數學教學專業知能

我國小學採包班制，除少數科任教師外，多數在職教師均有機會教授 國小數學課程。因此教師教授給學生的數學教學專業知能是否充足，以及 未來有機會成為教師的師資培育生，其數學教學相關知識的養成皆值得深 入瞭解。

一、師資培育生與在職教師的數概念相關研究

(一)師資培育生的數概念相關研究

林福來等人(1992)研究三所師範學院數理教育系及初等教育系共197 位新生的初等數學能力。結果發現師資培育生表現欠佳的部分，包含電算 器的使用能力、周長與面積的基本概念、正比與反比的推理能力，及小數、

分數與百分率之間的換算能力；並發現數理教育系學生在分數、比例、幾 何及代數等數學知識的整體表現優於初等教育系學生。

劉曼麗(2000)以問卷及訪談方式研究國立台北師範學院(數教系、語教 系、美教系)、國立嘉義師範學院(數教系、初教系、音教系)和國立屏東師 範學院(數教系、語教系、美教系)309位師資培育生，在「數與計算」、「量 與實測」、「圖形與空間」及「統計圖表」等領域的表現。「數與計算」

領域之結果發現，師資培育生對於整數乘法的意義、整數除法運算與連減 的關聯瞭解不足，例如單位量的倍數「4的3倍」會與「3的4倍」的意義混 淆；經由訪談得知，少數師資培育生認為「將12每次減去3，需連減4次」

的列式應為「12÷4」、「3×4」或「12－3－3－3－3」，卻不是「12÷3＝4」

的意義。另在小數相除的答題表現中，有76%的師資培育生將餘數的小數 點與移位後被除數的小數點對齊，即不甚清楚餘數為小數的除法性質。整

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體而言，理組(數教系)學生在各領域的答題表現皆優於文組(語教系、初教 系)及藝能組(美教系、音教系)的學生；且這三組在各領域表現中，以「數 與計算」領域的表現較為不理想。

陳秀雯(2002)探討師資培育生在不同的乘數類型下，如整數×整數、整 數×純小數、整數×帶分數、整數×真分數及整數×帶小數等，設計乘法文字 題的表現。該研究利用紙筆測驗調查三所師院之理組、文組與藝能組三類 系別共305位四年級師資培育生，並從中抽取17位進行一對一半結構性晤 談。結果發現師資培育生之布題率是63.4%，尤其是乘數為帶小數類型的 布題率最低；形成布題率表現差異可能是師資培育生認為乘數不是整數 時，較無法與生活中的具體事物連結，並且乘數是小數或分數時，師資培 育生無法瞭解其乘法概念也難以適當情境解釋乘法的意義。

Chang (1997)以紙筆測驗評量某師院全體共417位四年級學生的乘法 結構知識及其教學知識，並有30位進行半結構訪談。研究發現雖然80%的 師資培育生在乘法結構之數學知識的表現尚佳，仍有少數師資培育生使用 不正確的數學知識進行解題，且沒有意願解釋解題所需的公式；在乘法結 構之教學知識的理解程度僅有35%的答對率，除教學法知識的不足，師資 培育生多以程序性知識解讀題意而非真正瞭解其意義。另外全體受詴者的 答題表現依系別比較發現，乘法結構知識及其教學知識皆呈顯著差異，且 數理教育相關科系之師資培育生表現最好。

(二)在職教師的數概念相關研究

劉好(1991)採用隨機抽樣法選取九所師院進修之1077位小學教師施行 筆詴測驗及28位級任教師個別訪談，調查其在小學數學教學相關知識方面 的表現，探討錯誤的數學概念及原因。研究結果發現，約28%的教師在「整

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數和小數的積商性質」部分如8÷0.4與8×0.4，或0.8×0.4與0.8÷0.4等之間的 概念尚不熟悉；約26%的教師在「分數的大小比較」不清楚以符號(丙/甲、

丙/乙)如何進行教學與說明；約42%的教師在「設計四則運算之應用問題」

部分無法依照給定算式設計問題情境。而教師的困難或缺失來自於概念或 原理不清楚、未深入分析題意或不理解數學公式的關係及特性所致，且有 些教師只會使用算則解題方式幫助學生學習數學，不會應用數學符號、概 念及技巧，更缺乏布題經驗。

呂玉琴(1998)研究國立台北師範學院國小教師暑期學士班的136位在 職教師對分數教學相關知識的瞭解，發現在職教師在數學及其教材教法的 知識、學生數學學習的知識兩部分的知識皆佳者占7.4%，只有數學及其教 材教法知識佳者占16.9%，只有學生數學學習知識佳者占26.5%；整體而 言，75.7%的教師之分數教學相關知識有待加強。

(三)國外師資培育生及在職教師的數概念相關研究

在面積及體積概念方面，Vistro (1991)發現大多數師資培育生依賴公式 以運算周長、面積、體積和表面積，卻經常混淆面積與表面積的概念。在 小數概念方面，Widjaja、Stacey 和 Steinle (2011)針對負小數的數線概念進 行探討，認為師資培育生在標記負小數位置的表現不佳，亦發現師資培育 生存在小數稠密性的迷思概念(Widjaja, Stacey & Steinle, 2008)。

師資培育生在處理乘除法文字題時亦會出現國小學生常發生的錯 誤，以預期答案作為選擇文字題運算的依據，例如結果變大就使用乘法，

結果變小就使用除法。在 Graeber 等人(1989)的研究發現，當文字題涉及純 小數且答案預期變小時，如「從 1 公斤的小麥中可以得到 0.75 公斤的麵粉，

那麼可以從 15 公斤的小麥中得到多少麵粉？」有 25%的師資培育生誤以

22 法概念的瞭解有待加強。Simon (1993)的研究指出，70%的師資培育生缺乏 布題技巧之相關知識，即對於融入生活情境的除法布題感到困擾；而在分 98473947 除以 98762 的餘數」題目中，以為商的小數部分即為餘數，12%

的師資培育生將商的小數部分除以除數，甚至有 15%的師資培育生不知道

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生。因此由數概念相關研究中得知，國內外學者皆重視教師的數學知識表 現且認為教師的職前訓練十分重要。

二、數學教師的教學知識及其相關研究

(一)數學教師的教學知識

教師的數學專業知能與教學知識密不可分，然而教師需有足夠的相關 知識才能協助學生學習數學。Shulman (1986)提出教師知識的七大領域 中，特別強調學科教學知識(pedagogical content knowledge)的重要性，並將 其定義為教師在考慮不同教學方法與學生特性後，運用教學方法如畫圖、

說明、舉例及示範等，將基本概念與事實知識相結合，把已知的學科知識 轉變成學生真正能夠理解、學習的知識，再傳授給學生。Fennema和Franke (1992)認為數學教師不僅應掌握學生目前的數學學習內容，還應瞭解學生 未來可能學習的數學學習內容，只有對數學教材全盤瞭解，教師始能建構 自己的教學方法，進而幫助學生學習數學。Fennema和Franke建立的數學教 師發展模式中(如圖2-2-1)，認為數學教師有三類重要的數學教學知識：數 學知識(knowledge of mathematics)、學習者數學認知知識(knowledge of learners’ cognitions in mathematics)、教學知識(pedagogical knowledge)，在 特定的脈絡中交互作用著，其中教師的信念(beliefs)是教師建立數學教學之 相關知識的主要來源。

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圖2-2-1 數學教師的知識模式圖[Fennema & Franke (1992, p.162)]

雖然學者對於數學教師的教學專業知能之重視程度不盡相同，然而在 學科知識、教學知識及對學生學習認知的知識等領域均有一致的觀點，可 知上述三項數學專業知識應為教師數學教學專業發展不可或缺的重要成 分。

Ernest (1989)認為影響數學教師教學實務最主要的因素，乃是教師對 於數學本質、數學教學、學生數學學習的觀點。Thompson (1992)針對數學 教師信念的相關研究文獻進行分析後指出，因為知識和信念是無法分割 的，若要增進數學教學與學習的效果，必頇要針對教師的數學信念、數學 教學信念、數學學習信念三方面作更深入的探討與研究。Cochran、DeRuiter 和 King (1993)則以建構主義的觀點，修正 Shulman 的學科教學知識，提出 情境知識，強調教師必頇具備學科內容、學科專門知識及教學知識外，另 應 融 合 情 境 知 識 以 發 展 學 科 教 學 知 識 。 Cooney (1994) 以 數 學 能 力 (mathematics power)及教學能力(pedagogical power)等觀點，類比教師的學 習和學生的學習；數學能力是解題時抽取數學知識的能力，教學能力是在

特定 脈絡 知識

學習者數學 認知知識

教學知識 數學知識

信念

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解決教學問題時抽取教學知識的能力，即學生學習數學是學習如何解決數 學問題，教師學習如何教數學是學習如何解決數學的教學問題。在教學即 為解題之觀點下，教師首先要發現教學問題並分析問題的已知資訊，再提 出有效解決策略，最後評定其教學成效。

國內學者對於數學教師專業發展研究方面，李源順與林福來(2000)的 研究發現數學的知識、學生認知的知識及教學法的知識是教師數學教學專 業發展之重要成分。吳明崇(2002)對國中數學專家教師教學專業知識內涵 的個案研究中，提出數學教師專業知識內涵有：數學知識、數學教學知識、

課程知識、運用情境知識、了解學生如何思維數學的知識及一般教學知 識。林碧珍(2001)認為數學教學知識是數學知識和教學知識的整合，其整 合的知識並不是單純將數學知識和教學知識相加在一起，數學教學知識包 含數學內容、數學的教學和學習知識。許德田與張英傑(2004)綜合文獻研 究，一位教師的數學教學知能包括：數學知識、教學法知識、學生認知知 識、評量知識及情境脈絡知識等方面，這些專業知識深切地影響教師的教 學規劃與實施，且教師的教學行為及活動會隨著教師數學教學信念的不同 而有差異。劉曼麗(2006)利用大慧調查法發展一套國小數學科職前教師之 專業基準，包括「基本理念」、「內容知識」、「學科教學知識」與「教 師專業成長」四個面向之內容與定義…等評分規準。

課程知識、運用情境知識、了解學生如何思維數學的知識及一般教學知 識。林碧珍(2001)認為數學教學知識是數學知識和教學知識的整合，其整 合的知識並不是單純將數學知識和教學知識相加在一起，數學教學知識包 含數學內容、數學的教學和學習知識。許德田與張英傑(2004)綜合文獻研 究，一位教師的數學教學知能包括：數學知識、教學法知識、學生認知知 識、評量知識及情境脈絡知識等方面，這些專業知識深切地影響教師的教 學規劃與實施，且教師的教學行為及活動會隨著教師數學教學信念的不同 而有差異。劉曼麗(2006)利用大慧調查法發展一套國小數學科職前教師之 專業基準，包括「基本理念」、「內容知識」、「學科教學知識」與「教 師專業成長」四個面向之內容與定義…等評分規準。