第四章 研究結果
第四節 小數除法教學知識表現情形
第四節 小數除法教學知識表現情形
為探討受詴者在小數除法教學知識的瞭解情形，將其答題表現各以選 擇題與開放式問題分析。
一、選擇題答題情形
小數教學包含數概念及四則運算，其教學序列安排十分重要。絕大多 數受詴者能依據問題情境辨別教學重點如在一位小數的加法和一位小數 的除法運算，且部分受詴者對於教學單元與問題情境設計方面，能辨別是 否適合評量學生相關概念。即第二題、第十題、第十一(1)題及第十一(2) 題為60%以上受詴者答對的詴題，表示多數受詴者在一位小數運算及問題 情境之教學布題具有基本概念。
然而受詴者較缺乏引導學生學習正確概念的教學知識，除數為整數與 除數為小數的教法，或是不夠瞭解小數學習程序階段，如第一(2)題、第四 題、第十一(3)題、第十一(4)題及第十一(5)題的有效答對率低於50%；另依 據教學活動而設計問題情境(第二題)也是小數除法教學重點之一，因此提 出討論(見表4-4-1)。
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○4其他(請說明)_________________________________________________
有 3 個披薩，帄均分給 12 個小朋友，每個小朋友可分得多少個披薩？
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455位答題者中，187位(41.1%)受詴者採用學生較能接受的方式，以8 個披薩被4人帄分為例，使其喚起舊經驗「帄分」的概念後，接著以1個披 薩分給4人的例子，再導入題目；249位(54.7%)受詴者則會使用算則或公式 帶出小數的方式。另有少數受詴者利用不同的教學方式引導，例如：
A035：由電腦動態先讓學生了解二分之一、四分之一、八分之一帶 入。
D285：我認為選項○1 、○2 都會用到。
E452：利用面積分割的方式來認識小數。
有些受詴者利用「部分與全體」觀念的教學帶入小數，有些則以帄分 (將一塊披薩切成12片)或單位分數的概念引導(
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＝0.1)，但是仍有部分受 詴者以算則、公式等方式進行小數教學。(二) 詴題二：
本題希望受詴者依據小數除法的概念設計單步驟的問題情境，且能符 合教學重點。
在小數除以整數的教學活動方面，選項○1 為最符合單步驟之布題，選 項○2 的結果為15÷0.9，選項○3 則是兩步驟問題且應為0.9÷15。455位答題者
（ ）以下是幾位同學依照上述題目布題，請問哪一位的布題最符合上述題目敘 述？
○10.9 公畝的花圃，帄均分給 15 個班級，請問每班分得多少公畝？
○20.9 公升的花生油可裝成 15 瓶，那麼 1 公升的花生油可裝成幾瓶？
○3一個蛋糕切成 10 份，壽星先拿走 1 份，請問一起慶生的 15 個同學每人 能分到多少個蛋糕？
○4皆不符合(請說明)_____________________________________________
請您以算式 0.9 ÷ 15＝（ ）為例，應用「小數除以整數，商為小數而能除盡」
的教學活動，設計一個單步驟的問題情境。
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中，301位(66.2%)受詴者選對選項○1，而有49位(10.8%)、89位(19.6%)受詴 者分別認為選項○2、選項○3 的布題較為適合；而有1位受詴者認為選項○1 、 選項○2 皆符合，有2位受詴者認為選項○1 、選項○3 皆符合。
另外，有13位受詴者認為選項○1 至○3 皆不符合，多以「0.9公升的花生 油可裝成15瓶，則1瓶花生油可裝幾公升？」等類似問題設計之；亦有人 認為選項○1 的布題不符合生活情境，學生對「公畝」的概念可能不甚清楚；
而E408受詴者表示此選項○1 至○3 之題目皆難以理解。
(三) 詴題四：
本題目的在於探討受詴者如何運用除數為整數進入除數為小數的教 學方法以引導學生思考。
（ ）您會如何利用問題一「30÷3」的圖引導學童了解問題二「30÷0.3」？
○1乘除互逆的概念
○2倍數概念
○3把小數換成整數來想
○4其他(請說明)_________________________________________________
本題以線段圖表現整數除以「整數」與「純小數」的差別，問題一「3 倍是30元」即是算出單位量所對應的數值，1倍是10元；問題二「0.3倍是 30元」即由0.1倍是10元推導出1倍是多少元。
問題一：「小明錢的 3 倍是 30 元，問小明有多少元？」
問題二：「小明錢的 0.3 倍是 30 元，問小明有多少元？」
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451位答題者中，201位(44.6%)受詴者能以倍數關係的想法由整數倍導 入小數倍；109位(24.2%)、126位(27.9%)的受詴者則分別使用乘除互逆、
把小數換成整數來想的教學方式。以下舉例其他受詴者的想法：
A063：用數線說明小明為「1」，所以要想辦法化成1倍讓學生理解 問題二的圖表，再由圖表引導到「30÷0.3」。
D175：利用代數去引導。
D224：因為0.3倍是30元，所以用3個0.3倍和1個0.1倍合起來是100 元。
少數受詴者可能以代數「□×3＝30、□×0.3＝30」方式進行，並且有 些解題方式如「小數變成整數」，可能較難以幫助學生瞭解純小數除法的 意義；在處理文字題時可能會誤用小數乘、除法的概念。
(四) 詴題十一(3)、十一(4)、十一(5)：
詴題十一(1)、十一(2)、十一(3)及十一(4)主要探討受詴者是否依據各 問題情境辨別小數四則運算的教學重點，依序為「一位小數的除法」、「一 位小數的加法」、「三位小數除以一位小數」及「整數的二位小數倍」，詴 題十一(5)則希望受詴者依上述四題之教學重點安排教學序列。由於受詴者 在 詴 題 十 一 (1) 之 有 效 答 對 率 為 94.6% ， 詴 題 十 一 (2) 之 有 效 答 對 率 為 90.8%，意即絕大多數受詴者能理解「一位小數的加法」與「一位小數的 除法」之題意，因此以下討論詴題十一(3)、十一(4)及十一(5)。
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（ ）3.例題(3)的教學重點為何？
○1幾何圖形面積的應用
○2二位小數的除法
○3三位小數除以一位小數
○4其他(請說明)________________________________________________
（ ）4.例題(4)的教學重點為何？
○1結合小數的乘除法運算
○2整數的二位小數倍
○3除數為小數的除法運算
○4其他(請說明)________________________________________________
5.請問您會如何安排上述 4 題的教學先後順序？（請用 1、2、3、4 表示）
_____________→_____________→_____________→_____________
詴題十一(3)利用帄行四邊形面積求法進行小數除法計算。幾何圖形面
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A069：三位小數乘法應用。
C136：小數點乘法。
E438：小數點的擺放，應是在進行乘數是小數的計算之前便已理解 的部分。
詴題十一(5)探討受詴者如何安排小數單元活動的教學。415位答題 者，只有100位(24.1%)受詴者回答小數教學的先後順序為「一位小數的加 法→整數的二位小數倍→一位小數的除法→三位小數除以一位小數」；而 290位(69.9%)受詴者認為「一位小數的除法」的教學重點，應該先於整數 的二位小數倍或三位小數除以一位小數；亦有少數認為「三位小數除以一 位小數」教學活動先於一位小數的除法或整數的二位小數倍。另外，有些 受詴者認為這四個教學順序以「一位小數的除法」為優先處理，有些則以
「整數的二位小數倍」為優先處理。
若依照詴題十一(1)至十一(4)皆答對之74位受詴者來看，答對詴題十一 (5)者只有34位，表示這些受詴者即使瞭解各問題情境的教學重點，仍有一 半以上之受詴者對於安排小數四則運算教學序列的概念有待加強。
二、開放式問題答題情形
因為部分預詴問卷之填答敘述的完整性不足，若在正式問卷使用選擇 題施測，恐無法測得受詴者真實的想法，故詴題三(2)、十二(2)及十六(2) 維持開放式問題作答。各題之統計結果見表4-4-2，其答題情形逐題討論如 下。
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0.21－0.04＝0.17 0.17－0.04＝0.13 0.13－0.04＝0.09 0.09－0.04＝0.05 0.05－0.04＝0.01
答：可裝成 5 杯，剩下 0.01 公斤。
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0.20，讓他了解乘、除之關係→0.21＝0.20＋0.01＝0.04×5＋
0.01，這樣就可以讓學生了解0.21÷0.04＝5…0.01。
2.部分瞭解小數減法與除法教學的連結共83位(39%)。
C116：首先，先讓他發現連減的這幾個式子當中，有什麼相同的地 方，等他發現後，告訴他0.04是除數(因為每次減都是固定的 量)，之後再導入題目要問的問題。
3.完全不瞭解小數減法與除法教學的連結者共84位(40%)。
D306：0.4×( )＝0.21，
( )＝0.21÷0.4，
5…0.01＝0.21÷0.4。
只有四分之一的受詴者能大致解釋出合理的答案，代表超過一半以上 的受詴者對於由連減方式帶入除法算則教學之連結較不瞭解，或以講述方 式引導學生。
(二) 詴題十二(2)：
本題的目的在於探討受詴者對於餘數小數點意義的瞭解。
2.您會如何協助學生了解上圖中「7」的意義？
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（圖片取自翰林版）
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由詴題十二(1)的答題結果可知(如表 4-2-1)，94.5%受詴者能瞭解算式 中的「7」代表 0.7；但是大多數受詴者在詴題十二(2)卻無法清楚表達餘數 的意義。本題共 304 位受詴者答題，分析受詴者的答題情形後，發現以下 結果：
1.能完整表達其如何協助學生瞭解者共43位(14%)，多以單位變為0.1 作解釋。
D317：5.2公升為52個0.1公升，1.5公升為15個0.1公升，52÷15＝3…
7，剩下7個0.1公升，所以是剩下0.7公升。
2.部分表達出協助學生的方式者共177位(58%)，以「餘數必頇小於除 數」的觀念導正不在少數。
C117：回到原題目「每1.5公升」裝一瓶去想其合理性，若剩下7公 升則可再分，另外亦可說明餘數應與小數點對齊(因為餘數需 小於除數)。
3.無法表明其想法者共84位(28%)，回答簡短，缺乏具體敘述。
A037：反思7及0.7的差。
經由受詴者的答題情形得知，餘數「7」代表0.7的意義以「將被除數 的小數點對齊下來」的解釋占較多數，甚至應用「餘數小於除數」的觀念 卻忽略單位的變化。代表受詴者在餘數小數點意義的解釋應以單位概念作 說明，卻多數以程序性知識或問題情境的合理性作為釐清學生想法的方 式。
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(四) 詴題十六(2)：
本題利用計算過程錯誤的解法，以瞭解受詴者在釐清學生錯誤概念上 的想法。
2.根據題意，您會如何導正他的想法？
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因為題意指「裝滿」，商數求到整數位就好，即裝滿7包，共42公斤，
剩下0.18公斤不足以成為一包。如果題目未提「裝滿」，相當於7.03包，雖 然小朋友的算則是正確的，但並非7包，剩下0.03公斤。本題共有199位受 詴者答題，分析受詴者的答題情形後，發現以下結果。
1.能完整表達如何引導學生者共44位(22%)。
D232：0.03是分裝的包數，非剩下米量，取整數包7去乘6再相減，
得餘0.18公斤的米。
2.部分表達出引導學生方式者共122位(61%)，有些受詴者認為只要告 訴學習者除到整數就好。
C107：袋只有整數值，所以算到整數即可，再引導學生餘數的意義。
3.無法表明其想法者共33位(17%)。
E434：用整數除法來引導餘數為0，被整除了。
部分答題者能瞭解「裝滿幾包」所代表的意思，但在描述0.03的單位
下面是某位小朋友的作答情形：
「一袋米重 42.18 公斤，每 6 公斤裝成一包，最多可以裝滿幾包？剩下幾公斤？」
42.18 ÷ 6＝7.03
答：最多可裝 7 包，
剩下 0.03 公斤
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是包而非公斤時稍顯不完整，代表這些答題者對於學生解題過程的理解有 待加強，且導正學生概念之方式仍以算則進行教學。
綜合本小節之研究結果，發現受詴者的小數除法教學知識有待加強，
主要有以下三點：
(一)教學方式：由分數進入小數概念的教學中，多數受詴者仍以算則
(一)教學方式：由分數進入小數概念的教學中，多數受詴者仍以算則