層級分析法(Analytic Hierarchy Process; AHP)

層級分析法係 1971 年由美國賓州匹茲堡大學教授Thomas L. Saaty所發 展應用於多數高階決策分析問題之方法。由於AHP理論簡單且具備高度實用 性；其主要精神係匯集有關學者專家之意見進行一種集體決策之方法【64】。

而其最大特色就是將任何複雜系統或多準則、多目標及多決策者之決策問 題，透過對此問題具專業知識或經驗豐富之專家，將問題予以層級化、結構 化並進行量化，其流程如圖 3.2 所示。它是將複雜問題先劃分成簡單明確的 層級架構，並採用對偶比較方式，運用比例尺度，透過專家評比找出各層級 元素的相對重要性，建立成對比較矩陣，計算特徵值與特徵向量並求取各層

級要素之權重。

No No

Yes Yes

圖3.2 AHP 流程圖 資料來源：【58】

影響要素分析

問卷設計

問題描述 規劃

群體

構建層級架構

決策專 家群體 問卷填寫

建立成對比較 矩陣

計算特徵值與 特徵向量

可行方案之選擇

求取一致性指

標 可行方案加權平均

C.R＜0.1 CRH＜0.1

求取各層級C.I 值. 求取C.R.H 值

Saaty and Vargas【61】兩位學者針對AHP之主要內容有以下四點說明：

一、將複雜問題間之評估予以結構化，並建立層級結構。

二、設定各問題之評比尺度，並建立成偶比對矩陣。

三、計算各問題之相對權重。

四、檢定其一致性。

而AHP之基本理論假設則可分為以下九點說明【26】：

一、一個系統可被分解成許多層次(Classes)或元素(Components)，形成有向網 路(Directed Network)之層級架構。

二、層級結構中，每個層級中之元素均假設具有獨立性(Independence)。

三、每一層級內之元素，皆可使用上一層級內某些或全部的元素作為基準，

進行評估。

四、進行元素間的比對時，可以將名目尺度(nominal scale)轉換成比例尺度(Ratio Scale)。

五、 成偶比較(Pairwise Comparison)後，可使用正倒值矩陣(Positive Reciprocal Matrix)處理。

六、 評估者的偏好關係會滿足遞移性(Transitivity)，不僅需要優劣關係滿足遞 移性（即若A 比 B 優，B 比 C 優，則 A 比 C 優），強度關係亦同時滿 足遞移性（即若A 比 B 優二倍，B 比 C 優三倍，則 A 比 C 優六倍）之 結果。

七、由於偏好關係滿足遞移性較不容易，因此，容許某些程度不具遞移性之 存在，但須測試其一致性(Consistency)程度。

八、經由權重法則(Weighting Principle)以求取元素之優勢程度。

九、出現於層級結構中之任何元素，不論其優勢程度如何，均與整個評估結 構相關，而非檢核層級結構之獨立性。

本研究之層級架構評估，主要以AHP所成立之層級架構，建立德爾菲問 卷進行關鍵因素之重要性評比，然後運用AHP之操作模式建立權重，主要目 的係利用兩兩比較之層級區分獲得相對權重，並檢定每一成對比較矩陣及整 體層級架構是否達一致及穩定性程度，以作為策略制定及評估之基礎。以下 為AHP評估指標權重分析步驟簡要說明【29】。

步驟一：構建層級結構關係

AHP主要係將評估問題建立層級且予結構化，及對系統有影響之要 素分成數個群體，每群再分別對應其子群體，層級數目以七至九層為上 限Saaty【58】，而每一層級以不超過七個因素為宜。

首先將一複雜問題區分四個層級（如圖3.3）：第一層主要係欲解決 問題之最終目標，其次係達成目標之評估準則為何、衡量第二層評估準 則達成程度之因素與預擬之可行方案。其中，W1 、W2 與 W3 係最終 目標(G)下之評估準則其所佔之權重和為 1；B11 與 B12 係第二層評估準 則 W1 下兩個評估之因素其權重和為 1；以此類推 B21、B22、B23 與 B24 之權重和亦為 1；B31、B32 與 B33 之權重和也為 1。

G

第一層

（最終目標）

第二層

W1 W2 W3

（評估準則）

第三層

（評估因素）

B11 B12 B21 B22 B23 B24 B31 B32 B33

第四層

（可行方案）

P1 P2 P3

圖3.3 AHP 之層級架構圖

資料來源：【58】

步驟二：建立成偶評估之比對矩陣(pair-wise comparison matrix)

本研究係利用層級結構之程序來解決複雜問題，採由上至下逐一衍 生出各個層次。層級構建雖無一定之程序，但每一階層因素原則上含 7 個以下為宜且每一因素間最好具獨立性。假若一複雜問題有ⁿ個因素，

利用成偶比對總共需C₂ⁿ =n(n-1)/2個判斷，最大因素為7 個以下即可進行 較合理之比較，同時亦可確定獲得較佳之ㄧ致性。

AHP 係採用名目尺度為成偶比對之評估指標，依 Satty 之建議，名 目尺度劃分為：等強、稍強、強、極強與絕強；另外四個尺度介於上述 五尺度之間，共計九個尺度，分別賦予1~9 之極量值（評點）如表 3.2。

反之，劣勢比較亦可劃分為九個尺度，分別賦予1~1/9 之極量值（評點）

如表3.3。

表3.2 層級分析法成偶比對之尺度與評點對照表（等強-絕強）

尺度

等強 等強與稍強間 稍強 稍強與強間 強 強與極強間 極強 極強與絕強間 絕強

評點

1 2 3 4 5 6 7 8 9

資料來源：【58】

表3.3 層級分析法成偶比對之尺度與評點對照表（等弱-絕弱）

尺度

等弱 等弱與稍弱間 稍弱 稍弱與弱間 弱 弱與極弱間 極弱 極弱與絕弱間 絕弱

評點

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

資料來源：【58】

然 後 將 所 有 因 素 兩 兩 成 偶 比 較 之 比 例 值 a_ij ， 以 1/9,1/8,…,1/2,1,2,3,…,8,9 表示。將 n 個因素成偶比對判斷之結果，置於 成偶比對矩陣 A 中對角線右上方之元素值，對角線上因素為自身之比 較，數值均為 1，左下方之元素值，為右上方元素值相對位置數值之倒 數。其成偶比對矩陣A 可表示如式(3.2)。

A =

_⎢⎣^⎡

a

^ij_⎥⎦^{⎤ =}

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

1 1

1

1 1

1

1 2

2 12

1 12

K M O M M

L K

a a

a

a a a

n n

n n

(3.2)

其中因素

i 表示對因素 j 之相對重要性，亦表示決策者對決策因素 i

與

j 之重視程度。

步驟三：求取層級權重及一致性檢定

建 立 兩 兩 成 偶 比 對 矩 陣 後 ， 再 以 數 值 分 析 法 中 常 用 之 特 徵 值 (Eigenvalue)解法，求出最大特徵值與其對應之特徵向量(Eigen Vector)，

進而求出各層級因素間之相對權重。

按矩陣理論w為一致性矩陣A之特徵向量，其特徵值為n。相對權重 分別為w1, w2,…,wn，則項量重要性比值為aij ^＝

w

i

/w

j，其矩陣表示如式(3.3)

【26】。

[ ]

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

′

′ ′ w w

w w w w

w w w w

w

w w w

n 2 1

n 2 1

n n n

2 1

n 2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

M M

L M O M

M

L L

w w w

w

w w w

w w w

a

n

n

A

ij (3.3)

為檢定成偶比對矩陣 A 是否符合一致性，必須計算特徵向量

w

i與最 大特徵值

λ

max，其計算公式如式(3.4)：

一、特徵向量(wi)

1

1 1

∑

⁼

∑

=

= ⁿ

j n

i ij

ij

i

a

w _n a ^{i , j}

^=1,2,3L

ⁿ

(3.4)

其中

n 表決策因素之個數。

二、最大特徵值(λmax)

將成偶比對矩陣

A 乘以所求得之特徵向量 w

i，即可得到一新向 量w′_i，再將新向量w′_i中之所有因素除以原向量中對應因素，將總合 除以因素個數即求得

λ

max如式(3.5)所示。

( _{w w w w w}

_n

_w

_n

)

n

^×

′

⁺

′

^{+ +}

′

= _{1 1 2 2} L

max 1

λ

(3.5)

若令λ1, λ2,…, λn為矩陣A之特徵值，最大值為λmax，且均為正值。

由於aij ^＝

w

i

/w

j與aij ^＝ 1且成偶比對矩陣為一致性矩陣，則 n

n

i i=

∑

=1

λ

^。

若將aij作微量變動，其特徵值也將會作微量變動，則aij之微量變動 將使λmax趨近於n，其餘特徵值均趨近於零，即λmax=n，因此w為一 致性矩陣

A 之特徵向量，而其特徵值為

n。由於在成偶比對時，評 估者僅憑主觀判斷而決定aij值，與真實之wi

/w

j必有些許之差異，因 此A×w′=n×w′便無法成立，因此Saaty【58】認為以 A 矩陣中最大 特徵值λmax來取代n。由此以上式可求得矩陣

A 之最大特徵值，即為

各因素之權重。

在AHP 之基本理論假設中主要係採用一致性指標(Consistency Index;

C.I.)及一致性比率(Consistency Ratio; C.R.)來檢測成偶比對矩陣之一致 性。

. 1 . ^max

−

= −

n I n

C λ

(3.6)

一致性指標(C.I.)係由特徵向量法中求得(如式 3.6)，以λmax與n（矩陣 維數）兩者之差異程度來衡量評估者之判斷是否達到一致性。當C.I. =0 時，表示評估者在同一層級因素下之n 個因素成偶比對判斷完全具一致 性。若C.I.＞0 時，則表示評估者之判斷不一致，即應及時修正，而Saaty

【58】認為C.I.＜0.1 一致性最佳，但最大可容許的偏誤為C.I.＜0.2。此 外，根據Dak Ridge National Laboratory 與Wharton School 之研究，從評 估尺度所產生之正倒值矩陣，在不同階數下產生不同之C.I.值稱為隨機指 標(Random Index; R.I.)，其值隨矩陣階數之增加而增加【26】。隨機指標 如表3.4 所示。

表3.4 隨機指標表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1,41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56

資料來源：【58】

在 同 階 數 之 矩 陣 下 ，C.I. 值 與 R.I. 值 之 比 率 ， 稱 為 一 致 性 比 率 (Consistency Ratio; C.R.)，即式(3.7)所示。C.R.＜0.1 則一致性之程度才 被接受【58】。

. .

. . . .

R I

I R C

C

= (3.7)

上述係針對單一成偶比對矩陣之一致性衡量，至於整體層級架構一 致 性 之 評 定 ， 可 運 用 整 體 層 級 一 致 性 比 率(Consistency Ratio of the Hierarchy; C.R.H.)來檢定，其數學式說明如式(3.8、3.9、3.10)。而當C ..RH

＜0.1 時，表示整體層級架構的一致性達到可接受水準。

∑

= . . . H

I

C

（每層級之優先向量）×（每層級C.I.值） (3.8)

∑

=

H I

R .

. （每層級之優先向量）×（每層級R.I.值） (3.9)

H

I H C R

C

. . . .

.

. = (3.10)

計算C.R與C ..RH值之目的在瞭解所得矩陣是否符合數學遞移律，

若C.R.與C ..RH 值愈小，Satty 認為該矩陣愈符合數學遞移律，亦即該矩 陣愈適合運用AHP 萃取出關鍵因素，而兩者 Saaty 均建議宜在 0.1 左右，

即C.R.＜0.1 且 C.R.H.＜0.1，才能保證其具有一致性。

步驟四：計算各方案之優勢比重值

各層級經過一致性檢定達到可接受水準後，即可計算各方案優勢比 重值，一般係以pi代表方案i之優勢比重值，pi可由各層級之權重相乘加 總而得，數值越大表示順序越優先。本研究係運用AHP之決策程序，求 取影響決策目標之評估準則權重，所以採用不完整層級（如圖3.4）亦較 適合處理許多分枝之問題故無方案之優勢比較【58】。

A

第一層

（最終目標）

第二層

A1 A2 A3

（評估準則）

第三層

（評估準則）

A11 A12 A21 A22 A23 A24 A31 A32 A33

圖3.4 不完整層級架構示意圖

資料來源：【58】

上述為AHP 之分析過程，其雖係一套系統結構化之評估方法，然為使各 成偶比對因素進行評估時能有客觀之參考依據，於調查時對受訪者應提供完 整之資訊，包含各備選方案之詳細介紹及其各評估準則之成效，以使評估結 果更為客觀合理【29】。

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 53-62)