第二章 文獻探討
第一節 小數教學之相關知識
第二章 文獻探討
根據本研究之研究動機與目的，研究者蒐集國內外與小數教學相關研 究，師資培育生與教師在數學教學知識表現之文獻資料加以整理、分析。
本章分成二節說明之，第一節為小數教學之相關知識，瞭解學生迷思概念 以進行教學；第二節為數學教學專業知能，探討師資培育生與教師在數學 知識及數學教學知識之相關研究。
第一節 小數教學之相關知識
小數是國小數學課程重要概念之一，然而學生在小數學習過程中卻倍 感困擾；教師若存在正確的小數概念，才能有效引導學生學習小數並瞭解 學生學習困難的部分以深入探討。
一、小數的數概念
國小數學課程中的小數知識，其意義可從兩層面著手：一是分數層面 的部分與全體關係(Kieren, 1988)，二是整數層面的多單位記數系統(甯自 強，1997)和位值概念(劉曼麗，1998)，意即小數的意義是由分數與整數概 念之延伸與統整所建立起來的。從分數的意義來看，當一個單位量被等分 成十份、百份、千份…時，其中的幾份可以小數記之，例如小數
0 . abc
為 分數1000
abc
的另一種記法，記錄千分之幾的分量。從十進位制記數系統來 看，小數的記數系統承襲了整數的十進位結構與記數規則，亦是以 0~9 十 個數字配合位值概念來記錄，例如小數 bcda.
表示為 a 個 1、b 個 0.1、c 個 0.01 和 d 個 0.001 的總合，即「a . bcd a 1 b 0 . 1 c 0 . 01 d 0 . 001
」，9
b 所在的位置稱為十分位，記錄「0.1」的個數，c 所在的位置稱為百分位，
記錄「0.01」的個數，d 所在的位置稱為千分位，記錄「0.001」的個數(教 育部，2001)。
從學習的角度來看，Hiebert (1992)將小數知識分成三種：(1)符號系統 知識(knowledge of the notation)：用符號表示小數，如3.08是小數，3.0.8及
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皆不是小數。(2)運算規則知識(knowledge of the symbol rules)：操作小 數運算規則以產生正確答案的知識，例如小數加減要對齊小數點。(3)數量 表 示 知 識 (knowledge of quantities) ： 瞭 解小 數所 代表 的數 量 可 以 單 位 (units)、十分單位(tenths)等測量，如0.3杯水大約是這一杯中裝多少水的量。然而Hiebert發現學生在三種小數知識的連結並不佳，如學生可能知道小數 的記法卻不瞭解其意義，會利用紙筆計算卻不會解釋計算的理由…等，因 此Hiebert非常強調「連結」的觀念。
「數概念」及「運算」是學生學習小數知識的重點。綜合上述學者的 觀點，小數的意義是由分數與整數發展而來，符號的標記亦源自位值概 念；小數基本意義的知識若正確建立，其運算的學習可能較易掌握與理 解，意即在教學時強調小數意義與小數運算間的連結之重要性，如此會減 少錯誤概念的產生。
二、小數教材內容
國小數學課程中，小數的認識包含一、二位及多位小數，概念分為小 數的意義、小數的位值與化聚、小數比較大小、度量衡單位的換算(單複名 數之間的換算)、小數稠密性、小數與分數的關係等；小數的運算及應用為 小數的加、減、乘、除法及其應用題。現行的 92 年九年一貫課程綱要(教
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育部，2003)將小數的課程內容安排在整數與分數概念建立之後(表 2-1-1)，
因此學生自三年級開始接觸小數。雖然將於 100 學年度實施的 97 年課程 綱要(教育部，2008)有小幅度的調整(如表 2-1-2)，但差異不大，如「能力 指標」部分，分別舉列小數乘、除法意義的理解(N-3-09、N-3-10)，增加小 數與整數在數線上之比較及互換(N-2-15)；除增列能力指標之外，92 年課 程綱要將二、三位小數的學習安排在四年級(4-n-09、4-n-11)，97 年課程綱 要將二位小數安排在四年級(4-n-11、4-n-12)，五年級始進入多位小數的學
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由92年及97年課程綱要可知，小數內容在數學學習過程中占有相當重 要的地位。雖然坊間教材設計乃依據課程綱要編排之，不過教材內容之良 窳可能會影響學生的學習效果。梁文鎮(2007)分析某坊間教材發現小數教 學內容的處理並不完善，如安排的教學活動與對應的能力指標不相符等情 形，然而教師在進行數學布題時亦深受教材內容分量之限制(劉祥通、周立 勳，2001)，如此也許會影響學生的學習成效。教師在進行小數教學前，若 清楚小數學習歷程以及課程綱要中所要教授給學生的先後順序與內容，便 能明確進行教學活動與指導，補充課本或教科書內容不足之處以加深學生 對小數意義的瞭解。
三、學生小數迷思概念的相關研究
國小學生在正式學習小數前已具備整數、分數的概念與運算，並且利 用相關概念回答教師授課的內容，若學生的概念與數學本質意義、教師的 教學內容或專家的觀點不同時即可能產生錯誤概念，亦稱之為迷思概念 (misconception)。根據相關研究結果發現，學生在小數學習上的表現並不 理想(吳金聰、劉曼麗，2000；杜建台，1996；劉曼麗，2001)，因此為進 行有效的小數教學，應先對學生的迷思概念有充分瞭解。
(一)小數概念的迷思 1.小數基本概念
學生受到舊經驗─整數概念的影響，在讀小數時會將小數點後的數字 讀成整數(林麗雲、姚如芬，2002；杜建台，1996；劉曼麗，1998；Frobisher et al., 2002)，如0.21讀成零點二十一；引入小數數詞序列時，遇到進位則 容易類比整數，如0.9之後就是0.10(林麗雲、姚如芬，2002；楊德清，2000；
劉曼麗，1998；Frobisher et al., 2002)；在數線上點數刻度線或標示小數點
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時，會從0開始數起或不清楚兩小格之間的單位(杜建台，1996；劉曼麗、
楊明樺，2009；Thipkong, 1988; Wearne & Hiebert, 1986)，如2和3之間分成 十小格，卻將每一小格間隔0.1當作1，或是將0.1當作0.01，更有學生忽略 參考點「2」，將其當作原點「0」(劉曼麗、楊明樺，2009)。
2.單複名數的轉換
由於學生不熟練度量衡單位的換算或未能掌握等分割概念，將大單位 當成整數部分、小單位當成小數部分，例如「1公尺5公分＝1.5公尺」；另 外將小數點前的數字當作大單位，小數點後的數字當作小單位，例如「50.4 公升＝50公升又4毫升」或「50.4公升＝50公升又0.4毫升」(梁惠珍，2003；
陳文利，2001；陳永峰，1998；郭孟儒，2002；劉曼麗，2001；戴政吉，
1999；Bell, Swan & Taylor, 1981)。由上述可知學生瞭解答案一定與題目的 數字有關，但是無法判斷兩單位的相對關係致使不能順利的進行單位轉 換。
3.分數轉換為小數
將分數化為小數時，部分學生認為
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的答案為 8.5 (分母當成整數，分 子當成小數)，或 5.8 (分子當成整數，分母當成小數)，第三種是 0.5，即不 管分母的數字，直接把分子當成小數部分(艾如昀，1994；Kouba et al., 1988;Wearne & Hiebert, 1986)。
4.比較大小
比較小數大小方面，有些學生認為0.615＞0.09＞0.2，即以小數點後的 數字視為整數處理；或認為0.2＞0.09＞0.615，以小數點後的數字視為分割 數(艾如昀，1994；吳昭容，1996；杜建台，1996；林麗雲、姚如芬，2002；
梁惠珍，2003；陳文利，2001；陳永峰，1998；郭孟儒，2002；簡茂發、
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劉 湘 川 ， 1993 ； Resnick, Nesher, Leonard, Magone & Omanson, 1989;
Sackur-Grisvard & Léonard, 1985; Wearne & Hiebert, 1986)。
我國學生參加2007年國際數學和科學趨勢研究(TIMSS 2007)發現，
22%的八年級學生選擇2.5＜2.25＜2.75；在另一題大小比較問題亦只有 62.5%的答對率，並有29.2%的學生認為0.3＜0.32＜0.332＜0.233 (李源順等 人，2009)。
(二)小數運算的迷思 1.小數加減法
學生進行小數加減直式運算時，容易混淆位值概念致使計算錯誤(周筱 亭，1990)，其中以未對齊小數點的現象居多(艾如昀，1994；陳永峰，1998；
劉曼麗，1998)；劉曼麗(2001)亦指出學生會以整數的加減經驗類推，而將 數字「向右對齊」來計算，即使到了高年級仍有少數學生認為要對齊右邊 (郭孟儒，2002)。
2.小數乘除法
部分學生在小數乘除法運算也有困難，不僅將整數的乘除概念用在小 數上，且產生「乘法使結果變大」和「除法使結果變小」的錯誤想法(林原 宏，1994；陳永峰，1998；劉曼麗，2001；Fischbein et al., 1985)。劉曼麗 (2004)進一步指出，在進行小數乘以整數「1.8×16＝28.8」的教學活動中，
多數學生認為積的小數點應對齊被乘數小數點，但是若未充分瞭解小數乘 法的意義時，即使正確計算出1.8×16，卻可能在0.18×1.6的計算過程中產生 錯誤。
學生在有餘數的小數除法題型中常會忽略餘數小數點，或將餘數小數
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點對齊移位後的被除數小數點等錯誤想法。劉曼麗(2004)發現在小數除以 整數問題中，多數學生能正確計算求商的部分卻無法解釋理由，僅記住除 法算則並直接以算式說明解法(艾如昀，1994；陳永峰，1998；簡茂發、劉 湘川，1993；Hart, 1981)。另外，許多學生在小數除法學習過程容易受到
「大的數÷小的數」的影響(楊德清，2000；劉曼麗、侯淑芬，2008)，尤其 是除數為純小數的題型更為明顯，導致除法文字題列式上產生困難。
Chien (1998)認為，若小數的程序性知識缺乏小數概念性知識的支持就 會產生學習困難。李源順等人(2009)研究我國學生在TIMSS 2007的數學表 現指出，除小數比較大小有待加強之外，有34.6%的八年級學生將小數 78.2437四捨五入到百分位時選擇78.244，而在分數化成小數或小數化成分 數的大小比較問題只有60.2%的答對率。
Okazaki 和 Koyama (2005)以某大學附屬實驗小學之 38 位五年級學生 為研究對象，進行六堂課的小數除法教學；進行教學實驗前，學生已學習 過小數相關單元如「以整數乘或除以小數」、「小數的乘法」等。將近 80%
的學生難以解釋「116÷0.8」的單位量為什麼是 1；即使知道「116÷0.8」可 以轉換成另一個數學式如「1160÷8」，卻不清楚轉換的用意。透過教學觀 察發現教學者並未討論除以 0.8 本身的意義，學生的除法概念亦無法解釋 出「1160÷8」或「116÷8×10」與「116÷0.8」的關係；另外部分學生受「乘 變大，除變小」概念影響，認為由 0.8 轉換至單位量為 1 的運算較難處理，
又因「除以 0.8 等價於乘以 1.25」且乘以 1.25 比除以 0.8 簡單許多，故選 擇使用乘法運算。
Tsao (2005)訪談師資培育生中發現，小數運算的熟練並不代表具有良 好的數感，若國小學生過於依賴公式、算則，可能會抑制其數感的發展、
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靈活運用與解釋小數。因此學生在學習小數時，從基本的讀法到四則運算 都 可 能 會 產 生 迷 思 概 念 ， 而 概 念 未 經 導 正 便 會 影 響 到 往 後 的 學 習 。 Gelman(1991)表示，若學生的數學學習一旦產生錯誤概念，便可能有持續 性的錯誤進而導致學習低落。
四、小數教學相關研究
劉曼麗(2002)透過問卷調查並輔以訪談、教學札記及查閱學生習作等 方式，研究 19 位國小四年級數學科教師在「小數的認識」與「小數的加 減」兩部分的教學情形。雖然所有參與研究的教師在教學前皆會參考教學 指引，但是有 6 位教師完全依賴教學指引，且約 10 位教師的授課模式較
劉曼麗(2002)透過問卷調查並輔以訪談、教學札記及查閱學生習作等 方式，研究 19 位國小四年級數學科教師在「小數的認識」與「小數的加 減」兩部分的教學情形。雖然所有參與研究的教師在教學前皆會參考教學 指引，但是有 6 位教師完全依賴教學指引，且約 10 位教師的授課模式較