第四章 研究結果
第二節 小數除法數學知識表現情形
本研究主要分析受詴者在小數除法教學之相關知識較為不足的概 念，無探討多數受詴者所瞭解的相關知識，即本問卷有部分較難的詴題並 可預期受詴者得分情形不甚理想(表4-1-1)，顯示師資培育生對於小數除法 教學之相關知識尚需加強的地方。因此受詴者的小數除法數學知識是否充 足、對學習者小數除法學習情形是否瞭解及是否具備小數除法教學知識三 部分，依序說明其表現情形如下。
第二節 小數除法數學知識表現情形
為探討受詴者小數除法數學知識之現況，將其答題表現以選擇題與開 放式問題分析。
一、選擇題答題情形
分析本節選擇題答題情形可知，64.9%的受詴者在商與被除數的關係
45 第十七(3)題的有效答對率小於50%，因此提出討論(如表4-2-1)。
表4-2-1 小數除法數學知識答題表現：選擇題
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(一) 詴題三(1)：
本題運用的是包含除單位數未知的單位量轉換問題，欲測得受詴者是 否瞭解等分除、包含除及當量除的意義。
（ ）1.您認為奇奇的解題方法是利用哪一個除法概念？
○1等分除
○2包含除
○3當量除
○4其他(請說明) ________________________________________________
就除法問題情境分類，可將除法問題主要分成包含除、等分除及當量 除問題。包含除是單位數未知的單位量轉換問題，等分除是新單位量未知 的單位量轉換問題；而當量除是將原先單位量轉換的觀點，擴充為當量轉 換的觀點，以彌補意義解釋上的不足。
452位答題者中，64位(14.2%)受詴者能瞭解包含除的涵意；305位 (67.5%)受詴者認為是等分除的概念，73位(16.2%)受詴者認為是當量除的 概念，另有4位受詴者表示不清楚包含除、等分除及當量除之意義。研究 結果發現，多數受詴者對於除法問題情境的類型及概念不甚瞭解；另外，
本題在題目設計上應以原文字題敘述為填答依據(「米缸裡剩下…」)，非 以奇奇的解題方法做為問題，於是本題用詞有誤亦可能影響受詴者判斷填 答的方向。
「米缸裡剩下 0.21 公斤的白米，媽媽想用可以裝滿 0.04 公斤白米的杯子來裝，
盡量裝完，可以裝成幾杯？剩下多少公斤？」
奇奇的算法：
0.21－0.04＝0.17 0.17－0.04＝0.13 0.13－0.04＝0.09 0.09－0.04＝0.05 0.05－0.04＝0.01
答：可裝成 5 杯，剩下 0.01 公斤。
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(二) 詴題六(1)：
本題的目的在探討受詴者是否能藉由題意比較小數除法算則，瞭解被 除數與除數同時單位轉換的數學意義。
（ ）1.為什麼算式一與算式二的商都是 16，而餘數卻不同？
○1 算式二省略小數點，以整數相除
○2 算式一和算式二的單位不同
○3 餘數不可以比除數大
○4 其他(請說明)_________________________________________________
算式一：23.6÷1.4＝16…1.2，以1為單位；算式二：236÷14＝16…12，
以0.1為單位，意即「236個0.1單位除以14個0.1單位，等於16，餘12個0.1 單位」。459位答題者中，193位(42%)受詴者選對兩算式的單位不同，226 位(49.2%)受詴者認為算式二的寫法是將23.6與1.4省略小數點以整數相除 之，22位(4.8%)受詴者則認為餘數不能比除數大；另有18位(4%)受詴者的 想法如：
A056：23.6→236，1.4→14都放大了十倍但比例不變，所以商不變，
餘數需放大十倍。
D254：算式一的觀念不對。
研究結果發現部分受詴者利用除法直式計算的想法，算式以忽略小數 點來處理，或者符合除法性質便填入答案，卻未進一步思考題目本身的數 學意涵。
「花生油 23.6 公升，每 1.4 公升裝一瓶，問可以裝多少瓶？」老師請兩位同學上 台列出算式，分別是：
算式一：23.6 ÷ 1.4＝16…1.2 算式二：236 ÷ 14＝16…12
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(三) 詴題七(1)：
本題藉由驗算部分探討受詴者能否正確判斷除數與餘數之間的關係。
（ ）1.請問這個題目「□÷1.04＝1.7…0.12」哪裡不正確？
○1原題目的算式有誤
○2驗算時沒有除盡
○3在直式紀錄部分，小數點的位置要對齊
○4其他(請說明)_________________________________________________
在進行整數除法計算時，通常會以「餘數小於除數」決定商；當給除 數、商和餘數以求被除數時，則是以「餘數小於除數」來設計題目。但是，
類推至本題意來看，首先計算□＝1.04×1.7＋0.12，求出被除數□＝1.888 之後，再將1.888代入□內驗算，發現商竟是1.8，餘數是0.016。
398位答題者中，157位(39.4%)受詴者能發現該題目的算式有誤，但是 74位(18.6%)和93位(23.4%)受詴者分別認為是驗算部分沒有除盡、直式紀 錄的小數點要對齊，表示部分受詴者對於小數除法直式紀錄的寫法可能不 甚瞭解。另有72位(18.1%)受詴者以文字說明其想法，有的認為驗算時應先 減掉餘數，有的認為是單位換算的問題，舉例如下：
A058：驗算時要先減去餘數，再除以除數。
C124：小數點換算之間的誤差。
「□÷1.04＝1.7…0.12 直式紀錄求出□，並驗算」安安的計算過程如下：
直式紀錄 驗算
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D269：原題目的商為小數點後1位，則餘數該為小數點後2位。
即使透過驗算與直式紀錄的比較，部分受詴者仍無法看出小數除數與 餘數之間的關係，且不清楚該題算式錯誤的部分。
(四) 詴題十三：
本題欲測驗受詴者對於直式紀錄格式的處理，判斷被除數與除數的單 位轉換。
「5.952 公尺的緞帶，1.6 公尺剪成一段，全部剪完，相當於剪成多少段？」
【做法一】 【做法二】 【做法三】
上述三個做法中，何者是正確的，請在□打勾(可複選)。
□做法一
□做法二
□做法三
□皆不正確(請說明) _____________________________________________
442 位 答 題 者 中 ， 回 答 出 三 個 做 法 皆 為 正 確 的 受 詴 者 只 有 132 位 (29.9%)。155位(35.1%)受詴者認為做法一是正確的，即被除數與除數轉換 成0.1個單位；17位(3.8%)受詴者認為做法二是正確的，即被除數與除數轉 換成0.01個單位；85位(19.2%)受詴者認為做法三才是正確的，即被除數與 除數轉換成0.001個單位；而有5位受詴者同意做法一與做法二為正確算 則，20位受詴者同意做法一與做法三為正確算則，3位受詴者同意做法二 與做法三為正確算則。
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另有20位受詴者認為題目設計不合理，其想法分為四類：7位受詴者 認為題目是「1.6公尺為一段」，計算結果不應是3.72段；7位認為單位數「段」
為整數才合理，其中有4位認為剩餘的緞帶也應算一段，所以是4段；其餘 6位未具體回答或無表示意見等。從答題結果可知，約70%受詴者不易理解 單位轉換策略解題及「相當於」的題意敘述。
(五) 詴題十七(1)、詴題十七(3)：
本題利用小數除法直式紀錄探討受詴者是否瞭解被除數與除數的單 位轉換，以及直式紀錄過程中餘數所代表的數學意義。
下方為「12.85 ÷7.4＝（ ）」的直式紀錄過程：
甲算式 乙算式 丙算式
（ ）1.甲算式中，「被除數 12.85 轉換為 128.5，除數 7.4 轉換為 74」的數學意義 為何？
○1將除數變為整數，便於計算
○2「12.85 ÷7.4」和「128.5÷74」的商數和餘數都不變
○3將被除數和除數的單位改成 0.1
○4其他(請說明)________________________________________________
（ ）3.如丙算式，請說明兩箭頭所指之處，請問「545」代表什麼？「270」代表 什麼？
○1「545」代表 545 個 1，「270」代表 270 個 0.1
○2「545」代表 545 個 0.1，「270」代表 270 個 0.01
○3「545」代表 545 個 0.01，「270」代表 270 個 0.001
○4其他(請說明)________________________________________________
詴題十七(1)的379位答題者中，169位(44.6%)受詴者認為被除數12.85 轉換為128.5、除數7.4轉換為74，是將除數化為整數較為方便計算的因素；
更有71位(18.7%)受詴者認為「12.85÷7.4」和「128.5÷74」的商數和餘數都
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不變；就小數除法數學意義而言，被除數和除數的轉換是因為單位改變成 0.1，卻只有129位(34%)受詴者能瞭解其含意。
直式紀錄計算過程如詴題十七(3)，被除數與除數的單位同時轉換為 0.1，於是128.5個0.1減去74個0.1等於54.5個0.1，54.5個0.1即為545個0.01，
依此類推2.70個0.1即為270個0.001。然而374位答題者，只有113位(30.2%) 受詴者具有正確的單位轉換概念，224位(59.9%)受詴者卻認為餘數的小數 點應對齊移位後被除數的小數點( 545代表545個0.1，270代表270個0.01 )，
另有28位(7.5%)受詴者忽略被除數與除數的單位，認為545代表545個1，270
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(一) 詴題七(2)：
由詴題七(1)結果顯示(如表4-2-1)，部分受詴者能發現驗算的運算結果 與原題的數值並不相同；而本題希望受詴者能瞭解小數除法中，除數與餘 數之間的關係，並且進一步修正原題數值。
2.您會如何修正原來的題目？
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因為原題目的除數為1.04、商為1.7，求得被除數為1.888，於是研究者 先將1.888÷1.04以直式計算，取商為1.7，且進行分解：
步驟一 步驟二 圖4-2-1 直式紀錄
如圖4-2-1，若使商為1.7則只能減掉0.728 (1.04×0.7)，但餘數0.120可以 再減去一個0.104 (1.04×0.1)；若題目求商到小數第一位時，必頇考慮1.888
「□÷1.04＝1.7…0.12 直式紀錄求出□，並驗算」安安的計算過程如下：
直式紀錄 驗算
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減1.04後剩下的數還可以再分成幾個0.104，也就是說餘數必頇小於0.104 (1.04的0.1倍)。本題共137位受詴者答題，分析其答題情形發現以下結果，
並各舉一位受詴者之答題內容。
1.瞭解餘數單位的處理者共53位(38.7%)，並修改餘數為合理的除法算 式。
A001：□÷1.04＝1.7…0.016→餘數小於0.104。
2.部分瞭解餘數單位的處理者共16位(11.7%)，認為修改商或餘數為整 數即為合理算式。
C134：將原算式的商和餘數更正。
3.完全不瞭解餘數單位的處理共68位(49.6%)，如修改後仍為不合理之 算式。
E458：把原來的題目的餘數改成沒有小數點的數。
本題對部分受詴者來說，無法完全瞭解題目的意義亦難以辨認小數除 法之餘數的合理範圍；另有325位未填答，是所有開放式問題中最多未答 者的題目。表示受詴者在此類除法題型「小數除數與餘數的關係」較不清 楚，且有少數受詴者認為本題計算過程無需修改。
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(二) 詴題九：
本題在探討受詴者對於小數除法直式計算過程，是否清楚題意及餘數 小數點的處理。
由上述題意，您認為本題可以測得什麼概念？
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由三位同學的算法可知，小美算對商卻忽略餘數的處理，明穎能依題 意與餘數小數點的方式作答，佑成未理解題意將算式整除。共414位受詴 者答題，分析受詴者的答題情形後，發現以下結果。
1.完整瞭解其概念者共155位(37.5%)。
D156：(1)餘數的小數點頇對齊被除數小數點位置，
(2)「袋」單位量詞應該為整數而非小數。
2.部分瞭解者共193位(46.6%)，僅發現其中一種概念或敘述不完全。
C131、D337：餘數應改為0.14。
D168、D360：裝袋的概念為7公斤一袋。
3.完全不瞭解有48位(15.9%)，認為以整除解題或未提到重點。
「有35.14公斤的米，每7公斤裝成一袋，共可以裝滿幾袋？剩下多少公斤的米？」
下面有3位同學的做法，請你勾選誰做對或做錯，如果做錯了請寫出為什麼你知 道他算錯了。
小美的做法： 明穎的做法： 佑成的做法：
答：5袋，剩下14公斤 答：5袋，剩下0.14公斤 答：5.02袋，剩下0公斤 小美做（對、錯） 明穎做（對、錯） 佑成做（對、錯）
因為 因為 因為
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D232：小數點除法，結束後要補回小數點。
D238：可知小數點不足整數。
研究結果顯示，受詴者普遍能依據題意分辨出三種直式紀錄的差別，
且大致能具體說明其概念，但仍有少數受詴者之用語無法使研究者理解其
且大致能具體說明其概念，但仍有少數受詴者之用語無法使研究者理解其