以電子白板圖形拆解方式提升學生幾何證明的學習成效

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(1)國立屏東大學科普傳播學系數理教育碩士班碩士論文 Department of Science Communication National Pingtung University Master’s Thesis. 以電子白板圖形拆解方式提升學生幾何證明的學習成效 Using Electronic Whiteboards with Figures Extracting Method to Improve Students’ Learning Performance of Geometric Proofs. 指導教授：徐偉民博士 Advisor: Dr. Hus,Wei-Min 研究生：方瓊婉 Student: Fang,Chiung-Wan. 中. 華. 民國. 一. 百零. October, 2014. 三. 年十. 月.

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(5) 致謝詞人生旅途總是蘊藏著未知的驚奇，在畢業多年後，能有機會返回校園，重溫學生的生活。總是抱持既興奮又嚴謹的心情，面對研究所的課程。進修的歷程，時時警惕自己，害怕自己不夠認真，無法完成老師交代的報告。承蒙所上的教授，總能即時給予課業上的解惑，讓自己在學習的路上，不斷感受到教授們的熱忱與學術的專業。在論文寫作上，還記得第一次寫出毫無結構的第一章，除了字句冗長之外，內容上沒有比較突出的重點議題。有賴指導老師徐偉民教授，不斷給予想法，讓自己能對自己的論文，進行反思問題癥結點和研究架構規劃。接下來過程之中，每當遇到寫作困難時，徐教授總是不厭其煩，耐心指導，指引出正確的寫作方向，在自己這一年多來，撰寫論文的日子中，指導老師如同一位長輩，默默協助著自己，完成論文，真是銘感五內。感謝口試委員張國綱教授及郭文金教授，在百忙之中，撥冗來指導自己的論文。過程之中，張國綱教授的鼓勵勝過糾正，且能提出精闢的建議，讓自己的研究觀點更為寬闊。此外，令自己最為感動的是郭文金教授用心仔細閱讀自己的論文，標記許多的寶貴的意見，讓自己的論文更加完整。感謝研究所的同學，在學習的路途上，互相鼓勵打氣，一起堅持這份理想。更感謝周遭的同事和家人，有你們的分擔、處理生活中繁瑣的雜事，讓自己撰寫論文的過程中沒有後顧之憂。最後要感謝就是最親愛的老公，在教材編寫上提供我許多的意見及想法，讓自己撰寫的架構更能達到理想。感謝一路而來的各位，感謝許多默默協助的各位，感謝分憂解勞的各位，感謝教導的各位教授，感謝最應該感謝的指導老師徐偉民教授，感謝一切、一切，因為有這趟際遇，使自己在人生的旅途上，不虛此行！方瓊婉. i. 103.10.28.

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(7) 以電子白板圖形拆解方式提升學生幾何證明的學習成效摘要本研究旨在探討融入電子白板於幾何證明教學的歷程與學生的學習表現。研究者以電子白板為教學媒介，透過研究者自編教材，對 29 位在補習班學習的國三學生進行行動研究，進行 4 節課 360 分鐘幾何證明的教學，以錄影錄音方式蒐集上課資料，並對參與學生做課後訪談，將錄影與訪談資料及研究者於課後反思資料，作為研究者修改教材及教學實施之依據。課程實施初期學生的證明技巧仍不純熟，課程實施中期學生會於課堂上與研究者討論證明思考的歷程，並提出不同之證明方法，課程實施後期學生已能寫出完整證明推理的紀錄。課程實施後對參與研究之學生進行認知與情意的後測，發現學生在幾何證明的表現上答對率達 78%。有 59%的學生表示喜歡以電子白板的方式來進行幾何證明的學習，有 83%以上的學生認為以電子白板融入幾何證明單元課程可以提升學習的興趣，且以圖形拆解方法可以提升對問題的理解。. 關鍵字：電子白板、幾何證明、圖形拆解. iii.

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(9) Using Electronic Whiteboards with Figures Extracting Method to Improve Students’ Learning Performance of Geometric Proofs Abstract This study was aimed to improve students’ learning performance on geometric proof by using electronic whiteboards as a teaching media and figures extracting method to demonstrate the relationship between triangles. There were 29 students who were in the 9th grade participated in the study. The researcher implemented four lesson, 360 minutes instruction on geometric topic. Videotaped and interviewed were used to collect data during and after lesson. Base on the data that included video, audio and researcher’s reflection to revise teaching materials and processes. The results indicated that, at the beginning of the study, the students’ reasoning thinking and skills of geometric proof were not proficient, but in the middle, they would like to discuss their reasoning process with the researcher in class, and presented different methods of proof. At the last stage of the study, the students had been able to write a complete record of reasoning to prove. According to the posttest results on cognition and attitude, students showed highly correct rate on the cognitive test that was up to 78%, and there were 59% students liked the instructional way with the electronic whiteboard. Above 83% students considered integrating electronic whiteboard into geometric proofs instruction would be helpful to raise their learning interests, and the way of figures extracting could help them to understand the questions and identify the relations between shapes.. Keywords：Electronic whiteboard, Geometric proofs, Figure extracting. v.

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(11) 目次第一章緒論 ........................................................................................1 第一節研究背景與動機 .....................................................................1 第二節研究目的 ................................................................................5 第三節名詞解釋 ................................................................................6. 第二章文獻探討 ...............................................................................7 第一節幾何證明的角色與功用及相關性質 .......................................7 第二節幾何學習相關理論 ...............................................................10 第三節電子白板在數學教育上的應用 .............................................15. 第三章研究方法 ..............................................................................23 第一節研究方法 ...............................................................................23 第二節研究架構與流程 …................................................................25 第三節研究對象 ...............................................................................30 第四節研究工具 ...............................................................................30 第五節評分標準及信效度 ...............................................................47 第六節資料整理與分析 …................................................................53 第七節教案編寫與教學前的嘗試 …................................................54. 第四章研究結果與分析 ……………..............................................63 第一節教學實施歷程與學生表現 ....................................................63 第二節教學實施後學生表現 ............................................................75 第三節綜合分析討論 .......................................................................83. 第五章結論與建議 .........................................................................87 參考書目 .............................................................................................89 中文文獻 ............................................................................................89 英文文獻 ............................................................................................93. vii.

(12) 附件 ......................................................................................................95 附件一三角形全等與相似性質說明 ................................................95 附件二教學課程之教材 …………….................................................99 附件三後測卷之給分標準 ..............................................................108 附件四幾何證明認知後測卷 ..........................................................116 附件五一次證明題型示範 ..............................................................118 附件六二次證明題型示範 ..............................................................121. viii.

(13) 表次表 3-1 教案教材題型整理表 .............................................................31 表 3-2 前測卷雙向細目表 .................................................................43 表 3-3 後測卷雙向細目表 .................................................................44 表 3-4 幾何課程實施量表 .................................................................46 表 3-5 後測卷評分信度值 .................................................................51 表 3-6 編碼方式與範例 .....................................................................53 表 4-1 實驗班級與對照班級後測成績對照表 ...................................76 表 4-2 幾何課程實施量表統計結果 …………...................................78. ix.

(14) 圖次圖 3-1 研究流程架構圖 ……............................................................26 圖 3-2 研究流程圖 ..........................................................................27 圖 4-1 學生的講義紀錄 …..............................................................70 圖 4-2 學生的講義紀錄 …..............................................................71 圖 4-3 學生的講義及回家作業紀錄 ..............................................80 圖 4-4 參與研究之學生的後測試卷 ..............................................81 圖 4-5 參與研究之學生的後測試卷 ..............................................82 圖 4-6 參與研究之學生的後測試卷 ..............................................82. x.

(15) 第一章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 數學，是一切科學學習的基礎。唯有數學，才能顯現萬物背後隱藏的真理(洪萬生、洪讚天、蘇意雯、英家銘，2011)。在我國九年一貫課程綱要中提及數學被納入國民教育的基礎課程有三個重要原因：(1)數學是人類最重要的資產之一，為科學、技術及思想發展的基石。(2)數學是一種語言，人類理性對話最精確的語言。(3)數學是人類天賦本能的延伸，具有形與數的初等直覺。再經過人類文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數學知識，並形成更有力量的思維能力(教育部，2008) 。因此數學的學習目標不僅在於數學能力的培養，更是其他學科學習能力及思考能力發展的基石。香港特別行政區政府教育局(2013)在數學教育的學習領域定位中提及：二十一世紀是資訊快速更新的年代，學生所需要的是一些能夠幫助他們在這個日新月異變化快速的年代中，能提供他們在投入競爭激烈的社會所需的知識及技能，以應付這個知識急劇增長的資訊年代的需求，人們必須懂得數學，只有這樣才能促進社會的繁榮。在我們的日常生活有許多地方都充滿著數學，我們無法想像現代人如何能生活在一個完全脫離數學的世界裡。數學在香港的學校課程佔有一個很重要的地位，因為它是一個有效的溝通途徑，一個有效學習其他學科的工具，一種智力活動和思考方式，一門能發展學生欣賞自然美感、邏輯思考和作出正確判斷能力的學科。美國數學教師學會(The National Council of Teachers of Mathematics[NCTM],2000)指出：數學是人類最偉大的文化和智力成果之一，我們處於一個快速變化的年代，在日常生活和工作場所中，越來越需要了解並能夠使用且運用數學，比起以前這種需求更加的強烈。數學已經成為我們日常生活的一部分，數學的思維和解決問題的能力，不論是在生活或職場上所需的數學智能更大幅的提升。所有的學生都需要基. 1.

(16) 礎的數學知識能力，來因應日常生活所需。更有一些學生需要更密集的使用這些數學知識，這些學生準備成為數學家，統計學家，工程師和科學家。由此可知數學不但是學校教育的重要學科，數學能力更是日常生活上或在未來職場上有利且必備的基礎。數學的學習注重循序漸進的邏輯結構，其特點就是必須使用抽象符號進行嚴密的邏輯推理。Healy 和 Hoyles(1998)認為證明是數學思維和演繹推理的核心，如果把邏輯推理從數學中排除出去，那樣的數學課程就根本不是數學學習的重要核心了。 De Villiers(1999)認為證明在數學上扮演著六個不同的角色：驗證、解釋、發現、系統化、智力的挑戰和溝通； Hanna(2000)認為數學的證明具有闡釋、溝通及確信確認的功能，更是促進數學理解的重要工具(Hanna & Jahnke, 1996)。在進入二十一世紀，世界各地皆處於高度文明化和競爭激烈的狀態下，數學知識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力(教育部，2008)。數學領域的學習及養成除了數學知識外，在數學能力培養上，演算能力、抽象能力及推論能力的培養則是整個數學教育的主軸。在國中階段證明課程的訓練可以培養學生的分析組合及邏輯推理的能力，雖然數學證明的理解與建構已成為中學數學課程學習的基本要素之一(呂鳳琳，2011)，但由於數學證明牽涉邏輯推理、概念元素間互動的複雜任務，一般學生對於數學證明論證的手法與涵義，不易掌握。 NCTM(2000)明示學校數學的課程與評鑑標準中，將學習推理與構建證明當成理解數學的一部份，認為學生在中學時期應該進入數學的檢核能力，並且去猜想推測概括綜合一切的可能，且有對猜想推測做評價的觀點。學生在中學時期經由非正式的程序學習點、線、面及二維和三維等各種圖形的幾何基礎知識，在中學階段幾何課程建議，學生藉由繪圖、測量、視覺、比較、轉化等來探討幾何形體間的關係，幾何形體提供了，豐富的背景材料來發展數學的推理，其中包括歸納和演繹推理，並制定和驗證猜想幾何形體的分類及定義。台灣九七課綱在國中數學學習. 2.

(17) 領域課程內容中，證明的學習多數編列在幾何課程內，幾何教學的目標，首要在於提供學生日後有用的核心幾何知識，其次是提供豐富的背景，可以展示數學推理證明的過程與威力，而推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一。國中的幾何學習，乃由直觀、歸納轉入幾何推理與證明(教育部，2008)。 Cheng 和 Lin (2007)研究國三學生學習幾何證明的結果顯示，學習過幾何證明的國三學生有三分之一無法寫出幾何證明，有三分之一的學生所寫出的幾何證明是不完整的，對國中生而言，學習幾何證明課程是相當複雜且困難的任務；陳創義(2003)在數學課程教學中，在國三時三角形的認知發展及在幾何證明上，對嚴密性的論證要求及非典型範例明顯增加，但國中學生在於對有關幾何形狀敘述中的邏輯語詞以及性質的描述，到了國中三年級時能夠瞭解清楚的不到五分之一；Senk(1985)的研究提出，研修過一年幾何證明課程的學生，有 25%的學生沒有能力寫出幾何證明過程，有 29%的學生無法寫出一個有效的證明例題，而只有 30% 的學生可以達到 75%的熟練度。許多學生只擁有片段及散亂的知識，對於證明的意義、方法及結構並無完整的觀點；Healy 和 Hoyles(1998, 2000) 的研究，以英格蘭威爾士九年級前 20％～25％的學生為對象，要求他們描述證明的意義，判斷並給出證明。測驗顯示超過四分之一的學生，對證明的含義或它的目的意義的了解很少，或者根本不瞭解，在構建證明項目上的平均得分最高不到一半，只能以簡單的方式進行證明的學生有 28％～56％；Recio 和 Godino(2001)將剛進大學的學生分成兩組，一組 429 人，一組 193 人，發現在 429 名學生中有大約三分之一，在 193 名學生中不到四分一的人可以對證明做兩個基本命題的證明 (如兩個連續自然數的平方差等於奇數且為兩個連續自然數的和，兩相鄰補角之角平分線會互相垂直) 。由上述研究發現，對台灣及國外的學生而言，在證明或幾何證明的學習成效並不理想。在國中的數學課程中，幾何課程往往是讓學生感到卻步的單元，即. 3.

(18) 使在國中的數學課程內容上，幾何相關課程題材不斷在減少及簡單化的情況下，在學生的數學能力中，幾何直觀恐怕也是最弱的一環(趙文敏， 1992)。多年在現場教學的接觸，因為考試制度的不斷變革，學生在學習幾何和幾何證明課程中，都習慣以背誦公式的方式，強記論證定理來應付考試。縱然考試能如其所願得到高分，但上了高中之後或在以後相關的課程中就難以應付。而且在考試引導教學的氛圍下，九年一貫課程實施後，國中基本學力測驗考試都是考選擇題，不考非選題。考試不考，學生的學習動機自然降低。況且幾何證明又是很難讓學生及時理解，教師能及時感受到學生回饋的課程，也是最沒有學習成效的課程單元 (王郁華，1996)。呂鳳琳(2010)指出幾何證明經常被用來作為引導國中學生學習數學證明的基礎入門課程，然而在國中的幾何證明題，幾何圖形內蘊含著豐富的多種的資料及訊息，除了提供學習者直觀的察覺，也常會因為圖形的複雜，造成學生在解讀圖形上產生困難。因此，在幾何的教學上常常需要先幫助學生掌握在幾何圖形中所蘊含的脈絡、圖形間的關聯性、訊息，即已知條件間的對應關聯性、全等性質或相似性質，而幾何教學往往比算術演算或基本代數教學，來得複雜且不易成功的原因即在於此。幾何證明是把幾何基礎定義與推理論證合併融會貫通，學生在幾何基礎定義上已是模糊不清，再加上須對圖形作演繹推理論證，對學生們而言，無異是難上加難，相對的對教師們而言，在教學上是有難以突破的困境。陳琪瑤、吳昭榮(2012)，以31位學習過但已不熟悉幾何證明的大學生為受試者，用四道國中的幾何證明教材，在附圖上著色操弄，蒐集他們在閱讀幾何證明時的眼動資料，隨即進行紙筆回憶測驗。結果發現：有一半的受試者落在圖區的凝視時間較文字區長，顯示幾何證明的閱讀相當依賴圖形的解讀。圖示也提供閱讀者憶取幾何圖形間的相關性質，有助於閱讀者在進行論證時的連結，由此顯示讀圖的方式對於幾何證明教學是有其助力。. 4.

(19) 在數學的學習範疇中，證明佔有重要的核心地位，證明能力的提升有助於邏輯推理能力及系統化能力的強化，不僅是在數學能力上的提升外，更可有助於學生對事情分析、推理能力的加強。在我國數學課程的學習編排上，在國中階段證明課程的學習，多數編列在幾何證明課程中，由上述的研究發現，圖形解讀的困難、對圖形相關性質的關聯性、已知條件與待證明結果的混淆等，可能是學生在幾何證明學習上成效不佳的原因。因此研究者希望設計一幾何證明教學教材，利用電子白板作為教學的主要工具，透過電腦輔助教學，以電腦科技的呈現經由拆解圖形、用不同顏色標記顯示相同或相等條件的過程，來降低學生的認知負荷，讓學生明瞭圖形間的關聯性，進而能清楚圖形中的各種關聯性，瞭解各種圖形基本性質進而相信定理，建立知識，由直觀歸納後能牢記在心，熟悉明瞭定理、公理進而歸納整理寫出簡短明確的證明過程。圖形拆解的呈現讓學生因視覺化的效果，瞭解圖形之間的基礎定義，因瞭解而有能力，做有效的推理演繹證明。. 第二節. 研究目的. 根據上述，研究者希望達成下列的研究目的：一、探討融入電子白板於幾何證明教學的歷程與教學中學生的表現。二、探討融入電子白板於幾何證明教學後，對學生在幾何證明單元學習表現的影響。藉由上列研究目的，來探討電子白板的使用能否對學生在幾何證明的能力中，對於三角形全等證明、相似證明及全等相似應用證明的能力及幾何證明正式條列式證明能力的表現上有無幫助及提升？此外，希望透過使用電子白板的方式教授幾何證明，研究者以課本為參考指標設計教材上課，藉由與學生互動及學生的反應修改教材來提升學生學習成效，並透過反思與檢討促進教師專業發展。. 5.

(20) 第三節. 名詞解釋. 一、電子白板一種透過電腦週邊界面來連接投影機和電腦的輸入與輸出裝置，部份可以顯示投影器投影的影像。電子白板在本質上為絕對座標的電腦輸入裝置，如同一部大尺寸的數位繪圖板，可將使用者於白板表面所書寫的筆跡的座標值及點選狀態持續地傳送到電腦上，電子白板由於只是座標輸入的裝置，故需要連接到電腦上，並透過電腦所連接的投影機，把電腦螢幕的畫面再投射回到白板上，當投影機投射畫面回白板時，一般須先經過校準的程序，才能將使用者的筆跡與電子白板的書寫點作準確地連結，搭配專用的筆，讓使用者可以直接用筆寫在電子白板表面上。一般來說，電子白板在使用之前，都會先把其驅動程式安裝在相連結的電腦上，使白板可以充當電腦的人性化輸入裝置有別於一般傳統黑板或白板教學，運用單槍投影機、電腦及感應定位裝置，藉由投影出來畫面，進行書寫及教學過程，稱之為電子白板教學。此種教學方式教師不需再抄寫題目及擦黑板，也跟投影布幕有所區別。有些地區的學校已經將電子白板和學生的電子書包聯合起來。研究者所使用的為 Mimio 互動式電子白板，軟體操作系統為供應商所提供之操作軟體Ｍ imio Studio，只要將Mimio互動電子白板置於白板上，再與電腦連接，就可以將在白板上書寫文字、繪圖、上顏色。資料可透過數位處理，完整記錄過程，並且儲存及列印。二、幾何證明幾何證明是將『已知條件』及『已知為正確的幾何性質』，來推導出待證的結論，這樣的過程稱為『幾何證明』。證明過程中，除了已教過的性質和定義及已知條件可利用外，沒教過的不可引用(教育部，2008)。. 6.

(21) 第二章. 文獻探討. 依前述研究目的，為提升學生在幾何證明上的學習成效，需先對幾何證明在數學的學習上扮演著什麼樣的角色及功用有所了解，及使用拆解圖形方式與電子白板的搭配對學生的學習有何益處，因此研究者將分成三節：一、幾何證明的角色與功用及相關性質，二、幾何學習相關理論，三、電子白板在數學教育上的應用等來討論。. 第一節. 幾何證明的角色與功用及相關性質. 壹、幾何證明課程編排依我國九年一貫數學學習領域課綱，將數學教學幾何部份訂定之目標如下(教育部，2008)：第一階段：國小一至二年級，簡單圖形的認識。第二階段：國小三至四年級，慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能以操作認識幾何圖形的性質。第三階段：國小五至六年級，能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算。第四階段：國中一至三年級，幾何方面要學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推理。國小一、二年級，學習幾何時，因簡單的圖形幾乎都是一般日常生活中能理解且有視覺化的實體，在學習上並無困難，且會因為與實際生活情境相關，在學習上會較有學習興趣。國小三至四年級學生對於認識邊角幾何圖形的能力上，只有少數學生無法理解，大部分學生都能清楚理解，在國小四年級對圖形的展開及翻轉能力上，二維圖形優於三維圖形(魏春蓮、陳光勳，2005)。國小五及六年級的學生在平面圖形面積的. 7.

(22) 計算理解上，有許多的學生對於面積的知識(例如遇到非例行性的三角形的底與高之間的關係定義，並不太清楚與明瞭)，及面積的測量產生不正確的概念，(吳德邦、馬秀蘭、朱芳謀、簡秀儀，1997；許嵐婷，2002；謝貞秀、張英傑，2003；譚寧君，1998)。在立體圖形的體積與表面積的計算展開上就有更多學生在學習成效上產生較大差異。在基本的正方體與長方體的體積與表面積計算上，大致上對學生來說是簡單可以融入的課程，但在其它有變換的立體圖形上(例如八角柱、底面為多邊形之柱體)，有些學生能輕鬆且輕易的作任何立體圖形之翻轉及展開，但對某部份學生而言是難以吸收理解。許多的學生在多邊形的基礎定理上(例如：正方形、長方形、菱形、平行四邊形之定義及對角線性質)就已經產生模糊不清的觀念，到國中二年級簡單幾何平面圖形─生活中的立體圖形，就開始產生許多的學習困難，緊接著三角形的全等證明、三角形邊角關係、相似三角形、圓形，到了第五冊第三章幾何證明─三角形三心，整個一貫下來幾乎讓部份學生對學習數學的興趣瓦解。學生到了國中後，幾何證明課程對學生們來說是難以理解融入且容易產生認知負荷的課程，甚至有些學生因而對數學產生恐懼進而排斥數學。在目前現行的九七課程綱要中，幾何證明編列於國中三年級第五冊第三章第一節，課程能力指標：S-4-19，能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。(A-4-20). 貳、幾何證明角色與功用證明在數學上的重要性是無庸置疑的，證明有一些重要的特性：” 證明 ”－數學家給出相對精確的論證。主觀的解釋：證明是建立在一個人或一群人共同認可的真相上。證明活動的建構須建立在對定理定義有清楚理解上，否則”證明”或”正式的論證”這些術語會被主觀的使用。每個人對於證明的意義、作用、建構、驗證的方式會因學習的過程方. 8.

(23) 式不同而有不同的解題策略。證明的學習要從學生已知的觀念上建構新的知識，因此確認學生基礎能力是教師在教學前相當重要的任務，教學的過程中教師則須致力於了解學生的學習困難，協助學生釐清迷思概念(Harel & Sowder, 2007)。 De Villiers(1999)認為數學證明有六個並不相互排斥的角色：驗證(verification)、解說(explanation)、發現探索(discovery)、系統化 (systematization)、智力挑戰(intellectual challenge)、溝通(communication)，智力挑戰描述的是在證明策略的建構。 (一) 驗證(verification)：是指一種證明的手段，以檢核一個按照預定的邏輯順序和公理證明策略的規則，設定斷論的真理證明。 (二) 解說(explanation)：是另一種不同於驗證的檢核方式，數學家知道只有一個正確的說法，通常是不足以解釋不同的論證，用以補足正確說法的解釋。 (三) 發現探索(discovery)：是在透過證明的過程，可能會發現新的結論的情況。人們可能會發現反例的說法，這反例會導致增加必要的限制，將消除反例使斷論更加完善。 (四) 系統化(systematization)：是指有組織的形式，每個結果是來自先前建立的結果、定義、公理、和主要條件按順序提出驗證。 (五) 溝通(communication)：是指社會互動的含義，有效地生產證明所提供的數學知識的重要性。可視為兩個定義證明的流程：確定和說服溝通。 (六) 智力的挑戰(intellectual challenge)：是指心理狀態的自我實現和履行，源自於構建一個證明。. 參、幾何證明相關性質依據課程內容，幾何證明的相關性質有三角形 ASA、SAS、AAS、 SSS、RHS 等五個全等性質，及 AA、SAS、SSS 三個三角形相似性質。. 9.

(24) 三角形的五個全等性質是建立在，利用尺規作圖方式僅能做出唯一的一個三角形。亦即當使用相同的條件利用尺規作圖，且作法正確無誤，則每個人做出的三角形必定都相同。為了方便說明全等時三角形的邊和角的對應相等關係，會以英文字母代替。「S」代表邊(Side)，「A」代表角(Angle)，「R」代表直角(Right Angle)，「H」代表斜邊(Hypotenuse)。三角形的全等及相似相關性質說明列於附件一。. 第二節. 幾何學習相關理論. 壹、幾何學習認知過程：在幾何知識的學習，Duval (1998)認為應有三種認知過程，分別是： 1. 視覺過程（visualization）：對於圖形空間的表徵的認知，可能只是單純表象圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可以是根據文字敘述所繪製的圖形。 2. 構圖過程（construction）：學生在製作圖形的過程中，對發現圖形中的幾何意義有幫助。而視覺過程和構圖過程是交互作用的，透過彼此互相了解輔助認知。 3. 推理過程（reasoning）：進行論說的過程，例如說明、證明等。 Duval(1995)認為人類對幾何圖形的認知理解可分成四種。 (1) 知覺性理解(perceptual apprehension)：當看到圖形時，就能直接辨識圖形物件的性質特徵與圖形關係。 (2) 序列性理解(sequential apprehension)：在建構或描述圖形結構時，依次逐步做出基本單元來組合整個圖形，在描述圖形結構時，利用數學性質將圖形物件間關係連結的陳述順序。. 10.

(25) (3) 論述性理解(discursive apprehension)：能夠說出一個幾何圖形基本概念的名稱、假設、及對已知條件的瞭解。 (4) 操作性理解(operative apprehension)：對幾何圖形進行分解組合、放大縮小、平移旋轉等操作，透過對圖形或心智圖像的操作，凸顯出圖形的變化，而獲得解題或論證的靈感。. 貳、Van Hiele 幾何思考層次及學習階段： Van Hiele(1986)幾何學習思考包含五個了解層次，分別是視覺化（Visualization），分析（Analysis），非形式歸納（Informal Deduction），形式歸納（Formal Deduction）以及嚴密性（Rigor），分別描述其思考特徵，這個模式主張，學習者經由適當的教導及學習經驗能從最基本的視覺層次階段，而最後可到達最高的嚴密性層次階段，而最高的嚴密性層次階段中包含了抽象的思考與歸納，而很少學生能到達這個層次，下面來介紹各個層次的要點：幾何基本層次(Level 0)：視覺化（Visualization）一個孩子能判斷出長方形和正方形是不同的，當一個人告訴一個六歲的小孩，什麼是菱形，什麼是長方形，什麼是正方形，什麼是平行四邊形，他就有能力在 Gattagno 的幾何板上毫無困難的重現這些圖形。在這基礎的層次裡小孩無法從菱形中辨認出平行四邊形，在此層次中對小孩而言菱形與平行四邊形是完全不同的東西。幾何第一層次 (Level 1)：分析（Analysis）圖形的外形就表示他的一切屬性。一個長方形就是有四個直角、對角線等長、對邊相等。圖形是根據性質被辨認出來的。若有一個人在黑板上畫一個圖形有四個直角，即使畫得很醜我們還是知道它是一個長方形。但是在此層次中它的性質還不夠有條理，所以小孩無法將正方形定義為長方形的一種。特性與特性之間的關係則不是這一層次的學生所能了解的了，圖形與圖形間的內在關係也不易被看到，定義也不是容易了. 11.

(26) 解的。幾何第二層次 (Level 2)：非形式歸納（Informal Deduction）性質是有條理順序的，它們能夠從其他性質中推導出性質，可根據一個性質往前或往後推導出其他性質。學生在這思考層次的中無法瞭解演繹推論的本質意義，在這個層次中正方形可以被辨認成長方形是因為圖形的定義開始發揮作用。學生能建立圖形屬性的內在關係（例如一個四邊形（quadrilateral）如果相對的邊互相平行，則相對的角一定相等。即平行四邊形對邊互相平行，則對角相等鄰角互補。）又如正方形是長方形的一種（因為正方形滿足長方形的特性），因此，他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認圖的分類，所以圖形性質的分類也能夠了解，因而定義才會是有意義的，非形式的爭議才能被了解。然而，這個層次的學生不太能了解歸納的整體定義或公設的角色，具體獲得的結論往往是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明，但是學生較看不到邏輯次序可被改變，也不能了解如何從一個不同的或不熟悉的情境中去建構或證明。幾何第三層次 (Level 3)：形式歸納（Formal Deduction）思考是關注於推論的意義、相反的定理、公理、必要條件和充分條件。在這個層次中，歸納的意義就像在一個公設系統中去建立幾何理論這件事是能被了解的。而未被定義的語彙，公設，假說，定義，定理及證明也被理解，在這個層次的人不只是記憶，而是能夠證明，而且發展一個證明的過程中，往往不只一種方法被了解，其充分或必要條件的內在關係亦能理解，正逆命題之間的差異性亦可發現。幾何第四層次 (Level 4)：嚴密性（Rigor）這個層次學習者能進行各種不同公設系統，包括非歐幾何，不同系統間的比較，同時抽象推理幾何亦能被了解。這最後的層次在最初的研究成果中發展得最少，在報告中此層次並未做太多的說明，且只有少數人可以到此思考層次，甚至有些人窮極一生也無法到達此思考層次。. 12.

(27) Van Hiele 的幾何學習階段理論，首先幾何的學習是一個不連續的過程，特點是本質上不同層次的思考，此層次的發展，從格式塔般的視覺層次，透過日益複雜的描述、分析、抽象概念、證明。其次這些層次是連續的，有著不變的層次結構。層次的進展乃取決於教學而非年齡，教學方法無法讓學生跳過某一層次，即使教師將學科教材”降低”到較低的層次(符合目前的思考層次)，仍是無法達到層次的進展，最後只導致死記硬背。第三在一個層次上若要有明確的理解且成功的發展，則他對前一層次的各項概念都要有透徹的瞭解。第四每個層次都有自己的語言，教師不知道學生的學習特點，會很容易地曲解學生的幾何思想的理解。 Van Hiele 的理論給教育工作者和研究人員提供一個模型，促進理解，重要的是在概念上的思考層次，首要強調數學的內容有著內在的聯繫以及教育心理問題，這一個模型是連接研究、實踐教學、學生的思維和學習之間的理論。Van Hiele 的幾何學習五階段：第一階段：詢問( inquiry ) 學生藉由教材的呈現來達到這個領域知識的學習，教材引導他發現去一個確信的結構。第二階段：引導學習方向 (directed orientation) 學生藉由教材來探索這個領域的知識，他知道學習的方向是經由老師的引導；當獨特的結構逐漸呈現在他面前，相關的知識資料就浮現出來。第三階段：明顯化(explicitation) 經驗的獲得取決於正確的語言符號和學生們在課堂上學習透過討論去表達他們所觀察到的結構，老師只需注意這些討論所使用的習慣術語。第四階段：自由探索( free orientation ) 這領域學習研究的方向大多是學生所知道的，但學生仍須能迅速地找到他的方式，以不同的方式來完成給予的任務。. 13.

(28) 第五階段：整合( integration) 學生調整自己，且學生必須能夠學到概覽所有他使用的方法，因此他試著去濃縮思考所有他探索過的全部領域。在這一點上老師可提供整體的概論來幫助這項工作，重點是這些概論無法呈現任何新的東西給學生，他只是總結一些學生已經知道的東西。在結束這五個階段之後，學生到達一個新的思考層次，在新的思考領域他獲得自己的直觀知識，也取代了舊有的思考領域有一個完全不同的直覺。由 Duval 幾何的學習認知過程與認知理解理解，可以了解學生對幾何的學習，需先有圖形的視覺認知，有了基本的視覺表象認知後，產生知覺性的理解。再輔以分解描述圖形，有了描述構圖的過程，讓學生經由構圖的過程對圖形能有序列性的理解。透過分割拆解圖形的過程，學生對幾何圖形的已知條件間能有關連性的理解，進而整合已知條件，達到論述性的理解，再經由教師說明進行論證，在推理的過程中進而進行論述證明。依Duval所提出之認知過程與認知理論，於教學中以電腦動態呈現，學生於視覺過程中洞察幾何意義，透過教師於教學中使用電子白板展示圖形拆解，把全等三角形拉出的過程，讓學生清楚知道圖形中內涵的全等或相似三角形，因有明確的圖形，自然而然的降低學生於學習幾何課程的認知負荷，瞭解幾何定義加上學生於學習拆解圖形的過程中，視覺與拆解圖交互作用加深學生對幾何的瞭解，進而能進行說明論說，完成正式的幾何論證。. 14.

(29) 第三節電子白板在數學教育上的應用壹、電子白板的特性及功用電子白板為一具有高度互動性的科技輔助工具，主要是利用紅外線矩陣掃描感應來定位電子白板的各部感測位置與單點觸碰的功能，硬體方面則是利用連結匯流排與電腦連線，搭配單槍投影機的使用將教學課程內容呈現在電子白板螢幕上。電子白板不僅是影像設備，也是一種輸入的設備，可以使用手指或特殊觸動感應式電子筆進行操作與書寫。電子白板同時扮演著「白板」與「電腦螢幕」雙重的角色，教師透過手指或是特殊的筆接觸電子白板之面板，可以在電子白板上書寫任何的文字、繪圖、圖畫顏色，甚至可將教師上課內容等影音資料，透過數位處理記錄完整的過程，並且儲存及列印，更可以透過網際網路，與其他電腦網路分享創意或操作各種程式，此外電子白板亦具有註解的功能，能將電子白板上呈現的資料轉存至電腦中（Smith et al.,2005； Somyurek， Atasoy， & Ozdemir，2009），此種特殊功能可將教師上課內容資料儲存，轉換成課程筆記，累積後可形成完整的教學筆記，方便學生複習及進行補救教學。隨著資訊科技的進步，應用電子白板於所建置的 E 化學習環境，已逐漸在國小教室中普及(教育部，2007)。資訊科技應用於教學已是國內外未來的趨勢(王全世，2000)，教育部中小學資訊教育白皮書 2008-2011 中提到全國中小學教務主任們覺得目前學校最需要的資訊設備是單槍投影機，應針對單槍投影機、無線網路、電子白板等資訊設備規劃適合中小學一般教室教學使用(教育部，2008)。補習班因時間因素上的需求，家長要求須於有限的時間內做最有效的教學，將電子白板應用於教學無異是一項有競爭力的教學輔助工具。 Clements 和 Battista（1992）則建議適當的使用電腦軟體來輔助幾何的學習；相關研究證實電腦輔助教學，可以引起學生的學習動機、刺激. 15.

(30) 學生的腦力思考，增進學生的學習效果，使得班級學生的學習氣氛更為活潑、輕鬆、無壓力，師生間的互動更為熱絡融洽（曾錦達，1985；郭文金，1999；魏春蓮，2006）；有些研究更指出，學生因為對電腦輔助教學有濃厚的興趣，進而對該學科的學習態度變得更積極正向（戴錦秀， 2002；吳鳳萍，2002）。電子白板具有繪圖書寫及螢幕等多重功能，教師於教學時可多次重複課程內容，在幾何的部份可將圖形重複建構、拆解、組合、分解，將整個構圖過程完整呈現，提供完整的視覺效果，提高學生的學習動機及成效。對於幾何的教學，在圖形的拆解與組合上更是有大大的幫助。將電子白板使用在教學上，更具彈性與變通性，也有助於引發學生的注意力以及對於概念的理解。國內外有許多研究電子白板系統導入教學對學生的學習成效有正面的效益(劉正山，2008)，且於數學領域亦可獲得較佳的學習成效(高俊豐，2009)。. 貳、電子白板在教學上的應用教育部推行 E 化教學，在教學上已有許多的課程都已有使用電子白板，在坊間及市面上也有許多相關的教學軟體及教材，提供教師在教學上使用。無論在數學、國文、英文、社會、自然等各個學科上也都已有廣泛的使用，且都有良好的學習成效。各相關研究及成效整理如下：一、數學學科領域之應用研究者. 研究對象國小. 高俊豐. 六年級. (2009). 研究主題以合作學習應用互動式電子白板在國小高年級數學縮圖與比例尺之效研究 1. 結合互動式電子白板與合作學習策. 研究結果略，能提升學生數學學習的成效及學. 16.

(31) 習態度，增加學生對數學的學習信心。 2. 對低就學生而言，結合互動式電子白板與合作的學習策略，顯著優於傳統式合作學習策略。 3. 學生對於使用互動式電子白板的教學方式，在學生對數學學習及態度的幫助上，持正面肯定的態度。國小. 互動式電子白板運用於數學教學之行動. 三年級. 研究-以「數與量」及「幾何」概念為例 1. 在「數與量」及「幾何」概念方面，學習成效表現，實驗組優於控制組。. 李曉萍. 2. 使用互動式電子白板，在「數與量」. (2010). 概念方面，較能提升高成就與低成就研究結果. 學生的學習成效。在「幾何」概念方面對低成就學生較有幫助。 3. 運用互動式電子白板進行教學，可以有效降低學生「數學學習焦慮」，並可提升學生的數學學習態度及表現。. 國小五年級. 互動式電子白板融入數學領域對高年級學生學習動機與成效之研究 1. 接受互動式電子白板之學生的學習表. 陳彥君. 現及學習動機優於對照組學生。. (2010) 研究結果. 2. 接受互動式電子白板之學生的學習成就測驗及延宕測驗表現皆優於對照組學生。. 17.

(32) 3. 學生對使用互動式電子白板融入數學領域的教學給予正面肯定。國中一年級李昆霖. 應用電子白板教學在七年級學生數學學習之研究－以一元一次方程式為例 1. 使用互動式電子白板為教學媒介，有. (2011). 助於學生學習後的分析能力。研究結果 2. 使用互動式電子白板為教學媒介，對數學學習自我認知態度有正向幫助。國中三年級. 運用互動式電子白板對國三學生數學學習成效之研究－以相似形單元為例 1. 接受資訊融入運用電子白板輔助教學的學生後測成績，高於接受傳統講述式教學的學生。 2. 經檢定後發現資訊融入運用電子白板. 王源豐. 輔助教學的方式對高成就學生的學習. (2012). 成效並無顯著提升。但對中、低成就研究結果的學生學習表現有顯著的提升。 3. 資訊融入運用電子白板輔助教學對學生的學習態度具有正面效果。 4. 接受資訊融入運用電子白板輔助教學的學生延宕測驗成績，高於接受傳統講述式教學的學生。. 二、國文、英文、社會、自然學科領域之應用研究者. 研究對象. 研究主題. 18.

(33) 國小. 互動式電子白板融入國語文句型教學對. 二年級. 國小二年級學生學習成就與態度之影響. 黃意評互動式電子白板融入句型教學有助於營. (2013) 研究結果. 造輕鬆的課堂學習氣氛，可降低學習造句的壓力。互動式電子白板融入英語補救教學方案. 國小對提升國小六年級學童英語學習態度及六年級王欣怡. 學習成效之行動研究. (2010). 互動式電子白板融入英語補救教學能改研究結果. 善學生的英語學習態度，並提升英語學習成效。. 國小六年級. 互動式電子白板應用於國小六年級社會領域學生學習動機與成效之研究 1. 使用互動式電子白板融入教學的學生在社會領域上的學習成效，顯著優於傳統講述教學。. 楊易霖. 2. 使用互動式電子白板融入教學的學生. (2010) 研究結果. 在社會領域上的延宕測驗，顯著優於傳統講述教學。 3. 使用互動式電子白板融入教學的學生在社會領域上的學習動機，顯著優於傳統講述教學。. 羅芸慧. 國小. (2010). 五年級. 使用互動式電子白板進行自然科探究教學對國小學生之學習成就的影響. 19.

(34) 1. 教師以互動式電子白板融入探究教學方式進行教學之學童，在自然學習成效後測的成績，顯著高於控制組學生。研究結果. 2. 實驗組學生對於互動式電子白板融入自然科探究教學方式持肯定態度，能增加學習效果，並提升對自然得學習興趣。. 由上列研究發現，電子白板融入教學的方式，對提升學生的學習興趣有顯著的幫助。在數學領域上，因電子白板可提供多重表徵，多樣化的學習方式，可幫助學生理解題目，能快速的找出解題關鍵，在學習成就的表現上也相對的優於傳統式教學。故使用電子白板融入數學教學，對學生的學習動機及學習興趣以及學習表現皆高於傳統的學習方式。. 參、電子白板對幾何教學的幫助在幾何課程的學習上，學生常因對圖形所要表示的概念及所要呈現的訊息不瞭解，而產生學習困難及學習興趣缺缺。電子白板融入幾何課程的教學，可以將圖形所要提供的概念訊息，透過繪圖、塗上顏色、構圖、拆解圖形、重組圖形等方式，幫助學生找到解題關鍵，降低學生的學習困難。電子白板具有螢幕及黑板雙重功能，教師可不斷重製圖形，讓學生不斷重複複習，了解迷思及錯誤概念，達到良好的學習成效。在相關課程的研究中有，王源豐(2012)以互動式電子白板融入國三數學三角形相似單元之教學，以康軒版數學第五冊第一章課本為教材，康軒電子書籍及 Flash 互動教學教材為教學媒介。李欣霓(2012)以互動式電子白板融入國三數學圓單元之教學，以康軒版數學第五冊第二章課本為教材，康軒電子書籍及 Flash 互動教學教材為教學媒介。兩位學者的研究中發現電子白板融入幾何相關課程的教學有助於提升學生學習興趣。在資訊融入幾何證明的教學研究中，多位學者(陳勇全、劉耀鴻、張文. 20.

(35) 獻、黃俊瑋)以電腦輔助教學(Computer Assist Instruction CAI) 的方式，使用 GSP (The Gemometer’s Sketchpad)及幾何專家(Geometry Expert) 等幾何數位學習系統，建構幾何數位學習環境，在幾何課程中以動態方式輔助幾何證明的學習，學生可經由「幾何證明視覺化學習系統」自行繪製出想要的幾何圖形，操弄幾何圖形，並可藉由輔助學習系統找出定理的證明樹，了解證明步驟，了解每一幾何圖形的組合要件、性質與定理的意義。在過去及相關的研究中，未發現有以電子白板融入幾何證明的教學研究，故研究者自行編寫教材以電子白板為教學工具。藉由電子白板的特殊功能，來提升學生幾何證明的學習表現。. 21.

(36) 22.

(37) 第三章. 研究方法. 因多年來的現場教學經驗，發現學生在數學證明方面的相關課題上，會有很多的迷惑及困難，除了證明的定義及證明條列順序如何呈現外，在幾何圖形上更難以判斷圖形間的關聯性為何？或常常將待證明之結果，拿來當已知條件等。研究者希望透過電子白板的多樣呈現能讓學生可看清楚同一平面之圖形有多少個相似或全等的圖形，藉由證明得到相關的幾何圖形性質。在幾何證明課程的教授過程，教師在教學時會花較多的時間來繪製圖形，有時因圖形複雜或重疊，學生難以由此複雜圖形中解構，若能透過電子白板的使用，不但可以節省繪製圖形的時間，且可以將圖形拆解方便學生閱讀，讓教師有更多的時間與學生做溝通互動，在課堂上能有較好的教學成效。因此研究者藉由設計一幾何證明教學教材教案，以電子白板作為上課工具，採行動研究法來探討對學生在幾何證明學習表現的影響，並從學生的反應中來修正教材與教學的實施，作教案教材修改與教師教學反思。. 第一節. 研究方法. 壹、行動研究行動研究(action research) 是由教師研究者在教學環境中，所執行的系統性探索，蒐集他們的教學實況、學生的學習效果，以蒐集得的資料發展反思性實務，使教學行動朝向正向變革(蔡美華、王文科，2008)，以改進學生的學習成效及促進教師的教學專業發展。行動研究的過程是實務工作者(即研究者)，針對工作場所所遭遇的問題進行研究，並結合專家及同儕的力量，採取有計畫的行動來解決實際所遭遇的問題。發展一套改變現狀或解決問題為主的行動策略，並記錄評估該行動策略的實. 23.

(38) 施歷程及實施成效(吳明隆，2001)。行動研究主要是針對問題來提出一個解決方法，研究者發現學生在幾何證明的學習上，出現很大學習的困難，因此研究者採用行動研究法來實施。且研究者從文獻的閱讀上知道，以視覺化的學習，及在圖形上著色以電子白板呈現方式，有助於學生在幾何證明上的學習成效，結合視覺化與圖形的拆解方式，研究者設計一幾何證明教學教材，來改善學生的學習成效。在本質上本研究符合行動研究法的精神，根據問題提出解決方案，不斷在實施的過程中，修改行動方案，檢視學習成效，再修改行動方案。. 貳、行動研究的學理基礎行動研究的兩個主要理論：批判 (或理論本位) 取向行動研究和實用性行動研究。批判取向行動研究(critical action research)：行動研究是參與的和民主的，是反應在社會的脈絡中，教師研究者要將每天檢查其所執行的專業實務視為理所當然，透過行動研究獲得知識，能解放學生和教師，提升學習及教學(蔡美華、王文科，2008 )。Marx 認為批判取向的行動研究，強調意識形態的解放與行動上的修改重建，教育工作者可以對意識形態的牽制提出批判，經由反思與修正後建立一個有效的教學方式。Carr 和 Kemmis 是批判教育行動研究的二位主要倡導擁護者。他們主張行動研究，是由實務工作者在社會情境中，所採取的一種自我反省的探究形式。它的目的是想要改善實務工作者實務工作的合理性和公平正義、實務工作者對這些實務的理解，以及這些實務是在何種情境下產生的(Carr ＆ Kemmis 1986)。實用性行動研究 (practical action research) 較著重「如何去」探討行動研究的過程，教師研究者擁有做決定的權威，專致於持續性的專業發展，使用系統化的方法反思他們的教學實務，研究者選擇焦點領域，決定蒐集資料的策略、分析與解釋資料，並設計行動計畫(蔡美華、王文科， 2008)。. 24.

(39) 不論是批判取向的行動研究或是實用行動研究都是個人式的，以解決問題為主要目的，研究者為提升自我教學專業及學生學習成效，以行動研究方法來探究自己的教學成長，以實用性的取向探討反省自己的教學，了解課程實施的優缺點，尋找出適合學生的課程教材。研究者以相關文獻的報告及蒐集學生的學習迷思類型，分析學生的學習困難，以實際行動設計教學教材，以期課程的實施能達到較好的學習成效。本研究主要採用實用取向來分析研究者的教學及教案設計之適切性，以作為研究者教學的省思及修正，以期能較好的教學成效。. 第二節. 研究架構與流程. 本研究採用行動研究法，研究實施參與者為國中三年級學生，學生在國中二年級下學期已學過相關的幾何課程：三角形的全等性質、三角形邊角關係、三角形的全等證明。研究者先瞭解學生對幾何數學課程的喜好及幾何相關性質的了解後，實施前測確認學生對幾何相關性質的理解程度及相關的先備知識是否充足，確認相關問題後實行研究計畫。課程實施期間針對學生提出之問題修改教材，並於課程實施後，對參與研究之學生做認知後測卷以了解學生之學習成效。. 壹、研究架構幾何證明對許多學生來說是學習數學課程的夢魘之一，學生對幾何性質的理解，常常是模糊不清，只要看到直角就直接寫 RHS 全等，看到兩個角和一個邊就猜 ASA 全等或不然就是 AAS 全等，對於幾何性質的了解根本不清楚，有時甚至無法以直觀方式看出圖形中有關聯性的三角形，研究者設計以顏色標示已知條件，讓學生可以直接由明顯的顏色標示看出圖形中有關聯性的三角形，再藉由把相關的三角形或圖形拆解拉出，看到圖形後先用圖視把證明論述一次，接著再將完整的幾何證明論證書寫完成。也有一些學生只知哪兩個圖形全等或相似，但無法寫出完整的幾何證明，希望藉由對圖形的了解後，學生學習有效的幾何證明論. 25.

(40) 述，寫出完整的幾何證明。藉由電子白板作為上課輔助工具，課程實施過程中，探討教材設計實施是否合適？對學生的學習成效是否有提升？實施過程中一邊修改教材缺失，反思在實施的過程中，教師與學生的互動及教材是否有達成應有的學習成效，藉由反思修改教材。研究設計架構如圖 3-1。. 研究相關理論基礎 1. 學生幾何證明學習成效與迷思概念 2. 課程內容相關能力指標 3. 電子白板使用的成效. 幾何圖形拆解. 電子白板. 反思進行實際教學. 研究結果與討論提升國三學生幾何證明學習表現. 情意. 認知. 圖 3-1 研究流程架構圖. 26. 修正. 幾何證明教學行動方案.

(41) 貳、研究流程本研究分成三階段進行，研究流程分別為研究準備階段、課程實施階段、課程實施後分析階段。研究流程圖，如圖 3-2。. 圖 3-2. 研究流程圖. 27.

(42) 一、研究準備階段一般學生於國中二年級數學第四冊第三章三角形的全等性質與應用及三角形邊角關係中，只有將基本性質記下並未做過完整的論證，評量習作都是填空式方式來協助學生學習幾何論證，月考試卷也極少出現完整論證式試題，所以多數的學生到第五冊時，無法完整的寫出有效的幾何論證。研究者蒐集整理學生錯誤題型、迷思的概念及無法理解性質觀念關聯性，閱讀相關文獻及資料分析整理後，發現學生常將待證之結論拿來當已知條件，且有許多的學生無法從圖形中將要證明的兩個全等或相似三角形找出，對於論證時所用的性質是根據之前學習的先備觀念去做猜測，看到有角有邊就開始猜測是 AAS、ASA、SAS 全等，只要看到直角就是 RHS 全等，對於這些圖形間真正的關聯性並不明瞭，研究者針對以上的問題確認研究領域，教學教材以第五冊第三章第一節幾何證明為主要的教學範圍，設計一個以電子白板為教學輔助工具的教材。研究者確定研究主題後擬定研究計畫，研究計劃分三階段實施：第一階段分析課程內容，了解課程內容及相關能力指標，規劃教學教案之課程內容，確認教案撰寫之相關應用軟體，撰寫教學教材。第二階段課程實施，確認參與研究之相關人員及研究所需之設備、課程實施日期及節數，第三階段分析及整理資料。教學教案內容依照，康軒版第五冊第三章第一節為參考範例設計，範圍涵蓋三角形之全等與相似證明及其他幾何證明應用，教學設計以拆解圖形及將已知條件塗上顏色的方式，讓學生先以圖像理解的方式先證明一次，後再以完整條列式證明做一次演繹推理證明。初期規劃老師講解之例題十四題，搭配十四題練習題為學生課後練習的回家作業。依照上述題目進行教學教案設計。. 二、課程實施階段研究者於課程教材設計完成後，於研究所相關課堂上與同儕研討，. 28.

(43) 任課教授及同儕給予意見，將專家及同儕意見整合，再修正教材。研究計畫之課程實施於研究者工作之補習班，參與研究之學生為該補習班國中三年級的學生，課程實施為每週兩堂課，每週星期二及星期五上課，上課時間每堂九十分鐘，預計課程實施為六堂課，共五百四十分鐘。教學實施方式是於補習班內搭設互動式電子白板，研究者用電子白板作為上課教學工具，來實施教學。於每堂課程施實結束後，委請補習班國三班導師，協助研究者對參與研究之學生進行訪談，以了解學生對課程實施的感受及想法，詢問學生學習狀況及建議。研究者於課後依據訪談的結果及學生反應來修改教材，如圖形的呈現順序、顏色的標示是否容易明顯區分其相關性等等，於下一堂課上課前再修改一次教材。並對參與研究之學生於每堂課後施以課後測驗，研究者一可依學生的隨堂測驗表現，來評估學生的學習成效，隨時修改上課方式及教學教案。其次研究者於下課後對課堂上的教學實施做反思與課程實施錄影資料，將兩者所提供資料分析後修改教材。依上述流程實施研究至課程結束止。. 三、課程實施後分析階段研究者於課程實施後，針對研究過程中所蒐集之資料加以分析整理，並對參與研究的學生實施後測，研究者與同事及研究所同學，針對後測試卷做出評分標準，再依評分標準給分，將學生成績統計分析，以了解學生的學習成效。前測實施之目的為為了解學生對三角形全等與相似的基本定理及性質之先備知識是否完整？以做為課程時是否需為學生再做先備知識之複習的依據，資料以學生成績統計分析，再加以質性方式描述。後測資料為了解課程實施後學生的幾何證明的學習成效，研究者另對補習班其他以傳統黑板教學之班級國中三年級學生以後測卷測驗他們對此單元之學習成效，與參與研究之學生之後測成績比較，以 T 考驗分析學生的學習成效，以描述性統計分析再加以質性描述，此為認知方. 29.

(44) 面資料分析。情意方面資料分析於後測後，製作一張李克氏五點量表，請學生填寫以了解學生對此種教學方式的喜好及學習成效。. 第三節. 研究對象. 研究者因工作場域之因素，研究對象為研究者本人及研究者工作場所之高雄市某私立文理補習班之國三學生，學生共 29 名，男生 15 人，女生 14 人，選擇此班級為實施研究之對象是為方便取樣，因為此班級剛好為研究者教授之班級。參與研究之學生從國中一年級到國中二年級下學期，在校數學段考成績平均分數，約在 70 分到 90 分之間，分數在七十分到七十九分的有六人，八十到八十九分的有二十人，九十分以上有三人。學生成員來自附近三所國中，並非皆為同一學校之學生，上課認真也會積極訂正錯誤，修正錯誤觀念，但較不擅表達自我情緒，學習上雖認真但較被動，學生家庭經濟環境都屬小康以上家庭，家長經濟能力都屬中上，除了一位是父親單份薪水外，其餘皆為雙薪家庭，家長職業分布大致如下：家長為公務人員的有一人、學校老師的有一人、私人企業經理主管的有六人、中鋼員工的有一人、小企業老闆有四人、軍警人員有四人、其他為私人企業員工。家庭狀況單親的有六人、隔代教養的有一人、雙親家庭二十二人。. 第四節. 研究工具. 壹、設計教案數學課程的學習內容中，幾何證明課程單元對多數學生來說，是難以融入又不好找出解題關鍵的數學課題，每每上到此課程時，研究者都會問自己該如何進行教學，才能讓學生對幾何證明課程不再那麼排斥，研讀各相關文獻，並將多年來教學及輔導學生的經驗累積，彙整學生的. 30.

(45) 解題迷思，為改善學生的學習及自我教學成長，研究者先設計一幾何證明教學教材，以電子白板作為教學輔助工具。在幾何證明課程的論證解題過程中，幾何圖形的判別及對圖形間關聯性的解讀，在解題活動中占有重要的關鍵，若判斷錯誤或找不出其圖形間的關聯性，其解題任務將無法完成。如何幫助學生從複雜的幾何圖形中找出解題的關鍵與訊息，是教師於教學過程中相當重要的任務。 Duval(1998)認為一個圖形的操作理解方式是啟發思考的關鍵，必須透過教學引導學習。研究者希望學生能藉由對圖形的理解來提升學生解題的靈感，研究者利用將已知條件用相同顏色標示，增加學生對圖形中論述性理解，後再將相似或全等圖形拉出拆解的方式，透過對圖形的操作凸顯圖形間的關係，加強學生論證的能力，用電子白板作為教學輔助工具來設計教學教案。教學教案設計過程中，研究者與同儕進行討論修改，並於研究所上課課堂上請授課教授及同學指導給予意見，且針對教學實施及步驟進行探討，幫助研究者將教學流程及教學步驟導正，使其為以學生能真正理解的教學導向。初期規劃本為例題十四題，研究者為加強學生對應用題之解題能力的提升，所以在老師講解之例題部分加入七題應用證明題，故教案之教材分成老師講解之例題二十一題，與學生課後回家練習之演練題十四題，下列將教案內容所涵蓋題型做一表格統合整理。整理如表 3-1，表 3-1 之內容詳細說明如後：表 3-1 教案教材題型整理表使用之相關性質. 教案題目. 一次證明或兩次證明. ASA 全等. 例題 1、例題 3. 一次證明. 多種證明方法. AAS 全等. 例題 1、例題 3 練習 3、練習 7. 一次證明. 多種證明方法. AAS 全等. 例題 17. 一次證明. 單一證明方法. AAS 全等. 練習 12. 兩次證明. 單一證明方法. 31. 單一或多種證明方法.

(46) AAS 全等. 練習 5. 兩次證明. 多種證明方法. SAS 全等. 練習 9、練習 11. 一次證明. 單一證明方法. SAS 全等. 例題 5、例題 6 例題 7、例題 9 例題 12、練習 8 練習 12、練習 13 練習 14. 兩次證明. 單一證明方法. SAS 全等. 例題 8. 兩次證明. 多種證明方法. RHS 全等. 例題 2、練習 2. 一次證明. 多種證明方法. RHS 全等. 例題 5. 兩次證明. 單一證明方法. RHS 全等. 練習 5. 兩次證明. 多種證明方法. SSS 全等. 練習 1. 一次證明. 單一證明方法. SSS 全等. 練習 8、練習 14. 兩次證明. 單一證明方法. AA 相似. 例題 11、例題 20 練習 4. 一次證明. 單一證明方法. 一次證明. 多種證明方法. 例題 10、例題 18 AA 相似例題 21 AA 相似. 例題 4、例題 19 練習 10. 兩次證明. 單一證明方法. 角平分線性質. 例題 16. 一次證明. 多種證明方法. 面積和相等. 例題 14. 兩次證明. 單一證明方法. 三角形邊角關係. 例題 15. 計算應用. 一、使用之相關性質：為幾何證明中所使用的三角形的全等或相似性質包含全等性質 AAS、ASA、SAS、RHS、SSS 等五種及相似 AA 性質。二、一次證明或兩次證明： (一) 一次證明是指要完成此題目需要經過一次的推理證明程序即可得到待證之結果。 (二) 兩次證明是指要完成此題目需要經過或兩次的推理證明程序能得到待證之結果。需透過兩次演繹推理程序才可得到待證之結果，也是歸類到兩次證明。. 32.

(47) 三、單一或多種證明方法為題目的證明方式只有一種或有兩種以上不同的證明方式。以下各舉一範例說明： 1. 一次證明：. 例題 2. 已知： D 為 BC 的中點， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， DE ＝ DF 。求證：△ ABC 為等腰三角形。 Pf ：在△BDE 與△CDF 中 BD = CD，( D 為BD 中點) 𝐷𝐷 = 𝐷𝐷 (已知). �� ⊥ �� ∠BED=∠CFD=90∘(𝐷𝐷 𝐴𝐴 ， �� 𝐷𝐷 ⊥ �� 𝐴𝐴 ) ∴△BDE≅△CDF(RHS) ∠B=∠C(對應角相等) 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. 故△ABC 為等腰三角形. 2. 二次證明：(類型一). 練習 8. 已知： AD ＝ AE ， BD ＝ BE ， C 點在直線 AB 上。求證： CD ＝ CE Pf ：第一次證明 (1) AD=AE. BD=BE ， AB=AB. ∴△ABD≅△ ABE(SSS). ∠1=∠2 (對應角相等) 第二次證明 (2) AD=AE ，∠1=∠2，AC=AC. 33.

(48) ∴△ACD ≅△ACE(SAS). ∴ CD=CE (對應邊等長). 3. 二次證明：(類型二). 例題 4 已知：△ ADE 中， BC // DE 。求證： AB ： BD ＝ AC ： CE 。 Pf ：第一次證明 ∵ BC // DE. ∴∠1=∠2 ，∠3=∠4(同位角) ∴△ABC～△ADE(AA) ��：AB ��＝ �� AD AE：AC. 第二次證明 �� AD AE ＝ �� AC �� AB. 1+. BD. BD. =. AB. AB. AB+BD. ， =1+. CE. AC. AB. CE. AC. �� AB. =. AC+CE. �� AC. ， �� ＝ �� BD. 故得 AB : BD= AC: CE. CE. 4. 多種證明方法：. 例題 1. 已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求證： AC ＝ BD 。方法一 Pf ：. ∠1=∠2 (已知) 180∘－∠1=180∘－∠2 ∴∠DAB=∠CBA 在△ABD 與△BCA 中 ∠DAB=∠CBA. 34. AC.

(49) AB=AB (共用邊). ∠3=∠4 (已知). △ABD≅△BAC (ASA). 方法二 Pf ：. AC=BD (對應邊等長) ∠1=∠2 ，∠3=∠4 (已知) ∠1 =∠4＋∠D，∠2＝∠3＋∠C (外角定理) ∴∠D=∠C 在△ABD 與△BAC 中 ∠3=∠4 (已知) ∠D = ∠C AB = AB (共用邊). △ABD≅△BAC (AAS) AC=BD (對應邊等長) 四、教案內容整體說明國中階段幾何課程學習的核心概念為畢氏定理、全等、相似、對稱，並且能將它們應用於常見的幾何圖形。如三角形、四邊形、多邊形、圓等，進而得到許多特殊圖形上的幾何性質(教育部，2008)。幾何圖形的理解內涵察覺、操作、建構、推理證明。推理證明在國中的學習範疇中，八九暫綱及九二課綱以幾何證明為主要的課程，雖然在九七課綱中明列證明非只有幾何證明亦包含其他代數證明，但在教材編排上目前仍以幾何證明的學習占大部分。研究規劃時，國三的課程綱要為九二課綱，故在教案內容上仍以幾何證明為主要的學習範疇。初期規劃時教案內容為例題十四題及練習十四題，在教案撰寫過程中研究者參考各家出版社的教課書後，為讓學生能連結除了三角形以外的平面圖形應用，再增加了老師講解的例題七題. 35.

(50) ，使教案中之例題共有二十一題及練習十四題。教案內容題型及題目數分別如下：三角形全等證明二十一題包含：AAS 性質七題、SAS 性質十一題、ASA 性質三題、RHS 性質四題、SSS 性質三題，三角形相似性質 AA 相似五題包含應用，平行比例線段應用二題，中垂線性質應用一題，三角形邊角關係應用三題，角平分線性質應用一題，圓之外公切線應用二題，面積和應用一題，同底同高面積相等二題，畢氏定理二題。因部分題型涉及兩個性質之應用，故會有重複計算之誤差。國中數學第五冊第三章第一節幾何證明的學習目標為培養學生用推理的方式來證明一些常見的幾何性質，利用基本全等性質及相似性質以推理證明的方式來得到幾何性質及公式。故研究者於教案的編排上例題 1~14 是由基礎的證明題開始，排列上先教一次證明即可得到待證之結果的題型，再來是須經由兩次的推導證明才可得到待證之結果的複雜題型，練習 1~14 是讓學生於課後可做的練習題，例題 15~21 是幾何證明的綜合應用題，主要說明幾何相關公式的由來，所以後面的例題沒搭配類似的練習題，讓學生於課後練習。在例題 15~21 中的幾何性質有圓之內冪外冪性質、角平線之內分比性質、正三角形的高等於三角形內任一點到三邊垂直距離和、圓之公切線性質應用等，目的為學生解幾何證明應用計算的學習奠定基礎，能以在理解幾何性質公式的由來的基礎能力下來解題，而非只是帶公式套公式解題。在此單元的教學上應強調幾何性質的明確定義，讓學生能從非正式的形式演繹，到閱讀嚴謹的演繹推理，後學生能寫出正式的形式演繹證明。在學習此單元前學生已學過全等、相似性質，大部分學生對全等及相似的基本定義及概念都已熟悉，但如何在複雜的圖形中看出全等或相似的圖形是他們常遇到的挑戰，因而學生常常從已知條件中去猜測拼湊。研究者希望藉由電子白板的優點將圖形明顯化，在教學的過程中，可透過引導、啟發，讓學生能以圖像明顯化的方式為基礎，進而能有效的整理統合相關的幾何性質，寫出正式的形式演繹證明。教學的順序編排. 36.

(51) 呈現，以 Van Hiele 幾何學習五階段為參考依據，讓學生能由直觀、歸納轉入幾何證明(教育部，2008)。. 貳、教學實施本研究將依 Van Hiele 學習階段實施課程：第一階段：詢問( inquiry ) 首先呈現圖形，詢問學生在圖形中看到了什麼？第二階段：引導學習方向 (directed orientation) 將題目所給的已知條件用不同顏色標註顯示，再將待證之結果標註顏色，引導學生將已知條件與待證之結果關係找出其關聯性。第三階段：明顯化(explicitation) 將全等或相似三角形圖形拉出，明顯顯現相似或全等的三角形，協助學生找出解題關鍵。第四階段：自由探索( free orientation ) 圖形明顯化後，學生依圖形的顯示即可知道全等或相似的幾何性質為何，以圖形先做一次幾何證明。，第五階段：整合( integration) 以圖形先做一次幾何證明，再以正式的條列式做完整的推理證明，讓學生思考及概覽所使用的方法，並請學生提出其他的解題模式，且試著去濃縮所有他探索過的幾何性質方法，老師協助學生對解題做一統合概念的整合。. 37.

(52) 以下以一個例題為範例，來說明本研究的教學實施和 Van Hiele 建議之學習階段的一致性。例題如下：. 例題 8 已知：以△ ABC 的兩邊 AB 、 AC 為邊作正方形 ABGF 、 ACDE 。求證： BE ＝ CF 。. 教學範題如下：步驟一：詢問＞說明已知條件，並詢問學生看到什麼，了解知道題目的已知條件透露那些資料訊息. 步驟二：引導學習方向＞ 1. 列出圖示. 38.

(53) 2. 將已知條件以不同顏色標示，凸顯圖形重要關鍵性質 → a. ABGF 為正方形. b. ACDE 為正方形. 3. 將待證結果以不同顏色標示. 39.

(54) 步驟三：明顯化＞將相關性質條件加以標示 a. ∠1＝90゜. b. ∠2＝90゜. c. ∠1+∠3＝∠2 +∠3. 40.

(55) 步驟四：自由探索＞將有關聯性圖形拆解，以圖形先做一次論證. 41.

(56) 步驟五：整合＞以形式論證再論證一次 ABGF、ACDE 都是正方形正方形特性：四邊等長、四角都是直角 ∠1=∠2=90∘，∠1+∠3=∠2+∠3 ∠FAC=∠EAB 在△ACF 與△AEB 中 𝐴𝐴=𝐴𝐴(ABFG 為正方形) ∠FAC=∠EAB. 𝐴𝐴=𝐴𝐴(ACDE 為正方形). 𝐵𝐵=𝐶𝐶 (對應邊等長). ∴△ACF≅△AEB(SAS). 參、幾何證明相關性質認知測驗卷參閱教育部對國中數學課程綱要，九七課綱中國中二年級及三年級學生在幾何課程部分之能力指標有｢S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。｣及｢S-4-15：能理解三角形和多邊形的相似性質，並應用於解題和推理。｣，依此兩能力指標設計前測卷，三角形全等性質有五種分別為 AAS、ASA、SAS、SSS、RHS 全等性質，三角形相似性質分為 AA、SAS、SSS 相似三種，前測卷以三角相似及全等性質的基本觀念為主要測驗目標，測試學生對最基本的性質是否有概念。題目類型為文字應用題型。題目類型偏向基本性質的了解為主要的能力檢測目標，學生須對三角形之全等性質與相似三角形的性質有基本了解才有能力從圖形中找出幾何推理的關鍵，作簡單的幾何推理證明。瞭解學生的基本能力及先備知識是否完整，有助於研究者於教學時是否需針對基本性質再多作詳細的講述。題數為全等之五個性質每一性質各二題、相似性質中之ＡＡ相似兩題，前測卷中並無ＳＡＳ相似及ＳＳＳ相似性質的檢測. 42.