建部賢弘對數學知識的分類與數學研究方法

建部賢弘在《綴術算經》中，也提出對數學知識的分類，以及數學研究之方 法。他將算學研究的「對象」，分成為「探法則」、「探術理」、「探員數」三類。

同時，也依據將算學的「研究方法/推論方式」分為「據理探」（數學）與「據數

213 過去之研究可參閱徐泽林、周畅（2010），〈建部贤弘的业绩与关孝和的影响〉，《内蒙古 师范大学学报(自然科学汉文版) 》，第 39 卷第 6 期，頁 640-648。

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探」（科學）兩類。他也提到：「凡探索法，有必據理探，有必據數探，又有同時 兩兼之。」，亦即針對某些術或法則，既可「據理探」也可「據數探」。

在《綴術算經》一書中，他共舉十二個問題進行說明。圖5-2 之中，筆者將 十二個問題與「探求方法」進行分類：

圖 5-2 《綴術算經》12 問之分類

所謂「據理探」，指的是根據算理進行探索，推演出一般性算法公式；而「據 數探」，是指根據一系列數值運算進行探索，歸納出一般性算法公式。周暢、張 建科提到，先由所立法則出發，即為「據理探」，而從具體數值出發，即「據數 探」。²¹⁴然而，建部所謂的「理」，只是透過對數值計算的觀察和直觀領悟得到的，

現今看來並不周密。筆者考察《綴術算經》各個單元中，建部提到的所有解題方 法、研究方法，進一步整理成表5-2 ：

表 5-2 建部賢弘在《綴術算經》12 問中所提到的解題方法與研究方法²¹⁵

問 題 解題方法 研究方法/推論方式

探乘除法第一 因乘 碎抹、釋九數法、因乘之法 據理探法 歸除 碎抹、釋九數法、歸除之法

探立元之法第二 透過天元術立元求解 據理探法

利用面積求解

214 參閱周畅、张建科（2008），〈建部贤弘的数学方法论与数学思想〉，頁 216。

215 此表為筆者與台灣師大數學系博士生黃俊瑋討論後，整理而成。

探法則

探術理

探員數

據理探

據理探 據數探

據數探

據理探

據數探

探乘除法第一 探立元法第二 探約分法第三 探招差法第四

探織工重互換術第五 探直堡求極積術第六

探算脫術第七

探立元法求球面積術第八 探碎抹數第九

探開平方數第十 探圓數第十一 探弧數第十二 數理探求方式

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探約分法第三 互去之術 據數探法

探招差法第四 碎設同類而求數 據數探法

探織工重互換術第五 依術立互換之法式 據理探術

探直堡求極積術第六 碎抹 據數探術

立元之法 據理探術

探算脫術第七 設類數而碎探 據數探術

探求球表面積術第八 前術－薄皮饅頭法

（透過關孝和求球體積之 法「削片法」、損約術求）

據數探術

後術－關孝和之視錐法 視形立道條而不探，

直理會真術也。

探碎抹數第九 碎抹 據理探數

索得順其形質 據數探數

探開平方數第十 開平方法 據理而立法術

依法術而探數

探圓數第十一 碎抹術求截周幂 據理探數

累遍增約術求極數 據數探數 零約之法求率數 據數探數

探弧數第十二 逐差乘除之段數 據數探數

求背之術 據數探法

由表5-2 中可以發現，建部賢弘對於一個問題，會用不同的觀點切入求解，

有時從從數字本身的特性逐一探求，有時則透過法則探求，遂而將研究方法分成

「據理探」或是「據數探」兩種。透過此兩種研究方法，去探法則、探術理、探 員數。

此外，建部賢弘在自序中提到：「察理施術、依術得數者，順也；隨數課術，

憑術索理，逆也。其順逆皆貫於綴術。」。由此可知，根據「解題思路」來分，

又可分成「順」、「逆」兩種過程（筆者以下圖5-3 來呈現），順逆交融，即為「綴 術」。例如：第12 問「探弧數」，一開始是據數索理，為「逆」，後來是察理得術，

為「順」。周暢、張建科認為，建部賢弘這個順逆的過程，接近於「演繹法」與

「歸納法」。²¹⁶不過，筆者認為，此處的演繹，由於少了後面的證明部分，與我 們現今的演繹並不相同。

216 參閱周畅、张建科（2008），〈建部贤弘的数学方法论与数学思想〉，《自然科学史研究》，

第27 卷第 2 期，頁 216。

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圖 5-3 《綴術算經》之解題思路