幾何學習相關理論

壹、幾何學習認知過程：

在幾何知識的學習，Duval (1998)認為應有三種認知過程，分別是：

1. 視覺過程（visualization）：

對於圖形空間的表徵的認知，可能只是單純表象圖形（線條與形狀 的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）

的洞察，也可以是根據文字敘述所繪製的圖形。

2. 構圖過程（construction）：

學生在製作圖形的過程中，對發現圖形中的幾何意義有幫助。而視 覺過程和構圖過程是交互作用的，透過彼此互相了解輔助認知。

3. 推理過程（reasoning）：

進行論說的過程，例如說明、證明等。

Duval(1995)認為人類對幾何圖形的認知理解可分成四種。

(1) 知覺性理解(perceptual apprehension)：當看到圖形時，就能直接辨識圖 形物件的性質特徵與圖形關係。

(2) 序列性理解(sequential apprehension)：在建構或描述圖形結構時，依次 逐步做出基本單元來組合整個圖形，在描述圖形結構時，利用數學性 質將圖形物件間關係連結的陳述順序。

(3) 論述性理解(discursive apprehension)：能夠說出一個幾何圖形基本概念 的名稱、假設、及對已知條件的瞭解。

(4) 操作性理解(operative apprehension)：對幾何圖形進行分解組合、放大 縮小、平移旋轉等操作，透過對圖形或心智圖像的操作，凸顯出圖形 的變化，而獲得解題或論證的靈感。

貳、Van Hiele 幾何思考層次及學習階段：

Van Hiele(1986)幾何學習思考包含五個了解層次，分別是視覺化

（Visualization），分析（Analysis），非形式歸納（Informal Deduction），

形式歸納（Formal Deduction）以及嚴密性（Rigor），分別描述其思考特 徵，這個模式主張，學習者經由適當的教導及學習經驗能從最基本的視 覺層次階段，而最後可到達最高的嚴密性層次階段，而最高的嚴密性層 次階段中包含了抽象的思考與歸納，而很少學生能到達這個層次，下面 來介紹各個層次的要點：

幾何基本層次(Level 0)：視覺化（Visualization）

一個孩子能判斷出長方形和正方形是不同的，當一個人告訴一個 六歲的小孩，什麼是菱形，什麼是長方形，什麼是正方形，什麼是平 行四邊形，他就有能力在 Gattagno 的幾何板上毫無困難的重現這些圖形。

在這基礎的層次裡小孩無法從菱形中辨認出平行四邊形，在此層次中 對小孩而言菱形與平行四邊形是完全不同的東西。

幾何第一層次 (Level 1)：分析（Analysis）

圖形的外形就表示他的一切屬性。一個長方形就是有四個直角、對 角線等長、對邊相等。圖形是根據性質被辨認出來的。若有一個人在黑 板上畫一個圖形有四個直角，即使畫得很醜我們還是知道它是一個長方 形。但是在此層次中它的性質還不夠有條理，所以小孩無法將正方形定 義為長方形的一種。特性與特性之間的關係則不是這一層次的學生所能

解的。

幾何第二層次 (Level 2)：非形式歸納（Informal Deduction）

性質是有條理順序的，它們能夠從其他性質中推導出性質，可

幾何第三層次 (Level 3)：形式歸納（Formal Deduction）

思考是關注於推論的意義、相反的定理、公理、必要條件和充分條

Van Hiele 的幾何學習階段理論，首先幾何的學習是一個不連續的過

第二階段：引導學習方向(directed orientation)

學生藉由教材來探索這個領域的知識，他知道學習的方向是

第四階段：自由探索(free orientation)

這領域學習研究的方向大多是學生所知道的，但學生仍須能

第五階段：整合(integration)

學生調整自己，且學生必須能夠學到概覽所有他使用的方法 ，因此他試著去濃縮思考所有他探索過的全部領域。在這一 點上老師可提供整體的概論來幫助這項工作，重點是這些概 論無法呈現任何新的東西給學生，他只是總結一些學生已經 知道的東西。

在結束這五個階段之後，學生到達一個新的思考層次，在新的思考 領域他獲得自己的直觀知識，也取代了舊有的思考領域有一個完全不同 的直覺。

由 Duval 幾何的學習認知過程與認知理解理解，可以了解學生對幾 何的學習，需先有圖形的視覺認知，有了基本的視覺表象認知後，產生 知覺性的理解。再輔以分解描述圖形，有了描述構圖的過程，讓學生經 由構圖的過程對圖形能有序列性的理解。

透過分割拆解圖形的過程，學生對幾何圖形的已知條件間能有關連 性的理解，進而整合已知條件，達到論述性的理解，再經由教師說明進 行論證，在推理的過程中進而進行論述證明。

依Duval所提出之認知過程與認知理論，於教學中以電腦動態呈現，

學生於視覺過程中洞察幾何意義，透過教師於教學中使用電子白板展示 圖形拆解，把全等三角形拉出的過程，讓學生清楚知道圖形中內涵的全 等或相似三角形，因有明確的圖形，自然而然的降低學生於學習幾何課 程的認知負荷，瞭解幾何定義加上學生於學習拆解圖形的過程中，視覺 與拆解圖交互作用加深學生對幾何的瞭解，進而能進行說明論說，完成 正式的幾何論證。