• 沒有找到結果。

TestGraf98在六年級小數乘除法概念之試題編製與分析

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "TestGraf98在六年級小數乘除法概念之試題編製與分析"

Copied!
137
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授:胡豐榮 博士

TestGraf98 在六年級小數乘除法概念

之試題編製與分析

研究生:吳建賢 撰

中華民國 ㄧ○○ 年 六 月

(2)

摘要

摘要

摘要

摘要

本研究旨在編製一份良好的小數乘除法概念測驗,並分析整份測驗試卷 及試題之特性。藉由選擇題型的誘答選項之分析,瞭解學童對小數乘除法問 題的迷思,以提供教師作為修正教學及進行補救教學之參考。 本研究以彰化縣溪湖鎮六所國小之六年級學生為研究對象。以編製之 「小數乘除法概念測驗」為研究工具。研究結果如下: 一、試卷和試題分析 (一)試卷的信度值 Cronbach α 係數為 .863,為信度良好的試卷。 (二)試卷具有良好的內容效度與建構效度。 (三)試題的平均難度是 .70,屬於中間偏易的試題。 (四)試題的平均鑑別度是 .49,屬於鑑別度良好的試題。 二、測驗試題的選項特徵曲線 (一)選項特徵曲線依照形狀,可歸納出四種類型。 (二)所有的誘答選項都具有誘答力。 三、國小六年級學童對於小數乘除法概念的理解情形 (一)在小數乘法直式計算時,易忽略被乘數或乘數數值之「0」,顯示缺乏 位值概念。 (二)在小數除法解題時,存有「大數除以小數」的迷思。 (三)商為小數沒有餘數的題型,易忽略商需補「0」才可除盡。 (四)四捨五入法取概數需連進兩位的概念不清楚。 本研究針對研究結果提出對教學與未來研究的建議。 關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字:::小數:小數小數小數乘法乘法乘法乘法、、小數除、、小數除小數除法小數除法法法、、、選項特徵曲線、選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線

(3)

On Item Analysis and Development of the Decimal

Multiplication and Division Concepts by Using

TestGraf98 for the Sixth Grade Students

Abstract

The purpose of this study is to compile and develop a competent test of the decimal multiplication and division concepts, and to analyze the characteristics of the test and items. By means of the analysis of the distracters of the multiple-choice items is to search for the misconception of students, which would be a good reference to teachers who can adjust their teaching methods and proceed on remedy instruction.

The study objects are the sixth grade students from six elementary schools in Changhua County Sihu Township. The study tool is “the Test of the Decimal Multiplication and Division Concepts”. The study results are as follows:

I. About the analysis of the test and items

1. The reliability coefficient of Cronbach α of the test is 0.863, which means the test with good reliability.

2. The content validity and construct validity of the test are good.

3. The average difficulty index of the items is 0.70, which belongs to the middle slanting simple items.

4. The average discrimination index of the items is 0.49, which means the items with excellent discrimination.

II. About the option characteristic curve of the items of the test

1. According to the shapes, there are 4 types of option characteristic curve. 2. All of the distracters of the multiple-choice items have distraction.

III. About the understanding conditions of the sixth grade students on the decimal multiplication and division concepts

1. In the decimal multiplication algorithm, the multiplicand or multiplier value of "0" is easily to be neglected, indicating a lack of place value concept.

2. When students solving the decimal division problems, there is a misunderstanding that "big numbers should be divided by small numbers".

3. The kind of question of no remainder, the quotient must add "0" then dividend can be divisible is easily to be neglected.

4. Rounding up numbers in two places is not clear for some students.

At last, according to the findings of this study, some applications for the instructional activities and the further researches were recommended.

(4)

目次

第一章 緒論 ...1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的與待答問題...3 第三節 名詞釋義...4 第四節 研究限制...5 第二章 文獻探討 ...7 第一節 小數概念之發展...7 第二節 小數乘除法之學習探究...12 第三節 現行小數乘除法教材安排...20 第四節 選項特徵曲線概述...31 第三章 研究方法與步驟 ...37 第一節 研究架構...37 第二節 研究對象...38 第三節 研究工具...38 第四節 研究程序...45 第五節 資料處理...46 第四章 研究結果與分析 ...47 第一節 正式施測試題與試卷分析...47 第二節 學童答題情形分析...51 第三節 選項特徵曲線分析...56 第四節 小數乘除法概念理解情形分析...84 第五章 結論與建議 ...97 第一節 結論...97

(5)

第二節 建議...103 參考文獻 ...105 壹、中文部分...105 貳、外文部分...109 附錄一 試題檢核表 ... 112 附錄二 國小六年級小數乘除法概念預試試題 ... 113 附錄三 預試試卷之信度分析表 ...121 附錄四 國小六年級小數乘除法概念正式施測試題 ...122 附錄五 正式試卷之信度分析表 ...128

(6)

表次

表次

表次

表次

表 2-1-1 小數和整數知識的比較表 ...9 表 2-1-2 小數和分數知識的比較表 ...10 表 2-3-1 小數乘除法相關之能力指標 ...21 表 2-3-2 小數乘除法相關之分年細目及對照能力指標 ...22 表 2-3-3 南一版「小數的乘法」單元教學活動 ...24 表 2-3-4 南一版「小數的除法」單元教學活動 ...24 表 2-3-5 翰林版「小數的乘法」單元教學活動 ...27 表 2-3-6 翰林版「小數的除法」單元教學活動 ...27 表 2-3-7 康軒版「小數的乘法」單元教學活動 ...30 表 2-3-8 康軒版「小數的除法」單元教學活動 ...30 表 3-3-1 小數乘除法試題與概念對照表 ...40 表 3-3-2 小數乘除法預試試卷試題雙向細目表 ...41 表 3-3-3 預試試題難度與鑑別度表 ...43 表 3-5-1 晤談資料編碼方式 ...46 表 4-1-1 正式試題難度與鑑別度表 ...48 表 4-1-2 正式試題難度統計表 ...49 表 4-1-3 鑑別度評鑑標準表 ...49 表 4-1-4 正式試題鑑別度統計表 ...50 表 4-2-1 正式試卷之描述性統計資料表 ...51 表 4-2-2 正確選項的選答人數及選答率統計表 ...52 表 4-2-3 選項誘答力分析表 ...54 表 4-4-1 小數乘以整數概念答對率統計表 ...84 表 4-4-2 小數乘以小數概念答對率統計表 ...84

(7)

表 4-4-3 整數乘以小數概念答對率統計表 ...86

表 4-4-4 被乘數、乘數及積的關係答對率統計表 ...86

表 4-4-5 小數除以整數概念答對率統計表 ...88

表 4-4-6 小數除以小數概念答對率統計表 ...89

(8)

圖次

圖次

圖次

圖次

圖 2-3-1 南一版「小數的乘法」單元教材地位 ...23 圖 2-3-2 南一版「小數的除法」單元教材地位 ...23 圖 2-3-3 翰林版「小數的乘法」單元教材地位 ...25 圖 2-3-4 翰林版「小數的除法」單元教材地位 ...26 圖 2-3-5 康軒版「小數的乘法」單元教材地位 ...28 圖 2-3-6 康軒版「小數的除法」單元教材地位 ...29 圖 2-4-1 選項特徵曲線(一) ...33 圖 2-4-2 選項特徵曲線(二) ...33 圖 2-4-3 選項特徵曲線(三) ...34 圖 2-4-4 選項特徵曲線(四) ...35 圖 2-4-5 選項特徵曲線(五) ...35 圖 2-4-6 選項特徵曲線(六) ...36 圖 3-1-1 研究架構圖 ...37 圖 3-3-1 小數乘除法概念圖 ...39 圖 3-4-1 研究程序圖 ...45 圖 4-2-1 正確選項選答率統計圖 ...53 圖 4-3-1 試題 5 之選項特徵曲線 ...57 圖 4-3-2 試題 9 之選項特徵曲線 ...57 圖 4-3-3 試題 18 之選項特徵曲線 ...58 圖 4-3-4 試題 8 之選項特徵曲線 ...58 圖 4-3-5 試題 1 之選項特徵曲線 ...59 圖 4-3-6 試題 2 之選項特徵曲線 ...60 圖 4-3-7 試題 3 之選項特徵曲線 ...61

(9)

圖 4-3-8 試題 4 之選項特徵曲線 ...62 圖 4-3-9 試題 5 之選項特徵曲線 ...63 圖 4-3-10 試題 6 之選項特徵曲線 ...64 圖 4-3-11 試題 7 之選項特徵曲線 ...65 圖 4-3-12 試題 8 之選項特徵曲線 ...66 圖 4-3-13 試題 9 之選項特徵曲線 ...67 圖 4-3-14 試題 10 之選項特徵曲線 ...68 圖 4-3-15 試題 11 之選項特徵曲線 ...69 圖 4-3-16 試題 12 之選項特徵曲線 ...70 圖 4-3-17 試題 13 之選項特徵曲線 ...71 圖 4-3-18 試題 14 之選項特徵曲線 ...72 圖 4-3-19 試題 15 之選項特徵曲線 ...73 圖 4-3-20 試題 16 之選項特徵曲線 ...74 圖 4-3-21 試題 17 之選項特徵曲線 ...75 圖 4-3-22 試題 18 之選項特徵曲線 ...76 圖 4-3-23 試題 19 之選項特徵曲線 ...77 圖 4-3-24 試題 20 之選項特徵曲線 ...78 圖 4-3-25 試題 21 之選項特徵曲線 ...79 圖 4-3-26 試題 22 之選項特徵曲線 ...80 圖 4-3-27 試題 23 之選項特徵曲線 ...81 圖 4-3-28 試題 24 之選項特徵曲線 ...82 圖 4-3-29 試題 25 之選項特徵曲線 ...83

(10)

第一章

第一章

第一章

第一章 緒論

緒論

緒論

緒論

本研究旨在編製一份小數乘除法概念測驗試題,並藉由選項特徵曲線分 析測驗結果,瞭解六年級學童之答題情形和可能出現的迷思概念。本章包含 研究動機、研究目的和待答問題、名詞釋義和研究限制。

第一節

第一節

第一節

第一節 研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

依據教育部(2003)公布的九年一貫課程綱要之數學領域重點,將數學 內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」及「連結」等五大主 題。其中「數與量」在國民教育的數學課程中極為重要,其主要概念的形成 以及演算能力的培養均奠基於國小階段。由於學習內容範圍廣泛,因此再區 分為「整數」、「量與實測」、「有理數」及「估算」等子題。其中「有理數」 是小學數學核心課程之一,在美國的教育進程全國性評量(The National Assessment of Educational Progress,簡稱 NAEP)、英國的中學數學及科學概 念(Concepts in Secondary Mathematics and Science,簡稱 CSMS)(Hart, 1981) 的研究報告指出學童有理數概念不完備(引自郭孟儒,2002)。主要原因在 於有理數牽涉到「分數」與「小數」這兩種非常不同的表現形式,都涉及兩 個量的相對比較,因此關係密切,倘若未能釐清彼此概念的異同,容易混淆 不清而影響學習成效。其實小數概念發展在分數概念之後,但在日常生活的 實用性卻高於分數,例如:溫度的顯示、國際間貨幣匯率計算及報章雜誌的 統計資料…等,均顯示小數對日常生活是不可或缺的。吳昭容(1996)在其 論文中曾引用 H. Eves 的一段話:「隨著人類文明的進步,天文、航海、工 程、甚至戰爭等,在在都需要快速而精確的數值計算,這項需要已在四個重 要的發明(印度—阿拉伯數字、小數、對數、計算機)之下得以達成。」更 驗證了小數對人類文明進展的重要性,亦即小數的學習是極為必要。

(11)

在現行九年一貫課程綱要國小數學領域教材的編排上,有關於小數單元 的教學內容,茲整理如下: (一)三年級:認識一位小數,並作比較與加減計算。 (二)四年級:認識多位小數,理解比較,並應用以解決生活中的問題。 (三)五年級:處理乘數是小數的計算,並能對小數在指定位數取概數以 進行估算。 (四)六年級:利用直式處理除數為小數的計算,並能解決生活中的問題。 小數很重要,不過概念卻是十分抽象和複雜,雖然和日常生活密不可 分,但是學童在小數的學習成效並未因此而有所提升,反而常常遭遇困難。 艾如昀(1994)的研究發現,學童在處理小數的四則運算時,由於除數是小 數的題目計算規則較多,所以常會因規則不熟悉,而計算錯誤。大多數學生 在學習小數時,容易受到先前整數及分數概念影響而產生干擾(Fischbin, Deri & Marino, 1985;Greer, 1987;Hiebert & Wearne, 1985;1986;1988; Resnick et al., 1989)。美國 NAEP 的報告則指出學童因缺乏小數位值的基本 概念,而忽視小數點(Carpenter, et al., 1981)。陳永峰(1998)研究亦發現, 學童在小數乘法計算時,會先對齊被乘數及乘數的小數點,進行直式運算後 再將積數小數點對齊放下,而在小數除法計算上,則易將商與餘數的小數點 位置放錯。由上述研究結果可知,學童並未真正瞭解小數的概念及運算,以 致於學習成效不彰。 由於數學的結構是層層累積,而其發展既依賴直覺又需要推理,教師不 宜將學生的錯誤皆視為犯錯,而應試著瞭解學生發生問題的根源(教育部, 2003)。透過鼓勵學生發表說明自己的想法,或適時援引關鍵的例子,有效 針對問題來協助學生釐清迷思概念,裨以提升學習成效。 在研究者本身任教經驗中亦發現,當六年級學童完成小數乘除法單元學 習後,在計算題的解題上較無困難,但是文字題的解題表現則不理想。大多

(12)

數學童對於題意理解不透澈,以致於列式及解題策略的選用出現困難,最常 見的是將題目中所有出現的數據任意拼湊列式來解題;也有學童會記憶題 型,套用固定公式或運算規則作答,如此一來便失去了測驗的真正用意,也 無法得知學童概念的理解情形。 有鑑於此,本研究選定「小數乘除法概念」為研究主題,擬編製一份具 有良好信、效度的測驗,以常態分班下的六年級學童為對象來進行施測,再 藉由選項特徵曲線分析測驗結果與答題情形,進一步探討學童對小數乘除法 概念的學習情形及可能出現的迷思概念,提供教師作為修正教學或進行課後 補救教學的參考。

第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的

研究目的

研究目的

研究目的與待答問題

與待答問題

與待答問題

與待答問題

依研究動機,得知多數學童在學習小數乘除法的過程中,並未確實及清 楚瞭解概念和運算規則意義。故本研究擬編製一份適當的小數乘除法概念測 驗,透過試題分析工具及配合TestGraf98所繪製之選項特徵曲線圖,由學童 選擇各個選項的反應情形,進一步瞭解在小數乘除法概念的理解情形和可能 出現的迷思概念。 具體而言,本研究目的如下: 一、探討小數乘除法概念測驗的試題與試卷特性。 二、探討小數乘除法概念測驗的學童答題反應情形。 三、分析小數乘除法概念測驗試題之選項特徵曲線。 四、探討學童對小數乘除法概念理解的情形。 根據研究目的,本研究待答問題如下: 一、探討小數乘除法概念測驗,試題及試卷質和量的分析情形為何? 二、探討小數乘除法概念測驗,學童答題情形及選項誘答力為何? 三、分析每一道試題的選項特徵曲線情形為何?

(13)

四、探討學童對小數乘除法概念之理解情形和迷思概念情形?

第三節

第三節

第三節

第三節 名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

以下針對本研究所提及使用的特定名詞,分別定義說明如下:

壹、

、小數

小數

小數

小數

本研究中主要以一位、二位、三位的純小數與帶小數,且只限於有理數 為研究範圍,不包括循環小數或無理數在內。

貳、

、小數乘法

小數乘法

小數乘法

小數乘法概念

概念

概念

概念

現行國小教材中,小數的乘法單元安排在四、五年級,其中四年級重點 在能處理小數的整數倍題目;五年級重點則在處理整數或小數的小數倍題 目。本研究將小數乘法概念再分成四個子概念如下: 一、小數乘以整數 二、整數乘以小數 三、小數乘以小數 四、被乘數、乘數及積的關係

參、

、小數除法

小數除法

小數除法

小數除法概念

概念

概念

概念

現行國小教材中,小數的除法單元安排主要在六年級,重點在能處理除 數為整數或小數的題目。本研究小數除法僅就被除數為小數,除數為整數或 小數的部分進行討論,並將小數除法概念再分成三個子概念如下: 一、小數除以整數 (一)商為整數,有餘數 (二)商為小數,沒有餘數 二、小數除以小數 (一)商為整數,有餘數

(14)

(二)商為整數,沒有餘數 (三)商為小數,沒有餘數 (四)除不盡,使用四捨五入法將商取概數到指定小數位數 三、被除數、除數及商的關係

肆、

、六年

六年

六年

六年級學童

級學童

級學童

級學童

本研究所指的六年級學童是指從一年級起即接受九年一貫正式綱要的 課程,並已於九十九學年度上學期,接受過小數乘除法單元教學的學童。

伍、

、TestGraf98 軟體

軟體

軟體

軟體

加拿大心理計量學者Ramsay所發展的軟體,可以繪製試題之選項特徵 曲線(option characteristic curve,OCC),用來分析試題和試題選項的特徵, 亦可用於診斷試題,決定是否重新命題以消除曖昧不明的試題選項或是提供 較合理的誘答選項。

第四節

第四節

第四節

第四節 研究限制

研究限制

研究限制

研究限制

本研究之限制依研究内容、研究對象及研究工具等三方面說明如下:

壹、

、研究內容

研究內容

研究內容

研究內容

本研究旨在探討國小六年級學童在小數乘除法單元之概念理解情形,因 此研究結果,不得推論到其他單元。

貳、

、研究對象

研究對象

研究對象

研究對象

本 研 究 考 量 時 間 、 人 力 、 資 源 、 效 率 等 各 項 因 素 , 以 便 利 性 抽樣 (convenience sampling)的方式選取彰化縣溪湖鎮六所國民小學的六年級普 通班學童,共計203位為研究對象。由於選取樣本有地域性限制,雖能代表 多數常態的學童,但不宜將研究結果做擴大解釋。

(15)

參、

、研究工具

研究工具

研究工具

研究工具

本研究以編製之「小數乘除法概念」測驗為研究工具,採用紙筆測驗方 式進行施測,在施測過程中有諸多因素可能影響學童作答結果,因此研究結 果僅供改進教學之參考,不得做過度推論。

(16)

第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本研究以編製的小數乘除法概念測驗試題,對國小六年級學童進行施 測,並藉由選項特徵曲線分析學童在小數乘除法概念之理解情形。因此,瞭 解小數概念發展、九年一貫教材內容編排以及如何運用選項特徵曲線作出有 效分析,均為本章文獻探討的重點。本章共分四節,第一節為小數概念之發 展;第二節為小數乘除法之學習探究;第三節為現行小數乘除法教材安排; 第四節為選項特徵曲線概述。

第一節

第一節

第一節

第一節 小數概念之發展

小數概念之發展

小數概念之發展

小數概念之發展

壹、

、小數的由來

小數的由來

小數的由來

小數的由來

追溯到西元前兩千多年的巴比倫時期,人們已有位值概念,在刻化時間 時,便知道在泥板記上小數記號,不過由於記數系統為60進位制,因此小數 的實用性並不明顯,後傳經印度、波斯,並由阿拉伯數學家的改進,才逐漸 演變成現今所使用的小數。劉曼麗(1996)指出,在人類生活中,由於整數 不夠用,才產生了分數與小數。小數由字面上來看是指很小的數,是在以某 單位測量長度時的餘量而產生的,意味比單位1還小的數。當一個不滿一個 單位量的量,需要被原單位量予以測量並加以描述時,而衍生發展出分數概 念;但是小數概念之發展則是由於人們想將印—阿記數系統自整數情境推廣 至分數情境所致,以2.34為例,2.34=2+ 10 3 + 100 4 ,所以小數又被稱為十進 分數(周筱亭、黃敏晃,2002)。趙文敏(1985)則認為小數雖是分數的一 種表示方式,但小數表示方式在數學上的地位,在運算的便利性,同樣是處 理部分量的計算,小數計算延續整數的運算法則,而不需要像分數一般,另 創新的運算規則。

(17)

貳、

、小數

小數

小數

小數、

、分數及整數的關係

分數及整數的關係

分數及整數的關係

分數及整數的關係

在分數的「部分—全體」關係中,將一個或多個單位量透過等分活動後, 再合成其中一部分的量,稱為分量,以分數表示。例如:「 5 4 」為一個整體 被分成五等分後再聚集其中四分的分量。當整體被分成十等分、百等分、千 等分…時,表示分量就有另一個特殊記法—小數(劉曼麗,1996),例如: 10 1 可記成0.1。而在整數概念的建構上,學童除了需具備單位「一」的數結構 外,尚需其它不同的單位,如「十」或「百」等不同單位結構,當學童能利 用多單位來組織數概念時,就是在學習印—阿記數系統的位值概念(甯自 強,1997b)。胡豐榮(1995)研究認為命數法中重要的概念—位值,包含 了表記與數字兩原則。表記原則指每一位阿拉伯數字所在的位置,各有其指 定的數值;數字原則指相鄰的兩個阿拉伯數字,左邊的位值是右邊的十倍, 這種十的冪次關係,決定了一個數各個數字的位值。而小數的記數系統正是 延伸自整數多單位記數系統的特性,同樣採用0~9十個數字,配合位值概念 來記錄(劉曼麗,1998a),例如:整數345是記錄了3個「百」、4個「十」、5 個「一」的合成結果;三位純小數0.345是記錄了3個「0.1」、4個「0.01」、5 個「0.001」的合成結果。 Hiebert(1992)提出三個關於小數概念的重要定理: 定理1:小數中的每一個數字所具有的位值是緊鄰其右邊的數字所具有位值 的十倍,反之則為十分之一。 定理2:小數中的每一個數字依其位值來決定大小。 例:46.07,第一個數字是4,位值是10,數值是4×10,以此類推。 定理3:小數的數值是每一個數字所具有數值的總和。 例:46.07,數值是4×10+6×1+0× 1 10+7× 1 100。

(18)

劉曼麗(2004)研究指出,現行小數課程之教材編排以分數做為橋梁, 藉由小數與分數的連結以建立小數符號的意義,倘若分數概念不穩固,有可 能形成小數迷思概念,再者亦可能受小數符號結構與整數同屬十進位制的影 響,而將小數視為整數。 以皮亞傑(J. Piaget)認知理論的觀點來看,人類會藉由一個基本模式 來處理事物,即認知的基本結構,亦稱為基模(scheme or schema)。並透過 不斷同化(assimilation)及調適(accommodation)的過程來成長,以取得 與外在環境的平衡。因此,當學童以整數運算的舊基模,在接觸小數運算時, 可能因欠缺調適的要素而無法進行同化,所以學童仍使用先前在整數運算的 舊基模來處理小數運算的問題,以致發生錯誤而產生迷思現象。 Resnick(1989)等人將小數和分數及整數做比較(如表2-1-1及2-1-2), 藉以瞭解釐清彼此的異同,避免產生迷思概念。 表 表 表 表 2-1-1 小數和整數知識的比較表小數和整數知識的比較表小數和整數知識的比較表小數和整數知識的比較表((((引自引自引自 Resnick et al., 1989)引自 ))

小數(decimal)知識的元素 整數(whole number)知識的元素 類似(+) 不同(-) 數字的值(column) 1.數字從左到右時,值會變小 2.左邊數字位值是右邊數字位值的 10 倍 3.「0」有位值的意義 4.一個數的最右邊增加「0」時,其值不 變 5.離小數點越遠,其值越小 數字位名(column names) 1.小數點以後名稱按數字次序讀出 2.從十分位開始 3.位名順序是從左到右(十分位,百分 位,千分位,…) 4.讀數字順序是十分位,百分位,千分位 讀的規則(reading rules) 小數點左邊整數部分按照整數讀法 讀出,右邊數字則依照數字次序讀出 數字的值(column) 1.數字從左到右時,值會變小 2.左邊數字位值是右邊數字位值的 10 倍 3.「0」有位值的意義 4.一個數的最左邊增加「0」時,其值不 變 5.離小數點越遠,其值越大 數字位名(column names) 1.沒有小數點以後的數字 2.從個位開始 3.位名順序是從右到左(個位,十位,百 位,…) 4.讀數字順序是…,千位,百位,十位, 個位 讀的規則(reading rules) 依整數十進結構讀出 (+) (+) (+) (+) (-) (-) (-) (-) (-) (-)

(19)

由表 2-1-1 可發現小數和整數兩者的共通點與相異處: 一、共通點 (一)位值都由左向右遞減,相鄰兩個位值,左邊都是右邊的十倍。 (二)「0」有位值意義。 二、相異處 (一)整數部分是離小數點越遠,其位值越大,而小數部分則相反。 (二)小數部分最右邊增加「0」時,數值不變;整數則增加 10 倍。 (三)小數和整數的位名不同、讀法相異。 表 表 表 表 2-1-2 小數和分數知識的比較表小數和分數知識的比較表小數和分數知識的比較表小數和分數知識的比較表((((引自引自引自 Resnick et al., 1989)引自 )) 小數(decimal)知識的元素 分數(fraction)知識的元素 類似(+) 不同(-) 小數的值(decimal values) 1.在 0 與 1 之間表達一個值 2.整體被分成很多較小等分 3.在 0 與 1 之間有無限個小數存在 小數符號(decimal notation) 1.一個單位被等分成多少等分是隱含在 數字的位置中 2.有多少等分是表現在小數的量中 3.整體僅可被分成 10 的冪次方(powers of 10 parts) 分數的值(fraction values) 1.在 0 與 1 之間表達一個值 2.整體被分成很多較小等分 3.在 0 與 1 之間有無限個分數存在 分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分是由分母 明確界定 2.有多少等分是表示在分數的分子中 3.整數可被分成任何一個等分的數(any number of parts) (+) (+) (+) (-) (-) (-) 由表 2-1-2 可發現小數和分數兩者的共通點與相異處: 一、共通點 (一)為 0 與 1 之間的任一個值的表示法。 (二)0 與 1 之間可被分割成無限多等分。 二、相異處 (一)分數部分:分割及得到的分數呈現於分母及分子; 小數部分:數字表示得到的分數,分割的分數則隱藏在位值裡。 (二)分數部分:分割分數是隨著分母的不同而得到不同的分數;

(20)

小數部分:與印—阿記數系統有關,所以分割分數被限制為 10 的冪次方。

參、

、小數

小數

小數

小數概念

概念

概念

概念學習論點

學習論點

學習論點

學習論點

Wearne and Hiebert(1988)研究認為學童需經過連結、發展、精緻與熟 練及萃化四個階段,以建立學習穩固的小數知識。(一)連結:透過具體物 的操作結果,連結小數符號和運算符號;(二)發展:在具體物與符號產生 連結後,透過具體物表徵,發展出處理符號的程序性知識;(三)精緻與熟 練:脫離具體物表徵,在適當的情境中應用小數符號來解題,並加以熟練、 記憶,直到概念自動化;(四)萃化:結合前三階段的知識,將符號和規則 建立更為抽象的系統。 D'Entremont(1991)則提出「小數學習的洋蔥模式」,認為學習建立小 數概念的認知過程,由外而內分五種不同層次,依序說明如下。(一)具體 物:透過真實可見的物體來導引學童接觸小數;(二)操作說明:將具體物 轉換成以小數的符號表徵形式呈現;(三)程序:不需具體物操作,遵循使 用小數符號的運算規則,但不理解背後的意義;(四)心智模式:不盲目遵 循計算算則公式,能清楚知道解題的理由、運算程序與規則;(五)抽象: 不需再透過具體物,而能將問題「如何處理」以及「為什麼」統整起來。

將Wearne and Hiebert小數學習的四個階段及D'Entremont認知過程的五 層次進行比較,可分成「概念知識的建立」及「計算程序的熟練」兩部分: 一、概念知識的建立 (一)具體物層次及連結階段:透過具體物的操作,進入小數的世界。 (二)操作說明層次及發展階段:連結具體物操作與小數符號表徵。 二、計算程序的熟練 (一)程序、心智模式層次及精緻與熟練階段:脫離具體物,並運用

(21)

小數符號及運算規則來解決生活情境問題。 (二)抽象層次及萃化階段:熟練符號及規則,抽象內化小數概念。

第二節

第二節

第二節

第二節 小數乘除法之學習探究

小數乘除法之學習探究

小數乘除法之學習探究

小數乘除法之學習探究

小數乘除法是小數基本計算中的重要一環,也是九年一貫數學領域課程 綱要中明確指出學生應在小學畢業前熟練的部分(教育部,2003)。Hiebert and Wearne(1986)指出學生學習小數乘除法比學習加減法還困難,因為小數乘 除法的基本概念與整數乘除法的概念並不完全相同,無法直接轉移過來,亦 即在學習小數乘除法時,易受到先前學習整數的概念影響,產生「乘會越乘 越大」、「除會越除越小」的迷思,此結果在其他的研究中也常發現(林原 宏,1994;陳永峰,1998;劉曼麗,2001)。以下分別就小數乘除法的概念 及運算加以說明。

壹、

、小數乘法概念與運算

小數乘法概念與運算

小數乘法概念與運算

小數乘法概念與運算

一、小數乘法概念 依據學生整數運算的舊經驗來看,乘法意義為「累單位量」,但對小數 乘法而言,「累單位量」的觀念不易理解,再加上小數乘法的關鍵在於小數 點的位置處理,因此小數乘法的意義必須承接分數乘法意義來理解。小數乘 法依類型可區分兩類:(一)乘數為整數;(二)乘數為小數(劉曼麗、侯淑 芬,2007)。在乘數為整數的類型,多數學童能類比整數乘法經驗之累單位 量意義來理解,所以概念清楚,在列式解題上較無困難。舉例說明:「3.6公 尺的2倍是多少公尺?」將3.6公尺視為1個單位量1,2倍即為2個單位量1之 對應值,列式應為3.6×2。可是在乘數為小數的類型,學童在思考解題時, 需先將原單位量等分成更小的單位量後,才能類比整數乘法經驗之累單位 量,這樣的思考過程對學童而言是有某一程度的困難。

(22)

劉曼麗(2004)研究指出,小數概念的教學應強調等分割概念、多階單 位間的換算及小數點的意義。因此,對於乘數為小數的類型,應藉由等分割 概念來切入及引導學童思考解題。舉例說明:「3公尺的0.2倍是多少公尺?」 將3公尺視為1個單位量1,0.2倍即2個單位量0.1之對應值,先將原單位量1 等分割為10等分,成為10個小單位量0.1,再累2個小單位量,即可列式為 3÷10×2=3× 10 1 ×2=3×0.1×2=3×0.2。 林碧珍(2007)則針對乘數為小數的類型,提出兩種安排教材的方式, 第一種是先將小數轉換為分數,進行分數的乘法活動後,再將所得到的分數 答案,轉換成小數;第二種是類比整數乘法算則,幫助學童看到相同數字(不 同位值)相乘時位值的變化情形,引入小數的乘法。 針對乘數為小數的類型,劉曼麗、侯淑芬(2007)研究認為,教師應協 助學童,透過小數、分數及分數倍語言的轉換,讓學童熟悉小數倍的語言, 並建立起小數倍觀念。 以下舉兩例說明有指出小數倍及沒有明確指出小數倍之布題,解題策略 及觀念。 例1:「甲繩長3公尺,乙繩長度為甲繩的0.2倍,則乙繩長多少公尺?」 3的0.2倍→3的 10 2 倍→3 2 10 × →3×0.2 布題已明確指出小數「倍」,教師可承接分數乘法的觀念,先引導學生 將小數轉換為分數,並以分數倍語言列式,最後才轉換回小數倍語言。 例 2:「一公斤的西瓜賣 70 元,那 0.4 公斤的西瓜賣多少錢?」 0.4 公斤→ 10 4 公斤→1 公斤的 10 4 →1 公斤的 10 4 倍→1 公斤的 0.4 倍 布題沒有明確指出小數「倍」,教師應引導學生進行小數、分數及分數 倍語言的轉換,再說明重量為 0.4 倍,價錢也應為 0.4 倍,結合小數倍 的經驗,以列式求答。

(23)

二、小數乘法運算策略 在現行課程小數乘法單元編排上,先進行乘數為整數的類型,然後再進 行乘數為小數的類型。多數學童在進行乘數為整數的計算時,能類比整數乘 法計算,把小數先視為整數來計算,並利用小數點對齊的方式,最後點上小 數點並得到答案。但面對乘數為小數的類型,無法直接透過類比整數乘法之 累單位量經驗來解釋,對學童而言理解較不易。張淑萍(2006)研究發現, 學童對乘法橫式算式認知有迷思,會將整數的小數倍算式錯記成「小數×整 數」,並將「整數×小數」和「小數×整數」兩者視為同義。 劉曼麗、侯淑芬(2007)研究指出,進行小數乘法計算時,被乘數及乘 數如何對齊及積數的小數點如何處理,是多數學童最感困難的部分。相較於 小數加減法運算時需先對齊小數點,而乘法運算則要靠右對齊,且積數的小 數位數是被乘數及乘數小數位數的和,學童常是一知半解。 前述提及在進行小數乘法活動時,有兩種安排教材的方式,第一種為透 過分數的乘法活動來進行小數乘法活動,亦即先將小數轉換為分數,進行分 數的乘法活動後,再將所得到分數的答案,轉換成小數的答案。以1.5×0.03 為例來說明: 045 . 0 1000 45 100 10 3 15 100 3 10 15 03 . 0 5 . 1 = = = = × × × × 由於被乘數1.5是一位小數,換為分數時分母為10,而乘數0.03是二位小 數,換為分數時分母為100。兩者進行分數相乘後,所得到積數的分母為 10×100=1000,故將積數再換回小數時應為三位小數。而積數的分子「45」 正是將被乘數和乘數視為整數相乘後的結果。劉曼麗、侯淑芬(2007)指出, 當學生熟練並理解運算規則後,進一步將此過程對應到小數乘法的直式計 算。即可得「將被乘數與乘數向右對齊後,先無視小數點的存在,直接計算 『15×3』,最後將積數取為三位小數。」

(24)

1.5 ×0. 0 3 4 5 1.5 ×0. 0 3 0.0 4 5 先視為整數計算 將積數取為三位小數 第二種是類比整數乘法算則,幫助學童看到相同數字(不同位值)相乘 時,小數乘積位值的變化情形,再引入小數乘法算則。同樣以1.5×0.03為例 來說明: 15×3=45,1.5×3=4.5,1.5×0.3=0.45,1.5×0.03=0.045 幫助學童觀察上列幾個式子,藉以察覺位值變化的規則,得到m位小數 乘以n位小數時,積的小數位數為m+n位(周筱亭、劉君毅,2005)。

貳、

、小數除法概念與運算

小數除法概念與運算

小數除法概念與運算

小數除法概念與運算

一、小數除法概念 小數除法意義亦需承接分數除法意義來理解,小數除法依類型可區分兩 類:(一)除數為整數;(二)除數為小數(劉曼麗、侯淑芬,2008)。在除 數為整數的類型,學童可類比整數除法的經驗,因此概念清楚,在列式解題 上較無困難。舉例說明:「甲繩長的 2 倍為 3.6 公尺,則甲繩長多少公尺?」 將甲繩長視為 1 個單位量 1,3.6 公尺即 2 個單位量 1 之對應值,因此甲繩 長列式應為 3.6÷2。但除數為小數的類型,在思考解題上需先將結果等分找 出小單位量後,再累小單位量成單位量,這樣的思考過程對學童而言較不易 理解。舉例說明:「甲繩長的 0.2 倍為 3.6 公尺,則甲繩長多少公尺?」將甲 繩長視為 1 個單位量 1,3.6 公尺為 2 個小單位量 0.1 之對應值,先算出 1 個 小單位量 0.1 之對應值,然後累 10 個小單位量 0.1 為 1 個單位量 1。因此甲 繩長列式應為 3.6÷2×10=3.6× 2 1 ×10=3.6× 2 10 =3.6÷ 10 2 =3.6÷0.2 針對除數為小數的類型,劉曼麗、侯淑芬(2008)研究認為,教師應協 助學童,透過小數、分數及分數倍語言的轉換,並利用乘除互逆的概念思考

(25)

解題,進一步瞭解除數為小數的意義。 以下舉兩例說明有指出小數倍及沒有明確指出小數倍之布題,解題策略 及觀念。 例1:「甲繩長的0.2倍是3.6公尺,則甲繩長多少公尺?」, ( )×0.2=3.6→( )=3.6÷0.2 結合小數乘法單元小數倍的概念,先列出算式填充題,再透過乘除互逆 的概念,引導學童列式求答。 例2:「0.4公斤重的西瓜賣28元,則一公斤重的西瓜要多少錢?」 0.4公斤→ 10 4 公斤→1公斤的 10 4 →1公斤的 10 4 倍→1公斤的0.4倍 ( )×0.4=28→( )=28÷0.4 布題沒有明確指出小數「倍」,教師應引導學生進行小數、分數及分數 倍語言的轉換,再說明重量為 0.4 倍,價錢也應為 0.4 倍,即 1 公斤重 西瓜價錢的 0.4 倍是 28 元,以列出算式填充題,再透過乘除互逆的概 念,引導學童列式求答。 二、小數除法運算策略 劉曼麗、侯淑芬(2008)研究指出,在進行小數除法計算時,對於商與 餘數的小數點如何處理,是多數學童最感困難的部分,特別是在除不盡的問 題上,困難就更為顯著。其實小數除法的直式計算亦可類比整數除法直式計 算,不同之處僅在於小數點的處理。劉曼麗(2004)亦指出,小數除以小數 的直式紀錄是整個除法教學最棘手的一環。倘若能從具體物操作,協助學生 體驗到換單位的需求感和直式記錄中小數點變換的意義,就更容易掌握小數 除法的計算過程。 小數除法的計算需藉由「單位量的轉換」策略來進行,亦即先將被除數 與除數同時轉換成另一種被計數單位來描述後,再進行除法運算,最後才導

(26)

引學生理解商與餘數之小數點的處理。舉例說明:「3.2公升的汽水,分裝到 0.03公升的小杯子,儘量分完,可分裝成多少小杯子?剩下多少公升?」先 將被除數與除數同時轉換為以「0.01公升」為計數單位,並將題目重述為「320 個0.01公升的汽水,分裝到可裝3個0.01公升的小杯子,儘量分完,可分裝成 多少小杯子?剩下多少公升?」如此一來,學生可透過熟悉的整數除法經 驗,進行計算並記錄算式為320÷3=106…2。由於前後兩個題目敘述的差異 處,在於使用不同的計量單位量描述,所以商為106仍然是原題目的商,但 是在餘數方面,「2」所代表的意義是「2個0.01公升」,因此原題目之餘數應 為0.01×2=0.02。 而小數除法的另一個重點則是當商除不盡時,需結合四捨五入法來取概 數。以「四捨五入法取商到小數第一位」為例,學童常未能釐清語意,僅求 商到小數第一位;部分學童雖能算到小數第二位後再四捨五入,但卻又記錄 出餘數,顯然對於取概數到指定位數的意義不清楚。劉曼麗、侯淑芬(2008) 也指出,教師應協助學童釐清「四捨五入法取商到小數第幾位」和「商算到 小數第幾位,並寫出餘數」兩者之不同處,以免產生混淆而導致計算錯誤。 Greer(1992)認為在乘除概念的發展上,由整數發展到有理數時,數 學結構與真實情境的關係逐漸缺乏連結,使得學生在解決有理數乘除問題 時,仍直覺使用在整數所建構的解題策略。如此一來就可能產生「乘變大、 除變小」及除法應是「大數除以小數」之迷思概念(Bell & Taylor, 1981)。 教師在教學過程中,應避免教導學童以整數來替代小數思考解題,否則 便難以真正理解小數乘除法的意涵。

參、

、相關實證性研究

相關實證性研究

相關實證性研究

相關實證性研究

研究者歸納整理出與小數概念相關的研究,並將有關於小數乘除法概念 之部分羅列如下:

(27)

一、劉曼麗(2001) (一)研究主題:國小學童的小數知識研究 (二)研究對象:高屏地區的三所學校,每校四、五、六年級學童各一班, 共 9 班總計 329 人 (三)研究方法:筆試和訪談 (四)研究結果: 1、小數的概念 (1)普遍存有「乘變大,除變小」的迷思。 (2)在小數除法上,以「大數」÷「小數」解題。 2、小數的計算 (1)在求餘數的問題中,仍會以四捨五入法求商。 (2)當題目求餘數時,易忽略餘數的小數點,或錯放位置而對齊移位 後的被除數小數點。 二、張淑萍(2006) (一)研究主題:一位教師實踐五年級小數教學之行動研究 (二)研究對象:苗栗縣某國小五年級學生34人 (三)研究方法:行動研究 (四)研究結果: 1、學習小數的整數倍時,只記規則,不明白意義。 2、學生因為沒有分數倍的經驗,而無法接受倍數是小數。 3、對乘法橫式算式認知有迷思,會將整數的小數倍算式錯記成「小數× 整數」,並將「整數×小數」和「小數×整數」兩者視為同義。 4、整數或小數除以整數時,有「大數除以小數」的迷思。 5、在計算時常不清楚商到算到哪一位,連帶餘數的位值也不清楚。 三、梁文鎮(2007)

(28)

(一)研究主題:一位五年級教師小數教學之行動研究 (二)研究對象:新竹縣某國小五年級學生30人 (三)研究方法:行動研究 (四)研究結果: 1、能以整數乘法的舊經驗進行小數整數倍的直式計算。 2、利用小數加減法中對齊小數點觀念,決定積的小數點位置。 3、小數除以整數,學生能使用一般成人算則的多階策略解題,以多少 個0.1或0.01為計數的單階策略做解題和估商策略,但遇到被除數需 要補0的時候,學生使用單階策略就會出現不知道應該換0.1、0.01或 0.001的情況。 四、吳昇軒(2007) (一)研究主題:電算器融入補救教學影響算則理解之研究—以小數除法 為例 (二)研究對象:彰化縣某國小六年級學生6人 (三)研究方法:個案研究 (四)研究結果: 1、補救教學之前,學生記憶小數除法算則程序來解題,知道小數點要 移位,但不知道移位的意義,更不瞭解移位後的商是否相等。 2、電算器融入補救教學活動後,學生瞭解不只能向右移位,也可以向 左移位,結果是乘或除以十的冪次方倍。 3、瞭解小數除法轉換成整數除法,是將被除數與除數同乘以某倍數, 因此餘數變大某倍,並驗證與理解在小數除法算則的餘數處理規 則,有助於幫助學生釐清小數除法算則。 五、朱欣傑(2009) (一)研究主題:探討國小學童小數四則運算的了解

(29)

(二)研究對象:臺北縣某國小六年級學生4人 (三)研究方法:半結構晤談法 (四)研究結果: 1、對於小數乘法之積的小數點位置不清楚,似乎是使用乘數的小數位 數作為積的小數位數,且由最左邊開始向右移動。 2、學生受小數乘法影響而誤認為商的小數位數是被除數跟除數的小數 位數之和。 六、賴文溥(2009) (一)研究主題:國小六年級學童小數除法概念結構分析之研究 (二)研究對象:臺中縣某國小六年級學生33人 (三)研究方法:試題關聯結構分析法 (四)研究結果: 1、進行小數除以小數時,單位轉換策略中商和餘數分別代表的意義不 清楚,也造成解讀錯誤。 2、處理沒有餘數的題目表現優於有餘數的題目。 3、許多學童仍屬於「大數除以小數」型,不管情境,一定是以大數除 以小數來解題。 4、當不夠除時,商要先補零的概念不清楚。 5、對四捨五入法取概數需進位時,又遇到進位的數值為9,而需連進兩 位的概念不清。

第三節

第三節

第三節

第三節 現行小數乘除法教材安排

現行小數乘除法教材安排

現行小數乘除法教材安排

現行小數乘除法教材安排

本節將就九年一貫數學領域課程及各版本教科書內容,有關小數乘除法 概念的部分做歸納整理。

(30)

壹、

、九年一貫數學領域課程

九年一貫數學領域課程

九年一貫數學領域課程

九年一貫數學領域課程

根據教育部(2003)公布的九年一貫課程綱要之數學領域重點,有關能 力指標及分年細目作以下簡述: 一、能力指摽 九年一貫課程綱要的能力指標是參酌施行多年且有穩定基礎的傳統教 材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科學工具性的性質、現有學 生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行修訂。 數學領域將九年國民教育共區分為四個階段:階段一為一至三年級,階 段二為四、五年級,階段三為六、七年級,階段四為八、九年級。另將數學 內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。 前四項主題的能力指標以三碼編排,其中第一碼表示主題,分別以字母 N、S、A、D表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題; 第二碼表示階段,分別以1,2,3,4表示第一、二、三和四階段;第三碼則 是能力指標的流水號,表示該細項下指標的序號。 以下將九年一貫課程綱要數學領域中,與小數乘除法相關之能力指標, 整理如表2-3-1。 表 表 表 表2-3-1 小數乘除法相關之能力指標小數乘除法相關之能力指標小數乘除法相關之能力指標小數乘除法相關之能力指標 N-2-05 能用四捨五入法,對某數在指定位數取概數,並作加、減、 乘、除之估算。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-10 能認識多位小數,理解其比較,及用直式處理加、減與整數 倍的計算,並解決生活中的問題。 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算,並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換,並標記在數線上。 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算,並解決生活中的問題。

(31)

二、分年細目 九年一貫課程綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定,然因 多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此,由階段能力指 標演繹出更細緻的分年細目及詮釋,以利分年進階式教學進度目標的明確 掌握。 分年細目亦以三碼編排,其中第一碼表示年級,分別以 1,…,9 表示 一至九年級;第二碼表示主題,分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、 「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題;第三碼則是分年細目的流 水號,表示該細項下分年細目的序號。 以下將九年一貫課程綱要數學領域中,與小數乘除法相關之分年細目及 對照能力指標,整理如表2-3-2。 表 表 表 表2-3-2 小數乘除法相關之分年細目及對照能力指標小數乘除法相關之分年細目及對照能力指標小數乘除法相關之分年細目及對照能力指標小數乘除法相關之分年細目及對照能力指標 分年細目 對照指標 4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名, 並作比較。 N-2-10 4-n-10 能用直式處理整數除以整數,商為三位小數的計 算。 N-2-06 N-2-10 N-2-13 4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計 算,並解決生活中的問題。 N-2-10 5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算,並解決生活中 的問題。 N-2-12 5-n-10 能用四捨五入的方法,對小數在指定位數取概 數,並做加、減、乘、除之估算。 N-2-05 6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算,並解決生活中 的問題。 N-3-04

(32)

貳、

、各版本教材安排

各版本教材安排

各版本教材安排

各版本教材安排

本研究將就南一、翰林及康軒等三間出版商所編製之教材,做單元教材 地位及教學活動安排之整理,並分述如下: 一、南一版 (一)小數的乘法單元教材地位,如圖2-3-1。(引自黃金鐘,2009) 圖2-3-1 南一版南一版南一版「南一版「「小數的乘法「小數的乘法小數的乘法小數的乘法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 (二)小數的除法單元教材地位,如圖2-3-2。(引自黃金鐘,2010) 圖2-3-2 南一版南一版南一版「南一版「「小數的除法「小數的除法小數的除法小數的除法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 4下 單元10  整數除以整數, 商為小數的問題  能解決一、二位小 數除以整數的問 題 本單元  解決小數除法(三 位小數以內)的問 題,並用直式記錄 解題過程與結果  理解小數除法中, 被除數、除數和商 的關係 6下  小數的四則運算 4下 單元8  經驗單位小數的 連加並用乘法記 錄  解決純小數乘以 一、二位整數的問 題並記錄  解決帶小數乘以 一、二位整數的問 題並記錄 本單元  能解決生活中整 數乘以小數的直 式乘法問題  能解決生活中小 數乘以小數的直 式乘法問題  能用四捨五入的 方法,對小數在指 定位數取概數,並 做乘法的估算 6下  小數的四則計算

(33)

(三)小數的乘法單元教學活動,如表2-3-3。(整理自黃金鐘,2009) 表 表 表 表2-3-3 南一版南一版南一版南一版「「「小數的乘法「小數的乘法小數的乘法小數的乘法」」」」單元教學活動單元教學活動單元教學活動 單元教學活動 活動名稱 教學目標 活動1 整數的小數倍 1-1 能解決整數乘以一位小數的問題。 1-2 能解決整數乘以二位小數的問題。 活動2 小數的小數倍 2-1 能解決一位純小數乘以一、二位小數的問題。 2-2 能解決一位帶小數乘以一、二位小數的問題。 2-3 能解決二位小數乘以一、二位小數的問題。 2-4 積的小數位數是被乘數小數位數與乘數小數位 數的和。 活動3 被乘數、乘數和積的 關係 3-1 能了解小數乘法中,被乘數、乘數和積的關係。 活動4 小數的乘法估算 4-1 能熟練四捨五入法取概數,做小數的乘法估算。 (四)小數的除法單元教學活動,如表2-3-4。(整理自黃金鐘,2010) 表 表 表 表2-3-4 南一版南一版南一版南一版「「「小數的除法「小數的除法小數的除法小數的除法」」」」單元教學活動單元教學活動單元教學活動 單元教學活動 活動名稱 教學目標 活動1 整數除以小數 1-1 能依具體情境,列出除法算式。 1-2 能解決整數除以一位小數的除法問題,並用直式 計算解題。 1-3 能解決整數除以二位小數的除法問題,並用直式 計算解題。 活動2 小數除以小數 2-1 能解決一(二)位小數除以一(二)位小數的除 法問題,並用直式計算解題。 2-2 能解決二(一)位小數除以一(二)位小數的除 法問題,並用直式計算解題。 活動3 有餘數的小數除法 3-1 能解決二位小數除以一、二位小數,商求到個位 有餘數的問題。 3-2 能解決一位小數除以一、二位小數,商求到個位 有餘數,並驗算。 活動4 小數除法的應用 4-1 能運用小數除法解決被乘數未知的問題。 4-2 能解決小數除以小數時,用四捨五入法求商到小 數指定位數。 活動5 被除數、除數和商的 關係 5-1 能理解被除數、除數和商的關係。

(34)

二、翰林版 (一)小數的乘法單元教材地位,如圖2-3-3。(引自黃經良,2009) 圖2-3-3 翰林版翰林版翰林版「翰林版「「小數的乘法「小數的乘法小數的乘法小數的乘法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 第八冊 第 8 單元 三位小數  簡單分數與小數互換  三位小數之整數倍計算 第九冊 第 7 單元 認識運算規律  理解乘法對加法的分配律,並 用於簡化計算 第九冊 第 3 單元 數線與小數  多位小數的加減計算  小數的估算 第十冊 第 1 單元 分數的乘法  透過情境,理解分數的分配律 活動 1 小數的 1000 1 100 1 10 1 、 、 倍  理解一個小數的 1000 1 100 1 10 1 、 、 倍,就是把小數點左移 1 位、2 位、3 位 活動 2 整數乘以小數  在小數情境中,解決被乘數為整數,乘數為純小數或帶小數的小數乘法 問題 活動 3 小數乘以小數  在小數情境中,解決被乘數為小數,乘數為純小數或帶小數的小數乘法 問題,同時以直式記錄,並使用電算器運算 活動 4 小數的分配律  透過情境理解小數的分配律 第十冊 第 7 單元 用符號代表數  解決被乘數未知或乘數未知的問題  解決被除數未知或除數未知的問題

(35)

(二)小數的除法單元教材地位,如圖2-3-4。(引自黃經良,2010) 圖2-3-4 翰林版翰林版翰林版「翰林版「「小數的除法「小數的除法小數的除法小數的除法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 活動 1 小數除以整數  在等分除的狀況下,解決小數除以整數的問題(商為小數,沒有餘數) 活動 2 小數除以小數,有餘數  在包含除的情境中,解決小數除以小數的問題(商為整數,有餘數) 活動 3 小數除以小數,可整除  解決小數除以小數的問題(商為小數,沒有餘數) 活動 4 被除數、除數和商的關係  能依據除數和 1 的關係,判斷被除數和商的大小關係 第十三冊 第 1 單元 數與數線  正數、負數與數線  數的大小與絕對值  整數的加減  整數的乘除與四則運算 第十冊 第 3 單元 小數的乘法  理解一個小數的 1000 1 100 1 10 1 、 、 倍  解決被乘數為整數,乘數為純小數或帶小數的小數乘法問題  被乘數為小數,乘數為純小數或帶小數的小數乘法問題  將兩小數在指定位數取概數後,進行乘法估算 活動 5 小數除法的概算  在未除盡的狀況下,用四捨五入法處理商的概數

(36)

(三)小數的乘法單元教學活動,如表2-3-5。(整理自黃經良,2009) 表 表 表 表2-3-5 翰林版翰林版翰林版翰林版「「「小數的乘法「小數的乘法小數的乘法小數的乘法」」」」單元教學活動單元教學活動單元教學活動 單元教學活動 活動名稱 教學目標 活動1 小數的 1000 1 100 1 10 1 、 、 倍 1-1 理解一個小數的 1000 1 100 1 10 1 、 、 倍,就是 把小數點左移1位、2位、3位。 活動2 整數乘以小數 2-1 在小數情境中,解決被乘數為整數,乘 數為純小數或帶小數的小數乘法問題。 活動3 小數乘以小數 3-1 在小數情境中,解決被乘數為小數,乘 數為純小數或帶小數的小數乘法問題, 同時以直式記錄,並使用電算器運算。 活動4 小數的分配律 4-1 透過情境理解小數的分配律。 (四)小數的除法單元教學活動,如表2-3-6。(整理自黃經良,2010) 表 表 表 表2-3-6 翰林版翰林版翰林版翰林版「「「小數的除法「小數的除法小數的除法小數的除法」」」」單元教學活動單元教學活動單元教學活動 單元教學活動 活動名稱 教學目標 活動1 小數除以整數 1-1 在等分除的狀況下,解決小數除以整數 的問題。(商為小數,沒有餘數) 活動2 小數除以小數,有餘數 2-1 在包含除的情境中,解決小數除以小數 的問題。(商為整數,有餘數) 活動3 小數除以小數,可整除 3-1 解決小數除以小數的問題。(商為小 數,沒有餘數) 活動4 被除數、除數和商的關係 4-1 能依據除數和1的關係,判斷被除數和商 的大小關係。 活動5 小數除法的概算 5-1 在未除盡的狀況下,用四捨五入法處理 商的概數。

(37)

三、康軒版 (一)小數的乘法單元教材地位,如圖2-3-5。(引自張淑慧,2009) 圖2-3-5 康軒版康軒版康軒版「康軒版「「小數的乘法「小數的乘法小數的乘法小數的乘法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 第六冊第二單元  認識一位小數(含帶分數)  了解一位小數的位值與化聚  生活中應用一位小數,並比 較一位小數的大小  使用直式計算一位小數的 加、減問題 第七冊第十單元  認識二、三位小數,並能描 述其具體的量  認識「百分位」及「千分位」 及其關係  二、三位小數的大小比較  小數的生活應用 第八冊第二、四、七單元  二、三位小數的加、減直式  二階單位化聚的加減問題  小數的加減應用  二、三位小數整數倍的計算  小數除以整數的計算  認識概數的意義  能用四捨五入、無條件進 入、無條件捨去等方式對一 個數量取概數  能用四捨五入法對大數取概 數,做加減估算 第九冊第一單元  認識多位小數  作多位小數的加、減計算及 整數倍,以解決生活中的問 題  認識小數數線 本單元  解決生活中的小 數乘法問題,並 嘗試理解直式算 則  察覺乘法問題 中,被乘數、乘 數與積的變化關 係  能用四捨五入的 方法,對小數在 指定位數取概 數,並做乘法估 算 ※解決生活中,小 數乘法的應用問 題 第十一冊第四單元  解決整數除以小 數的除法問題  解決小數除以小 數的除法問題  察覺小數除法問 題中,被除數、 除數與商的變化 關係

(38)

(二)小數的除法單元教材地位,如圖2-3-6。(引自張淑慧,2010) 圖2-3-6 康軒版康軒版康軒版「康軒版「「小數的除法「小數的除法小數的除法小數的除法」」」」單元教材地位單元教材地位單元教材地位 單元教材地位 第六冊第二單元  認識一位小數(含帶分數)  了解一位小數的位值與化聚  生活中應用一位小數,並比 較一位小數的大小  使用直式計算一位小數的 加、減問題 第七冊第十單元  認識二、三位小數,並能描 述其具體的量  認識「百分位」及「千分位」 及其關係  二、三位小數的大小比較  小數的生活應用 第八冊第二、四單元  二、三位小數的加、減直式  二階單位化聚的加減問題  小數的加減應用  二、三位小數整數倍的計算  小數除以整數 第九冊第一單元  認識多位小數  作多位小數的加、減計算及 整數倍,以解決生活中的問 題  認識小數數線 第十冊第三單元  解決生活中的小數乘法問 題,並嘗試理解直式算則  察覺乘法問題中,被乘數、 乘數與積的變化關係 本單元  解決小數(或整 數)除以小數的 除法問題  利用乘除互逆, 來驗算除法的答 數  能藉由除數與 1 的大小關係,判 斷被除數與商的 大小關係 ※解決生活情境 中,有關小數除 法的問題 第十二冊 第二、四單元  解決小數加、 減、乘、除混合 的四則問題  能透過化聚做時 速、分速或秒速 之間的換算,並 用以比較不同速 率單位的換算  能應用距離、時 間和速度三者的 關係,解決生活 中有關速度的問 題

(39)

(三)小數的乘法單元教學活動,如表2-3-7。(整理自張淑慧,2009) 表 表 表 表2-3-7 康軒版康軒版康軒版康軒版「「「小數的乘法「小數的乘法小數的乘法小數的乘法」」」」單元教學活動單元教學活動單元教學活動 單元教學活動 活動名稱 教學目標 活動1 整數乘以小數 1-1 能解決整數的單位小數倍問題。 1-2 能解決整數乘以純小數的乘法問題。 1-3 能解決整數乘以帶小數的乘法問題。 1-4 能嘗試理解整數乘以小數的乘法直式算則。 活動2 小數乘以小數 1-5 能解決小數的單位小數倍問題。 1-6 能解決小數乘以純小數的乘法問題。 1-7 能解決小數乘以帶小數的乘法問題。 1-8 能嘗試理解小數乘以小數的乘法直式算則。 2-1 能察覺小數乘法問題中,積的小數位數與被乘 數、乘數的小數位數間關係。 活動3 關係 2-2 能藉由乘數與 1 的大小關係,判斷被乘數與積 的大小關係。 活動4 小數取概數 3-1 能用四捨五入的方法,對小數在指定位數取概 數。 活動5 小數估算 3-2 能對小數取概數,做乘法估算。 (四)小數的除法單元教學活動,如表2-3-8。(整理自張淑慧,2010) 表 表 表 表2-3-8 康軒版康軒版康軒版康軒版「「「小數的除「小數的除法小數的除小數的除法法」法」」」單元教學活動單元教學活動單元教學活動 單元教學活動 活動名稱 教學目標 活動1 整數除以小數 (沒有餘數) 1-1 解決整數除以一位小數的問題。 1-2 解決整數除以二位小數的問題,且知道商的小 數點與被除數新的小數點對齊。 活動2 小數除以小數 (沒有餘數) 1-3 解決一位小數除以一位小數的問題。 1-4 解決二位小數除以二位小數的問題。 1-5 解決二位小數除以一位小數的問題,且知道商 的小數點與被除數新的小數點對齊。 1-6 解決一位小數除以二位小數的問題,且知道商 的小數點與被除數新的小數點對齊。 活動3 整數(或小數)除以 小數(有餘數) 1-7 解決整數除以小數的問題。 1-8 解決小數除以小數的問題。 2-1 利用乘除互逆,來驗算除法的答數。 活動4 小數除法(除不盡) 1-9 當小數除以小數除不盡時,使用四捨五入法取 到指定小數位數。 活動5 關係與應用 3-1 能藉由除數與1的大小關係,判斷被除數與商的 大小關係。

(40)

第四節

第四節

第四節

第四節

選項特徵曲線

選項特徵曲線

選項特徵曲線概述

選項特徵曲線

概述

概述

概述

壹、

、理論基礎

理論基礎

理論基礎

理論基礎

隨著測驗形式的改變以及需求量的增加,測驗理論從早期的古典測驗理 論(classical test theory,CTT)發展至試題反應理論(item response theory, IRT)。試題反應理論之目的是從大範圍中找出一個起始值來針對試題或是 選項特徵函數(option characteristic function)做有效的估計,而以圖形的方 式來呈現出受試者的能力與試題選項反應結果的關係,則稱為選項特徵曲線 (option characteristic curve,OCC)(吳慧珉,2001)。

傳統的試題分析方法主要是在分析每個試題的難度、鑑別度與誘答力 (Ebel & Frisbie, 1991),加拿大心理計量學者 Ramsay 結合「高低試題鑑 別指數」與「核平滑無參數估算法」,發展出正確選項與誘答選項均可分析 之核平滑法無參數試題特徵曲線估算法(kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation ) 於 1991 年 發 表 於 Psychometrika 期刊上。核平滑(kernel smoothing)就是被估計的受試者加以 排序後的函數和試題選項是否被選(選則指示值為 1,否則為 0)而成為二 元變數(binary variable)之間的關係。此方法並無假設任何適當的模式,完 全根據受試者實際作答資料來進行分析,是一種無參數(nonparameter)的 試題反應理論(Ramsay, 1991)(引自楊志強,2004)。 Ramsay 並根據上述理論,發展出 TestGraf98 軟體,用以估計選項特徵 曲線。

貳、

、選項特徵曲線

選項特徵曲線

選項特徵曲線

選項特徵曲線

有別於傳統的試題分析軟體,直接分析試題難度指數(item difficulty index)、鑑別度指數(item discrimination index)及各試題選項的選答率,

(41)

TestGraf98 軟體則是繪製出試題之選項特徵曲線,並依據曲線變化來解釋試 題的難度、鑑別度與選項誘答力(楊志強,2004)。 藉由圖形化的方式來記錄比較資料及數據,以受試者的能力為橫軸,受 試者在某一試題之選答率為縱軸,事先並無假設其服從某一特定之試題反應 模式,完全根據受試者的作答資料,配合上述之核平滑化法,得一平滑之曲 線圖(吳慧珉,2001)。 透過TestGraf98軟體所繪製之選項特徵曲線圖,有以下之用途: 一、進行試題分析 將好的試題選項予以保留,而將題意不明或誘答力不佳之試題選項刪 除,進而提升試題品質。 二、瞭解作答反應 透過選項特徵曲線圖來瞭解不同能力受試者,在各試題選項之選答率, 藉以判斷試題選項之特性及發現學童的迷思概念,以作為改善教學或進行課 後補救參考。 TestGraf98 軟體所繪製之選項特徵曲線圖,正確選項以綠線呈現,錯誤 選項則以紅線呈現,關於選項特徵曲線的意涵與解釋方式,研究者以林清芳 (2003)之研究資料,提供幾個範例予以說明。 一、分析難易度 (一)圖2-4-1: 這是一題較難之試題,正確選項為第1選項,只有高能力之受試者才有 可能答對此一試題,而選項3對於中低能力之受試者具有高誘答力。 (二)圖2-4-2: 這是一題相當容易之試題,正確選項為第4選項,任何能力之受試者對 於正確選項均有很高之選答率,其誘答選項幾乎不具誘答力。

(42)

圖2-4-1 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線(((一(一一一))) )

(43)

二、分析鑑別度 圖2-4-3: 這是一題良好之試題,正確選項為第2選項,當受試者之能力值大於 -0.6之後,選答率逐漸增加,即受試者須具備某一答題概念,方可答 對此題,所以此試題具有良好之鑑別度。即良好的正確試題選項,在某 一範圍之能力值,其選項特徵曲線會急遽上升。 圖2-4-3 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線(((三(三三三))) ) 三、分析誘答力 (一)圖2-4-4: 正確選項為第2選項,對中低能力之受試者而言,沒有具備答對此題之 解題概念,反而是擁有誘答選項1之錯誤概念。 (二)圖2-4-5: 這一題正確選項為第3選項,選項2和選項3之曲線幾乎呈現對稱,顯示 選項2具有高誘答力,影響受試者之作答反應。

(44)

(三)圖2-4-6:

正確選項為第4選項,中等能力之受試者即能答對此題,選項1對於低能 力受試者具有高誘答力。

圖2-4-4 選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線選項特徵曲線(((四(四四四))) )

(45)

數據

圖 4-3-1    試題 試題 試題 試題 5 之選項特徵曲線 之選項特徵曲線 之選項特徵曲線  之選項特徵曲線
圖 4-3-3    試題 試題 試題 試題 18 之選項特徵曲線 之選項特徵曲線 之選項特徵曲線 之選項特徵曲線

參考文獻