第二章 文獻探討
第二節 小數乘除法之學習探究
小數乘除法是小數基本計算中的重要一環，也是九年一貫數學領域課程 綱要中明確指出學生應在小學畢業前熟練的部分（教育部，2003）。Hiebert and Wearne（1986）指出學生學習小數乘除法比學習加減法還困難，因為小數乘 除法的基本概念與整數乘除法的概念並不完全相同，無法直接轉移過來，亦 即在學習小數乘除法時，易受到先前學習整數的概念影響，產生「乘會越乘 越大」、「除會越除越小」的迷思，此結果在其他的研究中也常發現（林原 宏，1994；陳永峰，1998；劉曼麗，2001）。以下分別就小數乘除法的概念 及運算加以說明。
壹 壹
壹 壹、 、 、 、小數乘法概念與運算 小數乘法概念與運算 小數乘法概念與運算 小數乘法概念與運算
一、小數乘法概念
依據學生整數運算的舊經驗來看，乘法意義為「累單位量」，但對小數 乘法而言，「累單位量」的觀念不易理解，再加上小數乘法的關鍵在於小數 點的位置處理，因此小數乘法的意義必須承接分數乘法意義來理解。小數乘 法依類型可區分兩類：（一）乘數為整數；（二）乘數為小數（劉曼麗、侯淑 芬，2007）。在乘數為整數的類型，多數學童能類比整數乘法經驗之累單位 量意義來理解，所以概念清楚，在列式解題上較無困難。舉例說明：「3.6公 尺的2倍是多少公尺？」將3.6公尺視為1個單位量1，2倍即為2個單位量1之 對應值，列式應為3.6×2。可是在乘數為小數的類型，學童在思考解題時，
需先將原單位量等分成更小的單位量後，才能類比整數乘法經驗之累單位 量，這樣的思考過程對學童而言是有某一程度的困難。
劉曼麗（2004）研究指出，小數概念的教學應強調等分割概念、多階單
1 ×2＝3×0.1×2＝3×0.2。
林碧珍（2007）則針對乘數為小數的類型，提出兩種安排教材的方式，
二、小數乘法運算策略
1.5
解題，進一步瞭解除數為小數的意義。
引學生理解商與餘數之小數點的處理。舉例說明：「3.2公升的汽水，分裝到 0.03公升的小杯子，儘量分完，可分裝成多少小杯子？剩下多少公升？」先 將被除數與除數同時轉換為以「0.01公升」為計數單位，並將題目重述為「320 個0.01公升的汽水，分裝到可裝3個0.01公升的小杯子，儘量分完，可分裝成 多少小杯子？剩下多少公升？」如此一來，學生可透過熟悉的整數除法經 驗，進行計算並記錄算式為320÷3＝106…2。由於前後兩個題目敘述的差異 處，在於使用不同的計量單位量描述，所以商為106仍然是原題目的商，但 是在餘數方面，「2」所代表的意義是「2個0.01公升」，因此原題目之餘數應 為0.01×2＝0.02。
而小數除法的另一個重點則是當商除不盡時，需結合四捨五入法來取概 數。以「四捨五入法取商到小數第一位」為例，學童常未能釐清語意，僅求 商到小數第一位；部分學童雖能算到小數第二位後再四捨五入，但卻又記錄 出餘數，顯然對於取概數到指定位數的意義不清楚。劉曼麗、侯淑芬（2008）
也指出，教師應協助學童釐清「四捨五入法取商到小數第幾位」和「商算到 小數第幾位，並寫出餘數」兩者之不同處，以免產生混淆而導致計算錯誤。
Greer（1992）認為在乘除概念的發展上，由整數發展到有理數時，數 學結構與真實情境的關係逐漸缺乏連結，使得學生在解決有理數乘除問題 時，仍直覺使用在整數所建構的解題策略。如此一來就可能產生「乘變大、
除變小」及除法應是「大數除以小數」之迷思概念（Bell & Taylor, 1981）。
教師在教學過程中，應避免教導學童以整數來替代小數思考解題，否則 便難以真正理解小數乘除法的意涵。
參 參 參
參、 、 、 、相關實證性研究 相關實證性研究 相關實證性研究 相關實證性研究
研究者歸納整理出與小數概念相關的研究，並將有關於小數乘除法概念 之部分羅列如下：
一、劉曼麗（2001）
（一）研究主題：國小學童的小數知識研究
（二）研究對象：高屏地區的三所學校，每校四、五、六年級學童各一班，
共 9 班總計 329 人
（三）研究方法：筆試和訪談
（四）研究結果：
1、小數的概念
（1）普遍存有「乘變大，除變小」的迷思。
（2）在小數除法上，以「大數」÷「小數」解題。
2、小數的計算
（1）在求餘數的問題中，仍會以四捨五入法求商。
（2）當題目求餘數時，易忽略餘數的小數點，或錯放位置而對齊移位 後的被除數小數點。
二、張淑萍（2006）
（一）研究主題：一位教師實踐五年級小數教學之行動研究
（二）研究對象：苗栗縣某國小五年級學生34人
（三）研究方法：行動研究
（四）研究結果：
1、學習小數的整數倍時，只記規則，不明白意義。
2、學生因為沒有分數倍的經驗，而無法接受倍數是小數。
3、對乘法橫式算式認知有迷思，會將整數的小數倍算式錯記成「小數×
整數」，並將「整數×小數」和「小數×整數」兩者視為同義。
4、整數或小數除以整數時，有「大數除以小數」的迷思。
5、在計算時常不清楚商到算到哪一位，連帶餘數的位值也不清楚。
三、梁文鎮（2007）
（一）研究主題：一位五年級教師小數教學之行動研究
（二）研究對象：新竹縣某國小五年級學生30人
（三）研究方法：行動研究
（四）研究結果：
1、能以整數乘法的舊經驗進行小數整數倍的直式計算。
2、利用小數加減法中對齊小數點觀念，決定積的小數點位置。
3、小數除以整數，學生能使用一般成人算則的多階策略解題，以多少 個0.1或0.01為計數的單階策略做解題和估商策略，但遇到被除數需 要補0的時候，學生使用單階策略就會出現不知道應該換0.1、0.01或 0.001的情況。
四、吳昇軒（2007）
（一）研究主題：電算器融入補救教學影響算則理解之研究—以小數除法 為例
（二）研究對象：彰化縣某國小六年級學生6人
（三）研究方法：個案研究
（四）研究結果：
1、補救教學之前，學生記憶小數除法算則程序來解題，知道小數點要 移位，但不知道移位的意義，更不瞭解移位後的商是否相等。
2、電算器融入補救教學活動後，學生瞭解不只能向右移位，也可以向 左移位，結果是乘或除以十的冪次方倍。
3、瞭解小數除法轉換成整數除法，是將被除數與除數同乘以某倍數，
因此餘數變大某倍，並驗證與理解在小數除法算則的餘數處理規 則，有助於幫助學生釐清小數除法算則。
五、朱欣傑（2009）
（一）研究主題：探討國小學童小數四則運算的了解
（二）研究對象：臺北縣某國小六年級學生4人
（三）研究方法：半結構晤談法
（四）研究結果：
1、對於小數乘法之積的小數點位置不清楚，似乎是使用乘數的小數位 數作為積的小數位數，且由最左邊開始向右移動。
2、學生受小數乘法影響而誤認為商的小數位數是被除數跟除數的小數 位數之和。
六、賴文溥（2009）
（一）研究主題：國小六年級學童小數除法概念結構分析之研究
（二）研究對象：臺中縣某國小六年級學生33人
（三）研究方法：試題關聯結構分析法
（四）研究結果：
1、進行小數除以小數時，單位轉換策略中商和餘數分別代表的意義不 清楚，也造成解讀錯誤。
2、處理沒有餘數的題目表現優於有餘數的題目。
3、許多學童仍屬於「大數除以小數」型，不管情境，一定是以大數除 以小數來解題。
4、當不夠除時，商要先補零的概念不清楚。
5、對四捨五入法取概數需進位時，又遇到進位的數值為9，而需連進兩 位的概念不清。