國小數學扇形面積多重解題策略與錯誤類型之探究
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(3) 謝辭 回想兩年前還處在教甄的水深火熱當中，對未來充滿不確定性，於是決 定停下腳步好好充實自己，當研究所放榜時，還一時不敢相信自己的名字會 出現在榜單上，感到既緊張又興奮，終於可以轉換一下跑道與心情，慶幸的 是，在同一年我也順利了考上正式老師，而且還可以在家鄉服務一邊上課， 那種興奮之情難以言喻。 兩年的研究生生活，過得既快樂也憂鬱，快樂可以遇到一群好同學，大 家感情十分融洽，尤其是我的研究夥伴：桂綾、明俊、家慧、怡旭，在我不 能被人理解時伸出援手，在我疑惑時能耐著性子向我解說，真的很高興在做 研究時，能夠有一群人可以說說笑笑，看著老師和學長被我們打敗時的表情， 頓時感到無比的驕傲。雖然在寫論文報告時，來來回回、停停走走不知幾百 遍，寫到快得憂鬱症，但還是要感謝曾經教導過我的郭伯臣、施淑娟、曾建 銘、許天維、陳桂霞老師們，還有智為、俊彥學長的耐心指導，另外，也要 感謝國科會之經費補助，計畫編號 NSC 102-2511-S-142-008-MY3，才能順 利將論文完成。 最後，我也要感謝我最親愛的家人，感謝母親永遠在背後支持我，給我 鼓勵；感謝我眾姊姊們在我忙碌時，幫我處理研究所和學校的事務；我爸爸、 哥哥、大嫂、姊夫在我心浮氣躁時，聆聽我的抱怨並給予建議，還有兩位可 愛的小朋友－子涵和侑潁，天真無邪的笑容總能令我感到開心，要感謝的人 太多，只能將它放至心裡，希望將來有一天，我也能成為別人的幫助。. 芳宜. 謹致. 2014 年 7 月. I.
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(6) 摘要 本研究主旨在探究國小學生面對「扇形面積」數學問題時，所呈現的多 重解題策略分析，和使用不同解題策略在數學表現上的差異，和所發生的錯 誤類型，來說明建構反應題型的確相較於傳統的選擇題題型能呈現出較多的 作答回饋，也能更精準的測驗出學生的數學實力。而研究結果如下： 一、 每個不同的解題策略皆包含了不同的概念技能順序，本單元在數學解 題歷程是有多樣化的解題策略，當學生所使用的策略有概念技能缺乏 時，就會影響答題的正確率。 二、 在計算能使用共同解題策略的複合圖形時，學生會依照圖形所示選擇 使用單一種的解題策略或是嘗試多元的策略來解題，使用策略 A（扣 除-合併法）的學生，因策略較為直觀且容易理解，大部分皆能得到不 錯且較好的成績，而策略 B（重疊法）則是需要使用高層次的心像能 力才能達成，有時就會有錯誤類型的產生，進而影響了數學學習上的 成就。. 關鍵字：扇形面積、多重解題策略、建構反應題型、錯誤類型、複合圖形. II.
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(8) The Research of the Multiple Strategies and Bugs about the Sector Unit for the Elementary School Students. Abstract The purpose of this research is to investigate the analysis of the multiple strategies of problem solving when students deal with math problems about the sector, and the difference of math performance by using different strategies; moreover, to understand bugs in their habitual strategies. Therefore, constructive-response items not only present the more solving responses of the students than multiple-choice items, but also can measure the abilities of students more exactly. The results of the study are as follows: 1. Each strategy includes different sequences of skills. There are various strategies of problem solving in this unit. When students lack one skill of the solving strategy, it will influence the accuracy rate of answering the question. 2. Students will use single strategy or try to use the various strategies to deal with the area of complex graphics that possess common strategies of problem solving. Compared with Strategy B (superimposition strategy), the students using Strategy A (partition-combine strategy) can get better and steady scores because the strategy is directly perceived by vision and easy to understand. The students using Strategy B (superimposition strategy) needs the higher-level mental imagery skills to cope with the problem, which may occur together with bugs and also influence testing results.. Key words: sector, multiple strategies, constructive-response items, bugs, complex graphics. III.
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(10) 目錄 謝辭 .........................................................................................................................I 摘要 ....................................................................................................................... II Abstract ............................................................................................................... III 目錄 ...................................................................................................................... IV 表目錄 ................................................................................................................... V 圖目錄 .................................................................................................................. VI 第一章 緒論 ........................................................................................................ 1 第一節 研究動機 ............................................................................................... 1 第二節 研究目的 ............................................................................................... 2 第三節 名詞解釋 ............................................................................................... 3 第四節 研究範圍與限制 ................................................................................... 4 第二章 文獻探討 .................................................................................................. 5 第一節 「扇形面積」多重解題策略分析 ..................................................... 5 第二節 幾何學習的發展 ................................................................................. 9 第三節 「扇形面積」教材分析與錯誤類型 ................................................. 13 第三章 研究方法 ................................................................................................ 17 第一節 研究流程及步驟 ................................................................................. 17 第二節 研究對象 ............................................................................................. 26 第三節 研究工具 ............................................................................................. 26 第四章 研究結果 ................................................................................................ 27 第一節 各試題解題策略對概念與錯誤類型的影響 ..................................... 27 第二節 比較學生解題策略在數學表現上的差異 ......................................... 43 第三節 分析學生解題策略與錯誤類型間關係 ............................................. 46 第五章 結論與建議 ............................................................................................ 51 第一節 結論 ..................................................................................................... 51 第二節 未來建議 ............................................................................................. 53 參考文獻 .............................................................................................................. 55 中文部分 ........................................................................................................... 55 英文部分 ........................................................................................................... 59 附錄一、扇形面積試題命題卡 .......................................................................... 61 附錄二、扇形面積正式施測試卷 ...................................................................... 78. IV.
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(12) 表目錄 表 2-1 97 年版課程綱要中與「扇形面積」相關的能力指標 ...................... 14 表 2-2 「扇形面積」錯誤類型之相關文獻探討 .............................................. 15 表 3-1 「扇形面積」解題概念列表 .................................................................. 18 表 3-2 「扇形面積」常見錯誤類型列表 .......................................................... 18 表 3-3 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表 ................................ 19 表 3-4 解題策略 A 分析表 ............................................................................... 20 表 3-5 解題策略 B 分析表 ............................................................................... 21 表 3-6 解題策略 C 分析表 ............................................................................... 22 表 3-7 「試題 10」命題卡編製 ......................................................................... 23 表 3-8 「扇形面積」概念/技能與錯誤類型之 Q 矩陣 .................................... 24 表 3-9 專家判讀規則 ........................................................................................ 25 表 4-1 試題 1 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 27 表 4-2 試題 2 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 28 表 4-3 試題 3 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 29 表 4-4 試題 4 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 30 表 4-5 試題 5 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 31 表 4-6 試題 6 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 32 表 4-7 試題 7 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 33 表 4-8 試題 8 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ................................ 34 表 4-9 試題 11 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 .............................. 35 表 4-10 試題 9 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 ............................... 37 表 4-11 試題 10 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 .............................. 38 表 4-12 試題 12 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 .............................. 39 表 4-13 描述性統計量 ........................................................................................ 43 表 4-14 不同解題策略之變異數同質性檢定 .................................................... 44 表 4-15 不同解題策略之均等平均數的 Robust 檢定 .................................... 44 表 4-16 不同解題策略之多重比較 .................................................................... 44 表 4-17「試題 10」不同解題策略與錯誤類型之分析表 ................................. 46 表 4-18「試題 10」學生真實作答反應之錯誤類型呈現 ................................. 47 表 4-19「試題 8」單一試題之多重解題策略與錯誤類型分析表 ................... 48 表 4-20「試題 8」和「試題 1」學生真實作答反應之錯誤類型呈現............ 49 表 4-21「試題 8」學生真實作答反應之錯誤類型呈現 ................................... 49. V.
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(14) 圖目錄 圖 2-1「扇形面積」單元的教材地位分析 ........................................................ 13 圖 3-1 研究流程圖 .............................................................................................. 17 圖 4-1 概念/技能使用長條圖 ............................................................................. 41 圖 4-2 錯誤類型發生長條圖 .............................................................................. 42. VI.
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(16) 第一章. 緒論. 第一節 研究動機 數學解題能力一直是國內外學者所關注的焦點，教育部的所頒布的「九 年一貫課程綱要」裡強調學生要有數學概念的理解能力，懂得利用推論去解 決學習或日常生活方面有關的數學問題（教育部，2003)；美國數學教師協 會(National Council of Teacher of Mathematics [NCTM], 1989)在1989年公布 美國第一套的課程及評鑑標準《學校數學課程與評鑑標準》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)的五項目標中，其中一項就是要 具有「解決數學問題的能力」；而芬蘭自1985年將「問題解決」列為課程總 體目標之一，鼓勵學生能有解決問題的能力（林宜臻，2012）。由此可知， 數學解題能力的培養不僅可以提升且厚實學生的數學能力，進而將數學運用 在日常生活中，正符合九年一貫所強調「帶著走」的能力(教育部，2003）。 而數學解題是一個複雜的心智歷程，因先備經驗、學習背景、認知風格、 知識結構發展等差異，導致每位學生在數學解題歷程中的解題方式不盡相同， 而解題策略的差異會使學生在建構反應的過程中產生不同的「錯誤類型」 （bug）。就因解題策略為成功解決問題的關鍵之一，教師如能依照學生的 解題策略將問題的情境轉變為清楚、連貫且適切的教學歷程，並搭配「錯誤 類型」進行相關的補救教學，不僅讓學生能自我探索適合的解題思考模式， 也能讓老師在教學的過程中更事半功倍地提供學生有意義的學習。 至今國內外有許多的大型測驗，其測驗內容皆包含了選擇題和建構反應 題型，傳統「選擇反應」題型（multiple-choice items）用來診斷學生的認知 結構，只能測驗出記憶或認知等低層次的教學目標（Bloom, 1956），無法 詳細瞭解學生的解題思考過程，且「選擇反應」題型容易受猜測度的影響而 降低了測驗的準確性；反觀「建構反應」題型（constructed-response items） 1.
(17) 能夠測出較高層次的教學目標，如:Bloom(1956)提出的應用、分析、綜合、 評鑑等，學生必須將思考歷程完整記錄下來，可以讓老師瞭解學生在解題過 程中所習慣使用的解題策略與發生的錯誤類型，進而提供適切的學習策略， 提升老師在補救教學上的成效。 目前針對本單元的相關研究僅止於發展線上診斷測驗並針對錯誤類型 進行補救教學（葉連源，2007；陳榮昌，2007），但沒有考慮多重解題策略 對概念技能或錯誤類型的影響，以及進一步去探究解題策略、概念技能和錯 誤類型三者之間的關係。因此，本研究將以「扇形面積」為單元，研究者從 簡單扇形圖形到複合圖形循序漸進來設計題目，從建構反應歷程來進行概念、 解題策略與錯誤類型的分析，以檢視學生在本單元的學習情況，其分析結果 期盼能提供給老師用以發展補救教學策略或補救教材編製的參考，達到「因 材施教」的功效。. 第二節 研究目的 本研究以國小六年級「扇形面積」單元為例，期望教師透過本項測驗能 更精準去診斷學生的概念技能，以及了解學生的解題策略與錯誤類型，以提 供適切、個別化的補救教學。本研究的目的為下:. 一、探討扇形面積單元中各試題解題策略對概念技能與錯誤類型的影響。 二、比較扇形面積單元中學生的解題策略在數學表現上的差異。 三、分析學生解題策略與錯誤類型間關係。. 2.
(18) 第三節 名詞解釋 壹、解題策略 本研究依據概念/技能的使用或順序不同，即為一種解題策略。例如： 策略 1 會使用到概念 3 和概念 2；策略 2 會使用到概念 4、概念 2 和概念 3， 涵蓋了不同的概念及順序，即為兩種不同的解題策略。. 參、多重解題策略 本研究的「多重解題策略」是指單一試題可以使用不同的解題策略來計 算出正確結果，例如：試題十可以使用策略 A ，其解題概念順序為概念 1、 概念 3、概念 5、概念 4、概念 6；也可以使用策略 B，其解題概念順序為概 念 1、概念 3、概念 5、概念 7，來求出試題十的解答。. 肆、解題策略單一型 單一位學生在不同試題中會習慣運用某一種特定解題策略來解題。例如： 甲學生在試題九、試題十與試題十二的題目中，會有兩題以上習慣使用策略 A 或策略 B 來解題，即為「解題策略單一型」。. 伍、解題策略混合型 單一位學生在不同試題中不會特別運用某一種特定解題策略來解題，例 如：乙學生在在試題九、試題十與試題十二的題目中，試題九會運用策略 A 解題，但在試題十則會運用策略 B 來求解，而試題十二為空白作答，即為「解 題策略混合型」。. 肆、數學表現 本研究的「數學表現」是指可使用多重解題策略之試題中，學生答對題 數的多寡，如果答對題數多，表示得分數高，即數學表現較佳；反之，答對 題數少，表示得分數低，數學表現較不佳。 3.
(19) 第四節 研究範圍與限制 壹、 研究範圍 本研究以南一版國小六年級數學領域「扇形面積」單元為研究內容，並 以台中市及彰化縣地區四所國民小學，共計 514 個學生為施測對象。. 貳、 研究限制 由於經費、時間、人力的限制，本研究僅以中部國小六年級學童為主要 對象，未能涵蓋全國各縣市，進行大規模施測，故樣本的代表性有一定的限 制，因此，本研究不宜直接推論至全國學生之學習現況。. 4.
(20) 第二章 文獻探討 本章節將針對「扇形面積多重解題策略分析」、「幾何學習的發展」、 「扇形面積教材分析與錯誤類型」進行相關文獻的分析整理如下:. 第一節. 「扇形面積」多重解題策略分析. 壹、 解題策略差異因素分析 學生在面對數學問題時，不僅要能自我觀察題目線索且設法想出解決問 題之道，也要能夠隨時評估自我設計的計畫是否可行，其皆會受到個人的閱 讀理解、能力差異或是訊息處理與評估方式不同而有所差異，就會產生多元 的解題策略，其相關內容探討如下： 一、閱讀的理解 有越來越多的研究顯示出，大部分學生在建構有用的問題表徵會產生困 難，而非在解題的執行上（Cummins, Kintsch, Reusser, & Weimer, 1988；De Corte, Verschaffel, & DeWinn, 1985），因此，許多研究者開始重視問題的理 解對學生解題所造成的影響。 Riley、Greeno與Heller (1983)特別注意數學文字題的語意結構及基模知 識的運用，他們認為學生解題時，是需要下列三步驟： （一）問題基模（problem schemata） ，是指問題中各文句的語意關係； （二）動作基模（action schemata）， 一旦問題基模建立了問題情境，就會產生解題的程序與計畫；（三）策略知 識（strategic knowledge），決定使用何種解題計畫來解題（陳文寬，2007， 頁16）。 因此，解題策略的第一步驟就是要能理解題目的意思，並排出不必要的 多餘資訊，其多餘資訊也可能是用不到的數字或圖形（洪義德，2002），又 或是與解題無關的文字敘述（Marzocchi, Lucangeli, Meo, Fini , & Cornoldi,. 5.
(21) 2002），此與個人的認知型態也是息息相關的。丁春蘭（2003）曾探討認知 型式（cognitive style）與後設認知能力對乘除文字題解題表現的影響，發現 「場地獨立」者（field independent）比「場地依賴」者（field dependent）較 不受多餘訊息的干擾，也能發展出較高層次的解題策略與較少的錯誤產生。 本研究的複合圖形需讓學生在複雜的圖形當中找出被隱藏的單純圖形， 發現簡單圖形所需的時間愈短，表示受試者洞見目標的能力愈強，比較不被 圖形的複雜迷惑，能夠把形象從場地組織背景中獨立出來，是屬「場地獨立」 者；相反的，「場地依賴」者容易受圖形其他無關因素的干擾，而發展出錯 誤的解題策略。 二、認知能力的差異 Piaget (1970)認為兒童的認知發展會以階段形式（感覺動作期、前運思 期、具體運思期、形式運思期）出現，透過平衡歷程（同化與調適）從一階 段演化至下一個階段。Bruner (1960)也提出三種認知模式：動作表徵期、形 象表徵期及符號表徵期，認為學生只要了解某學科的「結構」（structure）， 就能有意義的使許多其他事物與該學科發生相關作用，意即學習的成功，在 於教師是否能配合學生的認知發展，將教材結構清楚轉譯成學生認知所能接 受的形式，變成學生生活世界有關的模式。其兩位學者都認為學習是有階段 性的，但 Bruner 更進一步認為學習是可以加速認知的階段，未必受年齡的 絕對限制，因此，即使年紀相仿或相異的學生也會在解題過程中產生不同的 表現能力。 楊瑞智（1994）曾探究國小高年級不同能力之學童在數學解題的過程中， 高能力者可使用有效的解題策略，但低能力之學生卻使用了許多無效的策略， 甚至常常亂拼湊數字；劉貞宜（2000）也研究過建國高中二年級三位不同能 力的數學資優生之解題策略，發現數學資優生的解題策略使用是多元的，共 有 18 種解題策略，且解題能力高者之解題策略優於能力較弱者（林香，2003）， 6.
(22) 可見高能力者所運用較多較廣的數學知識，能使用有效且多元的解題策略， 並加以驗證答案，清楚瞭解如何讓自己在整個解題過程更加順利；相較低能 力者，除了沒有豐富的數學知識之外，解題時常未經分析和計畫，就使用一 成不變的解題策略、只重視關鍵字就解答、或胡亂拼湊數字，最後導致解題 失敗。 三、解題過程的評估 Flavell (1979)是最先使用「後設認知」（metacognition） 一詞，認為「後 設認知」是指個人對自己的認知歷程、結果或任何有關事項知識的主動監控、 調整以及協調之歷程。而 Brown (1987) 認為「後設認知」是對自己知道什 麼和不知道什麼的了解，也就是說個人是具有瞭解自己思考過程和學習活動 知識的能力，並且知道如何去控制它，這些都是解題策略運用所需具備的條 件之一。 當學生對自己本身認知狀況能有所瞭解，可以在解題過程中，能善用自 己的優點，如在不同解題策略之中，選擇較為快速且有效率的解題方式；避 開自己的缺點，如對較複雜的解題策略產生不確定時，則運用較為簡單的解 題策略，以免錯誤的發生。學生如能隨時監控、調整和修正自己的認知活動， 是有助於對問題基模的統整，也能對解題能力有所提升。 由此可知，在數學解題過程中常存在著不同因素的影響，所以造成學生 在數學解題歷程中會有不同的解題方式，期望透過探究學生的多重解題歷程 給予適切的教學方式與內容，更能事半功倍的幫助老師達到補救教學的效 果。. 貳、 「扇形面積」相關解題策略分析 本試卷依據教學目標，從簡單扇形圖形到複合圖形循序漸進來設計題目， 以檢視學生在本單元的概念學習情況，且據林曉菁、姚如芬（2006）對複合 圖形解題策略運用分類為「直接分割」 、 「填補-扣除」 、 「扣除重疊」 、「分割7.
(23) 單位面積」、「分割-遞移-拼湊」、 「對稱分割」等六種方式，顯示本單元的複 合圖形之解題策略較為多元，研究者將上述解題策略說明如下（林曉菁、姚 如芬，2006，頁 47-52） ： 一、直接分割 此策略可直接拆解圖形，將圖形中多餘面積予以扣除並合併所求之面積。 此解題策略在視覺上是較具直觀性，其為「一步驟思考歷程」的特性，降低 了分析圖形時的困難度，是各種圖形分析策略中最容易理解，也最常被學生 應用的一項策略。 二、填補-扣除法 先藉由輔助線將圖形填滿成單純的矩形，再扣除多填補的部分面積以求 得原圖形之面積，其為「二步驟思考歷程」 ，其理解層次較高於「直接分割」 的一步驟思考。 三、扣除重疊 先將原複合圖形看成數個部份重疊的區塊，把各別區塊面積加總後，再 扣掉相互重疊部份的面積以求得正確解答。由於此解題策略需要利用到重疊 的心像，所以應用此方法求解的學生並不多，通常只有出現在典型的「重疊 圖形」題目時，部分學生才會習慣性的應用此策略來解題。 四、分割-單位面積 先將圖形分割成數塊等面積大小的矩形，再利用單位面積的概念來求出 圖形總面積，其單位面積不一定是正方形，也可以是其它圖形（如：長方形）。 五、分割-遞移-拼湊 將原複合圖形先適當切割後，再將切割下來的區塊圖形遞移，目的是與 切割後剩餘的圖形拼湊成矩形，以利簡化計算，其為「三步驟思考歷程」， 而大部分的學生也較不易產生移動圖形的心像能力。. 8.
(24) 六、對稱分割 此策略超出了單純依循圖形原貌分割求面積的層次，能看出圖形的對稱 性，代表學生對於幾何圖形的性質與意義不僅有清晰的理解能力，更能運用 此概念（對稱）來分析圖形，其幾何認知層次已有相當高的邏輯分析能力。 就學生對複合圖形的學習而言，第一步就是必須先對複雜的圖形做分析， 而分析圖形的能力是一種幾何的邏輯思考，也是能否解題成功的首要關鍵， 由上所述複合圖形的解題策略的確有多樣化的呈現結果，每個解題策略有其 思考理解層次，且程度上是有所差異的，這和學生的幾何學習發展是有極大 的相關。. 第二節 幾何學習的發展 依據 Piaget (1970) 的認知發展階段，學生的學習是從具體到抽象，因此， 國小階段的學生正符合 Piaget (1970) 提及的「具體運思期」，能根據具體經 驗思維，或使用具體物之操作或圖表的繪製來協助思考，以解決問題，才能 進一步引導學生學習抽象符號的運算概念。. 壹、幾何思考層次理論 荷蘭數學教育家 Van Hiele (1984)曾提出「幾何思考層次理論」，可分為 下面五種層次，其說明如下（譚寧君，1993，頁 12-17）: 一、第零層次：視覺化 此層次的學生是透過視覺來觀察實物，由實物的輪廓來辨識形體或圖形， 而經常接觸討論某類的圖形，其形狀差異不大，例如：三角形、正方形、長 方形與圓等，學童可以透過移動、旋轉與翻轉等方式，直觀地辨識某類圖形， 但不能了解物件本身的真正定義，例如：用正方形的構成要素來定義一個正 方形，是有四個邊與四個角及其關係是四個邊等長與四個角都是直角，國小 低年級學童大多在此階段，老師宜安排許多感官的操作體驗，讓學童進行分. 9.
(25) 類、堆疊、描繪、著色、接觸等活動，幫助學童瞭解圖形的構成要素。 二、第一層次：分析 此層次的學生是具備有豐富的視覺辨識經驗，能進一步觀察圖形構成要 素與圖形之間的關係，以尋找出某一類圖形的共同性質，例如：正方形的四 個角都是直角、對角線等長、對角線互相平分等，但是無法解釋這些幾何性 質間關係，例如：無法透過推理來解釋為什麼四個角都是直角的四邊形，它 們的對角線一定會等長且互相平分。國小中年級學生大約可以到達此階段發 展，老師可以安排圖形的製作、組合分割以及驗證思考等活動，幫助學生觀 察圖形構成要素，以利熟悉各種圖形的性質，幫助學生瞭解圖形與圖形之間 的關係。 三、第二層次：非形式演繹期 此層次的學生已經能掌握各種圖形的構成要素，可以進一步探索圖形內 在屬性關係，例如：兩雙對邊相等且平行的四邊形一定是平行四邊形；以及 不同類圖形之間的包含關係，菱形是平行四邊形的一種（因為菱形滿足平行 四邊形的特性）此時期的學童不必將所有的屬性都描述出來之後，才能確認 某一類圖形，也能透過理解其內在關係後建立的概念，而不只是公式的記憶， 如：計算 n 多邊形的內角和可先將此多邊形分割成幾個三角形，再加以瞭解 其內角和可為 （n － 2） × 180 °的意義。國小高年級學生大約處在 Level 1 （分析期）和 Level 2 （非形式演繹期）之間的過渡時期，但如果是數學資 優生則應該能有更高的層次（Level 4－嚴密性） 。 四、第三層次：形式演繹期 是指在一個公設系統中去建立幾何理論，故而此層次的學生能用演繹邏 輯證明定理，並建立相關定理的網脈結構關係，也能理解一個定理的充份或 必要條件的內在關係，並發現正逆命題之間的差異性，國小學生少能達到此 層次階段。. 10.
(26) 五、第四層次：嚴密性 達到這個層次的學生，可以在不同的公設系統中建立自行發現的定理， 並分析或比較這些定理的特性，也可以理解抽像的幾何推理。一般的人很難 達到這個層次，但少部分數學資優生可能就會發展到此層次。 這些層次是循序漸進的，只有思考能力達到某一程度後，將內容加以理 解內化後，就會形成了概念，才能依序發展到下一個層次，須透過老師適當 的引導，學生可從較低的思考層次慢慢提升到較高的思考層次，但因隨著年 級越高，幾何課程也越來越困難，大部分學生因無法達到較高的幾何思考層 次而慢慢放棄學習。 因此在國小幾何課程中，老師如能搭配學生的認知心理能力，針對幾何 學習給予操作性、繪圖性的教材與學習活動，把幾何課程變成較容易學習且 有趣的教學單元以加深學生的學習印象，再慢慢加入簡單的推理性質與引導 出屬性之間的內含關係，才能為將來國中階段的幾何學習，打下良好的基 礎。. 貳、 「心像能力」分析 Vinner 和 Dreyfus(1989)認為在數學中的數學概念都有一個形式且嚴密 的定義，稱為概念定義（concept definition） ，但學生面對一個數學物件是否 為某個概念的例子時，並不一定以形式上的定義來決定，而是以心中對該概 念存在的影像來決定，稱為概念心像（concept image）。從幾何思考發展與 學習歷程可以知道學生的幾何學習都是由具體的形體開始，漸漸形成圖形的 概念心像，概念定義是在很後面才賦予的，因此學生對幾何圖形的辨識，往 往不是透過定義，而是透過圖形的概念心像。 Douville (2004)曾指出「心像是對沒有呈現在眼前的物體或事件形成內 在圖像的過程，並且可以影響事後的回憶與理解。」 ，除了視覺圖像的回憶， 也可以是當下未被其他感覺器官所感受到的事物所產生的心理表徵，可能是 11.
(27) 聽覺、嗅覺、味覺等（李玉琇、蔣文祁，2005） ，本研究是以幾何圖形為主， 對於圖形除了表面上的思考能力之外，也能用全新的角度組合或改變儲存的 視覺資訊來創造出不同的影像，是一種「高階」的認知能力（韓承靜、洪蘭、 蔡介立，2008）。 West, Farmer 和 Wolff (1991)也曾分析心像的特徵如下：(一)在腦中如插 畫的類似物；(二)可修改的；(三)比較像是動態的影片，而非靜止的相片；(四) 可分割成很多部分進行檢視；(五)是一種學習的結果；(六)是可以被教導的。 因此可知，具體的學習材料較易引發相對的具體心像，而抽象的學習材料若 要產生心像，則必須進一步依賴學習者發揮想像力，以將抽象訊息轉化為內 在心像，而每個人在心像能力上有很大的差異，有些人在產生心像上有很大 的困難，而有些人卻能輕易的操弄心像，隨個人的意圖進行加工，都是一種 學習的結果，若能在學習中置入有意的心像，進而拓展不同的學習經驗，或 許會讓學生在本單元的學習能力上更上一層樓。. 12.
(28) 第三節 「扇形面積」教材分析與錯誤類型 壹、 「扇形面積」教材地位 近幾年，許多國際數學評量測驗紛紛重視學生的解題歷程，其題目內容， 除了代數、邏輯推理之外，幾何題材及解題和推理的認知過程等試題內容也 占了一部分，可見幾何的學習在國中、小階段逐漸受到重視，以下就以本單 元「扇形面積」之教材地位與教學重點整理如下: 先備經驗 第十冊 第六單元 ◎能認識圓心角和周. 角，並認識扇形。 1. 1. ◎認識2圓、4圓……的 扇形並繪製。 第十一冊 第五單元 ◎能理解圓周率的意 義、求法。. 本單元教學重點 第十一冊 第六單元 ◎能求出扇形弧長與 周長。. 發展教材. 國中 第六冊 第二章 立體幾何圖形. 2-2 表面積與體積(4). ◎能理解扇形面積的 求法。. ◎能計算直立柱體(圓 柱)的體積、表面積。. ◎能運用扇形面積的 求法，求出圖形面積。 ◎能計算複合或重疊. ◎能計算直立圓錐的 表面積，複合立體圖形 的體積與表面積。. 圖形的面積。. ◎能用圓周率求出圓 周長或直徑。 ◎能理解求圓面積的 方法和公式，並加以運 用。 圖 2-1「扇形面積」單元的教材地位分析(參考南一出版社國小數學六上備課用書). 13.
(29) 貳、 「扇形面積」單元能力指標分析 依據教育部 2008 年頒布的九年一貫課程綱要對「扇形面積」單元學習 之相關應能力指標整理如表 2-1： 表 2-1. 97 年版課程綱要中與「扇形面積」相關的能力指標. 97 年版課程綱要中與「扇形面積」相關的能力指標 分年細. 對照 內 容 說 明. 目編號. 指標 能使用圓規畫圓，認識圓的「圓心」、 「圓周」 、 「半徑」 與「直徑」。 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇 形。. S-1-02 S-1-04 S-2-03 S-2-05. 6-s-01. 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。. S-3-01. 6-s-04 6-n-12. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積. S-3-04 N-3-16. 3-s-03 5-s-03. 資料來源：教育部（2008） 。國民中小學年一貫課程綱要。台北市：教育部。 本單元學生應先具備有關「圓」的相關概念，其主要可分成四部份：圓 形的整體認識、圓的組成要素、圓周率、圓周長與圓面積等概念（劉明宜， 2011；譚寧君，1995，2000），進而藉由圓心角與周角的比例關係，知道扇 形圖形即為圓形中的一部份，並利用其比例關係來求出扇形的周長與面積。 在瞭解幾何思考層次的基本幾何概念（水平、鉛直、圖形的性質）之後，才 能進行幾何操作的活動（平移、翻轉、旋轉、疊合、分解與重組）以計算較 為複雜的複合圖形之面積（張汶后，2011） ，因此，將本單元的教學目標重 點整理如下: 一、 求出圓心角與周角的比例關係 二、 利用圓心角與周角的比例關係來求出扇形的周長與面積 三、 藉由幾何操作的活動，來計算較為複雜的複合圖形之面積 14.
(30) 參、 「扇形面積」錯誤類型相關文獻探討 根據研究，學生在學習「圓」的相關單元時，因需要有幾何的推理與理 解能力，往往會產生許多的迷思概念。沈佩芳（2002）就指出五年級的學童 在圓形的視覺辡識上，多半認為半圓是圓形的一半，所以也叫圓；橢圓雖然 不是正的，但它沒有任何直線或直角，所以也是圓形的一種；而六年級學童 的迷思概念大概都是對於半徑的認識不清，認為圓的半徑有四條，或是半徑 就是圓的一半（李佩瑾，2011，頁 25）。葉國平（2007）亦指出目前學生 學習圓面積單元的方式容易偏向於規則面積圖形的計算，例如題目中有正方 形、長方形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形的呈現，學生解題時容易直接 代公式而得到答案，但是題目呈現非規則圖形或是複合圖形，或是條件不明 顯的的題目時，學生的答案就會受到影響，而這些迷思概念可能導致學生在 解題時有錯誤類型的產生，而研究者茲將與扇形面積之錯誤類型有關的文獻 整理如表 2-2: 表 2-2 「扇形面積」錯誤類型之相關文獻探討 「扇形面積」錯誤類型之相關文獻探討 戴政吉（2002）. 解題時，只以圖形出現的數字求出周長或面積. 郭毅玲（2010）. 對扇形複合圖形無法分析、誤用公式及計算錯誤 忘記將扇形條件加入，只算出圓面積. 陳榮昌（2007） 葉連源（2007）. 計算扇形周長時忘記加上兩邊半徑 無法了解複合圖形間合成分解與填補扣除的關係 看錯圖形的底和高 誤認三角形面積公式為底乘以高. 王建興（2003）. 對圓周率的概念認識不足. 曾千純（2002）. 無法了解複合圖形間合成分解的關係 (續下頁) 15.
(31) 譚寧君（1998）. 誤用圓面積公式為半徑×半徑×3.14. 范瑞君（2006）. 誤用圓面積公式為半徑×3.14. 侯雪卿（2004）. 圓周長與圓面積公式混淆. 朱莉文（2005）. 對面積公式的誤用. 洪義德（2002） 許乃賜（2004）. 面積與周長混淆. 楊淑菁（2009）. 無法由圓心角正確的求出扇形面積占全圓面積的. 葉連源（2007）. 比例. 16.
(32) 第三章 研究方法 本章節則以三部分來說明本研究之研究方法，分述如下：. 第一節 研究流程及步驟 本研究為了探討建構反應題型能否提供教師了解學生在數學解題歷程 中的概念有無、解題策略與錯誤類型，進而給予適性化的補救教學，其研究 流程如下: 確定研究主題 收集與探討相關文獻. 分析教材與九年一貫課程綱要. 建立解題策略、概念與錯誤類型 Q 矩陣與試題命題卡 編製測驗試卷 請資深教師和專家修審題 預試 修正試卷. 正式施測. 專家判讀並做資料分析. 撰寫報告. 圖3-1 研究流程圖. 17.
(33) 研究者根據研究流程圖，就其研究步驟分述如下:. 壹、分析本單元的概念技能、錯誤類型與解題策略 一、 「扇形面積」單元概念分析 表 3-1 是經過相關文獻的參考、數學教材分析、與專家教師意見，列出 本單元重要的概念技能（skill） ，以利作為試卷命題與認知概念診斷的依據。 表 3-1 「扇形面積」解題概念列表 「扇形面積」解題概念列表 代 號. 解. 題. 概. 念. S1. 能運用圓心角來計算不同的扇形圖形是幾分幾之圓(圓心角 ) 360°. S2. 能運用圓周長公式，求出扇形的周長. S3. 能運用圓面積公式，求出扇形面積. S4. 能運用全部量減去部分量來計算扇形的弧長或面積. S5. 能計算多邊形的面積. S6. 能依照圖形性質將面積做合併或倍數的計算. S7. 能將各別圖形面積的總和減去重複的面積. 二、 「扇形面積」單元錯誤類型 本研究所謂的「錯誤類型」 （bug）是指學生在解題歷程之中容易產生的 迷思概念，研究者參考相關文獻、專家討論與施測結果進行分析與整理本單 元容易產生的錯誤類型如表 3-2: 表 3-2 「扇形面積」常見錯誤類型列表 「扇形面積」常見錯誤類型列表 代號 B1. 錯誤類型 易選圓心角小於 180 度之扇形為計算目標 (續下頁) 18.
(34) 代號. 錯誤類型. B2. 不了解扇形圖形的圓心角與周角之間的關係. B3. 運用錯誤的圓周長公式計算. B4. 只算出扇形圖形弧線邊長沒有加入兩邊半徑. B5. 圓周長與圓面積公式混淆. B6. 沒有考慮圖形條件，將圓形與扇形的周長或面積混淆計算. B7. 運用錯誤的圓面積公式計算. B8. 直接提取題目中的數字做運算. B9. 不能了解複合圖形間合成分解及填補扣除的關係. B10. 運用錯誤的面積公式來計算多邊形的面積. B11. 不能利用圓周率，由已知的圓周長求出直徑. B12. 計算錯誤. 三、 「扇形面積」解題策略分析列表 本研究依據概念/技能的使用與順序不同，即為一種解題策略。研究者 整理出本試卷共有 14 種解題策略，將其相對應的概念（skill）、錯誤類型 （bug）與對應試題整理如表 3-3： 表 3-3. 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表. 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表 策略代碼. 概念列表. 錯誤類型. M1. S1. B1、B2、B8、B12. M2. S1，S2. B2、B3、B4、B5、B11、B12. M3. S2. B1、B2、B3、B4、B5、B6、B12. M4. S4，S2. B4、B5、B6、B9、B12. 對應試題 1 2、4 3 3. (續下頁). 19.
(35) 策略代碼. 概念列表. 錯誤類型. 對應試題. M5. S3. B2、B5、B7、B8、B11、B12. 5. M6. S1，S3，S4. B5、B6、B7、B9、B12. 6、8、11. M7. S1，S3，S4，S6. B5、B6、B7、B12. 6、11. M8. S1，S3. B2、B6、B7、B9、B12. 7、8. M9. S1，S3，S6. B2、B6、B7、B9、B12. 7、8. B6、B8、B9、B12. 9. M10. S5，S1，S3，S4，S6，S4. M11. S1，S3，S5，S4，S6. B6、B9、B10、B12. 9、10、12. M12. S1，S3，S5，S7. B2、B6、B9、B12. 9、10、12. M13. S5，S1，S3，S4. B6、B9、B12. 9. M14. S1，S3，S5，S6. B7、B9、B10、B12. 12. 為了探究學生在解題過程中是否有使用策略的單一型或混合型的發生， 因此，研究者各細項解題策略依性質歸納為三大類，其說明如表 3-4 至表 3-6： 表 3-4. 解題策略 A 分析表. 解題策略 A 分析表 策略. 對應細項解題策略. 對應試題. 代碼. 題號. 策略名稱與定義 代號 扣除-合併法. 6、7、8 M6、M7、M9、M10. A. 將圖形中多餘面積予以扣除並合併. 11 M11、M13、M14. 所求之面積. 9、10、12 (續下頁). 20.
(36) 試題內容. 學生作答反應. 10.請求出下面圖形當中有塗色部分的面 積。 【圓周率以 3.14 計算】. 表 3-5. 解題策略 B 分析表. 解題策略 B 分析表 策略. 對應細項解題策略. 對應試題. 代碼. 題號. M12. 9、10、12. 策略名稱與定義 代號 重疊法 B. 利用個別面積總和扣除重複之面積 來解題。 試題內容. 學生作答反應. 1. 12.下面圖形是由一個 圓和一個平行四邊 4. 形組成，請求出塗色部分的面積。 【圓周率以 3.14 計算】. 21.
(37) 表 3-6. 解題策略 C 分析表. 解題策略 C 分析表 策略. 對應細項解題策略. 對應試. 代碼. 題題號. 策略名稱與定義 代號 比例法. 1、2、3 M1、M2、M3. C. 利用圓心角的比例來計算扇形面積. 4 M5、M8. 和周長. 5、7、8 試題內容. 學生作答反應. 8. 請求出下面有塗色的扇形面積大約是 幾平方公尺? 【圓周率以 3.14 計算】. 研究者發現試題 9、10、12 皆可使用策略 A 或策略 B 來求得答案，是擁 有「共同解題策略」的試題。研究者更進一步發現在這三個試題中，有些學 生會習慣使用某一種特定的解題策略來解題，因此，研究者定義在此三個試 題中，學生會有兩題以上習慣使用策略 A 或策略 B 來解題，即為「解題策 略單一型」。 但面對複雜的複合圖形問題，有些學生在也不一定會固定使用某一特定 策略來解題，反而會運用不同的解題策略來拆解圖形以求得答案，研究者則 定義在此三個試題中，扣除空白作答情形，學生會在其中一題使用策略 A， 而另一題使用策略 B 來解題，即為「解題策略混用型」 （策略 D） ，由此可知， 本單元的數學解題歷程是有多樣化的結果表現。. 22.
(38) 貳、建立試題命題卡與解題概念 Q 矩陣表 一、編製試題命題卡 研究者依據本單元「扇形面積」的解題技能、錯誤類型與學生的解題策 略，來編製本試卷命題卡，下面舉「試題 10」為例： 表 3-7 「試題 10」命題卡編製 「試題 10」命題卡編製 概念. S1、S3、S4、S5、S6、S7 10.請求出右邊圖形當中有塗色部分的面積。. Item10 【圓周率以 3.14 計算】 選項. 1 選項○. 2 選項○. 3 選項○. 4 選項○. 選項答案. 214. 114. 86. 428. B9. 正確答案. B9、B10. B9. M11. S1. S3. 作答. 45 1 = 360 8. 20×20×3.14× 8=157. 20×10÷2=100. B2. B12. B10. B9. M12. S1. S3. S5. S7. 作答. 45 1 = 360 8. 20×20×3.14× 8=157. 20×10÷2=100. B2. B12. B10. 錯誤 類型. 歷程. S5. S4. S6. 157-100. 1. 57×2=114 =57. 錯誤 類型. 歷程. 157×2=314. 1. 314-(100×2)=114. 錯誤 類型. 備註: S=概念技能；B=錯誤類型；M=解題策略。 23. B9.
(39) 二、建立解題概念 Q 矩陣 依據每題解題策略（M1~M14）所使用的解題技能（skill） 、錯誤類型（bug） 作關聯矩陣，又稱為 Q 矩陣，以利專家作資料判讀分析依據，如表 3-8： 表 3-8 「扇形面積」概念/技能與錯誤類型之 Q 矩陣 「扇形面積」概念/技能與錯誤類型之 Q 矩陣 概念. S. S. S. S. S. S. S. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. B. 試題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Item1(M1). 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. Item2(M2). 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Item3(M3). 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. Item3(M4). 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. Item4(M2). 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. Item5(M5). 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. Item6(M6). 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item6(M7). 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item7(M8). 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item7(M9). 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item8(M8). 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. Item8(M6). 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item8(M9). 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item9(M10). 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. Item9(M11). 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. Item9(M12). 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. Item9(M13). 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. Item10(M11). 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. Item10(M12). 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. Item11(M6). 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item11(M7). 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. Item12(M12). 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. Item12(M11). 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. Item12(M14). 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 備註:1=有概念/錯誤類型；0=沒有概念/錯誤類型。. 24.
(40) 參、進行預試，並修審試卷，以利正式施測 為避免題目內容含有圖示不清晰、語句不通順，或題意不適宜等情況， 研究者編製試題完後，請五名優秀老師與兩名教授一起共同相互審題，並根 據 Q 矩陣所列的解題策略、概念技能和錯誤類型逐一審題，提出建議並修 正，以利成為正式試卷施測。. 肆、收集作答反應與專家判讀結果作資料分析 回收 498 份有效試卷，以專家人工判讀方式輸入 0（答錯、沒有概念/ 錯誤類型） 、1（答對、有概念/錯誤類型） 、99（作答空白）或 88（作答資料 無法判別）來分析每題選項、建構歷程、解題策略、概念及錯誤類型等資料， 判讀規則如表 3-9 所示: 表 3-9 專家判讀規則 專家判讀規則 建構反應歷程. 選擇題答案. 概念有無. 錯誤類型有無. 解題策略. 對(1). 對(1). 1. 0. M1~M14. 對(1). 錯(0). 1. 0. M1~M14. 錯(0). 對(0). 0. 1. M1~M14. 錯(0). 錯(0). 0. 1. M1~M14. 空白(99). 空白(99). 99. 99. 99. 無法判別(88). 無法判別(88). 88. 88. 88. 經由專家的判讀之後，將整份試卷進行試題特徵的分析，得到內部一致 性係數為 0.84，可見本份試卷測驗是具有良好的信度的。. 25.
(41) 第二節 研究對象 壹、預試樣本 研究者以台中市海線一所國小六年級學生為預試對象，共約 120 人，將 收回的試卷加以分析整理，並增加、刪除或修改其試題內容、概念技能、錯 誤類型與解題策略，以利編製成正式試卷。. 貳、正式施測樣本 本研究是以國小六年級學生為主，包括台中市市區、海線及彰化市區等 三所學校，共 19 個班級進行施測，實際施測人數約 509 人，回收有效樣本 為 498 人。. 第三節 研究工具 透過紙本測驗之後，研究者回收施測資料，使用 Microsoft Office Excel 輸入學生的作答反應資料，並利用 SPSS 軟體進行資料分析，其全名為 Statistical Program for Social Science，是廣泛地應用於各領域之統計軟體，其 功能強大而且容易使用，可以協助研究者快速地作出正確的統計分析與重要 參考資料，本研究是以 SPSS18.0 來做資料相關的分析與檢定。. 26.
(42) 第四章 研究結果 本研究主要目的為分析國小六年級學生在「扇形面積」單元測驗後，從 建構反應歷程中所呈現解題策略、概念技能、數學成就與錯誤類型之間的關 係，讓老師在進行補救教學時可以作為參考的依據。. 第一節 各試題解題策略對概念與錯誤類型的影響 為探究學生對於本單元各試題解題策略是否會影響概念的使用與錯誤類 型的產生，因此研究者就針對各試題的解題策略作相關的分析，發現當學生 所使用的解題策略有概念技能缺乏或對概念技能不純熟時，就會有錯誤類型 產生，而影響答題的正確率，其相關研究結果整理如下： 表 4-1 題策略與概念技能、錯誤類型之關係 試題 1 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係 試題 1 缺乏的. S1. 概念技能. B1 B2. 錯誤 類型. B8 B12 答對率. 策略編號. M1. 其他. 總和. 策略使用人數. 467. 31. 498. 個數. 14. 31. 45. 百分率. (3.0%). (100%). (8.8%). 個數. 104. 2. 106. 百分率. (22.3%). (6.5%). (21.3%). 個數. 12. 6. 18. 百分率. (2.6%). (19.4%). (3.6%). 個數. 0. 1. 1. 百分率. (0%). (3.2%). (0.2%). 個數. 8. 0. 8. 百分率. (1.7%). (0%). (1.6%). 個數. 342. 0. 342. 百分率. (73.2%). (0%). (68.6%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2. 各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3. 概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數 27.
(43) 由表 4-1 得知，能使用 M1 策略人數有 467 人，顯示大部分的學生對於 S1 的運用都能輕易掌握，但題目答對率卻只有 73.2%，發現使用 M1 的學生 有 22.3%會犯 B1 的錯誤類型，推測學生對扇形圖形的定義理解還不夠清楚， 認為圓心角小於 180 度的圖形才是扇形，所以就會影響答題的正確率（請參 閱附錄一之試題 1） 。 表 4-2. 試題 2 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係. 試題 2 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係. 試題 2 缺乏 的. S1. 概念 技能. S2. B2. B3 錯誤 類型. B4. B5. B12. 答對率. 策略編號. M2. 其他. 總和. 策略使用人數. 448. 50. 498. 個數. 9. 19. 28. 百分率. (2.0%). (38.0%). (5.6%). 個數. 157. 50. 207. 百分率. (35.0%). (100%). (41.6%). 個數. 5. 1. 6. 百分率. (1.1%). (2.0%). (1.2%). 個數. 3. 1. 4. 百分率. (0.7%). (2.0%). (0.8%). 個數. 148. 5. 153. 百分率. (33.0%). (10.0%). (30.7%). 個數. 3. 30. 33. 百分率. (0.7%). (60.0%). (6.6%). 個數. 15. 1. 16. 百分率. (3.3%). (2.0%). (3.2%). 個數. 277. 0. 277. 百分率. (61.8%). (0%). (55.6%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2. 各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3. 概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 28.
(44) 表 4-3 試題 3 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係 試題 3 使用策略與概念技能、錯誤類型之關係. 試題 3. 缺乏 S2 的概 念技 能 S4 B1 B2 B3. 錯誤 類型. B4 B5 B6 B9 B12. 答對率. 策略 編號 策略使用 人數. M3. M4. 其他. 總和. 411. 26. 61. 498. 個數. 110. 15. 61. 186. 百分率. (26.8%). (57.7%). (100%). (37.3%). 個數. 1. 59. 60. 百分率. (3.8%). (96.7%). (12.0%). 個數. 28. 0. 10. 38. 百分率. (6.8%). (0%). (16.4%). (7.6%). 個數. 3. 1. 0. 4. 百分率. (0.7%). (3.8%). (0%). (0.8%). 個數. 2. 0. 0. 2. 百分率. (0.5%). (0%). (0%). (0.4%). 個數. 109. 16. 7. 132. 百分率. (26.5%). (61.5%). (11.5%). (26.5%). 個數. 1. 1. 24. 26. 百分率. (3.8%) 0. (39.3%). (5.2%). 個數. (0.2%) 1. 3. 4. 百分率. (0.2%). (.0%). (4.9%). (0.8%). 個數. 0. 4. 0. 4. 百分率. (15.4%) 2. (0%) 0. (0.8%). 個數. (0%) 15. 百分率. (3.6%). (7.7%). (0%). (3.4%). 個數. 258. 6. 0. 264. 百分率. (62.8%). (23.1%). (0%). (53.0%). 17. 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 29.
(45) 表 4-4. 試題 4 解題策略與概念技能和錯誤類型之關係. 試題 4 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係 試題 4 缺乏 的. S1. 概念 技能. S2 B2 B3. 錯誤. B4. 類型 B5 B11 B12 答對率. 策略編號. M2. 其他. 總和. 策略使用人數. 346. 154. 498. 個數. 5. 79. 84. 百分率. (1.4%). (52.0%). (16.9%). 個數. 102. 151. 257. 百分率. (30.6%). (99.3%). (21.6%). 個數. 1. 0. 1. 百分率. (0.3%). (0%). (0.2%). 個數. 7. 0. 7. 百分率. (2.0%). (0%). (1.4%). 個數. 85. 6. 91. 百分率. (24.6%). (3.9%). (18.3%). 個數. 8. 55. 63. 百分率. (2.3%). (36.2%). (12.7%). 個數. 4. 4. 8. 百分率. (1.2%). (2.6%). (1.6%). 個數. 15. 4. 19. 百分率. (4.3%). (2.6%). (3.8%). 個數. 227. 0. 227. 百分率. (65.6%). (0%). (45.5%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2. 各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3. 概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 由表 4-2、表 4-3 和表 4-4 可知，使用 M2、M3 和 M4 的學生如果缺乏 S2，會容易犯 B4 的錯誤類型，推測學生應是對周長的定義不清，忘了周長 是封閉圖形最外圍的長度，所以常會忘記加入兩邊的半徑，而此三項策略也 因 S2 的關係，學生在答對率上的表現也是不盡理想，老師在教學上如果可. 30.
(46) 以再多加強此概念的學習，是可以提升學習成效的，至於歸類於「其他」策 略的學生因為對於周長或面積的幾何概念容易混淆，所以就會使用錯誤的解 題策略來解題，這錯誤類型也是普遍出現在幾何相關單元的學習上，是老師 在教學上值得注意且強調的部分（請參閱附錄一之試題 2、3、4）。 表 4-5. 試題 5 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係. 試題 5 解題策略與概念技能、錯誤類型之關係. 試題 5 缺乏的 概念. M5. 其他. 總和. 策略使用人數. 417. 81. 498. 個數. 26. 81. 107. 百分率. (6.2%). (100%). (21.5%). 個數. 2. 1. 3. 百分率. (0.5%). (1.2%). (0.6%). 個數. 20. 2. 22. 百分率. (4.8%). (2.5%). (4.4%). 個數. 1. 8. 9. 百分率. (.2%). (9.9%). (1.8%). 個數. 6. 4. 10. 百分率. (1.4%). (4.9%). (2.0%). 個數. 24. 1. 25. 百分率. (5.8%). (1.2%). (5.0%). 個數. 357. 0. 357. 百分率. (85.6%). (0%). (71.7%). S3. 技能 B5. B7 錯誤 類型. 策略編號. B8. B11. B12. 答對率. 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2. 各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3. 概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 31.
(47) 由表 4-5 可知，使用 M5 的學生如果缺乏 S3 容易犯 B7 和 B12 的錯誤類 型，推測學生對於圓周率的定義並不太瞭解，誤以為圓周長除以圓周率得到 的結果是半徑，所以就會運用錯誤的圓面積公式來計算扇形面積，另外，在 小數除法的過程中容易忽略小數點，所以就會有計算錯誤的發生（請參閱附 錄一之試題 5）。 表 4-6. 試題 6 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係. 試題 6 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係. 試題 6. S1 缺乏 S3 的概 念技 能 S4 S6. B5 B6 錯誤 B7 類型. 策略 編號 策略使用 人數 個數. M6. M7. 其他. 總和. 432. 4. 62. 498. 9. 0. 48. 57. 百分率. (2.1%). (0%). (77.4%). (11.4%). 個數. 10. 0. 49. 59. 百分率. (2.3%). (0%). (79.0%). (11.8%). 個數. 45. 1. 62. 108. 百分率. (10.4%). (25.0%). (100%). (21.7%). 個數. 1. 62. 63. 百分率. (25.0%). (100%). (12.6%). 個數. 0. 0. 1. 1. 百分率. (0%). (0%). (1.6%). (0.2%). 個數. 25. 0. 4. 29. 百分率. (5.8%). (0%). (6.5%). (5.8%). 個數. 6. 0. 0. 6. 百分率. (1.4%) 41. (0%) 1. (0%). (1.2%). 7. 49. (25.0%). (11.3%). (9.8%). 個數. (9.5%) 62. 0. 1. 63. 百分率. (14.4%). (0%). (1.6%). (12.7%). 個數 B9 B12. 百分率. (續下頁). 32.
(48) 試題 6. 答對率. 策略 編號 策略使用 人數. M6. M7. 其他. 總和. 432. 4. 62. 498. 個數. 319. 3. 0. 322. 百分率. (73.8%). (75.0%). (0%). (64.7%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 表 4-7 試題 7 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 7 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係. 試題 7. 缺乏 S1 的概 念技 能. S3 S6 B7. 錯誤 類型. B9 B12. 答對率. 策略 編號 策略使用 人數. M8. M9. 其他. 總和. 222. 230. 46. 498. 個數. 36. 18. 45. 99. 百分率. (16.2%). (7.8%). (97.8%). (19.9%). 個數. 23. 5. 45. 73. 百分率. (10.4%). (2.2%). (97.8%). (14.7%). 個數. 26. 46. 72. 百分率. (11.3%). (100%). (14.4%). 3 (1.3%). 2. 12. 百分率. 7 (3.2%). (4.3%). (2.4%). 個數. 2. 19. 0. 21. 百分率. (0.9%). (8.3%). (0%). (4.2%). 個數. 16 (7.0%). 0. 23. 百分率. 7 (3.2%). (0%). (4.6%). 個數. 176. 178. 0. 354. 百分率. (79.3%). (77.4%). (0%). (71.0%). 個數. 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 33.
(49) 表 4-8 試題 8 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 8 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 策略 編號 試題 8 策略使用 人數 缺 S1 乏 的 S3 概 念 S4 技 能 S6 B1. 錯 誤 類. B6 B7. 型 B9. B12 答對率. M6. M8. M9. 其他. 總和. 25. 368. 74. 31. 498. 個數. 0. 9. 2. 30. 41. 百分率. (0%). (2.4%). (2.7%). (96.8%). (8.2%). 個數. 0. 9. 2. 49. 41. 百分率. (0%). (2.4%). (2.7%). (79.0%). (8.2%). 個數. 1. 31. 32. 百分率. (4.0%). (100%). (6.4%). 個數. 5. 31. 36. 百分率. (6.8%). (100%). (7.2%). 個數. 0. 43. 1. 1. 45. 百分率. (0%). (11.7%). (1.4%). (3.2%). (9.0%). 個數. 1. 3. 0. 1. 5. 百分率. (4.0%). (0.8%). (0%). (3.2%). (1.0%). 個數. 0. 6. 2. 2. 10. 百分率. (0%). (1.6%). (2.7%). (6.5%). (10%). 個數. 0. 0. 5. 0. 5. 百分率. (0%). (0%). (6.8%). (0%). (1.0%). 個數. 0. 14. 2. 0. 16. 百分率. (0%). (3.8%). (3.8%). (0%). (3.2%). 個數. 24 (96.0%). 306 (83.2%). 65 (87.8%). 0 (0%). 395 (79.3%). 百分率. 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 34.
(50) 表 4-9 試題 11 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 11 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係. 試題 11. S1 缺乏 的概. S3. 念技 S4. 能. S6. B6. 錯誤. B7. 類型 B9. B12 答對率. 策略 編號 策略使用 人數. M6. M7. 其他. 總和. 329. 59. 110. 498. 個數. 9. 2. 89. 100. 百分率. (2.7%). (3.4%). (80.9%). (20.1%). 個數. 11. 2. 93. 106. 百分率. (3.3%). (3.4%). (84.5%). (21.3%). 個數. 11. 2. 110. 123. 百分率. (3.3%). (3.4%). (100%). (24.7%). 個數. 5. 110. 115. 百分率. (8.5%). (100%). (23.0%). 個數. 10. 1. 5. 16. 百分率. (3.0%). (1.7%). (4.5%). (3.2%). 個數. 14. 1. 7. 22. 百分率. (4.3%). (1.7%). (6.4%). (4.4%). 個數. 21. 7. 3. 31. 百分率. (6.4%). (11.9%). (2.7%). (6.2%). 個數. 9. 4. 0. 13. 百分率. (2.7%) 280. (6.8%) 47. (0%) 0. (2.6%) 327. (85.1%). (79.7%). (0%). (65.7%). 個數 百分率. 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 由表 4-6~表 4-9 可知，使用 M6 和 M8 的學生如果對 S3 概念不熟悉， 容易會犯 B7 的錯誤類型，這些學生應是連「圓」的基本相關計算公式都不 能理解，所以常會有圓面積或是圓周長混淆計算的情況發生，更無法去處理 複雜的複合圖形幾何操作（合併-扣除、重疊）的計算。 35.
(51) 另外，使用 M6、M7 和 M9 的學生缺乏 S4、S6 的話，有可能會犯 B9 的錯誤類型，推測學生只將所學的公式背誦出來，並沒有再去考慮圖形條件， 所以對於圖形是該合併或是扣除容易忽略或是混淆計算，也就影響的答題的 正確率，都是可以給予老師在補救教學上的參考（請參閱附錄一之試題 6、 7、8、11） 。. 36.
(52) 表 4-10 試題 9 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 9 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 策略 M10 編號 試題 9 策略 175 使用人數 個數 1 S1 百分率 (0.6%) 個數 0 S3 百分率 (0%) 缺 個數 2 乏 S4 的 百分率 (1.1%) 概 個數 0 念 S5 百分率 (0%) 技 能 個數 4 S6 百分率 (2.3%) S7 B2 B6 錯 B8 誤 類 型 B9 B10 B12 答對率. M11. M12. M13. 其他. 總和. 105. 57. 24. 137. 498. 3 (2.9%) 3. 2 (3.5%) 2. 0 (0%) 0. 127 133 (92.7%) (26.7%) 128 133. (2.9%). (3.5%). (0%). (93.4%) (26.7%). 1. 0. 137. 137. (1.0%). (0%). (100%). (27.5%). 107. 111. 1. 3. 0. (1.0%). (5.3%). (0%). 0. 136. (0%). 個數 百分率. (78.1%) (22.3%) 140. (99.3%) (28.1%). 個數. 1. 0. 9 (15.8%) 3. 百分率. (0.6%). (0%). (5.3%). (0%). (0%). (0.8%). 個數. 1. 3. 2. 0. 4. 10. 百分率. (0.6%). (2.9%). (3.5%). (2.9%). (2.0%). 個數. 0. 0. 0. (0%) 0. 17. 17. 百分率. (0%) 1. (0%) 6. (0%) 0. (12.4%). (3.4%). 個數. (0%) 19. 1. 27. 百分率. (10.9%). (1.0%). (10.5%). (0%). (0.7%). (5.4%). 個數. 1. 0 (0%). 1. (1.0%). 0 (0%). 0. 百分率. 0 (0%). (0%). (0.2%). 個數. 9. 1. 3. 0. 0. 13. 百分率. (5.1%) 148. (1.0%) 94. (5.3%) 40. (0%). (0%). (2.6%). 0 (0%). 305 (61.2%). 個數 百分率. 146 (29.3%). 0. 137 (100%) 0. 23 (84.6%) (89.5%) (70.2%) (95.8%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 37. 4.
(53) 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 表 4-11 試題 10 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 10 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 10. S1 S3 缺乏 S4 的概 念技 能. S5 S6. S7. B2. B7 錯誤 類型 B9 B10. B12. 策略 編號 策略使用 人數. M11. M12. 其他. 總和. 221. 86. 191. 498. 個數. 2. 1. 162. 165. 百分率. (0.9%). (1.2%). (84.8%). (33.1%). 個數. 6. 1. 182. 189. 百分率. (2.7%). (1.2%). (95.3%). (38.0%). 個數. 10. 191. 201. 百分率. (0%). (100%). (40.3%). 個數. 14. 2. 168. 184. 百分率. (6.3%). (2.3%). (88.0%). (36.9%). 個數. 5. 191. 196. 百分率. (2.3%). (100%). (39.3%). 個數. 45. 191. 236. 百分率. (52.3%). (100%). (47.3%). 個數. 0. 2. 2. 4. 百分率. (0%). (2.3%). (1.0%). (.8%). 個數. 4. 1. 24. 29. 百分率. (1.8%). (1.2%). (12.6%). (5.8%). 個數. 10. 45. 7. 62. 百分率. (4.5%). (52.3%). (3.7%). (12.4%). 個數. 12. 1. 2. 15. 百分率. (5.4%). (1.2%). (1.0%). (3.0%). 個數. 5. 1. 1. 7. 百分率. (2.3%). (1.2%). (0.5%). (1.4%) (續下頁). 38.
(54) 試題 10. 答對率. 策略 編號 策略使用 人數. M11. M12. 其他. 總和. 221. 86. 191. 498. 個數. 195. 39. 0. 234. 百分率. (88.2%). (45.3%). (0%). (47.0%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 表 4-12 試題 12 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 試題 12 解題策略、概念技能和錯誤類型之關係 策略 編號 試題 12 策略使用 人數 S1 S3 缺 乏 的 S4 概 念 S5 技 能 S6 S7 B2 錯 誤 B7 類 型 B9. M11. M12. M14. 其他. 總和. 184. 140. 3. 171. 498. 個數. 1. 0. 0. 132. 133. 百分率. (0.5%). (0%). (0%). (77.2%). (26.7%). 個數. 0. 0. 0. 136. 136. 百分率. (0%). (0%). (0%). (79.5%). (27.3%). 個數. 8. 167. 175. 百分率. (4.3%). (97.7%). (35.1%). 個數. 9. 6. 0. 159. 174. 百分率. (4.9%). (4.3%). (0%). (93.0%). (34.9%). 個數. 8. 0. 170. 178. 百分率. (4.3%). (0%). (99.4%). (35.7%). 個數. 24. 171. 195. 百分率. (17.1%). (100%). (39.1%). 1 (0.6%) 9 (5.3%) 7. 3 (0.6%) 10 (2.0%) 46. (4.1%). (9.2%) (續下頁). 個數 百分率 個數 百分率 個數. (1.1%) 0 (0%) 12. (0.7%) 27. 0 (0%) 0 (0%) 0. 百分率. (6.5%). (19.3%). (0%). 2. 0 (0%) 1. 39.
(55) 策略 編號 試題 12 策略使用 人數 個數 錯 B10 百分率 誤 類 型. B12. 答對率. M11. M12. M14. 其他. 總和. 184. 140. 3. 171. 498. 4 (2.9%) 3. 0 (0%). 7 (4.1%). 20 (4.0%). 個數. 9 (4.9%) 6. 0. 2. 11. 百分率. (3.3%). (2.1%). (0%). (1.2%). (2.2%). 個數. 157. 105. 3. 0. 265. 百分率. (85.3%). (75.0%). (100%). (0%). (53.2%). 備註: 1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白的人數 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 由表 4-10~表 4-12 可知，使用 M10、M11 和 M12 的學生缺乏 S4、S6 的話，也是會犯 B9 的錯誤類型，推測學生應該知道本單元要使用的相關計 算公式（圓面積或是圓周長），但對於複合圖形並沒有再去考慮圖形條件， 所以對於圖形是該合併或是扣除容易忽略或是混淆計算。 另外，使用 M12 的學生如果對 S7 概念不熟悉，會容易會犯 B9 的錯誤 類型，這些學生應是擁有較高層次的解題技巧，因為此策略是需要運用到重 疊心像能力，但概念的發展不夠純熟，常會忘記將重疊的部分扣除兩次，而 M11 的解題技巧較為直觀，所以概念缺乏的情形較不嚴重，以至於在答對率 上 M11 的表現情形會比 M12 的情形較好，但老師在教學上如果可以使用實 體的操作讓學生了解 S7 概念的運用，是可以提升且加強學生的學習印象（請 參閱附錄一之試題 9、10、12） 。 為了瞭解學生對於整份試卷的概念技能學習情況，也因為每個概念並不 會在各試題中均勻被使用，所以在統計學生概念技能的具備情形，是採用整 份試卷的某試題學生有使用到某個概念技能一次，即代表該位學生有具備此 概念的能力，進一步再去探究各概念的使用比例與錯誤類型發生的比例，將 資料整理如圖 4-1 和圖 4-2: 40.
(56) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 百分率. S1. S2. S3. S4. S5. S6. S7. 98.8. 72.29. 96.99. 90.56. 86.95. 81.12. 33.94. 圖 4-1 概念/技能使用長條圖 由圖 4-1 可知大部分的學生對本單元基本的概念與技能(S1 至 S5)有相當 的熟悉與了解，但由於學生在計算扇形面積周長時，對周長的定義（封閉圖 形最外圍的長度）模糊不清，所以會忘記加上兩邊的半徑，或是將圓周長與 圓面積公式混淆計算，以至於能正確使用 S2 的學生不多。而 S6 和 S7 則是 在計算本單元較為複雜的複合圖形時所會使用到的技能，S7 的使用比例不 高，是因為此項技能是需要運用到心像能力（Douville, 2004）的學生才能展 現出來，國小一般學生能達到此層次的並不多。 同樣為了瞭解學生在整份試卷中出現錯誤類型的情況，也因為每個錯誤 類型並不會在各試題中發生，所以在統計學生錯誤類型的發生情形，是採用 整份試卷的某試題學生有出現該錯誤類型一次，即代表該位學生有犯此錯誤 類型的可能，如圖 4-2：. 41.
(57) 圖 4-2 錯誤類型發生長條圖 由圖 4-2 可以觀察出 B3、B8、B10、B11 發生比例不高，經由作答反應 去研判這些錯誤類型，推測學生求扇形周長時，應熟悉圓周長公式，但對周 長的定義不清，所以在計算扇形周長時忘記加入兩邊半徑，導致 B4 的錯誤 比例偏高，而 B3 的發生次數較低的原因，至於 B8、B10、B11 是與學生已 學過的幾何圖形單元的錯誤類型有關，因大部分學生已擁有相當的能力，所 以發生比例也不高。 綜觀上面圖表所示，可以清楚瞭解到學生在面對同樣試題時，是會有不 同解題策略的發生，且不同的解題策略其相對應的概念如果有所缺乏時，就 會有不同的錯誤類型發生，進而影響的學生的答題表現，如果老師可以依照 學生的解題策略給予適切的補救教學，將會提升學生在本單元的學習成效。. 42.
(58) 第二節 比較學生解題策略在數學表現上的差異 研究者從近五百份施測資料裡，整理出本單元中複合圖形題目（試題9、 10、12）皆可運用解題策略A（扣除-合併法）或策略B（重疊法）來求出正 確結果，是擁有「共同解題策略」的試題。在這三題裡面扣除未作答試題， 其中有兩題使用到策略A或策略B，即為「解題策略單一型」；至於策略C （比例法）不再此試題討論範圍之內；但如果其中一題使用策略A，而另一 題使用策略B，則定義為「解題策略混和型」（策略D） 。研究者想進一步去 探究使用同一種策略解題的學生與混和運用解題策略的學生在數學表現是 否有所差異，並將各相關分析整理如下： 首先進行不同解題策略（A：扣除-合併法、B：重疊法、D：混和運用） 與此三題的答對題數作單因子變異數分析（ANOVA），以下為各統計報表 及摘要表： 表4-13. 描述性統計量. 描述性統計量 依變數: 答對題數. 平均數的 95% 信賴區間 下界 上界. 解題 策略. 個數. A. 309. 2.14. 1.026. .058. 2.02. 2.25. 0. 5. B. 75. 1.65. 1.033. .119. 1.42. 1.89. 0. 3. D. 33. 1.30. .770. .134. 1.03. 1.58. 0. 3. 總和. 417. 1.66. 1.201. .054. 1.56. 1.77. 0. 5. 平均數 標準差 標準誤. 代碼說明： A：扣除-合併法，B：重疊法，D：混用運用。. 43. 最小值 最大值.
(59) 表4-14. 不同解題策略之變異數同質性檢定. 不同解題策略之變異數同質性檢定 依變數:答對題數. Levene 統計量. 分子自由度. 分母自由度. 顯著性. 72.440. 3. 494. .000*. *p < .05. 表4-15不同解題策略之均等平均數的 Robust 檢定 不同解題策略之均等平均數的 Robust 檢定 依變數: 答對題數. Brown-Forsythe. 統計量a. 分子自由度. 分母自由度. Sig。. 157.260. 3. 164.946. .000*. a. 漸近的 F 分配。*p < .05。. 由表4-14「變異數同質性檢定」得知顯著性.000<.05，達到顯著水準 ，故為變異數不同質，因此還需再採用Brown-Forsythe法來檢定變異數（表 4-15），發現結果顯著性為.000<.05，達顯著水準，所以進行Games-Howell 事後檢定來分析不同解題策略與三題答對題數間關係。 表4-16不同解題策略之多重比較 不同解題策略之多重比較 依變數: 答對題數. (J)解題. 95% 信賴區間. 平均差異. (I) 解題策略. 標準誤 顯著性 策略. (I-J). 下界. 上界. B. .483*. .133. .002*. .14. .83. D. .833*. .146. .000*. .44. 1.22. A. -.483*. .133. .002*. -.83. -.14. D. .350. .179. .215. -.12. .82. A. B （續下頁） 44.
(60) A. -.833*. .146. .000*. -1.22. -.44. B. -.350. .179. .215. -.82. .12. D *. 平均差異在 .05 水準是顯著的。. 由表 4-16「不同解題策略之多重比較」發現策略 A（M＝2.14）的學生 在數學成績上的表現優於策略 B（M＝1.65）和 D（M＝1.30），而策略 B 與策略 D 並無顯著差異。因此得知，本單元「扇形面積」在不同解題策略 之中，使用「扣除-合併法」策略的學生在數學解題表現上會比使用「重疊 法」或「解題策略混和型」的學生好，可見學生在面對複雜的複合圖形時， 學生還是容易傾向使用較簡單的「扣除-合併法」來解題，因此策略較為直 觀性，為一步驟的思考歷程，降低了分析圖形時的困難度，是各種圖形分析 策略中最容易理解，也最常被學生應用的策略策略之一，大部分在數學成績 上會有良好的表現；而使用「重疊法」則是需要使用高層次的心像能力才能 達成，Douville(2004)認為「心像是對沒有呈現在眼前的物體或事件形成內在 圖像的過程，並且可以影響事後的回憶與理解。」，因此學生必須運用心像 能力將複合圖形在心中拆解、置換，其解題技巧難度較高，有時就會有錯誤 類型的產生，進而影響了數學的學習成就。 所以在本單元的施測結果發現：學生是屬於「解題策略單一型」的數學 表現會比「解題策略混和型」的學生還要好，是因為「解題策略單一型」其 中有包含較簡單的解題策略，所以大部分的學生都能成功的正確答題。至於 「解題策略混和型」的學生則是各使用一次較低階的「扣除-合併法」和較 高階的「重疊法」來解題，研究者觀察作答反應發現這類型學生可能對這兩 種解題策略之中皆有某些概念使用的不純熟，會產生不同種類的錯誤類型， 所以在數學表現上就不能有穩定且較優秀的表現。. 45.
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