一位國小教師實施數學探究教學之個案研究

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(1)國立屏東大學科普傳播學系數理教育碩士班碩士論文 Department of Science Communication National Pingtung University Master’s Thesis. 一位國小教師實施數學探究教學之個案研究 A Case Study of an Elementary School Teacher Implementing Mathematical Inquiry Teaching. 指導教授：徐偉民博士 Advisor: Dr. Wei-Min Hsu 研究生：黃暄閔撰 Student: Hsuan-Min Huang. 中. 華. 民國. 一. 百零. July, 2020. 九. 年七. 月.

(2) ii.

(3) 謝辭回憶六年前是個剛進入大學的新鮮人，接著來到系上的研究所就讀，然而時光飛逝，求學生涯轉眼結束，如今已到最後一刻，也是充滿感傷的時刻，即將離開回憶滿滿的屏東大學了… 在此，首先衷心感謝我的指導教授徐偉民教授，一路跟隨著您從大學到研究所，讓我看見您對於研究的那份熱情與專業，也從您身上學到許多珍貴的知識，謝謝您在各方面都給予我最大的協助，當我遇到論文撰寫上的瓶頸時，是您指引我繼續向前的，也提供許多的資料讓我進行研究，更特別的是，帶我們去日本發表研究，這難忘的記憶揮之不去呀！再來感謝我的兩位口試委員，謝謝郭文金老師指導我正確使用統計的方法及詳盡地解釋我所提出的各種問題；還有謝謝李韶瀛老師在論文上給予精闢的建議，使我的論文得以更加完整；也要感謝屏大附小的小婷老師讓我進入班級觀課，還有其他老師、學生們的協助，讓我順利完成研究。另外，特別感謝六年同窗好友郁晴在測驗試卷分析上的協助，也時常當我的心情垃圾桶，還要感謝同是教程生的姿瑄和佳怡，陪伴我度過寫論文的這段日子，有妳們真好，希望我們往後的教職之路都能夠一路順遂，一起加油！最後，要感謝的還是在背後默默支持我的家人們，沒有家人的鼓勵與支持，就沒有今天完成碩士學位的我，謝謝家人讓我知道我是個幸福的孩子，「我的爹娘啊～我要回家了啦～」。. i.

(4) 一位國小教師實施數學探究教學之個案研究. 摘要. 現今課綱強調素養，可見培養學生具備解決問題及批判思考的能力顯得更為重要，可想而知，教師的教學方式也必須有所調整，應朝向讓學生有主動探索及討論的機會，而探究教學剛好呼應了課綱所強調之目標，且目前探究教學也還未有一固定的教學模式，故研究者以一位數理背景的國小教師為研究對象，採用個案研究法深入研究，旨在探討一位國小教師實施數學探究教學的歷程、歷程中的任務、師生互動之情形以及數學探究教學對學生數學學習表現的影響。本研究以一位國小教師實施的七題挑戰性數學問題作為研究工具，透過錄影、訪談、問卷量表等各種方式來進行為期一學期蒐集資料。研究結果發現：一、教師探究的歷程從具有挑戰性的數學任務開始，接著歷經想像、聚焦階段，最後到達一般化階段，進而了解數學概念之意義。二、在每個階段中教師的任務，包含了提供線索與搭橋的鷹架，要求學生說明解題的歷程及探究的結果，最後總結並順序化學生的思考。三、在個案教師的探究課室中，「探索學生的思維」、「重新表達」及「建立聯繫」為出現次數最頻繁的持續性提問類型，而「詢問不一樣的答案」及「運用他人的推理」所能引發學生後續反應之百分比為最高。四、探究教學對學生在認知和情意層面都有一定程度正面的影響，尤其對於在結構較複雜的數學問題解題上以及對於探究價值的重要性方面。. 關鍵詞：國小教師、數學探究教學、數學學習表現. ii.

(5) A Case Study of an Elementary School Teacher Implementing Mathematical Inquiry Teaching Abstract Mathematical literacy is emphasized in Taiwan’s curriculum guideline, which shows that it is more important to cultivate students' ability to solve problems and think critically. Therefore, teachers' mathematics teaching must be adjusted, for making more opportunity for students to explore actively and discuss. On the different teaching approaches, the Inquiry-Based Mathematics Instruction (IBMI) could be considered as the medium for achieving the goals in the curriculum guideline, but there is no fixed IBMI model for teachers’ reference. Therefore, the researcher selected an elementary school teacher with mathematics education background as the subject and adopted case studies as method in order to understand how did the elementary teacher implements IBMI her mathematics class, which include the processes of IBMI implementation, the teachers’ tasks and the teacher-student interaction in the processes, and the influence of IBMI on students' mathematics learning performance. Seven challenging mathematical problems were implemented by the elementary teacher, and data was collected for one semester through various methods such as video recording, interviews, and questionnaire. The results showed as follow: First, the processes of IBMI began with a challenging mathematical task, then went through the stages of imagination, concentration, and generalization, for deeper understanding the meaning of mathematical concepts; Second, in each stage, the teacher's task included providing hints and clues, asking students to explain the processes of problem solving and the results of the inquiry, and finally made summary and sequenced the students' thinking; Third, during the IBMI implementation, "exploring students' thinking", "revoicing" and "making connections" were the most frequent types of follow-up questions, while "asking for alternative answers" and "applying to another’s reasoning" could cause the highest percentage of students' subsequent reactions; Fourth, IBMI implementation by the teacher made positive influence on students’ learning which included on the cognitive and emotional level, especially on solving non-routine mathematical problems and experienced the importance of inquiry value. Key words: Elementary school teachers, Inquiry-based mathematics instruction, Mathematics learning performance iii.

(6) 目次謝辭............................................................................................................................... i 中文摘要........................................................................................................................ii 英文摘要...................................................................................................................... iii 目次............................................................................................................................. iv 表次............................................................................................................................. vi 圖次............................................................................................................................vii 第一章緒論.................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 .......................................................................................... 1 第二節研究目的與待答問題 .................................................................................. 3 第三節名詞解釋 ...................................................................................................... 3 第四節研究範圍與限制 .......................................................................................... 5 第二章文獻探討.......................................................................................................... 6 第一節數學探究教學 .............................................................................................. 6 第二節數學探究課室中師生的角色與任務 ........................................................ 19 第三節數學探究教學的相關研究 ........................................................................ 25 第四節數學探究教學的架構 ................................................................................ 30 第三章研究方法........................................................................................................ 32 第一節研究情境 .................................................................................................... 32 第二節研究工具 .................................................................................................... 33 第三節研究架構與流程 ........................................................................................ 40 第四節資料蒐集與分析 ........................................................................................ 44 第四章研究結果與討論............................................................................................ 55 第一節小婷老師實施數學探究教學之歷程與任務 ............................................ 55 第二節教師實施數學探究教學之師生互動情形 ................................................ 78 第三節數學探究教學對學生數學學習表現之影響 ............................................ 92 第五章結論與建議.................................................................................................... 99 第一節結論 ............................................................................................................ 99 iv.

(7) 第二節建議 .......................................................................................................... 101 參考文獻.................................................................................................................... 102 附錄............................................................................................................................ 108 附錄一【實施 IBMI 之探究單元、主題及問題之對照表】 ............................. 108 附錄二【例行性認知測驗(分年細目+雙向細目表)】 ...................................... 111 附錄三【例行性認知測驗試卷】........................................................................ 112 附錄四【例行性認知測驗試卷之誘答力一欄表】............................................ 115 附錄五【例行性認知測驗預試試題之難度、鑑別度值】................................ 117 附錄六【非例行性認知測驗(四單元題目+所涉及之分年細目)】 .................. 118 附錄七【非例行性認知測驗試卷】.................................................................... 120 附錄八【數學探究價值性量表】........................................................................ 124. v.

(8) 表次表 2-1. Piaget 的認知發展階段及各階段之特徵 .................................................... 16. 表 2-2. 持續性提問九種類型 ................................................................................... 24. 表 2-3. 近七年與數學探究教學相關研究論文之重點摘要 ................................... 25. 表 3-1. IBMI 模式與探究教學內容之對照表–以圓面積單元為例 ....................... 34. 表 3-2. 雙向細目表之範例 ....................................................................................... 36. 表 3-3. 影響學生探究學習的九向度及其對照之問題 ........................................... 40. 表 3-4. 研究待答問題與資料蒐集之對應表 ........................................................... 44. 表 3-5. 資料編碼的原則與範例 ............................................................................... 45. 表 3-6. 鑑別度評鑑標準表 ....................................................................................... 47. 表 3-7. 試題選項修正前後說明表 ........................................................................... 48. 表 3-8. 預試學生作答狀況之舉例說明 ................................................................... 49. 表 3-9. 非例行性試題解題紀錄之評分標準(以一題為單位)................................. 50. 表 3-10 推理要項之給分標準 ................................................................................... 50 表 3-11 推理要項給分之舉例說明 ........................................................................... 51 表 4-1. 兩題挑戰性數學問題與其中各小題探究歷程表 ....................................... 67. 表 4-2. 小婷老師實施 IBMI 過程中的任務與在挑戰性問題中出現次數統計表 69. 表 4-3. 小婷老師實施 IBMI 過程中的持續性提問與在挑戰性問題中出現次數統. 計表.............................................................................................................................. 79 表 4-4. 引發學生再次回應之提問類型與相對應次數、百分比摘要表 ............... 87. 表 4-5. 例行性認知測驗之獨立樣本 t 檢定摘要表 ................................................ 92. 表 4-6. 非例行性認知測驗各向度之獨立樣本 t 檢定摘要表 ................................ 93. 表 4-7. 數學探究價值各項度之五尺度次數與平均得分 ....................................... 96. 表 4-8. 學生過去數學學習經驗之情形統計表 ....................................................... 96. vi.

(9) 圖次圖 2-1. IBMI 模式架構圖 ......................................................................................... 31. 圖 3-1. 研究架構圖 ................................................................................................... 41. 圖 3-2. 研究流程圖 ................................................................................................... 43. 圖 3-3. 數學認知測驗進行步驟架構圖 ................................................................... 46. vii.

(10) 第一章緒論本章將對本研究的背景與動機、研究目的與待答問題、名詞釋義及研究範圍與限制作描述，共分四小節，分述如下：. 第一節研究背景與動機現代社會變遷快速，教育改革的浪潮也一波接著一波，從九年一貫過渡到現在的十二年國教，其中九年一貫強調以學生為主體，培養他們願意主動探索與研究的精神，並將所學的知能運用於生活中(教育部，2003)；而十二年國教強調“素養”，即指整合一個人的知識、能力及態度，去面對現在真實生活情境中的問題及未來社會的各種挑戰(教育部，2018)。可想而知，教師的教學方式及教學內容也必須有所調整，應打破以往傳統講述式以教科書為忠實工具的教學，學生被動接收老師所傳遞的知識，轉而朝向注重學生透過思考、討論及探索的過程中，自行建構知識與了解其中概念，並運用策略解決生活中問題，進而擁有「帶得走」的能力。基於上述，使研究者不禁想到：在數學領域的教學上，我們如何擺脫「老師教，學生聽」的刻板教學模式，而使學生將所學的數學知識學以致用，以呼應到十二年國教以素養為導向之目標呢？美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1991) 提出當學生處於一個探究的情境中，能夠促進他們數學的理解和數學思維的發展，也可以培養學生的創造力和問題解決的能力(Kwon, Park, & Park, 2006)。在過去，許多研究也指出透過探究的方式來學習數學，有利於學生對數學概念的理解、解題策略和技巧的增長，同時也培養了問題解決的態度及增加數學學習的信心度 (徐偉民，2019；Whitin, 2006)。像是陳南寧(2019)的研究指出實施探究教學於國小數學課室當中，對六年級學生的數學解題能力有所助益；賴嘉慧(2014)的研究指出經過數學探究教學後，學生變得願意主動以操作的方式試圖解決問題，從被動的知識接受者，轉為主動的知識探索者；紀雅芳與溫媺純(2008)的研究也指出國中生從數學探究教學活動中獲得了成就感，同時也提升了他們的學習動機。由上述可知，數學探究教學對學生不管是認知方面，還是情意、態度方面的影響多為正向的。那到底何謂數學探究呢？國外學者 Makar (2012)認為數學探究 1.

(11) 是一個解決非結構性問題的歷程，且過程中非常地依賴數學思考和數學方法來解決(引自徐偉民，2019)，而非結構性問題指的是對於問題沒有一個明確的定義，是具模糊性(Reitman, 1965)；Richards (1991)認為探究是在學習過程中透過協商討論，用數學的思維對不熟悉或是新的問題提出暫時性的推論，並進而解決其問題 (引自徐偉民，2019)；Krummheuer(1983)認為學生和教師對於數學知識的了解及數學思考的方式皆不相同，因此教師可經由探究引領學生了解數學知識的意涵。在國內，秦爾聰、林勇吉、林晶珮、段曉林(2009)認為數學探究像是數學的「實驗」或「探索」過程，從老師的佈題來引發學生對問題的想法，接著對此想法提出解釋，最後從他人的回饋中修改想法；林勇吉、秦爾聰及段曉林(2014)則認為數學探究可以簡單解釋為從對問題的發現，到對問題的思考，最後將問題解決的過程。綜合上述國內外學者的觀點，可以發現其有著共同點的存在，即教學的過程(歷程)在實施數學探究教學時為重要的一部分。假如我們希望學生未來具有解決複雜問題的能力，我們需要重新思考教科書裡數學問題的類型(徐偉民，2019)，應該給予學習者更進階、更具挑戰性且需花費長時間思考之問題，或能夠符合真實情境的複雜問題，來取代原來過於簡化的數學問題(Bonotto, 2013)；而張清濱(2000)的研究中也認為學生主動發現問題的存在在進行數學探究教學中是極為重要的，沒有問題就不會有探究的活動產生，由此可知，數學問題的類型在實施數學探究過程中成為一個關鍵的角色。有鑑於教師在實施數學探究教學時，「教學的歷程」與「數學問題的類型」成為兩大關鍵影響要素，再加上近年來，以探究模式進行數學教學的研究雖有漸漸增多的趨勢，但 Borasi (1992)指出數學探究教學並沒有一個固定的方式，且 Anderson (2002)也指出探究教學的意義及在教育上的特徵，仍未能有明確統一之看法，這些都有可能是造成探究教學無法順利推廣的原因之一(顧炳宏，2013)。因此，研究者想進一步了解教師實施數學探究教學的歷程及歷程中的任務。. 2.

(12) 第二節研究目的與待答問題基於上述研究動機，提出了本研究之研究目的：一、探討一位國小教師實施數學探究教學的歷程。二、探討一位國小教師實施數學探究教學過程中主要的任務及師生互動。三、探討一位國小教師實施完數學探究教學後，對學生數學學習表現的影響。. 根據上述研究目的，提出本研究之待答問題如下：一、探討一位國小教師實施數學探究教學的歷程為何？二、探討一位國小教師實施數學探究教學過程中主要的任務為何？三、探討一位國小教師實施數學探究教學過程中師生互動的情形為何？四、探討一位國小教師實施數學探究教學後，對學生在認知和情意兩個層面之數學學習表現的影響為何？. 第三節名詞解釋一、數學探究教學數學探究教學指的是教師運用與數學相關的問題引起學生的動機與好奇心，接著學生會開始針對眼前的問題進行探索(戴咏秀，2013)，而老師在旁擔任引導者的角色，提供學生進行思考與探索及與同學分享討論的機會(黃家鳴，2005； Diezmann, 2004)，並藉由探討問題的過程中將自己與他人的想法進行調整與精緻化，最後建構出屬於自己的數學知識(NCTM, 1991)。本研究所指的數學探究教學採用徐偉民(2019)所提出的探究本位數學教學 (Inquiry-Based Mathematics Instruction, IBMI)，其探究的歷程中一開始會有一具挑戰性的數學任務(challenged tasks)，任務為學生較不熟悉或較不清楚解題歷程的數學問題；接著進入想像(imagination)階段，透過教師提供的線索來引發學生對問題的思考；進而來到聚焦(concentration)階段，教師藉由提問和要求說明來引導學生制定解題的方法並將解題的推理過程與他人分享，以達到共享的理解；最後 3.

(13) 到達一般化(generalization)的階段，教師總結並將學生的推理與數學語言和符號作連結，進而能深入理解數學概念並能運用至其他情境中。. 二、挑戰性數學問題數學問題是數學課程實施中的主要核心(徐偉民，2013；Stein, Remillard, & Smith, 2007)，而徐偉民(2019)指出在進行數學探究時，給定的問題需要夠模糊且具挑戰性，才能激發學生進行探索的需求。因此，本研究的挑戰性數學問題是指結構不明確的問題，有別於教科書中較簡單的問題，因此，這樣的問題通常是學生不熟悉的，且需要花費較多時間思考才能夠順利解決，其中題目多為文字題，偶有幾題搭配圖式的呈現。. 三、數學探究歷程中的任務賴嘉慧(2014)指出在探究教學的課室中，教師和學生分別有不同的角色和任務。而本研究主要聚焦在教師實施數學探究教學中的任務。本研究以徐偉民(2019)所提出之 IBMI 模式各歷程中教師的任務為依據，包括提供學生線索和搭橋，使學生產生推理與連結；要求學生說明自己的數學推理以及順序化學生的思考與概念；將學生的解題結果連結到標準的數學語言和符號。. 四、師生互動師生互動是指教師與學生之間，經由口語表達、文字、符號、或者非口語等溝通方式，彼此相互影響與改變(曾心怡，1999)。本研究指的師生互動為在實施數學探究的過程中，教師提問與學生應答的來往互動過程。也就是說當學生在進行數學問題的解題時，教師會透過提問的方式來引發學生做出回應；接著，教師再根據學生的回應來做追問的動作，學生因而再次答應。本研究根據 Lim、Lee、Tyson、Kim 與 Kim (2019)的研究，其將教師「持續性提問」(follow-up questioning)的類型歸類成九種，包括尋求澄清並探索學生的思維、重新表達、要求重述、促進進一步的討論、詢問不一樣的答案、確認、運用他人的推理、建立聯繫以及等待時間，而師生互動是指教師提問的類型所引發學生反應的動態過程。 4.

(14) 五、數學學習表現依據十二年國民基本教育領域課程綱要(教育部，2018)中提及「學習表現」一詞，其解釋為認知歷程、情意與技能的學習展現。本研究以研究者自編之「數學認知測驗」及採用徐偉民(2019)之「數學探究價值性量表」的得分作為數學學習表現的指標，前者為認知歷程的學習展現，研究者根據所涉及到的分年細目(97 課綱)繪製成雙向細目表，再依雙向細目表進行試題的編製，測驗的分數越高，代表學生的認知學習表現也越好；後者為情意的學習展現，採用徐偉民(2019)之探究對數學學習的重要性和價值性問卷，得分越高，代表經過數學探究教學，學生對於探究在數學學習中的角色存在著極高的重要性及價值。. 第四節研究範圍與限制一、研究對象的限制由於本研究對象為屏東市區國小六年級的教師，該學校位於文教區，學生家長社經地位普遍都高，所以學生的學習表現要推論至其他學校應要有所保留；另外，個案教師一位為數學相關背景的，故研究結果要推論至其它教師亦有所保留。. 二、研究工具的限制由於本研究所設計的數學問題僅針對「數量關係」、「圓周率與圓周長」、「圓面積」及「比、比值與成正比」四個單元進行編製，而數學探究教學也依此四單元之數學問題進行實施，故研究結果不宜推論至其他不同單元之數學概念教學上。. 5.

(15) 第二章文獻探討本研究欲探討個案教師在實施數學探究教學之歷程及對學生數學學習表現的影響，本章首先釐清數學探究教學之意義，接著了解數學探究教學課室中師生的角色與任務，再來探討數學探究教學的相關研究，最後撰寫從前面三節文獻中所獲得的啟發，共分四小節，分述如下：. 第一節數學探究教學一、探究的意涵何謂探究？國語辭典對「探」的解釋為尋求、推探及試測，而「究」有推求、追問之意；探究的英文為 inquiry，英漢辭典對其的解釋為探問、質詢之意。從字面上來看，探究即追求某些訊息來進行探索或尋找，並對所尋求之訊息產生質疑 (Barrow, 2006)。美國國家科學會(National Research Council，簡稱 NRC)在 1996 年提出探究(inquiry)是一種具多面向的活動，包含觀察、提出問題與假設、計畫研究步驟以進行探索活動、從書籍或其他資訊中確認已知的知識、使用工具進行搜集與分析、對資料進行詮釋並提出答案與結果，並與他人溝通結果，來對假設進行驗證；Barnett(1998)指出，探究包含提出問題、推想、測試、批判、評估、改正以及重新試驗新資訊的觀點。由此可知，探究是一種多面向的動態學習歷程。 Haury(1993)認為探究是人類對於某現象產生好奇而努力尋求合理解釋的一些行為，這與 Jarrett(1997)的想法頗為一致，其認為探究是為了滿足個人的好奇心，而願意努力去尋找合理解釋所做出的行為。而 Windschitl(2003)指出，探究是一系列相關的智力活動，必須運用各種方法去解開問題中所隱藏的訊息，包含了察覺問題、構思假設、設計解決方法等過程。綜合以上所述，可以發現各專家學者對探究持有不同的詮釋及想法，但大多都認為探究的過程包括從生活周遭的事物中發現問題、提出問題，接著收集、組織與問題相關的資料，並在尋找中理解問題(Barrow, 2006)；再者，探究在解決問題過程中為不可缺少的方式，換言之，探究活動是人類基於對自然現象產生的好奇心和求知慾，進而思考、搜尋相關知識，並主動尋求答案以解決問題的過程 6.

(16) (Jarrett,1997)。因此，研究者認為探究是學生主動去探尋他所不知道的事物，而後透過大腦的運轉思考及周遭資訊的整理歸納，從中慢慢建構出屬於自己所了解的知識之過程。. 二、數學探究教學雖然探究教學起初是被提倡運用在自然科目的教學上，但從數學教育的觀點來看，數學教學專業標準(Professional Standards for Teaching Mathematics)指出：探究包括探索(exploring)、臆測(conjecturing)、邏輯推理(reasoning logically)和評估某個想法是否合理(evaluating whether something makes sense or not)等過程，是學生學習數學概念和知識最重要的脈絡之一，且數學探究教學被認為對學生的數學理解和數學思維發展是幫助極大的(NCTM, 1991)，這也與十二年國教數學領域的課程目標其中一項重點在於培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力相互呼應，可見培育學生的數學探究能力已然成為數學教育中的關鍵重點。而基於前面所指出探究是對某一自然現象產生好奇心和求知慾，為了解決對於新事物的疑惑，會願意主動思考及搜尋相關知識以尋求答案並解決問題的過程。那麼數學探究便是以數學相關問題來引起學生的好奇心或興趣，激起他們解決眼前問題的動機，因而著手思考解決策略的歷程。紀雅芳與溫媺純(2008)認為數學探究教學是教師在適當的教學環境下製造問題情境，讓學生產生疑問或興趣，給予他們觀察、探索、討論、推理、溝通、修正、確認、建構知識以及尋找模式與規則的數學學習過程，而教師在旁擔任引導者的角色，提供學生進行思考與探索及與同學分享討論的機會(黃家鳴，2005；Diezmann, 2004)。在整個數學探究的教學中，不光只有學生獲得激發他們主動了解數學知識的機會，另一方面，教師也能從中獲得了解學生思考的獨特機會，這也意謂著在數學探究教學的課室裡，學生和教師共同承擔了學習的責任。基於上述，可以了解數學探究教學的目的不外乎是黃家鳴(2005)所提及的，包括以下九點：1.提供學生機會主動參與數學思考及數學之創製(mathematics-inthe-making)；2.讓學生有機會享受數學；3.讓學生建立個人的數學經驗，減少對數學科的各類迷思；4.建立學生對自身的常理思考(common sense)的信心；5.減輕學生對犯錯的憂慮，使學生願意主動嘗試；6.促進學生之數學概念理解；7.提供 7.

(17) 另類之數學課堂模式；8.呈現數學為一種可參與的活動，而非只是被灌輸一堆知識的學科；9.提供獨特機會讓教師認識與了解學生的數學思考。可見數學探究教學就是運用各種方法來探索觀念和關係、製造和檢驗猜想，尋求問題解答的一種歷程與活動(McNeal & Simon, 2000)。知悉數學探究教學的意涵與目的後，接續將要探討教師在實施數學探究教學時的特徵及原則。近來，研究者發現關注於數學探究教學的文獻有漸漸增多的趨勢，究竟教師在實施數學探究教學時有哪些特徵及原則呢？Whitin(2006)認為數學探究教學是使用學生的「觀察」和「問題」作為進行探究的機會，藉由改變一個或幾個給定問題的特性來引發學生進行探究，例如：當學生知道 6＋4＝10 時，可以進一步詢問有哪三個數相加，也可得到同樣的結果(如 2＋4＋4；3＋4＋3)(引自林勇吉、秦爾聰、段曉林，2014)。據此，Whitin 更進一步提出數學探究教學具有以下六個重要特徵：1.仔細觀察(observing carefully)；2.採用多元觀點(adopting multiple points of view) ； 3. 產生問題 (raising questions) ； 4. 提供臆測 (offering conjectures)； 5.設計並執行計畫 (making and carrying out plans)；6.反思結果 (reflecting on the results)。Diezmann(2004)則認為數學探究教學包含三個元素：1. 開放式問題(open-ended questions)：提供開放式的問題讓學生進行挑戰，擴展他們的思考範圍，以了解學生的數學能力；2.調查(investigations)：調查為數學探索的擴展，由一問題核心嵌入多維的數學內容，讓學生進行預測、解釋及展現他們的數學思維；3.思考試驗(thought experiment)：給予學生擬訂計畫的要求，讓他們將結論與思維過程連結在一起，發展其批判性與解釋性的思維。除此之外，根據 Suchman(1961)提出的理論，探究教學的原則包含：1.學生因面臨困惑的問題而產生探究的動機；2.學生主動蒐集資料，構思解決問題的方法；3.教師必須指導學生認清探究問題；4.教師應該指導學生探究的過程；5.探究所重視的是方法及過程的訓練，教學必須靈活且有彈性的。Kuster, Johnson, Keene 與 Andrew-Larson(2017)也從真實數學教育(Realistic Mathematics Education, RME) 的理念，指出數學探究教學的主要一教學特色為讓學生從非形式化(informal)的數學推理，然後透過教師逐步地引導發展出形式化(formal)的推理。徐偉民(2019) 從前述觀點提出四個數學探究的教學原則：「引發學生的推理方法」(generating students ways of reasoning)和「根據學生的貢獻建立(形式化的數學推理)」(building on student contributions)。前者之意為教師設計真實的數學問題來引導學生發現其 8.

(18) 中的數學概念，過程中強調學生的思考與推理，並能為自己的想法做出合理的解釋；後者之意為教師將學生所做出的推理進行選擇與順序化，讓教室內的所有學生都能夠理解，這即為第三個原則「發展共享的理解」(developing a shared understanding)，也就是教師要讓學生相互理解他人所提出的解題方法；最後，教師讓學生從非形式化的推理(或不完全正確的解題方法)過渡到形式化的數學語言和符號，這即為第四個原則「連結到標準的數學語言和符號」(connecting to standard mathematical language and notation)。以上為四個數學探究教學原則(徐偉民，2019)。經由以上所述，除了了解數學探究教學的意涵與目的外，也從專家學者身上獲得將數學探究應用在教學上的特徵及原則，不可否定的是數學探究教學也被各學者大力提倡運用在數學教育上，以給予學習者參與具有挑戰性的數學任務 (Diezmann, 2004)。. 三、數學探究教學模式在前面所提及的原則下，有很多探究教學的模型紛紛被發展出來，進行的階段也分別有三階、四階、五階等，茲將較常見且較多人採用在數學教學上的模式加以探討及介紹。 (一) AAAS(1993)的數學探究教學模式美國科學促進會會 (American Association for the Advancement of Science [AAAS], 1993)提出數學探究就像是數學家在做數學所進行的工作，視數學為一個研究的循環(a cycle of investigation)，而這個循環分成表徵、操弄、驗證三階段，以下分別敘述。 1.表徵(Representation) 指能使用抽象化的概念來表達真實的事物，也就是能運用數字、形狀、運算和符號等抽象的方式來表示真實世界中的事物，並能用抽象化的概念解決問題。在這個階段，學生最主要目標是能理解用符號來表徵抽象，並且應用進行解題。 2.操弄(Manipulation) 指想像一些可能的情況，利用符號、圖像等來表徵事物、分配它們的性質、 9.

(19) 選擇適當的運算方式，然後依據邏輯規則移動這些符號以獲得答案，這些就是操弄的過程。 3.驗證(Validation) 「驗證」在數學中是判斷(judgment)，而非權威(authority)，一個解答的好壞攸關到這個問題是如何形成的。因此，除了驗證解決問題的過程及結果外，也要能實際將結果應用到其他的領域中，也就是將數學的知識與真實的世界做連結。以上為 AAAS(1993)提出的三階段數學探究教學模式，AAAS 認為學生應該要有機會利用這三個循環去執行他們的數學探究，然而，其也認為數學探究雖然包含這些過程，但這些過程並不是一成不變的。 (二) Speer(2003)的三階段探究環 Speer(2003)認為數學的學習應藉由探究的過程來發展，並倡導以合作為主的探究教學，他提出了探索、創造、擴展三個階段的探究環(The Inquiry Cycle)，以下分別敘述。 1.探索(exploration)階段此階段學生會面臨舊知識與新知識的認知衝突，因而透過探究活動讓學生在面對問題時能將舊有知識進行整合，並與新的概念進行結合，促使學生產生新的想法及多元的價值。據此，此階段的重點在於將學生的新舊知識做整合，而教師必須提供適當的問題或情境來刺激學生進行探索。 2.創造(invention)階段此階段給予學生時間進行討論及反思，並鼓勵學生在面對問題時，能夠表達自己的想法，並盡可能發展新的推論模式，教師則透過適當引導建立學生的問題解決策略。所以說此階段的核心活動在於小組彼此溝通想法並互助合作，嘗試與猜測各種解題可能，藉由互相提問辯證深入問題核心。 3.擴展(expansion)階段此階段主要讓學生練習新的知識與推理模式，並將探究結果擴展應用到其他相關例子、情境或脈絡上，形成更穩固的新知識。. 10.

(20) (三) 徐偉民(2019)的探究本位數學教學(IBMI) 徐偉民(2019)認為數學探究的歷程從具有挑戰性問題出發，歷經想像、聚焦及一般化階段，而在實施的歷程中，教師隨時在進行引發推理、建立貢獻、發展理解與連結符號等教學任務，而學生則歷經發現(Discover)、制定(Devise)、發展 (Develop)、辯護(Defend)的過程，以下分別敘述。 1.想像(Imagination)階段經教師給予一具有挑戰性問題後，在此階段教師會幫助學生將此問題連結到數學的脈絡，並藉由提供線索和搭橋來引發學生對問題進行推理及思考，學生則從腦中搜尋過往所學之知識以連結此問題，也就是歷經了發現(Discover)的過程。 2.聚焦(Concentration)階段此階段教師開始規劃探究的歷程，協助學生制定解題方法，鼓勵學生與同儕進行討論與探究，發展其數學推理之歷程，並要求學生說明解題想法，必要時會修正學生原有的錯誤推理，這也就是歷經了制定(Devise)、發展(Develop)的過程。 3.一般化(Generalization)階段在此階段中，教師總結學生的探究想法，並將學生的推理與數學語言和符號做連接，同時，也讓學生為自己的解題思考提出具有說服力之證據來和聽眾進行溝通，這也就是歷經了辯護(Defend)的過程。 (四) Chapman(2007)的四階段探究模式 Chapman(2007)認為數學教學具有三個不可缺少的主要成分：數學知識、學生和教學實踐。他認為進行探究教學的關鍵在於教師的數學信念，教師對學生學習的信念，以及教師如何將他們持有的數學知識和教學方法發揮重要作用，讓學生參與探究，故提出引入、探索、分享與討論及結果四個階段，以下分別敘述。 1.引入階段(an introduction stage) 此階段重點在教師先了解學生舊有的知識，在以此基礎安排適合的探究題目，並澄清探究的任務，開始介紹數學概念的由來及解釋學生較為陌生的新概念。. 11.

(21) 2.探索階段(an exploration stage) 此階段重點在教師向學生提出問題和提示，讓學生在小組間完成工作任務，並促使學生在教師提問時進行思考，同時，也讓他們知道自己在做什麼或有沒有其它忽略的地方。 3.分享與討論階段(a sharing and discussion stage) 在此階段中，學生與同儕分享和闡述他們的研究結果，並解釋他們的思考理由。同時，也能藉由教師的引導討論，來確保學生所學到的是教師預期學生所會了解的概念。 4.結論階段(a conclusion stage) 此階段重點在教師引導學生思考他們所學之概念，及總結關鍵想法以形成更完整的知識概念。 (五) Bybee 與 Landes(1988)的 5E 學習環 5E 學習環(5E Learning Cycle)是由 Bybee 與 Landes(1988)引述美國 BSCS (Biological Science Curriculum Study)小學的課程研究計畫，提出含有建構取向的教學模式，其含有參與、探索、解釋、精緻化及評量五個步驟，以下分別敘述(紀雅芳、溫媺純，2008)。 1.參與(engagement) 本階段的主要目的是引導學生投入活動，並將過去和現在的學習經驗聯繫起來，進而激發學習的興趣和好奇心以學習課程中的主要概念。 2.探索(exploration) 本階段目的是提供生活中的相關實例與情境讓學生思考，讓舊有的知識與新經驗融合並發展、建立目前的概念。這時期，學生會主動探索他們的環境並操弄教材、教具。 3.解釋(explanation) 這階段主要鼓勵學生利用先備知識與探討經驗做出合理的解釋，以言語敘述他們對概念的了解，並澄清說明自己的想法。同時，教師則可引入模式、法則及 12.

(22) 理論的介紹。 4.精緻化(elaboration) 此階段的教學主要對學生在概念的了解上給予進一步的挑戰及延伸，並且提供學生驗證的機會。透過新經驗，學生能發展更深入且淵博的了解，進而能獲得更多的資訊。 5.評鑑(evaluation) 此階段是鼓勵學生評量他們自己的了解程度及能力，能否擴展至其他情境中。至於教師的部分，則可對學生進行評量來檢視教學是否達到教育目標。綜上所述的五種探究教學模式，可以發現他們存有共同的特徵，過程不外乎都是從教師安排一探究情境開始，引發學生的好奇心與探究的興趣，接著讓學生進行問題的探索，而探究的方式可以採個人或小組討論的方式，然後將自己的探究想法向同儕做出合理的解釋，從討論中形成最終答案並類推至其它相似之情境及問題上。另外，整個探究的過程中，教師扮演著引導者的角色，給予學生提示而非直接告訴答案，這些皆成為本研究最後形成數學探究教學模式的主要參考。. 四、探究教學相關理論我們知道教師在實施數學探究教學時，不外乎是透過引導的方式來激發學生對探究任務的思考，給予學生提示而非直接告訴答案，也就是強調以學生為中心，為一種重視學生探究過程的教學法。而這剛好與建構主義之意義不謀而合，顏弘志(2004)提及探究教學是一種符合建構取向的教學方法，同時也是以建構主義為理論基礎的學習活動。因此，研究者認為有必要針對與探究教學相關的學習理論做介紹，以獲得更完整的認知。以下從最早的蘇格拉底產婆法開始探討，接著為 Dewey 的思維術、Bruner 的發現學習理論，最後到建構主義。 (一)蘇格拉底的產婆法早期希臘哲學家蘇格拉底在與人們討論問題時經常會使用「辯詰法」 (Socratic method)，又稱「產婆法」(maieutics)。他將自己比喻成產婆，並從與他人的談話中用剝繭抽絲的方法，使對方去除心中的蒙蔽，逐漸發現自己的錯誤， 13.

(23) 進而建立正確的價值觀念(梁家祺，2015)。蘇格拉底認為每個人都有智慧，善用對話的方式能夠幫助對話者把心中的智慧接生出來。因此，產婆法為一種接生的過程，一步一步地將知識真理挖掘出來。鍾靜(2015)指出此教學法為探究的類型之一，其認為知識是一種「發現」，而非「發明」，強調引出和誘發，讓學生自行發現真知識，不能採取填鴨、注入的方式，重視的是學生主動參與及思考的過程，讓學生探求真理，孕育出各種概念。同時，溫明麗(2001)指出蘇格拉底的辯證之學是運用詰問方式的師生對話與討論，引導學生探索真理的教學方法。此理論能夠作為本研究數學探究教學的學習理論之一，教師在實施數學探究教學時，會從向學生提出一具挑戰性數學任務開始，之後讓他們進行討論與解題，教師在過程中也會在適當的時機點給予學生提示，而經由學生每次的回答，教師便能夠再次引起問題，這種經過層層詰問使學生獲得數學概念的教學法也就是符合了產婆法。 (二)Dewey 的思維術 Dewey 認為學校課程應該以學生所面臨的真實問題與經驗為基礎，並經由活動及互相討論的方式來學習以解決問題(Crawford，2000)。當學習者面臨了不確定、待解決的問題，學習因此而產生，而在學習的過程中，學習者會透過自我的反省來將問題迎刃而解。Dewey(1933)在《思維術》(How We Think)一書中，提出他解決問題的反省思維程序，分為五個階段，從一開始的聯想階段，即面臨或陷入困惑，此時思考即開始產生；經理智化階段，人們會對所面臨的情境做出觀察，看清問題的癥結後，進入假設階段，對問題做假設性的推論及提出可能的解答；再經推理階段，根據假設來制定解題的方法，並由此方法演示出具有邏輯意義的結果；最後到達假設的實際驗證階段，將先前推論的結果進行驗證，並觀察是否達到預期的效果(引自林玉體，1989)。此理論能夠作為本研究數學探究教學的學習理論之一，原因在於在歷經一個完整的數學探究教學時，教師會從學生的生活經驗中所產生的真實性問題為出發點，接著學生針對問題制定解題的方法，並發展解題的推理過程，最後連結到數學的語言與符號完成解題。這一連串的過程隨時都在進行自我反省，也從與他人的溝通討論中反省自我的思考，使得學生能在問題與解決策略間進行來回思考，促進其思維能力，將問題徹底地解決。 14.

(24) (三)Bruner 的發現學習理論 Bruner《教學理論探討》(Toward a Theory of Instruction)中提到：「教學生學習科目絕不是對學生心靈灌輸固定的知識，而是啟發學生主動求取知識與組織知識。教師不能把學生教成一個活動書櫥，而是教學生學習如何思維，教他從求知過程中去組織屬於他自己的知識，求知是自主性的活動歷程，而非只是被動地承受前人研究的結果」(Bruner, 1966)。由上述這段話可以知道 Bruner 強調教學活動不應該由教師一味地灌輸知識給學生，而應培養學生自動自發學習及應變的能力，讓學生從學習過程中轉化或重組自己的思考以獲取新知識；同時，Bruner 提出的「發現學習理論」，顧名思義就是在學習上強調「發現」，其重視以學生為導向的學習，強調學習的主動性，讓他們在學習情境中自由探索，從而獲得答案的一種學習方式(鄒婷婷，2013)。據此，發現學習論可以幫助學習者學習解決問題的各種策略，以及讓他們知道如何學習。此理論能夠作為本研究數學探究教學的學習理論之一，教師在實施數學探究教學時，從引發學生對數學問題的好奇心而願意主動進行探索及解題，再到最後理解數學概念並能活用至其他情境中之一連串學習過程，其中最重要的即是讓學生扮演主動探索者的角色，「發現」數學問題中的數學概念，因讓學生從「發現中學習」，才能真正掌握自己的學習及知道自己學習的學習目的。 (四)建構主義顏弘志(2004)指出探究教學是一種符合建構主義取向的教學法，同時也是以建構主義為理論基礎的學習活動。那何謂建構主義呢？簡單來說，就是兒童透過親自參與的方式去學習事務，而不是被動接受他人所給予的知識。“建構主義” 一詞可以追溯至二十世紀中葉，歐美學界認知到傳統教育的不足，認為教師所扮演的角色只在於傳達知識，而學生的角色是被動的知識接受者(唐偉成，1999)，因而以不同的教育觀點所產生的教育理論，強調學習者在學習的過程中並非被動的接受知識，而是基於其先前的經驗主動地建構知識(廖信達，2002)。建構主義有兩個派別：一為個人建構主義，理論基礎為 Piaget 的認知發展論；二為社會建構主義，理論基礎為 Vygotsky 的社會互動論。兩者對於建構主義的發展皆有相當的影響。而兩者存在的差異在於前者的知識被看成純粹的個人建構，而後者的知識被看為社會的共同建構(張國綱，2017)。以下分別敘述： 15.

(25) 1.個人建構主義-Piaget 的認知發展論個人建構主義主張知識是由學習者主動建構而來的(張世忠，2000；蘇育任， 1997)。而 Piaget 主張“認知發展”是指個體自出生後，在適應環境的活動中吸收知識以解決問題，其會隨著年齡的增長而有所改變，而其依照年齡將學童的認知發展化分為四個階段：感覺動作期(0～2 歲)、前運思期(2～7 歲)、具體運思期 (7～11 歲)和形式運思期(11 歲以上)(張春興，2013)而每個階段都有不同的特徵，茲將各階段發展特徵分述如下表 2-1。表 2-1 Piaget 的認知發展階段及各階段之特徵發展階段. 年齡. 認知特徵 1. 憑感覺與動作以發揮其基模功能. 感覺動作期. 0～2 歲. 2. 由本能性的反射動作到目的性的活動 3. 對物體認知具有物體永存概念 1. 能使用語言表達概念，但有自我中心取向. 前運思期. 2～7 歲. 2. 能使用符號代表實物 3. 能思維但不合邏輯，不能見及事物的全面 1. 能根據具體經驗思維以解決問題. 具體運思期. 7～11 歲. 2. 能理解可逆性的道理 3. 能理解守恆的道理 1. 能做抽象思維. 形式運思期. 11 歲以上. 2. 能按假設驗證的科學方法解決問題 3. 能按形式邏輯的法則思維問題. 資料來源：引自張春興(2013)。教育心理學-三化取向的理論與實踐重修二版。臺北市：東華。 Piaget 認為兒童的認知發展係依照上面四個階段循序發展而來，且他認為每個人的成長都需要經歷這四個階段，但可能會因個人或文化背景的不同導致成長的快慢有所差異，而每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，所以這四個時期 16.

(26) 的發展順序是不會改變的(邱韻如，2015)。另外，Piaget 強調知識的學習是一連串「同化」與「調適」的表現歷程，「同化」指的是學習者運用其原本具有的基模來解決問題，也就是將新的經驗納入舊的經驗中，然而只有同化並無法使學習者有足夠的能力去處理新的問題，因此伴隨而來的即為「調適」，為學習者經由修正與擴充的方式，修改其原有的基模，而達到目的並解決新的問題(張春興，2013)。綜上所述，得出 Piaget 對於知識的學習所抱持的觀點是個體經由實際的行動，透過平衡作用來進行自我調節，最後經歷完整的學習並建構出自身的知識(徐光台，1999)。此理論能夠作為本研究數學探究教學的學習理論之一，在實施數學探究教學的過程中，學生會經由小組討論的方式來進行解題，而在與同儕分享解題的推理過程中，由於每個學生存在個體的差異，因此，他們的程度及認知也會有所不同，對於問題的表述與解題的想法也不盡相同，需要藉由同化與調適的過程，讓他人了解自己的想法，同時也能從他們的想法來修正自己的錯誤或迷思概念，進而理解新的數學概念並運用至其他情境。而本研究以六年級學童作為實施數學探究教學成效之對象，其處於具體運思期與形式運思期的過渡階段，因而具有以抽象思維及具體經驗思維的解決問題之能力。 2.社會建構主義-Vygotsky 社會發展論 Vygotsky 和 Piaget 一樣都對於人的認知主動性與主觀意識抱持著肯定的態度，不過 Vygotsky 是從社會文化的面向來探討人的心智成長，因此有人將此一取向的學習觀點稱為社會建構主義(劉宏文，1996)。Vygotsky 的認知發展理論主張人類的認知發展於社會互動，而知識的產生是由外在的社會互動過程逐漸內化形成的。學習者經過與社會的互動，可以學習到高於其認知發展階段的認知任務 (方德隆譯，2004)，因而產生出「近側發展區(zone of proximal development, ZDP)」一詞，闡述的是學童如何在成人所建構的社會環境獲得心智的成長，其意義為學習者在真正發展階層與潛在的(實際可達到的)發展階層間之差距，真正發展階層是學習者的獨立解題能力；潛在發展階層是指學習者在大人的指導下，或在與更有能力的同輩的合作下所能做出來的問題解決能力(Vygotsky，1978)。而 Vygotsky 所強調的近側發展區主張學習歷程先於發展歷程，教學者扮演著引導的角色，學習者則透過教學者所創造的學習歷程進行學習(方德隆譯，2004)。 17.

(27) 此理論能夠作為本研究數學探究教學的學習理論之一，教師在實施數學探究教學時，所處的教室是一個社會文化脈絡，學生可以透過教師的引導及與同學之間的合作來解決數學問題，且學生從教師所創造的豐富學習情境中培養與同儕良好的社會互動關係，進而達到互助合作比單打獨鬥的學習成就來得高之結果，這點與 Vygotsky 的近側發展區之意義相符。. 18.

(28) 第二節數學探究課室中師生的角色與任務經過探究教學的相關文獻探討後，對探究教學的意義、特徵與模式大致可以清楚地理解，緊接著更應該了解在數學課室中教師所扮演的角色及任務，才能夠以引導者的身份去教導學生如何進行探究，而在引導的過程中，教師也會不斷的向學生進行提問，從師生的問與答中慢慢聚焦到數學問題的核心上，以真正落實探究的精神。因此，本節將探討數學探究課室中教師、學生的角色與任務及數學探究與教師提問間的關係。. 一、教師的角色與任務教師在數學課室中進行探究教學扮演著極為重要的引導者，而學生則扮演著極為重要的學習者，兩者皆有其角色和任務，在此先介紹教師部分，接著再進行學生部分的說明。 Jarrett (1997)提及在一個以探究為基礎的課室中，教師的主要目標是讓學生成為一位具備批判思考能力的問題解決者，他認為教師主要的工作和任務有十項，包括： (一) 創造一個豐富的學習環境 (二) 確認學生所要研究的重要概念 (三) 計畫整個探究教學活動 (四) 引起學生探究的動機 (五) 讓學生對探究活動熱衷並聚焦 (六) 規劃學生討論的過程 (七) 鼓勵學生提出不同意見及想法 (八) 在適當時機尋求學生不同的意見和問題 (九) 引導學生讓他們能學習到課程的核心內容 (十) 讓學生有機會能藉由發表來展現他們的學習成果 McNeal 與 Simon(2000)認為數學探究教學就是由老師或學生佈題，學生接著在小組中工作，運用各種方法來探索觀念和關係、製造和檢驗猜想，教師這時要求學生提出具說服力(persuasive)的論證，最後學生討論這些論證來尋求問題解答的一種歷程與活動。對此，兩人也指出教師在數學探究教學中的工作包括：(一) 19.

(29) 要求解釋；(二)要求澄清與示範；(三)要求小組提出論證；(四)佈新的問題。而 Anderson (2002)在探究教學中也提出教師所扮演的角色，包括：(一)是教練也是促進者；(二)協助學生處理知識；(三)帶領學生以團體討論的方式進行溝通；(四) 引導學生活動；(五)促進學生的思考；(六)將學習的過程模式化；(七)有彈性的使用教材。另外，單文經與侯秋玲(2008)提及在探究取向課程中，教師兼具工藝師傅 (master craftsman)和父母(parents)兩種角色。工藝師傅同時是模範和導師的角色，注重以學徒制方式，習得工藝的相關知識及應用工具的技能，最重要的是，師傅會鼓勵學徒發展自己的風格，培養學生個人獨特創造力的能力；另一面，教師需要扮演父母的角色，過程中給予孩子任何的協助，鼓勵孩子往個人獨特的興趣發展，並跟隨孩子探究的方向。從工藝師傅和父母兩種角色來看教師在探究教學中的任務，單文經與侯秋玲(2008)分別從鉅觀與微觀的課程層次來看，在鉅觀的課程層次上，他們認為教師的任務就是要創造一具有挑戰性的學習情境，引起學生想探討的興趣及動機，邀請學生提出問題，並在探究過程中拓展學生的能力以及對概念的深入了解；而在微觀的教學層次上，他們指出教師必須透過與學生之間的對話，從中協助他們完成學習的任務，並設法開發學生的潛力，超越他們個人目前能力的知識。綜合上述，教師探究課室中的主要工作與任務是由外而內的，首先創作多元的情境使學生提升學習動機，透過教師引導與鼓勵的方式，讓學生能主動地提出問題，教師也擔任協助者的角色，目的是希望學生激發自己的潛能，由合作學習的互動達到近側發展區所至之能力。. 20.

(30) 二、學生的角色與任務 Jarrett (1997)指出學生在數學探究教室中主要的工作和任務有以下十項，包括： (一) 形成解題計畫 (二) 觀察和探索 (三) 獨自解題或團隊合作解題 (四) 有邏輯地做出合理的解釋並提出問題 (五) 與同儕和教師進行論辯和建構解釋 (六) 討論自己的觀點及共同合作發展想法與知識 (七) 測試自己的假說 (八) 思考來自同儕與教師的回應 (九) 思考不同的解釋方法 (十) 重試實驗、問題和計劃 McNeal 與 Simon(2000)認為數學探究教學就是由老師或學生佈題，接著學生針對題目旁敲側擊，運用各種方法來探索觀念和關係、製造和檢驗猜想，教師這時要求學生提出具說服力的論證，最後學生討論這些論證來尋求問題解答的一種歷程與活動。對此，兩人也指出學生在數學探究教學中的工作包括：(一)發表想法；(二)問彼此問題；(三)在討論中挑戰(challenge)或精煉(refine)想法。另外，Anderson (2002)在探究教學中也提出學生所扮演的角色，包括：(一) 為主動的學習者；(二)重視知識傳達的過程；(三)進行理解、解釋與猜測；(四)設計自己的活動；(五)主動與他人分享自己的答案。綜合上述，在探究的歷程中，學生是課堂中的主角，每位學生皆有其不同的獨特性，透過自身主動地探索知識與同儕互動的合作學習，互相分享、回饋彼此的想法，建構出合理的解釋，最後學生便具有解決問題的能力，能夠所學技能應用於適當的情境中。. 21.

(31) 三、數學探究與提問「話語(Spoken discourse)」是教師和學生在數學課室中進行交流不可或缺的主要媒介 (Imm & Stylianou, 2012)，在進行教學的過程中，「提問」是教師時常使用的教學策略之一(康淑娟、劉祥通，2010)。Artzt(2002)指出提問能夠引發他人產生心智活動並做出回答反應，有效促進學生思考的發展，與張玉成(1999)認為提問教學是師生與同儕有效互動及擴展學生思考的核心之想法雷同。而在進行探究教學的重點中，強調透過老師的提問來引領學生做思考，看來「提問」成了教師各科教學中舉足輕重的地位。黃昭勳(2019)歸納了各學者對於提問功能的論點，並提出他認為教師提問行為於教學上的功能，有以下五項： (一)引起學習動機教師在課堂中所提問的問題，可以使學生的注意力集中，引發他們的學習動機。 (二)幫助學生學習提問具有提示重點，組織教材內容，幫助了解記憶的功能，並且亦能協助學生發展如何學習的策略。 (三)協助學習診斷與評鑑藉由提問除了能了解學生的學習成就外，另一方面也可以分析其弱點及學習盲點所在，作為補救教學的依據。 (四)產生教學回饋作用教師透過學生對問題的反應，可以提供教師教學成效上的自我檢討之參考，也可作為日後在教學策略上調整或修正的方向。 (五)啟發學生高層次思考提問能導引學生思考之方向，提升思考層次，並讓學生從討論中獲得發表意見的機會，對學生組織能力的發展相當有益。從上所述，可看出提問的功能相當多元，若教師在課堂教學中能善用提問，對於學生的學習效果勢必會有幫助。Jarrett (1997)提及教師的有效提問，在教學 22.

(32) 中具重要的關鍵作用。在探究教學中，教師的技巧性提問至關重要，其使教師可以與全班、小組或個別學生進行高層次的討論。在這舉例一些教師能夠引發學生高層次思考的提問策略(Jarrett,1997)： (一)教師藉由提問要求學生掌握先備知識，用自己的話說一個想法或定義。舉例：「為什麼你會這樣假設？」、「你可以從證據中得出什麼結論？」。 (二)教師藉由提問要求學生解決數學問題的問題，讓他們參與觀察和描述事物，並藉由讓學生比較兩個或多個物件、陳述及插圖，從中找尋它們之間的相似性或差異性，如此學生便開始建立可導致理解概念或一般化的模式。舉例：「你在這裡注意到什麼呢？」、「告訴我與這問題相關的內容為何？」和「你看到了什麼？」。關於教師在教學中利用提問的方式，對學生的學習效果是有幫助的，從陳彥廷和柳賢(2009)的研究中可以證實。陳彥廷和柳賢(2009)的研究在探究十五位七年級個案學生在提問引導教學情境中，對代數式中文字符號語意理解的改變，研究結果發現，不斷地以「提問」的方式落實在教學中，能夠促進學生對代數式中文字符號語意及運算技巧的理解。而在 Lim, Lee, Tyson, Kim,與 Kim (2019)的研究中指出教師在課堂中進行數學題目的解題時，教師會拋出問題，學生會根據老師所拋之問題進行應答，接著教師又根據學生的回應再次拋出問題，學生因而再進行一次應答。這種教師提問與學生應答的師生問答稱為「持續性提問」，而其研究中提及此種方式的提問能夠促進學生對數學問題的討論及參與度。本研究即根據其研究中將教師所採用的「持續性提問」引發學生回應問題之類型歸類成九種，包括尋求澄清並探索學生的思維、重新表達、要求重述、促進進一步的討論、詢問不一樣的答案、確認、運用他人的推理、建立聯繫及等待時間(詳細九種持續性提問內容如下表 2-2 所示)，以探討教師在實施數學探究教學時所進行的提問類型有哪些？而哪些提問類型又是較能夠引發學生進行後續反應的？. 23.

(33) 表 2-2 持續性提問九種類型類別尋求澄清並探索學生的思維. 重新表達要求重述. 促進進一步的討論. 內容  教師試圖澄清學生的反應.  你的意思是….  收集信息  要求學生闡述最初的回應.  告訴我更多有關…的訊息. 教師重新說出學生的回應. 我認為小花是在說…. 教師要求學生重述他人的推你如何用自己的話語描理. 述小花的思想？.  教師促進學生進一步討論. 你可以在小花的回應中添加更多內容嗎？.  教師擴大學生的初步回應. 詢問不一樣的答案. 教師要求學生提出不一樣的答案. 確認. 教師確認學生的回應(正確與否/適切與否). 運用他人的推理. 例子. 教師要求學生將自己的推理應用於其他人的推理. 誰有不同的答案？  正確  不完全正確當你將小花的思想應用在你的方法時，會發生什麼？. 建立聯繫. 教師發表陳述或提出問題，以小花的方法與…有關，幫助學生在數學想法間建立並幫助我們理解… 聯繫. 等待時間. 教師等待學生對問題進行反思. 讓我們花點時間思考小花的想法並記下你的想法. 資料來源：引自 Lim, W., Lee, J. E., Tyson, K., Kim, H. J., & Kim, J. (2020). An Integral Part of Facilitating Mathematical Discussions: Follow-up Questioning. International Journal of Science and Mathematics Education, 18(2), 377-398.. 24.

(34) 第三節數學探究教學的相關研究研究者查詢全國台灣碩博士論文加值系統網，以「探究教學」為關鍵字進行搜尋，相關研究共 247 筆，再加上「數學」為論文名稱關鍵字進階搜尋自 2012 年到 2019 年近七年的研究論文，共 20 筆，由於研究者以六年級學童作為實施數學探究教學成效之對象，因此，研究者選定研究對象為國小、國中生的相關研究加以探討，共 12 筆，以下為近七年數學探究教學之相關研究，分別整理如表 23：表 2-3 近七年與數學探究教學相關研究論文之重點摘要編號. 研究生. 1. 探究教學對九年級學生數學劉德晟學習成就與學 (2019) 習動機影響之行動研究. 2. 以臆測活動為主的數學探究張斐宜教學對學生後 (2016) 設認知能力與學習成就影響之研究. 3. 論文名稱. 在五年級數學賴嘉慧課室實踐探究 (2014) 教學之行動研究. 研究對象. 九年級. 九年級. 研究方法. 探究模式. 行動研究. 1. 提升學生的 Siegel 、數學成就 Borasi 和 2. 提升部分學 Fonzi 的四生的數學學階探究環習動機. 前實驗研究. 研究結果. 1. 提升學生的後設認知能 Siegel 、力 Borasi 和 Fonzi 的四 2. 對學生的學階探究環習表現有正面影響. 五年級. 行動研究. Chapman 的四階段探究模式. 1. 增進學生數學多元解題的能力及討論發表的能力 2. 提升學生課後主動探究的動機 (續下頁). 25.

(35) 綜. 4. 數學探究教學陳珮珊對七年級學生 (2013) 數學素養影響之研究. 5. 教師運用探究教學以發展小黃慶豐學學生的數學 (2013) 素養—以 PISA 的情境題為例. 6. RME 融入 5E 探曾嘉建究教學實施於 (2013) 七年級數學課室之行動研究. 七年級. 六年級. 準實驗研究. 行動研究. 合實驗組學生的. AAAS 數學探究教學模式及 Siegel 、 Borasi 和 Fonzi 的四階探究環. 數學素養有所提升，且與對照組呈現顯著的差異。. 提升學生數學 Bybee 與素養的再複製 Landes 的能力、連結統整 5E 學習環能力、反思能力。 1. 增進學生的溝通表達和自信. 七年級. 行動研究. Bybee 與 2. 激發學生的 Landes 的多元想法以 5E 學習環進行有意義學習 3. 增進學生的自我效能. 7. 8. 落實數學探究潘桂芳教學提升五年 (2013) 級學生討論能力之行動研究. 數學探究教學戴咏秀對國小二年級 (2013). 學生解題能力影響之研究. 五年級. 二年級. 行動研究. 行動研究. Chapman 的四階段探究模式. 提升學生的討論能力。. 學生的解題表現成效不明顯，但對不同成就 Bybee 與學生的解題表 Landes 的現有不同程度 5E 學習環的正向影響，尤以中成就學生的影響較明顯。 (續下頁). 26.

(36) 9. 5E 探究教學對國中生數學學朱銘裕習動機與學習 (2012) 成效影響之研究：以「幾何單元」為例. 10. 運用數學圖畫黃燕足書進行國小四 (2012) 年級探究教學之研究. 11. 以臆測為中心的數學探究教莊青倫學下探討國中 (2012) 生數學素養的行動研究. 12. 實施數學探究謝孟琪教學於七年級 (2012) 課室之行動研究. 1. 可以有效促. 八年級. 四年級. 個案研究. 行動研究. 七年級. 行動研究. 七年級. 行動研究. 進學生的學習成就. Bybee 與 Landes 的 2. 學生的學習 5E 學習環動機普遍來說都有上升的跡象 1. 拓展了學生的思維能力. POE 探究 2. 提升學生對教學數學的學習興趣 1. 使學生能夠展現多元的解題策略. CIM 的循 2. 對學生數學環模式素養中的建設性傾向能力有所提升 Whitin 的. 使學生能夠展數學探究現出較多元的教學數學素養能力。. 資料來源：研究者自行整理。依據上表，研究者分別從下列四個面向加以探討：一、研究對象年段研究對象的年段可區分為國中階段與國小階段，其中國中階段的包括劉德晟 (2019)與張斐宜(2016)的研究對象為九年級，朱銘裕(2012)為八年級，陳珮珊 (2013)、曾嘉建(2013)、莊青倫(2012)與謝孟琪(2012)的研究對象均為七年級；屬於國小階段的則有黃慶豐(2013)的研究對象為六年級，賴嘉慧(2014)與潘桂芳 (2013)為五年級，戴咏秀(2013)為二年級，而黃燕足(2012)為四年級。由上述的研究發現進行數學探究教學的研究對象多為國中階段，十二筆論文中就佔了七筆， 27.

(37) 達半數以上。二、研究方法從上述十二筆研究論文中，可以發現大多數的研究論文都採用行動研究法，其它則是張斐宜(2016)使用前實驗研究，陳珮珊(2013)使用準實驗研究，而朱銘裕(2012)使用個案研究。故得知數學探究教學的研究論文所採用之研究方法的範圍算是相當廣泛的。三、研究所採用之探究教學模式黃慶豐(2013)、曾嘉建(2013)、戴咏秀(2013)與朱銘裕(2012)採用 5E 探究學習環的教學模式；劉德晟(2019)與張斐宜(2016)採用 Siegel、Borasi 和 Fonzi 的四階探究環；陳珮珊(2013)則融合各家學者對探究要素的看法，再綜合 AAAS 三階段數學探究教學模式及 Siegel、Borasi 和 Fonzi 的四階探究環得出其探究模式；賴嘉慧(2014) 與潘桂芳(2013)採用 Chapman 的四階段探究模式；莊青倫(2012)採用 CIM 的四個探究式教學為主的循環模式；黃燕足(2012)採用 POE 探究教學模式；而謝孟琪(2012)引用 Whitin 的數學探究教學的特徵，並融合其他學者對數學探究教學的定義作為探究教學之步驟。四、研究結果研究結果發現能使學生展現出多元的數學素養能力，有黃慶豐(2013)、陳珮珊(2013)與謝孟琪(2012)，其中黃慶豐讓學生藉由原有的數學知識與延伸 PISA 情境試題來進行探究，並使用分組討論的方式來執行探究教學，對於提升數學素養及探究能力都有所助益；陳珮珊挑選一班為實驗組做數學探究的教學，另一班為控制組，接受傳統講述式教學，研究結果發現實驗組與對照組之數學素養之表現呈現顯著的差異，對於實施探究教學之實驗組學生的數學素養有顯著提升；而謝孟琪在實施數學探究教學時，遭遇到一些問題，像是學生面對過於開放的探究問題不敢寫不正確的答案，使得教師一開始不知道該如何引導學生，對於這些問題教師亦提出相關的解決策略，另外，研究結果顯示出不管對高成就的學生或中、低成就的學生，在數學素養能力的表現上皆有所提升。對於提升學生的學習興趣與學習動機的，包括劉德晟(2019)、朱銘裕(2012) 與黃燕足(2012)，其中朱銘裕的研究特別提及探究教學對高成就與中成就學生的 28.

(38) 學習動機都有上升，而低成就學生的量化資料呈現動機下滑趨勢，因此，建議教師進行探究的內容不宜太難，但必須要具挑戰性。在提升學生的解題表現上，有賴嘉慧(2014)、戴咏秀(2013)與莊青倫(2012)，其中賴嘉慧及莊青倫指出在數學探究教學中，透過教師引入的生活情境題材及給予學生適當的引導和討論，能夠增進學生數學多元解題的能力；而戴咏秀的研究結果顯示數學探究教學對學生對不同成就學生的解題表現有不同程度的正向影響，其中以中成就學生的影響較明顯。在提升學生討論發表的能力上，有賴嘉慧(2014)與潘桂芳(2013)，他們的研究指出在進行數學探究教學前，先營造一個具討論氛圍的課室，並預先對教學可能遇到的困難進行評析，教學過程中，教師透過適當的提問來引導學生對數學概念的理解，並給予他們討論的空間與時間，同時，對學生所能吸收概念的程度作探究內容的調整，讓學生從中逐步建構探究能力。從曾嘉建(2013)的研究發現數學探究教學對學生數學學習的成效和自我效能都會造成影響，不但能夠增進學生的溝通表達能力，還能激發學生的多元想法以進行有意義學習，學生也能從探究的過程中獲得自信心，增進其自我效能。張斐宜(2016)則是以臆測活動為中心來進行數學探究教學，認為學生在小組討論的支持下，能夠引發他們進行合理的猜想並進行驗證以得到答案。研究顯示能夠提升學生的後設認知能力，且對學生的學習表現有正面影響。綜合上述十二筆文獻可知，藉由數學探究教學，在學習興趣、學習動機、解題表現、學習成就及討論發表能力等方面均有提升的效果。因此，研究者認為數學探究教學提供了學生較開放的思考空間，透過教師適當的引導和同儕間的討論，幫助學生了解數學概念並將問題迎刃而解，也使學生從中獲得成就感，所以研究者認為探究教學應該是一個值得嘗試的教學方式。. 29.

(39) 第四節數學探究教學的架構綜合上述三節之文獻，總結數學探究教學的過程包含幾個特色，包括從生活周遭的事物中發現與數學相關的問題、提出問題，接著收集、組織與問題相關的資料，並在尋找中理解問題(Barrow, 2006)，最後獲得其中的數學概念之歷程。至於師生在探究課室中所扮演的角色及任務方面，總結教師的任務包括引起學生探究的動機、在教學過程中適時地善用提問的方式引導學生進行解題、讓學生與同儕間互相討論以及給予學生澄清和解釋的機會；學生的任務包括發現問題、對問題進行理解與猜測以及將解題想法與同儕分享。而這些特色剛好符合徐偉民 (2019)所提出的探究本位的數學教學(IBMI)，其認為探究的歷程從具挑戰性的任務出發，所謂的具挑戰性問題包括半結構性問題和結構性問題，半結構性問題又稱非例行性問題，為解題者看到題目後，無法立刻知道求解路徑之問題，其中徐偉民(2019)認為結構性問題(學生清楚知道解題歷程和答案之題目，類似於教科書上所會出現的題目)若對於學生而言，並非他們熟悉或解題線索明確的，仍屬於具挑戰性問題；接著進入想像階段，透過教師提供的線索和搭橋的鷹架，協助和引發(generate)學生對問題的思考，而學生會對問題進行搜尋和映射，從個人認知中發現(discover)能將此問題連結到過去可用之數學觀點；進而來到聚焦階段，教師藉由提問和要求說明來引導學生制定(device)解題的方法並發展(develop)解題的推理過程，過程中教師根據學生的貢獻建立(build)形式化的數學推理，從中幫助學生確認重要的概念和方法，同時，也要根據學生的解題貢獻來發展全班性共同的理解；最後到達一般化的階段，教師總結並將學生的推理與數學語言和符號作連結，提供學生為自己的解題思考進行辯護(defend)的機會，進而完成解題，深入理解問題中所蘊含的數學概念並能運用至其他情境中。因此，本研究決定採用徐偉民(2019)提出的 IBMI 模式，探討一位國小教師實施數學探究教學的歷程，同時，也釐清數學探究過程中教師有哪些任務要完成。 IBMI 完整架構圖如下圖 2-1 所示，其中中間為探究之歷程，左邊為教師的角色與任務，右邊為學生的角色與任務。. 30.