第一節 結論
概念心像是每一個人學習概念所自己建構出來的心理產物，而且是經 由許多經驗的累積才能夠抽象出概念，建構出自己的概念心像，所以每個 人的概念心像，理所當然的都不盡相同。而本研究為展現整體性，以全體 樣本為單位進行報導。
一、關於向量的概念心像：
1.學生對於相關的向量概念都具備有基礎的概念，但仍有 26％的學生無法分 辨向量與純量的不同，有12％的學生對於向量絕對值的概念是不正確的。
2.學生關於「向量」的概念心像至少有三種類型：A.不清楚向量的定義，
無法分辨出向量與純量的不同。B.知道向量具有〝大小〞與〝方向〞不 是純量，但無法清楚釐清，在面臨某些狀況時，會把焦點放在向量的〝大 小〞上。C.對於向量定義完全理解，可以清楚分辨向量與純量之間的不 同。
二、關於「內積特徵」的概念心像：
1.「內積」該名稱對學生刺激而浮現的心像，顯示學生比較核心的心像主 要有向量、偏代數型內積定義以及內積符號等概念心像，其次為圖形、
投影、偏坐標型內積定義以及偏圖像型內積定義等概念心像。
2.從開放性題目中學生的陳述狀況來看，有以下發現：(1)程度較差的學 Tall 與 Vinner（1981）所說的概念心像常常是前後不一致的，不同的時 間，被喚起的概念心像可能是會彼此衝突的。
三、關於「內積定義」的概念心像：
多。
6.具備「偏坐標型內積定義」心像的同學中，其概念心像發展較成熟的同學 約有24％，而概念是錯誤的同學高達 44％，還有一部份同學是發展的還 不夠成熟，他們可以寫出正確的坐標型定義的式子
a ．
b =a b1 1+a b2 2，但 受題目影響也會認為
a ．
b =(a b a b1 1, 2 2)，這樣的同學佔14％。
四、關於「內積操作」的概念心像：
1.整體來說，只有 42％的學生在任何題目刺激下都認為「任意兩向量皆可 作內積」。在平面上兩向量可不可以作內積，主要受到「起點是否相同」
的影響，而「夾角大小」的影響不大。
2.學生關於「任兩向量可以作內積」的心像在平面上或空間中差異並不大，
很多學生都認為兩平行向量是不可以作內積的。而空間中「歪斜」的狀 況有比「平行」的狀況稍微好一點，但也受到「歪斜不相交」這樣的原 有概念心像影響，使一部分學生認為沒有夾角，無法作內積。
3.學生在面對「題目中說任意兩向量」與「題目中給定某兩各向量」這兩 種題目的刺激下，會有不一致甚至矛盾的概念心像浮現。
4.本研究發現學生在向量可否作內積的心像上受到至少三類不同層面的相 關概念心像影響，這三類心像分別是「向量概念-向量可不可以平移」、「角 度概念-兩平行或歪斜向量有無夾角」以及「內積定義概念-特定向量夾角 在投影或公式定義時部分物件『消失』」。
5.學生對於「內積具有交換律」的概念心像，在代數符號的刺激狀況下，
有高達96％的學生都認為內積是有交換律的。但搭配有圖形投影情境的 題目，有一部分同學受到影響被引導至投影的情境後，其心像發展的不 夠成熟無法將|
a |(|
b |cos q)與| b |(|
a |cos q)視為兩向量內積，進而判斷兩式 相等。
整體來看，心像發展的還不夠成熟的同學，其概念心像常常是片段 的、孤立的，在面對題目時，同學的思考往往是比較單一一點的，而且面 對不同題目時的心像可以是完全衝突的，即使題目只是前後兩小題而且是 類似的題目，學生在面對兩題時所浮現的心像還是可以完全的不同。顯示 這些同學的概念心像與概念心像之間的聯繫是比較弱的。