幾何證明的角色與功用及相關性質

壹、幾何證明課程編排

依我國九年一貫數學學習領域課綱，將數學教學幾何部份訂定之目 標如下(教育部，2008)：

第一階段：國小一至二年級，簡單圖形的認識。

第二階段：國小三至四年級，慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的 能力，並能以操作認識幾何圖形的性質。

第三階段：國小五至六年級，能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，

並理解其面積或體積之計算。

第四階段：國中一至三年級，幾何方面要學習三角形及圓的基本幾何性 質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推 理。

國小一、二年級，學習幾何時，因簡單的圖形幾乎都是一般日常生 活中能理解且有視覺化的實體，在學習上並無困難，且會因為與實際生 活情境相關，在學習上會較有學習興趣。國小三至四年級學生對於認識 邊角幾何圖形的能力上，只有少數學生無法理解，大部分學生都能清楚 理解，在國小四年級對圖形的展開及翻轉能力上，二維圖形優於三維圖 形(魏春蓮、陳光勳，2005)。國小五及六年級的學生在平面圖形面積的

計算理解上，有許多的學生對於面積的知識(例如遇到非例行性的三角形

式不同而有不同的解題策略。

證明的學習要從學生已知的觀念上建構新的知識，因此確認學生基 礎能力是教師在教學前相當重要的任務，教學的過程中教師則須致力於 了解學生的學習困難，協助學生釐清迷思概念(Harel & Sowder, 2007)。

De Villiers(1999)認為數學證明有六個並不相互排斥的角色：

驗證(verification)、解說(explanation)、發現探索(discovery)、系統化 (systematization)、智力挑戰(intellectual challenge)、溝通(communication)，

智力挑戰描述的是在證明策略的建構。

(一) 驗證(verification)：是指一種證明的手段，以檢核一個按照預定的邏 輯順序和公理證明策略的規則，設定斷論的真理證明。

(二) 解說(explanation)：是另一種不同於驗證的檢核方式，數學家知道 只有一個正確的說法，通常是不足以解釋不同的論證，用以補足 正確說法的解釋。

(三) 發現探索(discovery)：是在透過證明的過程，可能會發現新的結論的 情況。人們可能會發現反例的說法，這反例會導致增加必要的限制，

將消除反例使斷論更加完善。

(四) 系統化(systematization)：是指有組織的形式，每個結果是來自先前建 立的結果、定義、公理、和主要條件按順序提出驗證。

(五) 溝通(communication)：是指社會互動的含義，有效地生產證明所提供 的數學知識的重要性。可視為兩個定義證明的流程：確定和說服溝 通。

(六) 智力的挑戰(intellectual challenge)：是指心理狀態的自我實現和履行

，源自於構建一個證明。

參、幾何證明相關性質

依據課程內容，幾何證明的相關性質有三角形 ASA、SAS、AAS、

三角形的五個全等性質是建立在，利用尺規作圖方式僅能做出唯一的一 個三角形。亦即當使用相同的條件利用尺規作圖，且作法正確無誤，則 每個人做出的三角形必定都相同。

為了方便說明全等時三角形的邊和角的對應相等關係，會以英文字 母代替。「S」代表邊(Side)，「A」代表角(Angle)，「R」代表直角(Right Angle)，

「H」代表斜邊(Hypotenuse)。三角形的全等及相似相關性質說明列於附 件一。