幾何學習的發展

國小階段的學生正符合 Piaget (1970) 提及的「具體運思期」，能根據具體經 驗思維，或使用具體物之操作或圖表的繪製來協助思考，以解決問題，才能 進一步引導學生學習抽象符號的運算概念。

壹、幾何思考層次理論

荷蘭數學教育家 Van Hiele (1984)曾提出「幾何思考層次理論」，可分為 下面五種層次，其說明如下（譚寧君，1993，頁 12-17）:

一、第零層次：視覺化

此層次的學生是透過視覺來觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形，

而經常接觸討論某類的圖形，其形狀差異不大，例如：三角形、正方形、長 方形與圓等，學童可以透過移動、旋轉與翻轉等方式，直觀地辨識某類圖形，

但不能了解物件本身的真正定義，例如：用正方形的構成要素來定義一個正 方形，是有四個邊與四個角及其關係是四個邊等長與四個角都是直角，國小 低年級學童大多在此階段，老師宜安排許多感官的操作體驗，讓學童進行分

類、堆疊、描繪、著色、接觸等活動，幫助學童瞭解圖形的構成要素。

二、第一層次：分析

此層次的學生是具備有豐富的視覺辨識經驗，能進一步觀察圖形構成要 素與圖形之間的關係，以尋找出某一類圖形的共同性質，例如：正方形的四 個角都是直角、對角線等長、對角線互相平分等，但是無法解釋這些幾何性 質間關係，例如：無法透過推理來解釋為什麼四個角都是直角的四邊形，它 們的對角線一定會等長且互相平分。國小中年級學生大約可以到達此階段發 展，老師可以安排圖形的製作、組合分割以及驗證思考等活動，幫助學生觀 察圖形構成要素，以利熟悉各種圖形的性質，幫助學生瞭解圖形與圖形之間 的關係。

三、第二層次：非形式演繹期

此層次的學生已經能掌握各種圖形的構成要素，可以進一步探索圖形內 在屬性關係，例如：兩雙對邊相等且平行的四邊形一定是平行四邊形；以及 不同類圖形之間的包含關係，菱形是平行四邊形的一種（因為菱形滿足平行 四邊形的特性）此時期的學童不必將所有的屬性都描述出來之後，才能確認 某一類圖形，也能透過理解其內在關係後建立的概念，而不只是公式的記憶，

如：計算 n 多邊形的內角和可先將此多邊形分割成幾個三角形，再加以瞭解 其內角和可為 （n － 2） × 180 °的意義。國小高年級學生大約處在 Level 1

（分析期）和 Level 2 （非形式演繹期）之間的過渡時期，但如果是數學資 優生則應該能有更高的層次（Level 4－嚴密性）。

四、第三層次：形式演繹期

是指在一個公設系統中去建立幾何理論，故而此層次的學生能用演繹邏 輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係，也能理解一個定理的充份或 必要條件的內在關係，並發現正逆命題之間的差異性，國小學生少能達到此 層次階段。

五、第四層次：嚴密性

達到這個層次的學生，可以在不同的公設系統中建立自行發現的定理，

並分析或比較這些定理的特性，也可以理解抽像的幾何推理。一般的人很難 達到這個層次，但少部分數學資優生可能就會發展到此層次。

這些層次是循序漸進的，只有思考能力達到某一程度後，將內容加以理 解內化後，就會形成了概念，才能依序發展到下一個層次，須透過老師適當 的引導，學生可從較低的思考層次慢慢提升到較高的思考層次，但因隨著年 級越高，幾何課程也越來越困難，大部分學生因無法達到較高的幾何思考層 次而慢慢放棄學習。

因此在國小幾何課程中，老師如能搭配學生的認知心理能力，針對幾何 學習給予操作性、繪圖性的教材與學習活動，把幾何課程變成較容易學習且 有趣的教學單元以加深學生的學習印象，再慢慢加入簡單的推理性質與引導 出屬性之間的內含關係，才能為將來國中階段的幾何學習，打下良好的基 礎。

貳、 「心像能力」分析

Vinner 和 Dreyfus(1989)認為在數學中的數學概念都有一個形式且嚴密 的定義，稱為概念定義（concept definition），但學生面對一個數學物件是否 為某個概念的例子時，並不一定以形式上的定義來決定，而是以心中對該概 念存在的影像來決定，稱為概念心像（concept image）。從幾何思考發展與 學習歷程可以知道學生的幾何學習都是由具體的形體開始，漸漸形成圖形的 概念心像，概念定義是在很後面才賦予的，因此學生對幾何圖形的辨識，往 往不是透過定義，而是透過圖形的概念心像。

Douville (2004)曾指出「心像是對沒有呈現在眼前的物體或事件形成內 在圖像的過程，並且可以影響事後的回憶與理解。」，除了視覺圖像的回憶，

也可以是當下未被其他感覺器官所感受到的事物所產生的心理表徵，可能是

聽覺、嗅覺、味覺等（李玉琇、蔣文祁，2005），本研究是以幾何圖形為主，

對於圖形除了表面上的思考能力之外，也能用全新的角度組合或改變儲存的 視覺資訊來創造出不同的影像，是一種「高階」的認知能力（韓承靜、洪蘭、

蔡介立，2008）。

West, Farmer 和 Wolff (1991)也曾分析心像的特徵如下：(一)在腦中如插 畫的類似物；(二)可修改的；(三)比較像是動態的影片，而非靜止的相片；(四) 可分割成很多部分進行檢視；(五)是一種學習的結果；(六)是可以被教導的。

因此可知，具體的學習材料較易引發相對的具體心像，而抽象的學習材料若 要產生心像，則必須進一步依賴學習者發揮想像力，以將抽象訊息轉化為內 在心像，而每個人在心像能力上有很大的差異，有些人在產生心像上有很大 的困難，而有些人卻能輕易的操弄心像，隨個人的意圖進行加工，都是一種 學習的結果，若能在學習中置入有意的心像，進而拓展不同的學習經驗，或 許會讓學生在本單元的學習能力上更上一層樓。