第三章 研究方法
第四節 研究工具
壹、設計教案
數學課程的學習內容中，幾何證明課程單元對多數學生來說，是難 以融入又不好找出解題關鍵的數學課題，每每上到此課程時，研究者都 會問自己該如何進行教學，才能讓學生對幾何證明課程不再那麼排斥，
研讀各相關文獻，並將多年來教學及輔導學生的經驗累積，彙整學生的
解題迷思，為改善學生的學習及自我教學成長，研究者先設計一幾何證
AAS 全等 練習 5 兩次證明 多種證明方法
三、單一或多種證明方法為題目的證明方式只有一種或有兩種以上不同 的證明方式。
以下各舉一範例說明：
1. 一次證明：
例題 2
已知：D 為BC的中點，DE⊥ AB，DF⊥ AC，DE＝DF。 求證：△ABC 為等腰三角形。
Pf ：在△BDE 與△CDF 中
BD = CD，( D 為BD 中點) 𝐷𝐷 = 𝐷𝐷 (已知)
∠BED=∠CFD=90∘(𝐷𝐷���� ⊥ 𝐴𝐴���� ， 𝐷𝐷���� ⊥ 𝐴𝐴���� ) ∴△BDE≅△CDF(RHS)
∠B=∠C(對應角相等)
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 故△ABC 為等腰三角形 2. 二次證明：(類型一)
練習 8
已知： AD ＝ AE ， BD ＝ BE ，C 點在直線 AB 上。
求證：CD＝CE Pf ：第一次證明 (1) AD=AE
BD=BE ， AB=AB ∴△ABD≅△ ABE(SSS) ∠1=∠2 (對應角相等) 第二次證明
(2) AD=AE ，∠1=∠2，AC=AC
∴△ACD ≅△ACE(SAS)
AB=AB (共用邊) ∠3=∠4 (已知)
△ABD≅△BAC (ASA) AC=BD (對應邊等長) 方法二
Pf ： ∠1=∠2 ，∠3=∠4 (已知)
∠1 =∠4＋∠D，∠2＝∠3＋∠C (外角定理) ∴∠D=∠C
在△ABD 與△BAC 中 ∠3=∠4 (已知) ∠D = ∠C
AB = AB (共用邊) △ABD≅△BAC (AAS) AC=BD (對應邊等長)
四、教案內容整體說明
國中階段幾何課程學習的核心概念為畢氏定理、全等、相似、對稱，
並且能將它們應用於常見的幾何圖形。如三角形、四邊形、多邊形、圓 等，進而得到許多特殊圖形上的幾何性質(教育部，2008)。幾何圖形的理 解內涵察覺、操作、建構、推理證明。推理證明在國中的學習範疇中，
八九暫綱及九二課綱以幾何證明為主要的課程，雖然在九七課綱中明列 證明非只有幾何證明亦包含其他代數證明，但在教材編排上目前仍以幾 何證明的學習占大部分。
研究規劃時，國三的課程綱要為九二課綱，故在教案內容上仍以幾 何證明為主要的學習範疇。初期規劃時教案內容為例題十四題及練習十 四題，在教案撰寫過程中研究者參考各家出版社的教課書後，為讓學生
，使教案中之例題共有二十一題及練習十四題。教案內容題型及題目數
呈現，以 Van Hiele 幾何學習五階段為參考依據，讓學生能由直觀、歸納 轉入幾何證明(教育部，2008)。
貳、教學實施
本研究將依 Van Hiele 學習階段實施課程：
第一階段：詢問(inquiry)
首先呈現圖形，詢問學生在圖形中看到了什麼？
第二階段：引導學習方向(directed orientation)
將題目所給的已知條件用不同顏色標註顯示，再將待證之結 果標註顏色，引導學生將已知條件與待證之結果關係找出其 關聯性。
第三階段：明顯化(explicitation)
將全等或相似三角形圖形拉出，明顯顯現相似或全等的三角 形，協助學生找出解題關鍵。
第四階段：自由探索(free orientation)
圖形明顯化後，學生依圖形的顯示即可知道全等或相似的幾 何性質為何，以圖形先做一次幾何證明。，
第五階段：整合(integration)
以圖形先做一次幾何證明，再以正式的條列式做完整的推理 證明，讓學生思考及概覽所使用的方法，並請學生提出其他的解題 模式，且試著去濃縮所有他探索過的幾何性質方法，老師協助學生 對解題做一統合概念的整合。
以下以一個例題為範例，來說明本研究的教學實施和 Van Hiele 建 議之學習階段的一致性。例題如下：
例題 8
已知：以△ABC 的兩邊 AB、 AC為邊作正方形 ABGF、ACDE。 求證：BE＝CF。
教學範題如下：
步驟一：詢問＞說明已知條件，並詢問學生看到什麼，了解知道題目 的已知條件透露那些資料訊息
步驟二：引導學習方向＞ 1. 列出圖示
2. 將已知條件以不同顏色標示，凸顯圖形重要關鍵性質 → a. ABGF 為正方形
b. ACDE 為正方形
3. 將待證結果以不同顏色標示
步驟三：明顯化＞將相關性質條件加以標示 a. ∠1＝90゜
b. ∠2＝90゜
c. ∠1+∠3＝∠2 +∠3
步驟四：自由探索＞將有關聯性圖形拆解，以圖形先做一次論證
步驟五：整合＞以形式論證再論證一次 ABGF、ACDE 都是正方形
正方形特性：四邊等長、四角都是直角
∠1=∠2=90∘，∠1+∠3=∠2+∠3 ∠FAC=∠EAB
在△ACF 與△AEB 中 𝐴𝐷=𝐴𝐴(ABFG 為正方形) ∠FAC=∠EAB
𝐴𝐴=𝐴𝐷(ACDE 為正方形)
∴△ACF≅△AEB(SAS) 𝐴𝐷=𝐴𝐷 (對應邊等長)
參、幾何證明相關性質認知測驗卷
參閱教育部對國中數學課程綱要，九七課綱中國中二年級及三年級 學生在幾何課程部分之能力指標有｢S-4-09：能理解三角形的全等定理，
並應用於解題和推理。｣及｢S-4-15：能理解三角形和多邊形的相似性質，
並應用於解題和推理。｣，依此兩能力指標設計前測卷，三角形全等性質 有五種分別為 AAS、ASA、SAS、SSS、RHS 全等性質，三角形相似性質 分為 AA、SAS、SSS 相似三種，前測卷以三角相似及全等性質的基本觀 念為主要測驗目標，測試學生對最基本的性質是否有概念。題目類型為 文字應用題型。題目類型偏向基本性質的了解為主要的能力檢測目標，
學生須對三角形之全等性質與相似三角形的性質有基本了解才有能力從 圖形中找出幾何推理的關鍵，作簡單的幾何推理證明。瞭解學生的基本 能力及先備知識是否完整，有助於研究者於教學時是否需針對基本性質 再多作詳細的講述。題數為全等之五個性質每一性質各二題、相似性質 中之ＡＡ相似兩題，前測卷中並無ＳＡＳ相似及ＳＳＳ相似性質的檢測
，主要是搭配教案中教學題目，及多數的幾何證明的特殊圖形應用，如
後測卷共十五題，包含一次證明題型十四題，兩次證明題型一題，
肆、教學實施資料蒐集與相關工具
AAS、ASA、SAS、SSS、RHS 性質與三角形相似 AA 性質 為主要檢測重點，檢測學生對三角形之全等與相似性質是錄音資料為研究者於課後針對課程實施的反省思札記，配合學生 的課後訪談錄音，同步進行蒐集及整理資料，讓研究者可以針對 學生所提出的問題及上課的流暢度與課堂上的缺失，做為研究者 教學實施修正與修改的方向及依據。
四、 問卷資料
幾何證明課程實施量表，瞭解學生對此教學方式的喜好及對 學生而言此種教學方式是否有助於此單元的學習。問卷資料主要 是針對情意方面資料的蒐集，瞭解以電子白板為上課教學輔助的 方法對於提升學生的學習興趣及學習成效是否有幫助？問卷資料 內容如表 3-4。
透過分析錄影帶、錄音帶、問卷、測驗、訪談、研究者札記及學生 的課後測驗試卷等資料，做三角校正、反覆交叉比較，進行資料的整理 及綜合分析。
表 3-4 幾何課程實施量表
伍、反思札記
在每堂課程實施結束後，對參與研究之學生做課後測驗，以瞭解上 課成效。觀察學生是否會因電子白板層次分明的解析瞭解隱藏於圖形中 關聯圖形，進而能對全等性質、或相似性質做進一步的推論。並透過學 生書寫於試卷上的證明過程，研究者分析學生之迷思概念及錯誤概念，
進一步對教材的呈現順序作修改以期能讓學生在概念上的錯誤降低，且 多數學生對於證明的正式書寫程序不甚明瞭，希望能訓練學生對正式的 證明程序有概念，概念的理解後作有效的推論訓練。將上課實況錄影，
於課後研究者作教學日誌記錄，分析上課錄影資料，及與參與研究之學 生晤談，檢視上課中之優缺點，以作為下一堂課前準備之修改及教材修 改依據。透過錄影及訪談資料，來反思教師的教學優缺點，再依前堂課 程實施狀況修改教學。