在解題或教學上，遇到需要使用內積的時候，我們常會說：「把 a 跟
b 作內積」或「
a 內積
b 」。這也是學生對於內積一個直接的觀感，就是把 內積當作是一種操作，而向量是操作的元素。那麼既然是操作，我們就應 該考慮哪些東西可以拿來操作？操作的順序會不會有什麼影響？以這樣 的角度來看，也就是要問「哪些向量可以作內積？」以及「
a ．
b 等不等 於
b ．
a ？」。
這樣的兩個問題，我們在換成內積的相關概念來看，也就是「任兩向 量皆可作內積」以及「內積具備交換律」這兩個內積相關的概念。所以接 下來針對這兩個概念來加以探討。
而「任兩向量皆可作內積」這個部分，在論文分析過程中，已先將本 部分發表於中等教育期刊，以下「任兩向量皆可作內積」部分(p74~p87)轉 載自中等教育期刊。
Io.內積操作_任兩向量可作內積
11.假設
題目分析：
第10.題為是非題，題目如圖 4-5-1 所示；第 11.題為單選題，題目如 圖4-5-2 所示。兩部分都另要求學生寫出答題的理由或看法，以取得質與 量的資料。其中第10.題因小題的題數過多，僅要求學生針對整體的情形 而未要求針對每一題提供理由或看法，此作法的優點是避免學生因失去耐 心放棄某些順序較後面題目的回答，而且學生在整體回答可提供多項理由 時，會選擇性提供，此時所展現出的往往是其最核心的概念心像。
第10.題中向量的關係主要有兩個考慮因素：(1) 向量的起點相同與 否；(2) 夾角的大小（<90°、=90°、>90°），此因素的探測題主要著重在起 點不同時，當起點不同時，夾角乃指向量本身或向量平移後相交之夾角；
另起點不同時也多增加了平行向量夾角為0°與 180°之狀況。施測題目的結 構如下表4-5-1、表 4-5-2 所示：
表4-5-1. 向量起點相同與否搭配夾角大小的題目分布情形
<90° = 90° >90°
起點相同 典型圖形 (7) (1)
起點不同 (3), (6) (2) (4)
表4-5-2. 向量平行時方向相同與否的題目分布情形 同向( 0°) 反向( 180°)
平行 (5) (8)
其中起點相同且夾角小於90°為一般典範例中的典型圖形，為基礎 題，根據實務經驗，學生多數知道可以求作內積，概念心像變化度不大，
故並未在此部分施測，若學生認為典型圖形的情況不能作內積會在其他題 目顯示出來。當兩向量起點不同時，可分為兩向量本身有相交，或兩向量 平移後有相交，本研究選擇兩向量平移後有相交的情形探討，對於兩向量 本身有相交的情形，則以第(6)題典型的夾角（<90）做為代表，與第(3)題
比較，可探討向量本身相交與平移後相交的概念心像差異。表(二)中第(5) 題與第(8)題皆為平行狀況，可視為單一概念進行探討，其中第(5)題為兩向 量平行且方向相同，第(8)題為兩向量平行且方向相反。
第11.題中三維空間向量與平面向量最大的不同處在於「歪斜」的狀 況，故設計第(1)題為兩向量平行的情形，搭配第一部分的第(5)題，可探究 空間對於學生的概念心像影響情形；這個部分的第(2)小題為兩向量歪斜的 情形，為空間中的特殊狀況，為避免學生因不瞭解或忘記什麼是「歪斜」
致使無法作答，題目中提供「歪斜線(不在同一平面，且永不相交)」的敘 述，並且附上圖形；第(3)小題是兩任意向量的情形，用以取得學生整體概 念的心像狀況。
施測結果&概念心像分析：
下面依照施測題目設計以及發現結果分四個部分報導，分別為:
一、平面上兩向量是否可作內積的概念心像
下面表 4-5-3 為第一部分「平面上任意兩向量皆可作內積」的概念心 像題之施測結果。
表4-5-3. 平面向量可作內積各小題勾選百分比 題號
班級 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
高程度文組 100% 81% 84% 86% 70% 89% 95% 70%
高程度理組 97% 89% 91% 91% 89% 94% 91% 91%
中程度文組 93% 69% 74% 67% 48% 76% 95% 43%
中程度理組 97% 80% 83% 83% 51% 83% 91% 60%
合計 97% 79% 83% 81% 64% 85% 93% 65%
圖4-5-3. 平面向量可作內積各題勾選百分比折線圖
由表 4-5-3 與圖 4-5-3 可看出，整體而言，學生最認為可以作向量內 積的是兩向量起點相同的第(1)及第(7)題，都分別有九成以上的勾選率。
他們認為最不能作內積的是兩向量平行的第(5)及第(8)題，都只有約六成 五的勾選率。
高程度學校理組同學的「平面上任意兩向量皆可作內積」之概念心像 較為完整，各不同向量關係都有約九成以上的同學具備，反觀文組同學，
不同向量關係是否可作內積的心像就有較大的差異，較為典型的起點相同 向量可高達九成至十成的勾選率，但起點不同的平行或垂直題勾選率就降 至七成或八成，且由圖 4-5-3 可看出，此程度學校文組同學受到不同向量 關係刺激的概念心像模式與中程度學校的學生較為接近。中程度學校不論 是理組或文組同學，不同向量關係下所具備的可作內積概念心像差異都頗 大，而文組同學，在起點不同的向量關係上，顯然比理組同學不具備可作 內積的概念心像。
除此，由起點相同與否及夾角大小關係兩因素來看，本研究有下列幾 項發現：
1. 平面上兩向量可否作內積的影響主要來自起點相同與否而非夾角大 小。將答題的勾選狀況搭配施測結構表 4-5-1 可以得到表 4-5-4。
表4-5-4. 向量起點相同與否搭配夾角大小題目之勾選百分比
<90° = 90° >90° 平均
起點相同 典型圖形 93％ 97％ 95%
起點不同 84％ 79％ 81％ 81%
表 4-5-4 數據顯示在不同的向量關係上，九成以上學生具備「兩起點相 同的向量可作內積」之概念心像，因為教師教學時常使用起點相同這類 例子，故學生透過例子經驗發展出其概念心像。而在非平行狀況下，約 有八成學生具備「起點不相同的兩向量可作內積」的概念心像，與起點 相同的狀況相比約有 15％的落差。而夾角大小的影響並不大，只有 2％
~5％的差異。
2. 85％的學生認為「起點不相同且本身相交的兩向量可作內積」，83%的學 生認為「起點不相同且平移後才相交的兩向量可作內積」，其差異並不 大，這顯示兩向量當起點不同時，不論本身相交或平移後才相交，學生 對其是否可作內積的概念心像類似。
3. 當兩向量起點相同或者兩向量起點不同但非平行時，多數學生之概念心 像為此兩向量可作內積
4. 表 4-5-5 是兩向量平行時的勾選狀況，表中數據顯示，學生對於兩向量 平行時可作內積的概念心像較為薄弱。
表4-5-5. 兩向量平行題目之勾選百分比 同向( 0°) 反向( 180°) 平均
平行 64％ 65％ 64%
從表 4-5-4 可看出，當兩向量非平行時，夾角的角度大小對於是否可作
圖4-5-4. 三維空間及任意兩向量是否可作內積各題勾選百分比折線圖
由表 4-5-6 與圖 4-5-4 可看出，就平行與歪斜而言，較多學生具備平 行向量不可或不一定可作內積的概念心像，且比例高達四成。對於給定明 確關係的向量而言，較多學生具有絕對的「一定可以」或「一定不可以」
作內積的概念心像，而對於未明確指定關係的任意兩向量而言，高達一半 的學生認為其有時可以，有時不可作內積。
高程度理組學生不論有沒有給定向量關係或所給定關係為何，都有高 達九成比例的學生具有兩向量可作內積的概念心像，反觀此程度文組學生
（參見圖 4-5-4），未給定明確關係向量時，其一定可以作內積的概念心像 大幅滑落，約高達四成的學生轉為有時可以作內積的心像。至於中程度學 校的學生，不論理組還是文組，學生的主要概念心像反而是有時可以作內 積而非一定可以作內積，文組學生比例甚至超過八成。
三、任意兩向量是否可作內積的概念心像
由表 4-5-7 可看出，僅有 42%的學生其「任意兩向量一定可以作內積」
第二部分的平行與歪斜都認為一定不可以作內積，並且說明其勾選理由 為「有兩者的夾角才能算出內積」、「兩向量無交點」等，顯然他在面對 向量時，並沒有或無法引動向量可平移使得任兩向量都可以相交的概念 心像，導致視向量如線段般有絕對位置，影響可否作內積的心像。
學生 題 目 勾 選 狀 況 說 明
乙
第一部分
勾選可以：
1,7
有角度，才有內積
第 二 部 分
平行 一定不可以 沒有角度，怎能作內積～
歪斜 一定不可以 [空白]
任意 有時可以 [空白]
從上表乙同學的回答可以看到該生認為有角度才有內積，他認為
「沒有角度，怎能作內積」，而他在第一部分並沒有勾選本身相交的兩 向量，在面對向量時與甲同學相同，並沒有或無法引動向量可平移使得 任兩向量都可以以起點重合的方式相交，找到角度作內積的概念心像。
2. 角度概念：這類型的學生，具有「向量可平移」的概念，但他們具有「平 行沒有角度」的心像，搭配其「有角度方可作內積」的心像，導致他們 任何向量皆可作內積的心像不完備。底下是兩個學生的例子：
學 生 題 目 勾 選 狀 況 說 明
丙
第一部分
勾選可以：
1,2,3,4,6,7
兩向量除平行和重合外，其他都有內積
1,2,3,4,6,7
可以形成角度的應該都可以吧！
上表顯示丁同學與上一位丙同學一樣，在第一部分只有第(5)與(8)
1,2,3,4,6,7
a 和
學 生 題 目 勾 選 狀 況 說 明
己
第一部分
勾選可以：
1,3,4,5,6,8
[空白]
第 3.(5)小題為是非題，若學生具備有「內積具有交換律」這個子概
施測結果&概念心像分析：
同學。我們從同學的答題理由來看，會發現同學有幾種不同的概念心像：
第伍章 結論與建議
本章將對於研究的結果進行論述，並對往後教學與後續研究提出建 議。