4.1 關於《綴術》
4.3.1 探法則
因乘：假如有粟一十二斛，每斛價銀二十七錢，
問該價銀幾何？
歸除：假如有粟一十五斛六斗，令六人分之，問 每人分粟幾何？
探立元之法第二 假如有直積一百八十步，長平和二十七步。問長 平各幾何？
探約分法第三 假如有一百六十八分之一百○五，問約之幾何？
探招差法第四 假如有四角尖垛，底面一十九，問積幾何？
探 術 理
探織工重互換術第五 假如有織工三人，二十一日織錦四端，今織工七 人，織四十五日，問錦幾端？
探直堡求極積術第六 假如有直堡，長闊差七尺，闊高和八尺，欲使積 至多，問長、闊、高及極積各幾何？
探算脫術第七 交備黑白橫子三十一半白子，一半黑子，順數，脫去每 當十之數。既脫黑子十四而止一黑子，於此，自 其所止一黑子逆數雖順數也同，姑從古傳，脫去每當十 之數時，卻白子咸脫盡而止黑子一，此自古號繼 子立。
探求球面積術第八 假如有球徑一尺，問面積幾何？
探 員 數
探碎抹數第九 討論碎抹圓周以及碎抹球積
（亦即求圓周長以及球體積問題）
探開平方數第十 假如有積一千一百六十六步，問開平方幾何？
探圓數第十一 討論求圓周率之方法 探弧數第十二 討論求弧長之方法
（亦即求弓形弧長之問題）
接著，筆者將在下面幾個小節中，逐一分析每個問題。首先，建部賢弘從四個 例子－「探乘除法」、「探立元之法」、「探約分法」、「探招差法」來說明如何「探 法則」。
4.3.1 探法則
所謂「法」，指解法，亦即計算法則。建部賢弘在此主題中，先討論乘除問 題，其次討論如何利用「立天元一」來求解未知數，之後討論約分方法，最後討 論「招差法」。此主題分為「據理探法」和「據數探法」兩類，「探乘除法」、
「探立元法」屬於「據理探術」，「探約分法」、「探招差法」屬於「據數探術」。
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探乘除法第一
「探乘除法」，包含因乘與歸除之討論，乃與整數的乘法與除法計算有關之問 題。建部賢弘以物價計算為例，歸納出乘、除的一般性運算法則。建部賢弘提出 的「因乘」問題如下：
假如有粟一十二斛，每斛價銀二十七錢，問該價銀幾何？
答曰：該價銀三百二十四錢。
建部賢弘的作法如下：
建部的想法（原文部分） 斛數 價數 錢數
每一斛價銀二十七錢 1 1 27
二斛合兩個價，為銀五十四錢。 2 2 54
三斛合三個價，為銀八十一錢。 3 3 81
四斛合四個價，為銀一百八錢。 4 4 108
五斛合五個價，為銀一百三十五錢。 5 5 135
六斛合六個價，為銀一百六十二錢。 6 6 162
七斛合七個價，為銀一百八十九錢。 7 7 189
八斛合八個價，為銀二百一十六錢。 8 8 216
九斛合九個價，為銀二百四十三錢。 9 9 243
十斛合十個價，為銀二百七十錢。 10 10 270
十一斛合十一個價，為銀二百九十七錢。 11 11 297 十二斛合十二個價，為銀三百二十四錢，為該價銀。 12 12 324
建部賢弘進行上述分析後，提到：「如此累碎 是俗稱目之子算也 得真數後探括 術。」所謂「括術」，指的是「一般性的求解法則」。他接著透過這個逐步想法，
欲利用「九數法之辭」（即「九九乘法口訣」）找出一般算則。作法如下：
建部的結論（原文部分） 現在數學算式或說明 置粟一十二斛，
以斛價銀二十七錢 先因一十，
十二如兩百錢，一七如七十錢，
次因二斛，
二二如四十錢，二七一十四錢時，
「作為」一般，而會得該價銀三百 二十四錢。
12×27
（將12 拆成 10＋2）
先算10×27（將 27 拆成 20＋7）
10×20＝200，10×7＝70
再算2×27（將 27 拆成 20＋7）
2×20＝40，2×7＝14 得價銀為
200＋70＋40＋14＝324
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筆者發現，現今小學教材中的作法，類似於前述作法。茲將兩者做比較後以 下表呈現：
建部的想法（以現在數學算式說明） 小學的教法 12×27
（將12 拆成 10＋2）
先算10×27（將 27 拆成 20＋7）
10×20＝200，10×7＝70
再算2×27（將 27 拆成 20＋7）
2×20＝40，2×7＝14 得價銀為
200＋70＋40＋14＝324
12×27
＝(10＋2)×27
＝10×27＋2×27
＝10×(20＋7)＋2×(20＋7)
＝10×20＋10×7＋2×20＋2×7
＝200＋70＋40＋14
＝324
建部將此方法作為一般性的求解法則，用以得到「因乘之法」，即此題之解 題本術：「置粟數，以斛價銀乘之，得該價銀也。」。153此解題本術依現在數學 算式來書寫，即為「12×27＝324」。在此問題中，建部透過層層思考、推導，得 到一般化過程，無怪乎建部曰：「雖似不累碎而直得，實非直得。」
探討完乘法問題後，接著來看除法問題。建部提出的「歸除」問題如下：154
假如有粟一十五斛六斗，令六人分之，問每人分粟幾何？
答曰：每人二斛六斗。155 建部賢弘的作法如下：
建部的想法（原文部分） 每人斛數 六人斛數 結果
一人分粟一斛時，六人六斛也，少於 原粟。
1 6 不足
又一人分粟二斛時，六人一十二斛 也，猶少於原粟。
2 12 不足
又一人三斛時，六人一十八斛，卻多 於原粟。
3 18 超過
故知每人二斛有餘也。
即其二斛，六人一十二斛，以去原 粟，有餘三斛六斗。
知每人斛數介於2 斛～3 斛之間。
∵6×2＝12
∴15 斛 6 斗－12 斛＝3 斛 6 斗
153 「解題本術」，即建部賢弘將其想法進行推論後得到的總結。
154 筆者認為所謂「歸除」之名，乃取自「九歸除法」。
155 一斛＝10 斗。
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∵2×6＝12＜15 3×6＝18＞15
∴初商＝ 2（斛）
（二）再決定小數位 15.6－12＝3.6（斛）
＝36（斗）
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綜合以上的思考過程，建部賢弘得到歸除問題的解題本術為「置原粟數為實，
以人數為法，除之，得每人分粟也。157」，將此段文字以數學算式來表示，即為
「 6 6 .
15 ＝2.6（斛）」。
透過因乘與歸除問題，建部賢弘傳達了下面的想法：
凡算法，止於察理求數。求數，本於碎抹；施術，以察理為要，二者本相因 而成法，然以理不極盡不可得，必有滯於事；以數不究盡不可得，必有惑於 理。何者？如不料術之順逆，而萬術皆碎抹求，則於算之法則無功，卻於順 術，停滯而不得；又，若不探而悉從理直得，於逆術無理之據而難會。故料 術之順逆，詳數理之據，順形質、察法數之盡與不盡而玄探者，無不可會之 法，無不可得之數乎。
由此段話可之，建部認為，求算法問題時，必須懂得碎抹求數，兼以察理施術，
並順應題目之本質，才能「無可不會」、「無可不得」！
探討完乘除問題後，建部賢弘接著探討立元之法。
探立元法第二
「立元法」，又稱「天元術」。在中國，12~13 世紀就出現求任意高次方程 的數值解，也可以根據問題給出條件來列方程式。158宋元時代的數學家們找到列 方程式的普遍解法－「天元術」。159流傳至今的數學著作中，首先對天元術進行 系統性敘述的是李冶（1192~1279）所著的《測圓海鏡》（1248）與《益古演段》
（1259）。160朱世傑的《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）兩書也曾使 用天元術，特別是《四元玉鑒》還記述了多元高次方程的列方程之法。161
「探立元法」，是討論以立元來列方程式的解題方法。此題中比較了古法與 立元之法的差別，並大大讚揚立元之法的妙用。
建部賢弘在此問題一開頭便提到：
157 元，即「原」。元粟數，即「原來的粟米數量」。
158 參閱李俨、钱宝琮（1998），《科学史全集》第五卷，頁 186。
159 引自同上。
160 引自同上。
161 引自同上。
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立元之法，未知始於何代，元至元年中，郭守敬修《授時曆》用此法，同代 大德年中，朱世傑所撰《算學啟蒙》，具說解其法也。是得索數之術之神法 矣。雖言說會此法之玄妙，然假以據而釋會之一端，以呈探索之意。
由此段話可知，天元術是透過《授時曆》、《算學啟蒙》所傳入。《授時曆》
可能是15 世紀左右傳入日本。162《授時曆》由元朝的優秀天文學家兼數學家王 恂（1235~1281）、郭守敬（1231~1316）、楊恭懿（1225~1294）等人集體編寫，
於至元十七年（1280）完成，並且在至元十八年（1281）正月一日正式啟用。其 中王恂負責計算，郭守敬則負責各種測量儀器的製造。163《授時曆》前後共施行 364 年，是中國古代最優秀且施行最久的曆法。164小川正義的《授時曆經立成》
（1673）刊行，拉開了《授時曆》的研究序幕。165關孝和對《授時曆》進行深入 研究，著有《授時發明》（1680）、《授時曆經立成之法》（1681）、《授時曆經立成》
（1681）四卷，澀川春海的《貞享曆》（1685）便是以《授時曆》為基礎改定的。
166《算學啟蒙》（1299）為朱世傑所著，此書最晚在 16 世紀末以前傳入日本，並 在日本廣泛流傳，對日本造成很大的影響。167先後有久田玄哲（Hisada Gentetsu）
的《算學啟蒙訓點》（1658）、星野實宣（Hoshino Sanenobu，1628~1699）的《新 編算學啟蒙注解》（1672），而村松茂清（Muramatsu Shigekiyo）也根據《算學啟 蒙》寫成《算爼》（1672）一書。建部賢弘深入研究《算學啟蒙》後著《算學啟 蒙諺解大成》（1690），此書對《算學啟蒙》的內容作了詳細的註解並解明其全部 的數學方法，可見建部賢弘受《算學啟蒙》影響頗大。168《算學啟蒙諺解大成》
對於元代數學知識，特別是天元術和線性方程組的解法在日本傳播起了很大的作 用。169
1671 年，澤口一之（Sawaguchi Kazuyuki）著《古今算法記》，首次以天元 術解答《算法根源記》之遺題，開和算對於天元術應用之先河。170關孝和的《闕 疑抄一百答問術》、《勿憚改答術》、《發微算法》（1674），皆以天元術解題，確立 了天元術在和算中的地位。171對天元術的接受與發展，是和算中最重要的事件，
162 參閱冯立昇（2009），《中日数学关系史》，頁 76。
163 參閱李俨、钱宝琮（1998），《科学史全集》第五卷，頁 210。
164 參閱孔国平（2000），《李冶朱世杰与金元数学》，頁 238。
165 參閱冯立昇（2009），《中日数学关系史》，頁 76。
166 參閱周畅（2010），〈《缀术算経》：东亚数学归纳推理的典范〉，《自然科学史研究》，
第29 卷第 1 期，頁 71。
167 參閱冯立升（2009），《中日数学关系史》，頁 66。
168 參閱同上，頁 68。
169 引自同上。
170 引自徐泽林（2001），〈中算数学机械化思想在和算中的发展－解伏题的机械化特征〉，《自 然科学史研究》，第20 卷第 2 期，頁 121。
171 參閱同上。
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亦是明末以後中日數學分道揚鑣的分水嶺。172關孝和在「天元術」的基礎上，創
「傍書法」和「演段術」，實現了和算的代數化。173
圖 4-6 星野實宣《新編算學啟蒙注解》書影174（現藏於日本京都大學理學部數學教室）
圖 4-7 《古今算法記》書影175（現藏於日本東京大學綜合圖書館）
接下來，筆者回到原問題，進行內容分析。建部所提出的問題如下：
假如有直積一百八十步，長平和二十七步。問長平各幾何？176 答曰：平一十二步，長一十五步。
172 引自徐泽林（2001），〈中算数学机械化思想在和算中的发展－解伏题的机械化特征〉，《自 然科学史研究》，第20 卷第 2 期，頁 121。
173 「傍書法」首見於關孝和的《發微算法》和《解見題之法》。演段，廣義來說，具有演示、
173 「傍書法」首見於關孝和的《發微算法》和《解見題之法》。演段，廣義來說，具有演示、