寫×2，怎麼說嘞…
T：所以它扣掉到底剩多少？
S2：剩一塊綠色的。
T：好來 S1 同意嗎？
S1：同意。 (AOb11200701) 在「比、比值與成正比」的探究單元中，挑戰性問題為：
「下課時間，圈圈和點點兩個好朋友在操場聊天散步，已知圈圈走 3 步 的時間，點點可以走 5 步；圈圈走 2 步的距離和點點走 3 步的距離一 樣遠。如果兩人同時同地同方向走，當點點走到 400 公尺時，圈圈和點 點隔多遠？」
在「聚焦階段」中，老師會將學生的解題想法向全班學生解釋，以達到全班 性的理解，並提供其他表徵方式來引導學生制定解題的方法：
T：…好我們來看一下，(解釋學生 A 的算法)…你聽聽看，假設兩個人 一起走了𝓍秒這麼久的時間，他先假設圈圈走了 3𝓍步，然後同時間點點 會走 5𝓍，聽得懂嗎？為什麼？他根據這句話(圈圈走 3 步的時間，點點 可以走 5 步)去寫出了，如果圈圈走了 3𝓍步，那點點會走多少？
S：5𝓍。
T：其實他不用做這個動作，為什麼？你學過了比，圈圈走 3𝓍步，比如 說圈圈走 6 步，來猜看看點點走幾步？
S：10 步。
T：10 步怎麼來的？因為他一個人走 3，另外一個人走 5，圈圈走 3 點 點走 5，那如果圈圈走 6 點點就是 10(3:5=6:10)，所以這個地方你可以 直接用比就可以了，這題它難在好像有比較多的比在，什麼叫 3:5？同 樣的時間他走了 3 步，點點可以走 5 步，所以如果你畫圖的話，(老師 畫圈圈和點點走的步數之線段圖在白板上)，多大步不知道，但我知道
T：10 步怎麼來的？因為他一個人走 3，另外一個人走 5，圈圈走 3 點 點走 5，那如果圈圈走 6 點點就是 10(3:5=6:10)，所以這個地方你可以 直接用比就可以了，這題它難在好像有比較多的比在，什麼叫 3:5？同 樣的時間他走了 3 步，點點可以走 5 步，所以如果你畫圖的話，(老師 畫圈圈和點點走的步數之線段圖在白板上)，多大步不知道，但我知道