一、對教學建議：
本研究起因於學生解題遭遇困難時，身為老師所能給予的幫助，到底 什麼才是對學生有效的協助，也就是整份研究的發現都能夠提供教師對於 學生有更進一步的認識瞭解。所以接下來是研究者自己切換回教師的角色 來看這些研究結果而浮現的一些感覺，以個人的角度來跟教師們交流一點 心得。
1.學生常常會說：「我懂了！我知道了！」，但從研究結果可以看到事實並 非如此，常常是學生以為自己懂了、知道了，但其實他並非真的完全能 夠掌握。我們應該更審慎的確認學生的心像是否真的發展的足夠成熟，
尤其是學生解題失敗後，來問問題的時候，更要小心確認學生的真正心 像。
2.從研究結果可以知道內積出現問題，可能是因為先備概念出現了問題，
如基本的向量概念，更甚者有可能是角度概念。在教學時，老師們往往 很自然地使用與概念定義一致的概念心像，而忽略學生的概念心像可能 還發展的不夠成熟。故建議教師在進行內積教學時，要多示範、講解相 關先備概念的正確使用。
3.三種關於內積定義的心像具備情形的百分比，並不讓人意外，但學生對 於坐標型內積定義的正確度也如此之低，實在頗令人擔憂。因為我們常 利用內積的坐標型與代數型之間的串連來解決夾角問題，所以建議教師 可以讓學生在坐標型內積定義部分多做題目練習，以發展正確的坐標型 內積定義之心像。
4.在教學時除了一般典範例外，應儘可能提供各種不同的例子讓學生累積 各種經驗，以便發展更完整的概念心像。
5.從研究結果來看，學生最能夠記得的內積定義是「代數型內積定義」，而 接受度最低的是「圖像型內積定義」，但不管哪一種類型，學生對於這些 定義的認識似乎也都不是非常的正確。回過頭想想Skemp 說的：概念的 學習應該提供給學生許許多多的例子，讓學生從例子中抽象出概念來。
我們看看代數型的定義，三個物件| a |、|
b |和cos相乘，這樣的定義對 學生有意義嗎？為什麼不可以是|
a |、|
b |和sin，為什麼是這三個？圖 像型的定義是投影量乘上被投影向量的長度，這又是為什麼？難道不能 是互相投影之後在相乘嗎？同樣地，坐標型的定義對學生來說也都只是 公式。也許我們教學生時都太過於公式、定義出發。
那「內積」的例子是什麼？一堆題目？從一堆題目學生可以從中抽 象出「內積」的概念，當然不可能！那它的例子到底是什麼？有些課本 上雖然有使用「作功」來解釋，但我想那樣的說明還是不能算例子，因 為對學生而言那還是太過高級的概念了，對他們來說已經不能算是有感 覺的例子了。我想這是很多老師不得以選擇以定義、公式出發來教「內 積」的原因。做完這個研究，我也不斷的問自己，到底怎樣的例子對學 生而言才會有感覺，才能算是例子？
筆者左思右想，想到一個還算可以的例子，提供給老師們當作參考。
「想像有一輛車子拋錨了，
第一例：我們出力去推它，把它推50 公尺，有沒有感覺我們花費了一 些能量？
第二例：又一次很不幸的拋錨了，這次我們出一樣大的力量去推，但必
須推100 公尺，兩倍遠，想像這次花的能量跟上次比較一下。
第三例：再一次不幸！這次一樣推100 公尺，不過這次我們用力一點，
用2 倍的力向去推，這樣比較快，那所花的能量？
第四例：這次～沒有不幸！只是想一下，如果我們出的力是有角度的(配 上圖形)，那有全部的力量都派上用場嗎？ 」 我想應該還有更多、更好的例子可以提供學生去感覺，只是需要各位 老師好好去想一想。重點就是要儘可能提供多一點的例子，讓學生去感 覺，去抽象出概念來。我認為如此對學生而言，其概念建立的一定會好更 正確一點。
二、對研究建議：
1.本研究只抽樣了大台北地區的兩所公立高中，若能將樣本擴大並涵蓋各 程度學校，則可使其結果更為全面。
2.本研究為初步探索學生的概念心像，後續研究者不妨針對本研究的初步 結論再進一步探索學生更深入、更細部的概念心像。
3.本研究利用「問卷調查法」收集資料後，根據學生的問卷回答來推論學 生的概念心像，並未對學生進行面對面的訪談，故有時無法更精準判斷 學生的心像之樣貌，所以也造成研究結果有些部分，只能知道有哪些不 同的心像並沒有辦法知道每種心像切確的比例，建議搭配學生訪談以求 刻畫更為精準的心像樣貌。
參考文獻
中文部分：
Skemp, R. R. 。（1987）數學學習心理學（陳澤民譯，1995）。台北：九章 出版社。
李永貞。（2008）。高二學生在向量概念學習上的主要錯誤類型及其補救教 學之研究。國立臺灣師範大學。（未出版之碩士論文）
林進發。（2001）。桃園地區高中學生向量內積之運算及應用錯誤類型之研 究。國立高雄師範大學。（未出版之碩士論文）
張春興。（2006）。張氏心理學辭典。台北：東華書局。
林福來等。（2009）。高中數學第 3 冊，南一書局。
許志農等。（2009）。高中數學第 3 冊，龍騰文化。
余文卿等。（2009）。高中數學第 3 冊，翰林出版。
英文部分：
Bingolbali, E. & Monaghan, J. (2008). Concept Image Revisited, Educational Studies in Mathematics, v68 n1 p19-35
Bledsoe, K. E. & Flick, L. (2012). Concept Development and Meaningful Learning among Electrical Engineering Students Engaged in a Problem-Based
Laboratory Experience, Journal of Science Education and Technology, v21 n2 p226-245
Lester, F. K. (1980). Problem solving：Is it problem? In M. M. Lindquist(Ed.), Selected issues in mathematics education (p29-45). Berkeley CA:McCutchan Polya, G (1945) . How to solve it? Princeton University Press.
Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando,FL：Academic Press
Tall, D & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169.
Tall, D. (1988). Concept image and concept definition. In J. D. Lange & M.
Doorman (Eds.), Senior Secondary Mathematics Education, OW&OC, Utrecht, 37-41.
Vinner, S. (1983). Concept definition, Concept image and the Notion of Function.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 14(3), 239-305.
Vinner, S. (1991) The role of definitions in the teaching and learning of mathematics, in D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking, Mathematics Education Library, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 65–81.
Vinner, S., & Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function.
Journal for Research in Mathematics Education, 20, 355-356.
Wilson, P. S. (1990) Inconsistent Ideas Related to Definitions and Examples, Focus on Learning Problems in Mathematics, v12 n3-4 p31-47.