研究動機

第一章 第一章

第一章 緒論 緒論 緒論 緒論

本研究旨在編製一份小數乘除法概念測驗試題，並藉由選項特徵曲線分 析測驗結果，瞭解六年級學童之答題情形和可能出現的迷思概念。本章包含 研究動機、研究目的和待答問題、名詞釋義和研究限制。

第一節 第一節 第一節

第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機

依據教育部（2003）公布的九年一貫課程綱要之數學領域重點，將數學 內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」及「連結」等五大主 題。其中「數與量」在國民教育的數學課程中極為重要，其主要概念的形成 以及演算能力的培養均奠基於國小階段。由於學習內容範圍廣泛，因此再區 分為「整數」、「量與實測」、「有理數」及「估算」等子題。其中「有理數」

是小學數學核心課程之一，在美國的教育進程全國性評量（The National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP）、英國的中學數學及科學概 念（Concepts in Secondary Mathematics and Science，簡稱 CSMS）（Hart, 1981）

的研究報告指出學童有理數概念不完備（引自郭孟儒，2002）。主要原因在 於有理數牽涉到「分數」與「小數」這兩種非常不同的表現形式，都涉及兩 個量的相對比較，因此關係密切，倘若未能釐清彼此概念的異同，容易混淆 不清而影響學習成效。其實小數概念發展在分數概念之後，但在日常生活的 實用性卻高於分數，例如：溫度的顯示、國際間貨幣匯率計算及報章雜誌的 統計資料…等，均顯示小數對日常生活是不可或缺的。吳昭容（1996）在其 論文中曾引用 H. Eves 的一段話：「隨著人類文明的進步，天文、航海、工 程、甚至戰爭等，在在都需要快速而精確的數值計算，這項需要已在四個重 要的發明（印度—阿拉伯數字、小數、對數、計算機）之下得以達成。」更 驗證了小數對人類文明進展的重要性，亦即小數的學習是極為必要。

在現行九年一貫課程綱要國小數學領域教材的編排上，有關於小數單元 的教學內容，茲整理如下：

（一）三年級：認識一位小數，並作比較與加減計算。

（二）四年級：認識多位小數，理解比較，並應用以解決生活中的問題。

（三）五年級：處理乘數是小數的計算，並能對小數在指定位數取概數以 進行估算。

（四）六年級：利用直式處理除數為小數的計算，並能解決生活中的問題。

小數很重要，不過概念卻是十分抽象和複雜，雖然和日常生活密不可 分，但是學童在小數的學習成效並未因此而有所提升，反而常常遭遇困難。

艾如昀（1994）的研究發現，學童在處理小數的四則運算時，由於除數是小 數的題目計算規則較多，所以常會因規則不熟悉，而計算錯誤。大多數學生 在學習小數時，容易受到先前整數及分數概念影響而產生干擾（Fischbin, Deri & Marino, 1985；Greer, 1987；Hiebert & Wearne, 1985；1986；1988；

Resnick et al., 1989）。美國 NAEP 的報告則指出學童因缺乏小數位值的基本 概念，而忽視小數點（Carpenter, et al., 1981）。陳永峰（1998）研究亦發現，

學童在小數乘法計算時，會先對齊被乘數及乘數的小數點，進行直式運算後 再將積數小數點對齊放下，而在小數除法計算上，則易將商與餘數的小數點 位置放錯。由上述研究結果可知，學童並未真正瞭解小數的概念及運算，以 致於學習成效不彰。

由於數學的結構是層層累積，而其發展既依賴直覺又需要推理，教師不 宜將學生的錯誤皆視為犯錯，而應試著瞭解學生發生問題的根源（教育部，

2003）。透過鼓勵學生發表說明自己的想法，或適時援引關鍵的例子，有效 針對問題來協助學生釐清迷思概念，裨以提升學習成效。

在研究者本身任教經驗中亦發現，當六年級學童完成小數乘除法單元學 習後，在計算題的解題上較無困難，但是文字題的解題表現則不理想。大多

數學童對於題意理解不透澈，以致於列式及解題策略的選用出現困難，最常 見的是將題目中所有出現的數據任意拼湊列式來解題；也有學童會記憶題 型，套用固定公式或運算規則作答，如此一來便失去了測驗的真正用意，也 無法得知學童概念的理解情形。

有鑑於此，本研究選定「小數乘除法概念」為研究主題，擬編製一份具 有良好信、效度的測驗，以常態分班下的六年級學童為對象來進行施測，再 藉由選項特徵曲線分析測驗結果與答題情形，進一步探討學童對小數乘除法 概念的學習情形及可能出現的迷思概念，提供教師作為修正教學或進行課後 補救教學的參考。

第二節 第二節 第二節

第二節 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的與待答問題 與待答問題 與待答問題 與待答問題

依研究動機，得知多數學童在學習小數乘除法的過程中，並未確實及清 楚瞭解概念和運算規則意義。故本研究擬編製一份適當的小數乘除法概念測 驗，透過試題分析工具及配合TestGraf98所繪製之選項特徵曲線圖，由學童 選擇各個選項的反應情形，進一步瞭解在小數乘除法概念的理解情形和可能 出現的迷思概念。

具體而言，本研究目的如下：

一、探討小數乘除法概念測驗的試題與試卷特性。

二、探討小數乘除法概念測驗的學童答題反應情形。

三、分析小數乘除法概念測驗試題之選項特徵曲線。

四、探討學童對小數乘除法概念理解的情形。

根據研究目的，本研究待答問題如下：

一、探討小數乘除法概念測驗，試題及試卷質和量的分析情形為何？

二、探討小數乘除法概念測驗，學童答題情形及選項誘答力為何？

三、分析每一道試題的選項特徵曲線情形為何？

四、探討學童對小數乘除法概念之理解情形和迷思概念情形？

（二）商為整數，沒有餘數 曲線（option characteristic curve，OCC），用來分析試題和試題選項的特徵，

亦可用於診斷試題，決定是否重新命題以消除曖昧不明的試題選項或是提供

參 參

參 參、 、 、 、研究工具 研究工具 研究工具 研究工具

本研究以編製之「小數乘除法概念」測驗為研究工具，採用紙筆測驗方 式進行施測，在施測過程中有諸多因素可能影響學童作答結果，因此研究結 果僅供改進教學之參考，不得做過度推論。

第二章

貳 貳

劉曼麗（2004）研究指出，現行小數課程之教材編排以分數做為橋梁，

藉由小數與分數的連結以建立小數符號的意義，倘若分數概念不穩固，有可 能形成小數迷思概念，再者亦可能受小數符號結構與整數同屬十進位制的影 響，而將小數視為整數。

以皮亞傑（J. Piaget）認知理論的觀點來看，人類會藉由一個基本模式 來處理事物，即認知的基本結構，亦稱為基模（scheme or schema）。並透過 不斷同化（assimilation）及調適（accommodation）的過程來成長，以取得 數字位名（column names）

1.小數點以後名稱按數字次序讀出 2.從十分位開始

3.位名順序是從左到右（十分位，百分 位，千分位，…）

4.讀數字順序是十分位，百分位，千分位

讀的規則（reading rules）

小數點左邊整數部分按照整數讀法 數字位名（column names）

1.沒有小數點以後的數字

讀的規則（reading rules）

依整數十進結構讀出

由表 2-1-1 可發現小數和整數兩者的共通點與相異處：

小數的值（decimal values）

1.在 0 與 1 之間表達一個值 2.整體被分成很多較小等分 3.在 0 與 1 之間有無限個小數存在 小數符號（decimal notation）

1.一個單位被等分成多少等分是隱含在 數字的位置中

2.有多少等分是表現在小數的量中 3.整體僅可被分成 10 的冪次方（powers of

10 parts）

分數的值（fraction values）

1.在 0 與 1 之間表達一個值 2.整體被分成很多較小等分 3.在 0 與 1 之間有無限個分數存在 分數符號（fraction notation）

1.一個單位被等分成多少等分是由分母 明確界定

2.有多少等分是表示在分數的分子中 3.整數可被分成任何一個等分的數（any

number of parts）

（＋）

小數部分：與印—阿記數系統有關，所以分割分數被限制為 10 的冪次方。

參 參

參 參、 、 、 、小數 小數 小數 小數概念 概念 概念 概念學習論點 學習論點 學習論點 學習論點

Wearne and Hiebert（1988）研究認為學童需經過連結、發展、精緻與熟 練及萃化四個階段，以建立學習穩固的小數知識。（一）連結：透過具體物 的操作結果，連結小數符號和運算符號；（二）發展：在具體物與符號產生 連結後，透過具體物表徵，發展出處理符號的程序性知識；（三）精緻與熟 練：脫離具體物表徵，在適當的情境中應用小數符號來解題，並加以熟練、

記憶，直到概念自動化；（四）萃化：結合前三階段的知識，將符號和規則 建立更為抽象的系統。

D'Entremont（1991）則提出「小數學習的洋蔥模式」，認為學習建立小 數概念的認知過程，由外而內分五種不同層次，依序說明如下。（一）具體 物：透過真實可見的物體來導引學童接觸小數；（二）操作說明：將具體物 轉換成以小數的符號表徵形式呈現；（三）程序：不需具體物操作，遵循使 用小數符號的運算規則，但不理解背後的意義；（四）心智模式：不盲目遵 循計算算則公式，能清楚知道解題的理由、運算程序與規則；（五）抽象：

不需再透過具體物，而能將問題「如何處理」以及「為什麼」統整起來。

將Wearne and Hiebert小數學習的四個階段及D'Entremont認知過程的五 層次進行比較，可分成「概念知識的建立」及「計算程序的熟練」兩部分：

一、概念知識的建立

（一）具體物層次及連結階段：透過具體物的操作，進入小數的世界。

（二）操作說明層次及發展階段：連結具體物操作與小數符號表徵。

二、計算程序的熟練

（一）程序、心智模式層次及精緻與熟練階段：脫離具體物，並運用

小數符號及運算規則來解決生活情境問題。

（二）抽象層次及萃化階段：熟練符號及規則，抽象內化小數概念。

第二節 第二節 第二節

第二節 小數乘除法之學習探究 小數乘除法之學習探究 小數乘除法之學習探究 小數乘除法之學習探究

小數乘除法是小數基本計算中的重要一環，也是九年一貫數學領域課程 綱要中明確指出學生應在小學畢業前熟練的部分（教育部，2003）。Hiebert and Wearne（1986）指出學生學習小數乘除法比學習加減法還困難，因為小數乘 除法的基本概念與整數乘除法的概念並不完全相同，無法直接轉移過來，亦

小數乘除法是小數基本計算中的重要一環，也是九年一貫數學領域課程 綱要中明確指出學生應在小學畢業前熟練的部分（教育部，2003）。Hiebert and Wearne（1986）指出學生學習小數乘除法比學習加減法還困難，因為小數乘 除法的基本概念與整數乘除法的概念並不完全相同，無法直接轉移過來，亦