第三章 研究方法
第一節 研究流程及步驟
本研究為了探討建構反應題型能否提供教師了解學生在數學解題歷程 中的概念有無、解題策略與錯誤類型，進而給予適性化的補救教學，其研究 流程如下:
圖3-1 研究流程圖
分析教材與九年一貫課程綱要 收集與探討相關文獻
建立解題策略、概念與錯誤類型 Q 矩陣與試題命題卡
編製測驗試卷
請資深教師和專家修審題
預試
修正試卷
正式施測
撰寫報告 確定研究主題
專家判讀並做資料分析
研究者根據研究流程圖，就其研究步驟分述如下:
壹、分析本單元的概念技能、錯誤類型與解題策略
一、「扇形面積」單元概念分析
表 3-1 是經過相關文獻的參考、數學教材分析、與專家教師意見，列出 本單元重要的概念技能（skill），以利作為試卷命題與認知概念診斷的依據。
表 3-1 「扇形面積」解題概念列表
「扇形面積」解題概念列表
二、「扇形面積」單元錯誤類型
本研究所謂的「錯誤類型」（bug）是指學生在解題歷程之中容易產生的 迷思概念，研究者參考相關文獻、專家討論與施測結果進行分析與整理本單 元容易產生的錯誤類型如表 3-2:
表 3-2 「扇形面積」常見錯誤類型列表
「扇形面積」常見錯誤類型列表
代號 錯誤類型
B1 易選圓心角小於 180 度之扇形為計算目標
代 號 解 題 概 念
S1 能運用圓心角來計算不同的扇形圖形是幾分幾之圓(圓心角360°) S2 能運用圓周長公式，求出扇形的周長
S3 能運用圓面積公式，求出扇形面積
S4 能運用全部量減去部分量來計算扇形的弧長或面積 S5 能計算多邊形的面積
S6 能依照圖形性質將面積做合併或倍數的計算 S7 能將各別圖形面積的總和減去重複的面積
代號 錯誤類型
B2 不了解扇形圖形的圓心角與周角之間的關係 B3 運用錯誤的圓周長公式計算
B4 只算出扇形圖形弧線邊長沒有加入兩邊半徑 B5 圓周長與圓面積公式混淆
B6 沒有考慮圖形條件，將圓形與扇形的周長或面積混淆計算 B7 運用錯誤的圓面積公式計算
B8 直接提取題目中的數字做運算
B9 不能了解複合圖形間合成分解及填補扣除的關係 B10 運用錯誤的面積公式來計算多邊形的面積
B11 不能利用圓周率，由已知的圓周長求出直徑 B12 計算錯誤
三、「扇形面積」解題策略分析列表
本研究依據概念/技能的使用與順序不同，即為一種解題策略。研究者 整理出本試卷共有 14 種解題策略，將其相對應的概念（skill）、錯誤類型
（bug）與對應試題整理如表 3-3：
表 3-3 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表
策略代碼 概念列表 錯誤類型 對應試題 M1 S1 B1、B2、B8、B12 1 M2 S1，S2 B2、B3、B4、B5、B11、B12 2、4 M3 S2 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B12 3 M4 S4，S2 B4、B5、B6、B9、B12 3
(續下頁)
策略代碼 概念列表 錯誤類型 對應試題 M5 S3 B2、B5、B7、B8、B11、B12 5
M6 S1，S3，S4 B5、B6、B7、B9、B12 6、8、11 M7 S1，S3，S4，S6 B5、B6、B7、B12 6、11 M8 S1，S3 B2、B6、B7、B9、B12 7、8 M9 S1，S3，S6 B2、B6、B7、B9、B12 7、8 M10 S5，S1，S3，S4，S6，S4 B6、B8、B9、B12 9
M11 S1，S3，S5，S4，S6 B6、B9、B10、B12 9、10、12 M12 S1，S3，S5，S7 B2、B6、B9、B12 9、10、12 M13 S5，S1，S3，S4 B6、B9、B12 9
M14 S1，S3，S5，S6 B7、B9、B10、B12 12 為了探究學生在解題過程中是否有使用策略的單一型或混合型的發生，
因此，研究者各細項解題策略依性質歸納為三大類，其說明如表 3-4 至表 3-6：
表 3-4 解題策略 A 分析表 解題策略 A 分析表
策略 代號
策略名稱與定義 對應細項解題策略
代碼
對應試題 題號
A
扣除-合併法
將圖形中多餘面積予以扣除並合併 所求之面積
M6、M7、M9、M10 M11、M13、M14
6、7、8 11 9、10、12
(續下頁)
試題內容 學生作答反應 10.請求出下面圖形當中有塗色部分的面
積。【圓周率以 3.14 計算】
表 3-5 解題策略 B 分析表 解題策略 B 分析表
策略 代號
策略名稱與定義 對應細項解題策略
代碼
對應試題 題號
B
重疊法
利用個別面積總和扣除重複之面積 來解題。
M12 9、10、12
試題內容 學生作答反應
12.下面圖形是由一個1
4圓和一個平行四邊 形組成，請求出塗色部分的面積。
【圓周率以 3.14 計算】
表 3-6 解題策略 C 分析表 解題策略 C 分析表
策略
代號 策略名稱與定義 對應細項解題策略
代碼
對應試 題題號
C
比例法
利用圓心角的比例來計算扇形面積 和周長
M1、M2、M3 M5、M8
1、2、3 4 5、7、8
試題內容 學生作答反應
8. 請求出下面有塗色的扇形面積大約是 幾平方公尺? 【圓周率以 3.14 計算】
研究者發現試題 9、10、12 皆可使用策略 A 或策略 B 來求得答案，是擁 有「共同解題策略」的試題。研究者更進一步發現在這三個試題中，有些學 生會習慣使用某一種特定的解題策略來解題，因此，研究者定義在此三個試 題中，學生會有兩題以上習慣使用策略 A 或策略 B 來解題，即為「解題策 略單一型」。
但面對複雜的複合圖形問題，有些學生在也不一定會固定使用某一特定 策略來解題，反而會運用不同的解題策略來拆解圖形以求得答案，研究者則 定義在此三個試題中，扣除空白作答情形，學生會在其中一題使用策略 A，
而另一題使用策略 B 來解題，即為「解題策略混用型」（策略 D），由此可知，
本單元的數學解題歷程是有多樣化的結果表現。
貳、建立試題命題卡與解題概念 Q 矩陣表
二、建立解題概念 Q 矩陣
參、進行預試，並修審試卷，以利正式施測
為避免題目內容含有圖示不清晰、語句不通順，或題意不適宜等情況，
研究者編製試題完後，請五名優秀老師與兩名教授一起共同相互審題，並根 據 Q 矩陣所列的解題策略、概念技能和錯誤類型逐一審題，提出建議並修 正，以利成為正式試卷施測。
肆、收集作答反應與專家判讀結果作資料分析
回收 498 份有效試卷，以專家人工判讀方式輸入 0（答錯、沒有概念/
錯誤類型）、1（答對、有概念/錯誤類型）、99（作答空白）或 88（作答資料 無法判別）來分析每題選項、建構歷程、解題策略、概念及錯誤類型等資料，
判讀規則如表 3-9 所示:
表 3-9專家判讀規則 專家判讀規則
建構反應歷程 選擇題答案 概念有無 錯誤類型有無 解題策略
對(1) 對(1) 1 0 M1~M14
對(1) 錯(0) 1 0 M1~M14
錯(0) 對(0) 0 1 M1~M14
錯(0) 錯(0) 0 1 M1~M14
空白(99) 空白(99) 99 99 99 無法判別(88) 無法判別(88) 88 88 88
經由專家的判讀之後，將整份試卷進行試題特徵的分析，得到內部一致 性係數為 0.84，可見本份試卷測驗是具有良好的信度的。