第二章 文獻探討
第三節 現行小數乘除法教材安排
本節將就九年一貫數學領域課程及各版本教科書內容，有關小數乘除法 概念的部分做歸納整理。
壹 壹
壹 壹、 、 、 、九年一貫數學領域課程 九年一貫數學領域課程 九年一貫數學領域課程 九年一貫數學領域課程
根據教育部（2003）公布的九年一貫課程綱要之數學領域重點，有關能 力指標及分年細目作以下簡述：
一、能力指摽
九年一貫課程綱要的能力指標是參酌施行多年且有穩定基礎的傳統教 材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科學工具性的性質、現有學 生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行修訂。
數學領域將九年國民教育共區分為四個階段：階段一為一至三年級，階 段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學 內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。
前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；
第二碼表示階段，分別以1，2，3，4表示第一、二、三和四階段；第三碼則 是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。
以下將九年一貫課程綱要數學領域中，與小數乘除法相關之能力指標，
整理如表2-3-1。
表 表
表表2-3-1 小數乘除法相關之能力指標小數乘除法相關之能力指標小數乘除法相關之能力指標小數乘除法相關之能力指標
N-2-05 能用四捨五入法，對某數在指定位數取概數，並作加、減、
乘、除之估算。
N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。
N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數 倍的計算，並解決生活中的問題。
N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。
N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。
N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。
二、分年細目
貳 貳
（三）小數的乘法單元教學活動，如表2-3-3。（整理自黃金鐘，2009）
二、翰林版
（二）小數的除法單元教材地位，如圖2-3-4。（引自黃經良，2010）
圖2-3-4 翰林版翰林版翰林版「翰林版「「小數的除法「小數的除法小數的除法小數的除法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 活動 1 小數除以整數
在等分除的狀況下，解決小數除以整數的問題（商為小數，沒有餘數）
活動 2 小數除以小數，有餘數
在包含除的情境中，解決小數除以小數的問題（商為整數，有餘數）
活動 3 小數除以小數，可整除
解決小數除以小數的問題（商為小數，沒有餘數）
活動 4 被除數、除數和商的關係
能依據除數和 1 的關係，判斷被除數和商的大小關係
第十三冊 第 1 單元 數與數線
正數、負數與數線
數的大小與絕對值
整數的加減
整數的乘除與四則運算
第十冊 第 3 單元 小數的乘法
理解一個小數的
1000 1 100
1 10
1、 、 倍
解決被乘數為整數，乘數為純小數或帶小數的小數乘法問題
被乘數為小數，乘數為純小數或帶小數的小數乘法問題
將兩小數在指定位數取概數後，進行乘法估算
活動 5 小數除法的概算
在未除盡的狀況下，用四捨五入法處理商的概數
（三）小數的乘法單元教學活動，如表2-3-5。（整理自黃經良，2009）
三、康軒版
（二）小數的除法單元教材地位，如圖2-3-6。（引自張淑慧，2010）
（三）小數的乘法單元教學活動，如表2-3-7。（整理自張淑慧，2009）
第四節
論（classical test theory，CTT）發展至試題反應理論（item response theory，IRT）。試題反應理論之目的是從大範圍中找出一個起始值來針對試題或是 選項特徵函數（option characteristic function）做有效的估計，而以圖形的方 式來呈現出受試者的能力與試題選項反應結果的關係，則稱為選項特徵曲線
（option characteristic curve，OCC）（吳慧珉，2001）。
傳統的試題分析方法主要是在分析每個試題的難度、鑑別度與誘答力
（Ebel ＆ Frisbie, 1991），加拿大心理計量學者 Ramsay 結合「高低試題鑑 別指數」與「核平滑無參數估算法」，發展出正確選項與誘答選項均可分析 之核平滑法無參數試題特徵曲線估算法（kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation ） 於 1991 年 發 表 於 Psychometrika 期刊上。核平滑（kernel smoothing）就是被估計的受試者加以 排序後的函數和試題選項是否被選（選則指示值為 1，否則為 0）而成為二 元變數（binary variable）之間的關係。此方法並無假設任何適當的模式，完 全根據受試者實際作答資料來進行分析，是一種無參數（nonparameter）的 試題反應理論（Ramsay, 1991）（引自楊志強，2004）。
Ramsay 並根據上述理論，發展出 TestGraf98 軟體，用以估計選項特徵 曲線。
貳 貳 貳
貳、 、 、 、選項特徵曲線 選項特徵曲線 選項特徵曲線 選項特徵曲線
有別於傳統的試題分析軟體，直接分析試題難度指數（item difficulty index）、鑑別度指數（item discrimination index）及各試題選項的選答率，
TestGraf98 軟體則是繪製出試題之選項特徵曲線，並依據曲線變化來解釋試 題的難度、鑑別度與選項誘答力（楊志強，2004）。
藉由圖形化的方式來記錄比較資料及數據，以受試者的能力為橫軸，受 試者在某一試題之選答率為縱軸，事先並無假設其服從某一特定之試題反應 模式，完全根據受試者的作答資料，配合上述之核平滑化法，得一平滑之曲 線圖（吳慧珉，2001）。
透過TestGraf98軟體所繪製之選項特徵曲線圖，有以下之用途：
一、進行試題分析
將好的試題選項予以保留，而將題意不明或誘答力不佳之試題選項刪 除，進而提升試題品質。
二、瞭解作答反應
透過選項特徵曲線圖來瞭解不同能力受試者，在各試題選項之選答率，
藉以判斷試題選項之特性及發現學童的迷思概念，以作為改善教學或進行課 後補救參考。
TestGraf98 軟體所繪製之選項特徵曲線圖，正確選項以綠線呈現，錯誤 選項則以紅線呈現，關於選項特徵曲線的意涵與解釋方式，研究者以林清芳
（2003）之研究資料，提供幾個範例予以說明。
一、分析難易度
（一）圖2-4-1：
這是一題較難之試題，正確選項為第1選項，只有高能力之受試者才有 可能答對此一試題，而選項3對於中低能力之受試者具有高誘答力。
（二）圖2-4-2：
這是一題相當容易之試題，正確選項為第4選項，任何能力之受試者對 於正確選項均有很高之選答率，其誘答選項幾乎不具誘答力。
圖2-4-1 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線（（（一（一一一））） ）
圖2-4-2 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線（（（二（二二二））） ）
二、分析鑑別度 圖2-4-3：
這是一題良好之試題，正確選項為第2選項，當受試者之能力值大於
－0.6之後，選答率逐漸增加，即受試者須具備某一答題概念，方可答 對此題，所以此試題具有良好之鑑別度。即良好的正確試題選項，在某 一範圍之能力值，其選項特徵曲線會急遽上升。
圖2-4-3 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線（（（三（三三三））） ） 三、分析誘答力
（一）圖2-4-4：
正確選項為第2選項，對中低能力之受試者而言，沒有具備答對此題之 解題概念，反而是擁有誘答選項1之錯誤概念。
（二）圖2-4-5：
這一題正確選項為第3選項，選項2和選項3之曲線幾乎呈現對稱，顯示 選項2具有高誘答力，影響受試者之作答反應。
（三）圖2-4-6：
正確選項為第4選項，中等能力之受試者即能答對此題，選項1對於低能 力受試者具有高誘答力。
圖2-4-4 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線（（（四（四四四））） ）
圖2-4-5 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線（（（五（五五五））） ）
圖2-4-6 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線（（（六（六六六））） ）
第三章
第二節
念圖，如圖3-3-1所示。
圖3-3-1 小數乘除法概念圖小數乘除法概念圖小數乘除法概念圖 小數乘除法概念圖
參
參 參
參、 、 、 、試卷編製 試卷編製 試卷編製 試卷編製
一、試題與概念對照表
根據上述的小數乘除法概念圖，將小數乘除法概念再細分為各個子概念 和次概念，設計預試試卷的小數乘除法試題與概念對照表（如表3-3-1），並 依對照表來設計測驗試題。
小數除法概念 小數乘除法概念
小數乘法概念
小數乘以整數
整數乘以小數
小數乘以小數
被乘數、乘數 及積的關係
商為整數，有餘數 小數除以整數
商為小數，沒有餘數
被除數、除數及商的關係 商為整數，有餘數 商為整數，沒有餘數 商為小數，沒有餘數 小數除以小數
商為小數，除不盡，
取概數到指定位數
表表
表表
四、進行預試
預試試卷編製完成後，由彰化縣溪湖鎮六所國民小學之六年級普通班，
依便利性抽樣方式選取7個班級，再以隨機抽樣方式選取其中2個班級，於99 年11月29日～12月7日進行預試試卷施測（樣本數56人）。考量預試試卷的 題目共有35題，所以測驗的時間為60分鐘。
五、預試結果分析
將預試試卷資料輸入SPSS 12.0及EXCEL兩套軟體，分析試卷的信度和 效度及試題的難度和鑑別度。分析過程說明如下：
（一）信度分析
本研究採取Cronbach α係數，分析預試試卷的信度及刪除每一道試題後 的信度（參見附錄三），分析後得到整體之α係數為 .896，而α信度是真正 信度的下限值（lower bound），也就是真正信度會比計算出來的信度值高。
表示預試試卷為具有良好信度的優良試卷。
（二）效度分析
本研究採用專家效度，預試試卷編製完成後，先經由指導教授的指導，
再請五位擔任國小高年級數學科教學的教師，請其依雙向細目表與試題檢核 表幫忙審題，提出修正意見，以適度修改試題，顯示這份預試試卷具有良好 的內容效度。此外利用內部一致性分析法，求得每道試題的點二系列相關係 數rpb（如表3-3-3），除了第5、6、14、19及35題未達顯著水準外，其餘試 題皆達顯著水準，顯示這份預試試卷具有良好的內部一致性，即具有良好的 建構效度。
（三）難度及鑑別度分析
將預試的樣本數56人，選取前27％高分者（15人）編為高分組，後27
將預試的樣本數56人，選取前27％高分者（15人）編為高分組，後27