數學探究教學

第二章 文獻探討

本研究欲探討個案教師在實施數學探究教學之歷程及對學生數學學習表現 的影響，本章首先釐清數學探究教學之意義，接著了解數學探究教學課室中師生 的角色與任務，再來探討數學探究教學的相關研究，最後撰寫從前面三節文獻中 所獲得的啟發，共分四小節，分述如下：

第一節 數學探究教學 一、 探究的意涵

何謂探究？國語辭典對「探」的解釋為尋求、推探及試測，而「究」有推求、

追問之意；探究的英文為inquiry，英漢辭典對其的解釋為探問、質詢之意。從字 面上來看，探究即追求某些訊息來進行探索或尋找，並對所尋求之訊息產生質疑 (Barrow, 2006)。美國國家科學會(National Research Council，簡稱 NRC)在 1996 年 提出探究(inquiry)是一種具多面向的活動，包含觀察、提出問題與假設、計畫研 究步驟以進行探索活動、從書籍或其他資訊中確認已知的知識、使用工具進行搜 集與分析、對資料進行詮釋並提出答案與結果，並與他人溝通結果，來對假設進 行驗證；Barnett(1998)指出，探究包含提出問題、推想、測試、批判、評估、改 正以及重新試驗新資訊的觀點。由此可知，探究是一種多面向的動態學習歷程。

Haury(1993)認為探究是人類對於某現象產生好奇而努力尋求合理解釋的一些行 為，這與 Jarrett(1997)的想法頗為一致，其認為探究是為了滿足個人的好奇心，

而願意努力去尋找合理解釋所做出的行為。而 Windschitl(2003)指出，探究是一 系列相關的智力活動，必須運用各種方法去解開問題中所隱藏的訊息，包含了察 覺問題、構思假設、設計解決方法等過程。

綜合以上所述，可以發現各專家學者對探究持有不同的詮釋及想法，但大多 都認為探究的過程包括從生活周遭的事物中發現問題、提出問題，接著收集、組 織與問題相關的資料，並在尋找中理解問題(Barrow, 2006)；再者，探究在解決問 題過程中為不可缺少的方式，換言之，探究活動是人類基於對自然現象產生的好 奇心和求知慾，進而思考、搜尋相關知識，並主動尋求答案以解決問題的過程

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(Jarrett,1997)。因此，研究者認為探究是學生主動去探尋他所不知道的事物，而 後透過大腦的運轉思考及周遭資訊的整理歸納，從中慢慢建構出屬於自己所了解 的知識之過程。

二、 數學探究教學

雖然探究教學起初是被提倡運用在自然科目的教學上，但從數學教育的觀點 來看，數學教學專業標準(Professional Standards for Teaching Mathematics)指出：

探究包括探索(exploring)、臆測(conjecturing)、邏輯推理(reasoning logically)和評 估某個想法是否合理(evaluating whether something makes sense or not)等過程，是 學生學習數學概念和知識最重要的脈絡之一，且數學探究教學被認為對學生的數 學理解和數學思維發展是幫助極大的(NCTM, 1991)，這也與十二年國教數學領域 的課程目標其中一項重點在於培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題 的能力相互呼應，可見培育學生的數學探究能力已然成為數學教育中的關鍵重點。

而基於前面所指出探究是對某一自然現象產生好奇心和求知慾，為了解決對 於新事物的疑惑，會願意主動思考及搜尋相關知識以尋求答案並解決問題的過程。

那麼數學探究便是以數學相關問題來引起學生的好奇心或興趣，激起他們解決眼 前問題的動機，因而著手思考解決策略的歷程。紀雅芳與溫媺純(2008)認為數學 探究教學是教師在適當的教學環境下製造問題情境，讓學生產生疑問或興趣，給 予他們觀察、探索、討論、推理、溝通、修正、確認、建構知識以及尋找模式與 規則的數學學習過程，而教師在旁擔任引導者的角色，提供學生進行思考與探索 及與同學分享討論的機會(黃家鳴，2005；Diezmann, 2004)。在整個數學探究的教 學中，不光只有學生獲得激發他們主動了解數學知識的機會，另一方面，教師也 能從中獲得了解學生思考的獨特機會，這也意謂著在數學探究教學的課室裡，學 生和教師共同承擔了學習的責任。

基於上述，可以了解數學探究教學的目的不外乎是黃家鳴(2005)所提及的，

包括以下九點：1.提供學生機會主動參與數學思考及數學之創製(mathematics-in-the-making)；2.讓學生有機會享受數學；3.讓學生建立個人的數學經驗，減少對 數學科的各類迷思；4.建立學生對自身的常理思考(common sense)的信心；5.減輕 學生對犯錯的憂慮，使學生願意主動嘗試；6.促進學生之數學概念理解；7.提供

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另類之數學課堂模式；8.呈現數學為一種可參與的活動，而非只是被灌輸一堆知 識的學科；9.提供獨特機會讓教師認識與了解學生的數學思考。可見數學探究教 學就是運用各種方法來探索觀念和關係、製造和檢驗猜想，尋求問題解答的一種 歷程與活動(McNeal & Simon, 2000)。

知悉數學探究教學的意涵與目的後，接續將要探討教師在實施數學探究教學 有以下六個重要特徵：1.仔細觀察(observing carefully)；2.採用多元觀點(adopting multiple points of view) ； 3. 產生 問題 (raising questions) ； 4. 提供 臆測 (offering conjectures)；5.設計並執行計畫(making and carrying out plans)；6.反思結果 (reflecting on the results)。Diezmann(2004)則認為數學探究教學包含三個元素：1.

開放式問題(open-ended questions)：提供開放式的問題讓學生進行挑戰，擴展他 們的思考範圍，以了解學生的數學能力；2.調查(investigations)：調查為數學探索 所重視的是方法及過程的訓練，教學必須靈活且有彈性的。Kuster, Johnson, Keene 與Andrew-Larson(2017)也從真實數學教育(Realistic Mathematics Education, RME) 的理念，指出數學探究教學的主要一教學特色為讓學生從非形式化(informal)的 數學推理，然後透過教師逐步地引導發展出形式化(formal)的推理。徐偉民(2019) 從前述觀點提出四個數學探究的教學原則：「引發學生的推理方法」(generating students ways of reasoning)和「根據學生的貢獻建立(形式化的數學推理)」(building on student contributions)。前者之意為教師設計真實的數學問題來引導學生發現其

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中的數學概念，過程中強調學生的思考與推理，並能為自己的想法做出合理的解 釋；後者之意為教師將學生所做出的推理進行選擇與順序化，讓教室內的所有學 生都能夠理解，這即為第三個原則「發展共享的理解」(developing a shared understanding)，也就是教師要讓學生相互理解他人所提出的解題方法；最後，教 師讓學生從非形式化的推理(或不完全正確的解題方法)過渡到形式化的數學語 言和符號，這即為第四個原則「連結到標準的數學語言和符號」(connecting to standard mathematical language and notation)。以上為四個數學探究教學原則(徐偉 民，2019)。

經由以上所述，除了了解數學探究教學的意涵與目的外，也從專家學者身上 獲得將數學探究應用在教學上的特徵及原則，不可否定的是數學探究教學也被各 學者大力提倡運用在數學教育上，以給予學習者參與具有挑戰性的數學任務 (Diezmann, 2004)。

三、數學探究教學模式

在前面所提及的原則下，有很多探究教學的模型紛紛被發展出來，進行的階 段也分別有三階、四階、五階等，茲將較常見且較多人採用在數學教學上的模式 加以探討及介紹。

(一) AAAS(1993)的數學探究教學模式

美 國 科 學 促 進 會 會 (American Association for the Advancement of Science [AAAS], 1993)提出數學探究就像是數學家在做數學所進行的工作，視數學為一 個研究的循環(a cycle of investigation)，而這個循環分成表徵、操弄、驗證三階段，

以下分別敘述。

1.表徵(Representation)

指能使用抽象化的概念來表達真實的事物，也就是能運用數字、形狀、運算 和符號等抽象的方式來表示真實世界中的事物，並能用抽象化的概念解決問題。

在這個階段，學生最主要目標是能理解用符號來表徵抽象，並且應用進行解題。

2.操弄(Manipulation)

指想像一些可能的情況，利用符號、圖像等來表徵事物、分配它們的性質、

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選擇適當的運算方式，然後依據邏輯規則移動這些符號以獲得答案，這些就是操 弄的過程。

3.驗證(Validation)

「驗證」在數學中是判斷(judgment)，而非權威(authority)，一個解答的好壞 攸關到這個問題是如何形成的。因此，除了驗證解決問題的過程及結果外，也要 能實際將結果應用到其他的領域中，也就是將數學的知識與真實的世界做連結。

以上為 AAAS(1993)提出的三階段數學探究教學模式，AAAS 認為學生應該 要有機會利用這三個循環去執行他們的數學探究，然而，其也認為數學探究雖然 包含這些過程，但這些過程並不是一成不變的。

(二) Speer(2003)的三階段探究環

Speer(2003)認為數學的學習應藉由探究的過程來發展，並倡導以合作為主 的探究教學，他提出了探索、創造、擴展三個階段的探究環(The Inquiry Cycle)，

以下分別敘述。

1.探索(exploration)階段

此階段學生會面臨舊知識與新知識的認知衝突，因而透過探究活動讓學生在 面對問題時能將舊有知識進行整合，並與新的概念進行結合，促使學生產生新的 想法及多元的價值。據此，此階段的重點在於將學生的新舊知識做整合，而教師 必須提供適當的問題或情境來刺激學生進行探索。

2.創造(invention)階段

此階段給予學生時間進行討論及反思，並鼓勵學生在面對問題時，能夠表達 自己的想法，並盡可能發展新的推論模式，教師則透過適當引導建立學生的問題 解決策略。所以說此階段的核心活動在於小組彼此溝通想法並互助合作，嘗試與 猜測各種解題可能，藉由互相提問辯證深入問題核心。

3.擴展(expansion)階段

此階段主要讓學生練習新的知識與推理模式，並將探究結果擴展應用到其他 相關例子、情境或脈絡上，形成更穩固的新知識。

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(三) 徐偉民(2019)的探究本位數學教學(IBMI)

徐偉民(2019)認為數學探究的歷程從具有挑戰性問題出發，歷經想像、聚焦 及一般化階段，而在實施的歷程中，教師隨時在進行引發推理、建立貢獻、發展 理解與連結符號等教學任務，而學生則歷經發現(Discover)、制定(Devise)、發展 (Develop)、辯護(Defend)的過程，以下分別敘述。

1.想像(Imagination)階段

經教師給予一具有挑戰性問題後，在此階段教師會幫助學生將此問題連結到 數學的脈絡，並藉由提供線索和搭橋來引發學生對問題進行推理及思考，學生則

經教師給予一具有挑戰性問題後，在此階段教師會幫助學生將此問題連結到 數學的脈絡，並藉由提供線索和搭橋來引發學生對問題進行推理及思考，學生則