(concept definition 和 concept image)
由上一節對概念的探討，我們可以看出概念可能存在於客體，也可能 是主體的認識。而課堂中所要教授的概念，可能是存在於課本上的客體，
也可能是老師本身所具備的概念。Tall（1988）認為概念定義是由文字構 成，是用來界定某個概念的敘述。Vinner（1983）強調：「概念定義是以一 種不會循環的方式精確解釋概念的文字定義。」這樣的說法被廣泛的接 受。所以對於學習者也就是學生來說，所要學習的概念，不論是課本上寫 的，還是老師所表達出來的概念，可能是用講的或是寫在黑板上的，都是 概念定義。綜合以上，我們可以將本研究中的概念定義界定為：課本上對 於某概念所給的文字定義或教師在教學中所講述的定義。
相較於教師本身所具有的或課本上所呈現的概念定義，以學生這個主 體來看，他自己本身所具備的又是什麼呢？當學生看到或聽到某個概念的 名稱時，它會刺激學生的記憶，在學生記憶中的某些東西會被它喚醒，被 喚起的不一定是概念定義，而這個被喚起的東西，Vinner（1991）稱之為
「概念心像」。什麼是概念心像呢？根據Vinner 與 Dreyfus（1989）的說法，
概念心像乃指學生心中關於某個特定的概念所產生的圖像所成的集合，以 及表現它們特性的全部性質。（而心靈影像我們指的是任何型式的表徵，
如圖像[picture]、符號形式[symbolic form]、圖表[diagram]、圖形[graph]等 等）Tall 和 Vinner（1981）認為概念心像就是描述那些跟某個概念關連到 的所有認知結構，包含所有的心靈影像(mental picture)及相關的性質與過 程。Vinner（1983）強調：「在此使用的影像（picture）是十分廣義的，它 包含這個概念的任何視覺表徵（甚至符號）。……除了一個概念的心靈影
像，也包含與這個概念相關的性質。……這些性質連同心靈影像的集合就 稱為概念心像。」綜合以上，我們可以將本研究中的概念心像界定為：學 生面對題目刺激而浮現的任何型式的表徵。
Vinner 與 Dreyfus（1989）都認為學生在解題時常用概念心像來思考而 非概念定義。對老師教學來說，當然是希望學生學習之後，面對題目時能 夠使用概念定義來解題，這理所當然地是我們的教學目標，那學生的概念 心像與概念定義如何才會一致呢？學者專家認為其是否一致取決於概念 心像形成的歷程，學生的概念心像是由該概念的例子與非例子的經驗所成 的結果（Vinner & Dreyfus，1989），例子接觸的越多，其概念心像發展的 越接近概念定義。除此，概念心像的發展並非一夕可成，是經年累月透過 各種經驗建構而來，並隨著個體受到新的刺激或新的經驗越趨成熟而產生 變化（Tall & Vinner，1981）。
Tall（1988）的研究發現，學生透過舊經驗與新經驗的結合建立屬於 他們自己的概念心像，這些概念心像不一定與概念定義一致。譬如當一個 小朋友，剛開始學到兩個正數的減法的時候，他會注意到「減」這個動作 通常會讓答案變少，此時這樣的注意就成為他概念心像的一部份，但後來 遇到負數的減法時，就產生了問題。更甚者，概念心像也不一定是本身前 後一致、脈絡相連的，這個結果呼應了Tall 與 Vinner（1981）的觀點，他 們認為：「在特定的時間，只有某部分的概念心像會被喚起（evoked）。不 同的時間，被喚起的概念心像可能是會彼此衝突的」，學生不見得會意識 到其概念心像是彼此衝突的，「只有當這些相互衝突的概念心像被同時喚 起，個體才會感覺到它們之間的衝突。」例如學生認為0.9 0.999999 永 遠比1 小一點，此時要求他們利用循環小數化成分數的方法去計算出0.9 1 時，這樣兩個互相衝突的概念心像同時被喚醒了，他們才會感覺到這兩個
心像之間的衝突，才會產生認知衝突。這正說明了對任何概念而言，學生 須在不同的情境與刺激下，都能喚起相同且正確（與概念定義一致）的概 念心像，方能順利解題。因而，探討學生在不同的情境與刺激下，是否能 夠喚起正確且一致的概念心像顯得格外重要。
此外，我們也必須留意每個學生的概念心像可能是不同的。Bingolbali 與 Monaghan（2008）在概念心像的研究結果中提到，不同學習背景(該研 究指的是科系)的學生展現出來的概念心像是不同的，因此我們不應該忽視 學生的學習背景。這也呼應了Tall（1988）的觀點，學生透過舊經驗與新 經驗的結合建立屬於他們自己的概念心像。每個學生的經驗勢必會因人而 異，而且每個人習慣思考的方式也必定有所不同，Skemp（1987）表示，
早在1880 年代，Galton 就發現每個人心智結構中的意向(imagery)程度強落 不同，有些人有很強的視覺意向，而有些人什麼意向也沒有，只能憑文字 思考，所以每個人的概念心像也因此而有所異同。
綜合以上，我們知道概念心像與概念名稱之間的連結經常因人而異。
也就是同一個概念名稱對不同的人而言，很可能會喚起完全不同的概念心 像。Vinner（1991）提到：如果你想知道某個人是否知道某個特定的概念 定義，你只要要求他寫下來。然而要研究某個人的概念心像，研究者必須 問不直接的問題(indirect questions)，這樣才能讓首訪者的概念心像真正呈 現出來。也就是說想要判斷一個人是否具備某個概念時，光指出名稱是不 夠的，必須要給予不同問題情境的刺激，並加以探討觀察其反應，才能真 正知道他的概念心像，本研究立足於這樣的看法，所以設計許多並不直接 的問題來探測學生的心像。