量，且為此兩個向量的夾角，如圖所示：
數型內積定義」、「偏圖像型內積定義」以及「偏坐標型內積定義」。
圖4-4-3. 內積定義之施測題目 3
第 6 題設計是以代數型為主，其三個選項為代數型|
施測結果&概念心像分析：
這裡要探測學生對於「偏代數型內積定義」、「偏圖像型內積定義」以 及「偏坐標型內積定義」此三種類型的概念心像具備情形，首先對這三種 類型做一個說明：
偏代數型內積定義：
學生有浮現內積是三個物件| a |、|
b |、cos q相乘的心像。
整體來說，大多數同學都會浮現偏代數型的心像，只有極少數同學是 沒有浮現偏代數型心像，這類同學的例子如下：
圖4-4-5. 無代數型學生例 1
圖4-4-6. 無代數型學生例 2
上面兩位同學的例子，他們在其他地方也都沒有出現類似代數型
| a ||
b |cos q的式子，其答題的狀態也很混亂，可以判斷這類同學是沒有「偏
代數型內積定義」的心像，甚至可能對於「內積」的相關概念都是相當薄 弱的。
也有另一種狀況，是學生對內積定義所浮現的心像非常偏向圖像型，
雖然他能判斷式子(|
a |cos q)|
b |或(|
b |cos q)|
a |是內積，但其實他對於 (|
a |cos q)或(|
b |cos q)所浮現的心像是投影，是偏圖像型的，而非代數型中
三個物件相乘的想法，這些同學我也認定他沒有浮現偏代數型的心像，以 下舉一位這類學生的例子：
圖4-4-7. 無代數型學生例 3
我們可以看到這一位學生雖然在 6(3).(|
b |cos q)|
a |打，但他在其他 地方都沒有出現過代數型的式子，並且搭配其第8 題的回答，還有第 9 題 的回答也跟第8 題一樣，都是利用投影的想法，我們可以知道這位學生其
實是浮現的是圖像型的概念心像。
偏圖像型內積定義：
學生有浮現內積是「投影量」乘以「被投影向量的長度」這樣的心像。
然而有些同學的回答是「內積是
a 投影到
b 上的長度」，這些同學我 也將其認定是有偏圖像型的心像。雖然他似乎沒有「圖像型內積定義」， 但學生會將內積看成投影之後的長度，顯然是因為受到學習歷程中圖像型 定義的影響，所以應該說這些同學的心像是〝錯誤〞的「圖像型內積定義」
比較恰當。
偏坐標型內積定義：
學生有浮現內積是兩向量的坐標做運算的結果。同學面對第14 題時，
如果有偏坐標型的心像，應該會被(1) a ．
b =(a b a b1 1, 2 2)所引動。若學生 對(1)勾選，顯示他有錯誤的「坐標型內積定義」；若學生打，且他回答的 理由是內積是a b1 1a b2 2，那我們可以知道他是有正確的「坐標型內積定 義」，若學生打，並且在整份問卷中都沒有顯示出坐標型的心像，我們就 認為他應該沒有「偏坐標型內積定義」的心像，或者是相當薄弱難以被引 動。
以下表 4-4-1 為「偏代數型內積定義」、「偏圖形型內積定義」與「偏 坐標型內積定義」三種心像類型的學生比例：
表4-4-1. 三種「內積定義」類型的學生比例
偏代數型 偏圖像型 偏坐標型
高程度文組 36 16 *30
高程度理組 34 32 *24
中程度文組 38 1 31
中程度理組 33 8 28
合計 141 57 113
95% 38% *82%
*第 14 題偏坐標型的題目在問卷的最後，高程度兩個班級的部分學生因為答題意願影響 而沒有對問卷的後半段題目進行答題，高程度文組有 3 位、高程度理組有 8 位。這些同 學因沒有回答 14 題，我們沒辦法確認其有無偏坐標型的心像，所以在算百分比時，也 將這 11 位同學去除。
我們可以看到三種類型之中，有「偏代數型內積定義」之心像的同學 最多，幾乎是全體學生，比例高達95％；其次是「偏坐標型內積定義」，
是全體的82％；而最少的是只有 38％的「偏圖像型內積定義」。這樣的結 果，我們可以發現一些現象：「代數型」跟「坐標型」這兩種定義都比較 像「公式」，而「圖像型」這一種定義比較具有「動作」，學生對於「公式」
的接受度會高於「動作」，而程度越高的學生對於「動作」類型定義的接 受情形越好。
每一種類型的心像其實也不盡相同，對於每一種類型的概念心像本研 究還有一些發現，以下針對三種類型的概念心像分別報導。
Id.內積定義_偏代數型的概念心像
由上表 4-4-2，我們可以看到學生有以下幾種不同的心像：
A 類：該類學生勾選(1)(2)(3)，此類學生的概念心像比較符合概念定義。
B 類：該類學生恰勾選(2)，這一類學生的概念心像應該是受到典型代數式
| a ||
b |cos 的影響很深，認為兩長度必須要放在一起。我們可以看到 A 類以外的其他幾類，以 B 類人數最多，可以發現「代數型概念定 義」對學生的影響是很大的！
C 類：我將恰選(1)、恰選(3)以及恰選(1)(3)的學生歸為這一類，因為這些 學生的心像應該都受到圖像型定義的影響。其中當然可以把三者區 分，C1：恰選(1)(3)，認為內積是一個向量投影到另一向量上的投 影量，再乘以向量的長度。C2：恰選(3)，這些學生認為必須由上方 的向量投影下來，其投影量再乘以向量長度，應該是受到典範例的 影響。C3：恰選(1)，這類同學也是要先找出投影量，但他選擇的投 影方式跟C2 不同，是被投影的向量長度要足夠，這也是受到典範 例的影響。
D 類：選(2)(3)的學生，這些學生的概念心像應該是比較不穩定的，會因為 面對不同狀況而引動偏代數型(B 類)或偏圖像型(C2 類)的心像
E 類：該類學生三個選項均打，這類學生應該深受代數式| a ||
b |cos 的影 響，其他都無法接受。
除此之外，我們搭配第8 題與第 9 題來看。有一些同學在第 8 題時使 用「代數型內積定義」去解題，這時有一部份同學的概念上有錯誤而做出
錯誤的勾選外，其他同學都可以順利判斷出選項(1)
b 為正確答案。但面臨 第9 題時，是無法利用「代數型內積定義」順利解題，所以這些學生出現 各種不同的回答狀況，從第8 題與第 9 題這些不同的回答狀況，我們有以 下發現：
1.有一類同學在第 8 題使用「代數型內積定義」，但面對第 9 題時使用「圖 像型內積定義」來解題，這些同學應該是因為第9 題使用「代數型內積 定義」無法順利解題，所以轉成使用「圖像型內積定義」來進行解題，
這些同學的心像同時具備「代數型內積定義」與「圖像型內積定義」，並 能夠在適當時機切換使用。下面圖4-4-9 這一位學生就是此類型的例子。
圖4-4-9. 具備「代數型」與「圖像型」心像的學生例
2. 有一類同學在第 8 題使用「代數型內積定義」，在面對第 9 題時依舊使 用「代數型內積定義」來解題，但發現條件不足而勾選「(6)不能確定」
這一個選項，這些同學應該是只有「偏代數型內積定義」的心像，或是
「偏圖像型內積定義」的心像比較薄弱難以被引動。舉一位學生的陳述 為例子，如下圖4-4-10。
圖4-4-10. 具備「代數型」心像且「圖像型」心像薄弱的學生例
3.有一部份同學面對第 8 題與第 9 題時都使用「代數型內積定義」來解題，
但他們只注意「角度」的條件，顯示學生認為「角度」對於內積的重要 性高過於「長度」。這裡又分成三種不同的類型：(1)認為角度越小，內 積越大；(2)認為角度越大，內積越大；(3)認為垂直時內積最大。
第(1)類學生的例子如下圖 4-4-11，我們可以看到這類同學的「代數 型內積定義」以及基本的三角函數概念應該都是沒有問題的。
圖 4-4-11. 認為角度越小，內積越大的學生例
圖 4-4-12. 認為角度越大，內積越大的學生例 1
上圖4-4-12 是第(2)類學生「認為角度越大，內積越大」的例子，他 可能是直接抓取角度為主要判斷的依據，但也有可能是因為三角函數概 念錯誤造成的，如下圖4-4-13 這一位學生的例子。
圖 4-4-13. 認為角度越大，內積越大的學生例 2
還有第(3)類學生，這類學生會特別去注意到「直角」，我們可以看 下圖4-4-14 這一位學生的例子，他在第 8 題的陳述直接寫「
a 跟 d 成直 角」，然後他在第9 題的陳述雖然沒提到直角，但他在選項(4)打後塗 掉，然後在選項(3)打，顯然他在找最接近直角的向量。不過跟第(2)類 學生一樣，我們不能確定是因為三角函數的概念出錯，還是他們直接抓 取「直角」當作判斷的依據。
圖4-4-14. 認為垂直時內積最大的學生例 Id.內積定義_偏圖像型的概念心像
有「偏圖像型內積定義」心像的同學比較少，只有 57 位，佔全體的 38％，其分佈狀況如下表 4-4-3 所示：
表4-4-3. 「偏圖像型」的分佈狀況 偏圖像型
高程度文組 16
高程度理組 32
中程度文組 1
中程度理組 8
合計 57
38%
從這個表中，我們可以看到程度越高越容易出現「偏圖像型內積定義」
的心像，且理組人數都高於文組人數。
另外，從學生的陳述中，研究者發現關於「偏圖像型內積定義」心像 至少有兩種不同類型的心像：
A 類.認為內積是「某向量在另一向量上的投影量乘上被投影向量的長 度」，這一類同學的心像比較符合「圖像型概念定義」。如下圖 4-4-15 就是這類學生的例子。
圖4-4-15. 圖像型內積定義之學生例 1
圖4-4-16. 圖像型內積定義之學生例 2
上圖 4-4-16 是另外一位學生的例子，有意思的是這個例子中學 生並沒有畫出圖形，他是用文字直接敘述出「圖像型內積定義」，而 這種沒有圖形只有文字敘述這樣的情況，都是高程度理組的學生。
B 類.認為內積是「某向量投影到另外一個向量上的長度」，這類同學忽略 了還要乘上被投影向量的長度。下面列舉兩位這類學生的陳述：
圖4-4-17. 內積是投影量之學生例 1
圖4-4-18. 內積是投影量之學生例 2
除此之外，研究者還有一些其他的發現：
1.學生在顯現「圖像型內積定義」的心像時，有兩種情況，一種是純圖像 型，只注意「投影」不會去在意「角度」的，如下圖 4-4-19 的學生例 子。另一種是會有混合代數型的，他們在投影量的部分會搭配上「角 度」，也就是會注意到投影量向量長〝乘上cos 〞這件事情，舉兩位這 種類型學生的例子：圖 4-4-20 的學生以及圖 4-4-21 的學生
圖4-4-19. 圖像型-注意投影之學生例
圖4-4-20. 圖像型-注意角度之學生例 1
圖4-4-20. 圖像型-注意角度之學生例 1