第二章 文獻探討
第一節 「扇形面積」多重解題策略分析
壹、 解題策略差異因素分析
學生在面對數學問題時，不僅要能自我觀察題目線索且設法想出解決問 題之道，也要能夠隨時評估自我設計的計畫是否可行，其皆會受到個人的閱 讀理解、能力差異或是訊息處理與評估方式不同而有所差異，就會產生多元 的解題策略，其相關內容探討如下：
一、閱讀的理解
有越來越多的研究顯示出，大部分學生在建構有用的問題表徵會產生困 難，而非在解題的執行上（Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988；De Corte, Verschaffel, & DeWinn, 1985），因此，許多研究者開始重視問題的理 解對學生解題所造成的影響。
Riley、Greeno與Heller (1983)特別注意數學文字題的語意結構及基模知 識的運用，他們認為學生解題時，是需要下列三步驟：（一）問題基模（problem schemata），是指問題中各文句的語意關係；（二）動作基模（action schemata），
一旦問題基模建立了問題情境，就會產生解題的程序與計畫；（三）策略知 識（strategic knowledge），決定使用何種解題計畫來解題（陳文寬，2007，
頁16）。
因此，解題策略的第一步驟就是要能理解題目的意思，並排出不必要的 多餘資訊，其多餘資訊也可能是用不到的數字或圖形（洪義德，2002），又 或是與解題無關的文字敘述（Marzocchi, Lucangeli, Meo, Fini , & Cornoldi,
2002），此與個人的認知型態也是息息相關的。丁春蘭（2003）曾探討認知 型式（cognitive style）與後設認知能力對乘除文字題解題表現的影響，發現
「場地獨立」者（field independent）比「場地依賴」者（field dependent）較 不受多餘訊息的干擾，也能發展出較高層次的解題策略與較少的錯誤產生。
本研究的複合圖形需讓學生在複雜的圖形當中找出被隱藏的單純圖形，
發現簡單圖形所需的時間愈短，表示受試者洞見目標的能力愈強，比較不被 圖形的複雜迷惑，能夠把形象從場地組織背景中獨立出來，是屬「場地獨立」
者；相反的，「場地依賴」者容易受圖形其他無關因素的干擾，而發展出錯 誤的解題策略。
二、認知能力的差異
Piaget (1970)認為兒童的認知發展會以階段形式（感覺動作期、前運思 期、具體運思期、形式運思期）出現，透過平衡歷程（同化與調適）從一階 段演化至下一個階段。Bruner (1960)也提出三種認知模式：動作表徵期、形 象表徵期及符號表徵期，認為學生只要了解某學科的「結構」（structure），
就能有意義的使許多其他事物與該學科發生相關作用，意即學習的成功，在 於教師是否能配合學生的認知發展，將教材結構清楚轉譯成學生認知所能接 受的形式，變成學生生活世界有關的模式。其兩位學者都認為學習是有階段 性的，但 Bruner 更進一步認為學習是可以加速認知的階段，未必受年齡的 絕對限制，因此，即使年紀相仿或相異的學生也會在解題過程中產生不同的 表現能力。
楊瑞智（1994）曾探究國小高年級不同能力之學童在數學解題的過程中，
高能力者可使用有效的解題策略，但低能力之學生卻使用了許多無效的策略，
甚至常常亂拼湊數字；劉貞宜（2000）也研究過建國高中二年級三位不同能 力的數學資優生之解題策略，發現數學資優生的解題策略使用是多元的，共
可見高能力者所運用較多較廣的數學知識，能使用有效且多元的解題策略，
並加以驗證答案，清楚瞭解如何讓自己在整個解題過程更加順利；相較低能 力者，除了沒有豐富的數學知識之外，解題時常未經分析和計畫，就使用一 成不變的解題策略、只重視關鍵字就解答、或胡亂拼湊數字，最後導致解題 失敗。
三、解題過程的評估
Flavell (1979)是最先使用「後設認知」（metacognition） 一詞，認為「後 設認知」是指個人對自己的認知歷程、結果或任何有關事項知識的主動監控、
調整以及協調之歷程。而 Brown (1987) 認為「後設認知」是對自己知道什 麼和不知道什麼的了解，也就是說個人是具有瞭解自己思考過程和學習活動 知識的能力，並且知道如何去控制它，這些都是解題策略運用所需具備的條 件之一。
當學生對自己本身認知狀況能有所瞭解，可以在解題過程中，能善用自 己的優點，如在不同解題策略之中，選擇較為快速且有效率的解題方式；避 開自己的缺點，如對較複雜的解題策略產生不確定時，則運用較為簡單的解 題策略，以免錯誤的發生。學生如能隨時監控、調整和修正自己的認知活動，
是有助於對問題基模的統整，也能對解題能力有所提升。
由此可知，在數學解題過程中常存在著不同因素的影響，所以造成學生 在數學解題歷程中會有不同的解題方式，期望透過探究學生的多重解題歷程 給予適切的教學方式與內容，更能事半功倍的幫助老師達到補救教學的效 果。
貳、 「扇形面積」相關解題策略分析
本試卷依據教學目標，從簡單扇形圖形到複合圖形循序漸進來設計題目，
以檢視學生在本單元的概念學習情況，且據林曉菁、姚如芬（2006）對複合 圖形解題策略運用分類為「直接分割」、
「填補-扣除」、「扣除重疊」、「分割-單位面積」、「分割-遞移-拼湊」、「對稱分割」等六種方式，顯示本單元的複 合圖形之解題策略較為多元，研究者將上述解題策略說明如下（林曉菁、姚 如芬，2006，頁 47-52）：
一、直接分割
此策略可直接拆解圖形，將圖形中多餘面積予以扣除並合併所求之面積。
此解題策略在視覺上是較具直觀性，其為「一步驟思考歷程」的特性，降低 了分析圖形時的困難度，是各種圖形分析策略中最容易理解，也最常被學生 應用的一項策略。
二、填補-扣除法
先藉由輔助線將圖形填滿成單純的矩形，再扣除多填補的部分面積以求
得原圖形之面積，其為「二步驟思考歷程」，其理解層次較高於「直接分割」的一步驟思考。
三、扣除重疊
先將原複合圖形看成數個部份重疊的區塊，把各別區塊面積加總後，再
扣掉相互重疊部份的面積以求得正確解答。由於此解題策略需要利用到重疊 的心像，所以應用此方法求解的學生並不多，通常只有出現在典型的「重疊 圖形」題目時，部分學生才會習慣性的應用此策略來解題。四、分割-單位面積
先將圖形分割成數塊等面積大小的矩形，再利用單位面積的概念來求出 圖形總面積，其單位面積不一定是正方形，也可以是其它圖形（如：長方形）。
五、分割-遞移-拼湊
將原複合圖形先適當切割後，再將切割下來的區塊圖形遞移，目的是與 切割後剩餘的圖形拼湊成矩形，以利簡化計算，其為「三步驟思考歷程」，
而大部分的學生也較不易產生移動圖形的心像能力。
六、對稱分割
此策略超出了單純依循圖形原貌分割求面積的層次，能看出圖形的對稱 性，代表學生對於幾何圖形的性質與意義不僅有清晰的理解能力，更能運用 此概念（對稱）來分析圖形，其幾何認知層次已有相當高的邏輯分析能力。
就學生對複合圖形的學習而言，第一步就是必須先對複雜的圖形做分析，
而分析圖形的能力是一種幾何的邏輯思考，也是能否解題成功的首要關鍵，
由上所述複合圖形的解題策略的確有多樣化的呈現結果，每個解題策略有其 思考理解層次，且程度上是有所差異的，這和學生的幾何學習發展是有極大 的相關。