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教師實施數學探究教學之師生互動情形

第四章 研究結果與討論

第二節 教師實施數學探究教學之師生互動情形

本節主要是根據Lim、Lee、Tyson、Kim 與 Kim (2019)在研究中所提及的「持 續性提問」類別來進行師生互動情形的分析,包括探索學生的思維、重新表達、

要求重述、促進進一步的討論、詢問不一樣的答案、確認、運用他人的推理、建 立聯繫以及等待時間九種。

經研究者將所收集的資料進行歸類與分析後,可以發現小婷老師以探究方式 所實施的七題挑戰性數學問題中,每一題都包含了至少三種持續性提問的類型,

這種教師提問與學生應答的來往互動過程,在數學探究課室中可以說是時常出現 的情形。而由於研究者認為「探索學生的思維」和「促進進一步的討論」兩類別 之意義具有相關聯性,兩者皆是強調教師要求學生闡述其回應,教師接著透過提 問等方式擴大學生的回應,進而能有更進一步的討論,因此,研究者將兩者進行 合併,而「要求重述」此類別因無出現在小婷老師的探究教學當中,因此刪除此 項類別,最後保留的僅有七個持續性提問類別。以下就小婷老師實施的七題挑戰 性數學問題中,出現持續性提問之次數予以統計,整理如表4-3。

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一、探索學生的思維

在「比、比值與成正比」的探究單元中,挑戰性問題為:

「下課時間,圈圈和點點兩個好朋友在操場聊天散步,已知圈圈走 3 步 的時間,點點可以走 5 步;圈圈走 2 步的距離和點點走 3 步的距離一 樣遠。如果兩人同時同地同方向走,當點點走到 400 公尺時,圈圈和點 點隔多遠?」

小婷老師要求學生進一步闡述個人的解題想法,以了解其內心想法,便能根 據學生的回應做下一步的引導:

T:2÷3 是 23 ,圈圈走一步×3,同時間走 3 步,點點走,哦,有人看得 懂嗎?為什麼圈圈走一步×3=點點走 32 步×3?圈圈走 3 步=點點走 29

步,29 怎麼來?

S:32×3。

T:32×3,阿為什麼 32×3?可以解釋嗎?還是還需要時間想?好。

(AOb12260902) 在「數量關係」的探究單元中,挑戰性問題為:

「下面是媽媽用圓形和星形的珠子串出來的正方形圖案。(圖三) (1)「問號」比上一個圖形增加多少個珠子?是什麼形狀的珠子?」

小婷老師試圖澄清學生的想法,要求學生說出更多相關的解題要訣:

T:…所以你們直接把這排畫出來是嗎?請問一下,為什麼你們會知道 是 11,而且還沒單位,好請問你們怎麼知道是 11 個?

S:因為它每加一個邊就加兩個。 (AOb10010301)

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二、重新表達

在「圓面積」的探究單元中,挑戰性問題為:

「小明打算在女朋友生日的時候買一個 8 吋的披薩一起回家慶生,但 是老闆做錯做成 4 吋的披薩,於是老闆為了補償小明,再多送他一個 4 吋的披薩。綜合上述,請問小明是「賺到」還是「吃虧」還是「沒賺到 也沒吃虧」呢?為什麼?(一吋= 2.5 公分) (圓周率為 3.14)?」

小婷老師將學生所做出的回應換句話說:

S:如果 8 吋披薩一個兩塊錢,然後一個 4 吋兩塊錢的話,那如果 4 吋 兩個要兩塊錢,那它們價錢是相等的,那他吃到的面積又比較少。

T:哦就是你不一樣錢,但是你吃到的部分其實變少了,雖然看起來兩 個 4 吋,可是並不等於一個 8 吋,所以吃虧。再來第三組。第三組不一 樣餒,因為它有一個圖。 (AOb11250702)

在「數量關係」的探究單元中,挑戰性問題為:

「下面是媽媽用圓形和星形的珠子串出來的正方形圖案。(圖三) (5)當每邊排 20 顆串珠時總共有幾顆?圓形和星形各有幾顆?」

小婷老師將學生的回應加以敘述一次:

S:20 顆串珠,代表它 20 顆上面,這邊也是 20 顆,它是一個正方形,

正方形面積是邊長×邊長,所以邊長是 20,所以就是 20×20=400 顆…

T:…好,他的說明清楚,一邊 20 顆,每邊 20,一共有 20 層,因為它 是正方形,排出來是正方形的,所以 20×20,一共有 400 顆。

(AOb10010301)

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三、詢問不一樣的答案

在「圓周長」的探究單元中,挑戰性問題為:

「老師畫了一個直徑為 20cm 的圓形,然後在直徑上隨意選一點,在這 點的兩邊各畫一個圓,得出以下的圖案。請問:最大圓的圓周長度,以 及其餘兩個圓圓周長度的和,相較之下哪一個較長?(圓周率為 3.14)」

小婷老師向學生詢問是否有跟他組不一樣之解題想法及答案:

T:…來下一組。有沒有不一樣的答案?

S:我們有一個比較好解釋的方法,我們這組的結論是一樣大,因為這 樣是 20 公分,然後這裡設 16 公分,這邊是 4 公分的話,因為我們也不 知道所以就取一個加起來是 20 的算看看,所以呢我們算出來是 16 直 徑×3.14 就大約等於 48,然後 4 再×3.14 會大約等於 12,然後一整個大 圓直徑 20×3.14,算出來就是 60.多,然後 48+12 又是 60.多,所以答案 是一樣的。 (AOb11080601)

在「圓面積」的探究單元中,挑戰性問題為:

「用 2 個 14 圓扇形合起來拼成正方形,哪個部分會重疊?這兩個扇 形重疊部分的面積大約是多少?(圖一)」

小婷老師詢問學生有無不一樣的解題方法,並請他陳述出來:

T:…謝謝你的好方法。還有沒有其他的?請出來。

S:就是這邊是一個扇形,然後這邊又是一個扇形,那假如算兩個扇形

×2 的話,那這邊(眼睛)就有兩層,那這邊(兩塊綠色)就只有 1 層,然後 再扣掉這個正方形,那這邊(兩塊綠色)就 0 層,那這邊(眼睛)就 1 層。

(AOb11210701)

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四、確認

在「比、比值與成正比」的探究單元中,挑戰性問題為:

「下課時間,圈圈和點點兩個好朋友在操場聊天散步,已知圈圈走 3 步 的時間,點點可以走 5 步;圈圈走 2 步的距離和點點走 3 步的距離一 樣遠。如果兩人同時同地同方向走,當點點走到 400 公尺時,圈圈和點 點隔多遠?」

小婷老師確認學生的回應,給予肯定之詞語:

T:3a 好,那請問圈圈跟點點 1 步走多遠?幾比幾?

S1:3:2。

S2:3a:2a。

T:3:2,3a:2a,沒錯,可是我們學過前項後項除以同一個數,可以是 3:2…

(AOb12260902)

在「圓面積」的探究單元中,挑戰性問題為:

「小明打算在女朋友生日的時候買一個 8 吋的披薩一起回家慶生,但 是老闆做錯做成 4 吋的披薩,於是老闆為了補償小明,再多送他一個 4 吋的披薩。綜合上述,請問小明是「賺到」還是「吃虧」還是「沒賺到 也沒吃虧」呢?為什麼?(一吋= 2.5 公分) (圓周率為 3.14)?」

小婷老師針對學生的回應表達認同的語氣:

S : 我 們 先 算 出 2.5 公 分× 8=20 就 是 比 薩 的 直 徑 , 然 後 再 用 10×10×3.14=314,就是一整個圓的面積,然後我們在算小的,2.5×4=10 算出比薩的直徑,然後半徑×半徑×3.14,5×5×3.14 就變成 78.5,然後 老闆多送給他一個 4 吋的比薩,所以要 78.5×2=157,157(兩個 4 吋)是 小於 314(一個 8 吋),所以得出說 8 吋比薩的面積是比 4 吋的兩個披薩 大的,因此結果為小明吃虧。

T:她講的很清楚,好! (AOb11250702)

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五、運用他人的推理

在「數量關係」的探究單元中,挑戰性問題為:

「小豬和一位朋友打算在暑假時搭飛機去日本遊玩,飛機座位的號碼 排列如下。他們的座位號碼是 123、124 號。(圖二)

(3) 請問他們坐在第幾排?」

小婷老師請學生將他人的所做的推理或數學算式用自己的話語說明、解釋一 次:

T:…好來再來,請問一下,問題是這兩位先生是 123、124,來看一下 他們兩個會坐在哪裡。

S1:124÷8=15…4。

T:找一個人來解釋。

S2:124 號,每 8 個一排,前面已經坐滿了 15 排,還會剩下 4 個。

T:還要往下數 4 個對不對?

S2:對。

T:1234,所以是在 K…。 (AOb10040302)

六、建立聯繫

在「圓面積」的探究單元中,挑戰性問題為:

「小明打算在女朋友生日的時候買一個 8 吋的披薩一起回家慶生,但 是老闆做錯做成 4 吋的披薩,於是老闆為了補償小明,再多送他一個 4 吋的披薩。綜合上述,請問小明是「賺到」還是「吃虧」還是「沒賺到 也沒吃虧」呢?為什麼?(一吋= 2.5 公分) (圓周率為 3.14)?」

小婷老師幫助學生將正方形邊長和面積間的關係與圓半徑、直徑和圓面積間 的關係做相互聯結:

T:你們從以前在學到現在有沒有發現邊長跟面積的關係?正方形跟圓

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形有什麼關係?獲得了一個結論,正方形面積=邊長×邊長,當你邊長 變成兩倍大的時候,所以本來是 3 變成 6,就是×2,那面積呢兩倍嗎?

S:變 4 倍。

T:為什麼?

S:兩個兩倍。

T:對,它兩倍它也變兩倍,所以兩倍又兩倍其實會變 4 倍。面積呢一 樣,你們進入了一個結論的概念非常好,圓面積的公式是半徑×半徑

×3.14,我們先想 4 吋變 8 吋,直徑變兩倍半徑也變成兩倍,請問它的 面積會變幾倍?

S:4 倍。

T:為什麼?兩個半徑,所以其實它會變成 4 倍,半徑變 3 倍呢?

S:9 倍。

T:它會變成兩個 3 倍,所以會變成 9 倍。 (AOb11250702)

在「圓面積」的探究單元中,挑戰性問題為:

「用 2 個 14 圓扇形合起來拼成正方形,哪個部分會重疊?這兩個 扇形

重疊部分的面積大約是多少?(圖一)」

小婷老師提出問題,幫助學生在數學想法間建立聯繫:

T:好來暫停,周長一樣面積一定一樣,你認為對嗎?只要繩子一樣長,

我為出來的大小一定一樣對嗎?

S1:對。

S2:不對。

(老師用周長 8 公分的正方形舉例) (AOb11200701)

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七、等待時間

在「數量關係」的探究單元中,挑戰性問題為:

「小豬和一位朋友打算在暑假時搭飛機去日本遊玩,飛機座位的號碼 排列如下。他們的座位號碼是 123、124 號。(圖二)

(6) 小豬媽媽擔心女兒的安全,於是要飛去日本找小豬,而她開了座位 的條件:『第 10 排到第 12 排之間,號碼為單數,靠窗邊能欣賞風景』, 請問小豬媽媽的座位號碼可能為多少?」

小婷老師等待學生對問題進行思考,反思他人的解題方法及答案錯誤之處:

T:哦真的嗎?好來看一下這裡。有沒有好特別 3 個一樣的答案,3 個 不同的想法,這組其實有一個問題在,誰能找出來?我先說然後你再來 找問題,它其實用了一個很聰明的做法,他說為什麼你會選這排?因為 我要靠窗又要單數是在這邊對不對?好所以從頭到尾你們都不考慮 K 排,然後每一個減 1 都是 8 的倍數,所以他們乾脆做了一件事情,全部 都來算 8 的倍數,可是它是用 8×10,好來請問這邊的問題出在哪裡?

S:用 8×10 它是第 10 排最大的。

T:你一直算到第 10 排,它 80,然後再把它補上 81,變成再加 1 變成 81,所以這個是 81,請問這是第 10 排嗎?他說 81 號是在第 10 排,剛 才如果用數學來算,81 到底在第幾排?每 8 個一組,每 8 個一排…它 其實已經有坐滿滿的 10,它其實已經把前面 10 排坐滿了,…到了 81 的時候,他其實已經到了第 11 排,所以這個位置的問題你只差一個地

T:你一直算到第 10 排,它 80,然後再把它補上 81,變成再加 1 變成 81,所以這個是 81,請問這是第 10 排嗎?他說 81 號是在第 10 排,剛 才如果用數學來算,81 到底在第幾排?每 8 個一組,每 8 個一排…它 其實已經有坐滿滿的 10,它其實已經把前面 10 排坐滿了,…到了 81 的時候,他其實已經到了第 11 排,所以這個位置的問題你只差一個地