Ic.內積特徵_名稱
概念的名稱與概念本身是密不可分的。所以在這裡，我們首先要針對
「內積」這一個名稱，來看看當學生面對「內積」這一個名稱的刺激時，
會浮現出什麼樣面貌的概念心像。
施測題目:
1.內積是什麼？
(請將所有您知道的、想到的儘量書寫！重點不在答案正確與否，而是您認真的作答。) 圖4-3-1. 內積名稱所引動的概念心像之施測題目
題目分析：
該題為開放性的問題，並獨立於其他問卷先行施測。先行施測可避免 學生受到其他題目的提示而影響其作答情形。因為開放性的題目設計，使 得學生所回答的內容，會是學生心中首先浮現的心像，也往往是較為核心 的概念心像。
施測結果&概念心像分析：
因為本題為開放性的問題，所以學生答案非常的多樣。因此，本研究 者將學生的回答情形搭配「向量內積」的相關概念進行歸納整理，將其歸 納為以下數類：內積符號、向量、相乘、純量、圖形、投影、偏代數型、
偏圖像型、偏坐標型、應用、公式、外積、面積、垂直、物理以及其他。
各類概述如下：
內積符號：學生回答中有使用內積符號「．」的情況，如下圖 4-3-2 以及 圖 4-3-3。
圖4-3-2. 內積符號之學生例 1
圖4-3-3. 內積符號之學生例 2
但此類的結果有可能被略微低估，因為有少數學生的回答如下 圖 4-3-4，此時就無法判斷學生是否有使用內積符號「．」。
圖4-3-4. 內積符號之學生例 3
向量：學生回答中有出現向量概念，即：有提到「向量」的名稱或使用向 量符號。例如上圖 4-3-3 與 4-3-4 的學生都有提到向量也有直接使 用向量符號；有一些同學只有提到向量，如下圖 4-3-5 的同學；也 有一些同學則是直接使用向量符號。
圖4-3-5. 向量之學生例
相乘：學生回答出現「相乘」的概念，此處指的「相乘」是指學生將內積 類比於數字的相乘，不是單單出現乘法而已。上面圖 4-3-3、圖 4-3-4 與圖 4-3-5 的學生的回答就出現這樣的概念心像。
純量：學生回答出現「內積的結果為純量」概念，如下圖 4-3-6 學生的回 答。
圖形：學生回答中有圖形的情況，如上面圖 4-3-4 與下面圖 4-3-6 的學生。
投影：學生回答中有提到投影或圖形有畫出投影的情形，如下圖 4-3-6 學 生的回答。
圖4-3-6. 純量之學生例
偏代數型：學生回答中有出現內積定義的心像，且其心像偏向代數型定 義，即「|
a ||
b |cosθ」，如前面圖 4-3-6 學生的回答。
偏圖像型：學生回答中有出現內積定義的心像，且其心像偏向圖像型定 義，即「
a 在
b 上的投影量 ×
b 的長度」。
偏坐標型：學生回答中有出現內積定義的心像，且其心像偏向坐標型定 義，即「( , )a a1 2 ．( , )b b1 2 a b1 1a b2 2」。
應用：學生回答中出現「內積是拿來應用到其他地方」的心像。
公式：學生回答出現將代數定義的式子移項之後像公式的式子，即
「cos 」。
外積：學生回答中出現外積的情況。
面積：學生回答中，認為內積就是兩向量所形成的面積。
a ． b
| a ||
b |
垂直：學生回答中出現「兩垂直向量內積為零」的心像。
物理：學生回答中，可以看到應該是因為受到物理課上課內容的影響。例 如有一位學生的回答是「一個具方向的物理量在空間中運動方向上 的累積量」，還有另一位學生的回答是「作功」。
其他：包括回答「我不記得了」、「不清楚」…等情形。還有其他無法歸納 的情形，例如有學生回答「相關係數」。
將第 1 題的施測結果依照各類別編碼、統計之後可以得到學生面對「內 積」名稱之刺激所引動的概念心像之施測結果，如下表 4-3-1：
表4-3-1. 「內積」名稱所引動的概念心像之結果 內積
符號 向量 相乘 純量 圖形 投影 偏代 數型
偏圖 像型
偏坐
標型應用 公式 外積 面積 垂直 物理 其他 高程
度文 65% 84% 11% 3% 30% 22% 43% 22% 41% 5% 8% 14% 0% 0% 0% 8%
高程
度理 51% 86% 6% 23% 51% 69% 57% 51% 37% 6% 0% 9% 3% 9% 3% 6%
中程
度文 29% 55% 24% 0% 31% 0% 40% 0% 12% 5% 7% 0% 7% 7% 0% 21%
中程
度理 43% 80% 11% 3% 43% 20% 66% 14% 11% 0% 6% 3% 3% 9% 17% 11%
合計 46% 75% 13% 7% 38% 26% 51% 21% 25% 4% 5% 6% 3% 6% 5% 12%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
符號 向量 相乘 純量 圖形 投影 代數型定義 圖像型定義 坐標型定義 應用 公式 外積 面積 垂直 物理 其他
高程度文 高程度理 中程度文 中程度理
圖4-3-7. 「內積」名稱所引動的概念心像之結果百分比折線圖
整體來看，學生面對「內積」此一概念名稱的刺激時，浮現的主要概 念心像有向量、內積符號以及偏代數型，其中最高的比例是 75％的向量，
次高的是偏代數型為 51％，最低的則是內積符號為 46％。比對其他各類，
可以發現這樣的情形恰好可以解釋學生多半都能背出內積之代數型定義 的情況。另外，我們也可以發現有 38％的學生的概念心像都會有圖形的出 現，而且有偏圖像型定義的概念心像的學生只有 21％，這顯示了「圖形」
本身對於學生來說是特別的。而內積概念的三種概念定義，學生對於代數 型定義的接受度最高，有 51％的學生浮現了偏代數型定義的概念心像，而 第二高的偏坐標型定義的概念心像只剩下 25％，最低的偏圖像型概念心像 則是 21％。
除此之外，比較高程度學校與中程度學校的回答情況以及文組與理組 之間的回答情況，我們有以下幾項發現：
1.參考上圖 4-3-7，我們可以看到大部分情形，中程度文組班級的比例都 低於其他班級，但在「相乘」的部分明顯反轉，有 24％出現了「相乘」
的概念心像，明顯高於其他班級(最高 11％)，而高程度理組班級的比例 只有 6％。這說明程度較差的學生，比較容易發生「將向量內積類比於 數字乘法」的情況。
2.而「內積結果為純量」此概念心像的出現幾乎都集中在高程度理組班級 (23％)。
3.圖形的出現比例，高程度理組班為 51％、中程度理組班為 43％，都高 於高程度文組班級的 30％與中程度文組班級的 31％。而且在偏圖像型 定義的心像表現上，不論高程度學校的學生還是中程度學校的學生，都 是理組班級高於文組班級。可以看到理組學生在思考上比較習慣使用圖 形，並且對於圖形使用的掌握度都高於文組學生。
4.在投影的部分，其他班級相對於圖形都是下降的狀況，而高程度理組班 級的比例突然升高，主要是因為高程度理組班級有些同學是沒有畫圖而 直接出現「投影」的文字敘述。
5.而偏坐標型定義的概念心像表現，高程度學校不論文組理組，都大約為 40％左右，而中程度學校也是不分文組理組都約為 11％左右。
6.從內積定義的三類概念心像出現的比例，並且搭配學生的回答內容來 看，顯示程度較好的學生，其概念心像比較多元；而程度較差的學生。
其概念心像較為單一。
7.另外，有 8 位學生都浮現了「cos 」樣式的式子，並且除此
之外，並無其他類似公式的式子出現。這應該是因為內積常常被應用來 求角度，有很多時候就會套用代數型定義移項後的式子
「cos 」，而有些學生習慣背公式，於是就將該式子當作公式
背下來，這 8 位學生應該就是屬於這類型的學生。
8.還有其他比例較低的類別，這些類別應該就是比較不核心的概念心像，
但對浮現了這些概念心像的學生來說，顯然他們對這些類別是特別有感 覺的，我們也不應該輕易忽視這些類別，這些類別有應用、外積、面積、
垂直、物理。
a ． b
| a ||
b |
a ． b
| a ||
b |
Ic.內積特徵_符號
在第 2 題中，讓學生勾選「 a ．
b 是否為兩向量的乘積或外積」，而 刻意不出現「內積」該名詞。這樣的題目設計有兩個考量，第一是免去學 生其實不甚清楚「
a ．
b 是兩向量內積」因受題目影響而誘發作答的狀況；
第二是可看出學生對於「 a ．
b 」的看法是類比於「乘積」還是將「 a ．
b 」視為特別的向量運算而不同於「乘積」。
為了可以更清楚地瞭解學生對於將「 a ．
b 」類比於「乘積」的看法 為何，我們搭配第 3 題的(4)
a ． b =
c ，若其心像是類比於「數字乘積」
的同學，那麼其心像可能類比於「數字乘數字=數字」會有「向量乘向量=
向量」的想法，而在3(4)這一小題進行勾選。
施測結果&概念心像分析：
代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；
代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；
代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；
代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；
其他是有一位學生在第 2 題沒有作答，第 3(4)小題打的情形。
為了更清楚學生對於「
a. ∵「．」這個符號就是乘
Ic.內積特徵_內積的結果為純量
內積是兩向量之間的一種運算。一般提到運算，我們就會談論到一些 關於運算的特質，比如說：是否具備封閉性？有沒有單位元？反元素存不 存在？當然沒有封閉性的狀況之下，就不會有單位元以及反元素。而向量 就是一種沒有封閉性的運算，對於高中生來說，從小學到國中到高中，絕 大部分的運算都具有封閉性，而內積是少數不具有封閉性的運算，相信學 生的心像會有一些特殊的情形。
所以我們將探討這一個部分，而一般教學現場，教師們通常都會採用 一個對學生而言比較簡單而且直接的說法，就是「兩向量內積的結果為純 量」，而且這樣的說法也比較貼近大部分人對於這個概念的概念心像。接下 來我們就將焦點切換到「兩向量內積的結果為純量」這一個很特殊的內積 特徵上面。
施測題目:
3.將下列有可能成為正確式子的打，不可能的打。
□ (1)
a =8
□ (4) a ．
b = c
圖4-3-10. 內積結果為純量之施測題目
題目分析：
首先從第(1)小題的回答，我們可以知道學生對於純量與向量是否能夠 做分辨，而能夠分辨向量不是純量的學生中，若具備有「兩向量內積的結 果為純量」這一個子概念的同學，就會在第(4)小題打或不勾選。反之，
打的同學就顯示了他並沒有具備「兩向量內積的結果為純量」這樣的子
概念。
內積的結果可以是向量，顯然這類學生對於「內積的結果為純量」
7. 如果我們想定義三個向量
a. 無論取哪二者先內積，求出者必為一純量 a，純量 a 再與剩下一向 量內積後，並非純量而是一向量
b. a ．
b ．
c => 其中 a ．
b 已為常數，則常數與向量無法內積 c. 兩向量內積後為純量,不能與第三向量 dot
d. 其中兩個內積後為純量，無法再內積，只能使剩下的那一個向量 伸縮
d. 其中兩個內積後為純量，無法再內積，只能使剩下的那一個向量 伸縮