探員數

此主題包括求弧、矢、徑、圓周率等問題。建部賢弘在此主題中，先討論碎 抹的方法，其次討論如何開平方，之後討論弧長，最後討論圓周率的求法與值為 多少。此主題分為「據理探數」和「據數探數」兩類，「探碎抹數」、「探開平方 數」屬於「據理探數」，「探圓數」、「探弧數」屬於「據數探數」。

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探碎抹數第九

「碎抹」是和算專有術語，指幾何求積中的無限分割法。¹⁹⁸在第九問中，建 部賢弘沒有給實際問題，而是舉兩例：「細截」與「削片」，來探究碎抹之法。

方法一：細截法求圓周長（筆者以下圖4-10 表示）

假令碎抹圓周者，若等橫細截直徑，求每截上下弧弦盡處之左右斜弦，如截 數，累併其斜弦求截周時，其所截徑之分等，而周之分不等，然逐倍截數，

求探各件截周，也忤其質，故滯於求極數，且不得識圓質之據。故四角以上 逐倍角形而截，求截周時，即為等周細截者，其數，順求周之質，故求角數 逐倍之各件截周，探會增約累遍之法術，速求得極數，而得識圓質之據也。

圖 4-10 細截法求圓周長 圖 4-11 削片法求球體積

方法二：削片法求球體積（筆者以上圖4-11 表示）

碎抹球積者，等而細片球徑，每片造成圓台形，累片厚為弧矢，求每片弧弦，

便取用每片上下台徑，片厚便為台高，而依求圓台積術，求各片積，如片數 而累併台積，為截積 但求台積者，省用圓率，通用方積 。又逐倍其片數，求件件截積，

探其數而索增約之數，如術而得真積之極數也。

方法一以累加斜弦逼近圓周長求圓周，而方法二乃把削得的每片看做圓台，各圓 台體積之和即為球體積。求圓周長時，透過將圓周等分來逼近圓周長；而在求球 體積時，將直徑等分後，利用圓台體積總和來求。如此順應所求之物的本質，才 能更貼近問題，順利求解。建部認為「細截」與「削片」都是碎抹的方法。

探討完碎抹數後，建部賢弘接著探討開平方數。

198 引自徐泽林、周畅、夏青（2013），《建部贤弘的数学思想》，頁 138。

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探開平方數第十

今之「開平方法」，中國漢魏南北朝都稱之為「開方術」。¹⁹⁹開方術是何時出 現，無可稽考。《周髀算經》中陳子用勾股定理求「斜至日」的距離時，雖用到 開方法，但未給出開方的程序。²⁰⁰直到《九章算術》的〈少廣章〉中，才提出完 整的開平方、開立方程序。²⁰¹

建部以計算 1166 為例，透過逐一試商的過程，利用增乘開方法（即賈憲─

霍納法）求解。建部提出的問題如下：

假如有積一千一百六十六步，問開平方幾何？

答曰：方三十四步 ^{餘積一十步} 。

將建部的解題步驟與現在數學算式對照，即為：

建部的想法（原文部分） 現在數學算式或說明 置積於實，置一於廉法，超位 諸級進退之技，略之。

知初商為十之位，其初商一十，一一如一百，

故少於實，以二十，二二如四百，故由少於實，

以三十，三三如九百，猶少於實，又以四十，

四四如一千六百也，却多於實，故知為三十餘。

置初商三十，是乘廉法，置於方法，以初商乘 方法，減實九百，餘二百六十六步，

又以初商乘廉法，加入方法，得六十步。

於此，探次商，以一步，減實，為六十一步，

故少；以二步，減實，為一百二十四步，故又 少；以三步，減實，為一百八十九步，故又少；

以四步，減實，為二百五十六步，故猶少；以 五步，減實，為三百二十五步，却多。

觀察1166 這個數字 步驟一：先探初商 探得初商為二位數 10×10＝100 < 1166 20×20＝400 < 1166 30×30＝900 < 1166 40×40＝1600 > 1166 可得初商＝30

（∴可得 1166 ＝30.~）

1166－(30×1)×30＝266 30×1+30＝60

步驟二：再探次商 61×1＝61

62×2＝124 63×3＝189 < 266 64×4＝256 <266 65×5＝325 >266

199 引自郭书春、李兆华主编（2010），《中国科学技术史－数学卷》，頁 145。

200 引自同上。

201 引自同上。

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故知為四步有餘。

置次商四步，以乘廉法，加入方法，以次商乘 方法，減實二百五十六步，餘一十步。

逐如此探，求三商、四商以上也。

得次商＝4

（∴可得 1166 ＝30.4~）

266－(4×1+60)×4＝10

以此類推，即可求出三商、四 商。

筆者以綜合除法來解釋建部之思考過程，如下所示：

步驟一：探初商

實 方 廉

1 0 －1166 30 30 900 1 30 －266

1 30 1 60

步驟二：探次商²⁰² 實 方 廉

1 60 －266 4 4 256 1 64 －10

上述「步驟一」的過程，是利用開方法求得初商等於30，亦相當於把方程式

2 1166 0

x

  利用綜合除法變換成(

x

30)²60(

x

30) 266 0  ，令 x30X， 可得 _X²_{60X 266 0} ，接著，「步驟二」繼續對此式開方，求得次商等於4。

以此類推，可繼續開方求得三商、四商、…，所求 x 即為諸商之和。觀看建部之 方法，雖然透過逐一嘗試之方式來求解看似非常麻煩，但當技巧成熟時，其實便 可直觀而得，而省去許多步驟。最後，建部給了「置積為實，以一為廉法，開平 方除之，得方面也。」的「解題本術」。

探討完開平方數後，建部賢弘接著探討圓數。

202 建部賢弘的原文只求到次商，所以求三商、四商…的步驟省略。

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探圓數第十一

所謂「圓數」，即是「圓周率」。建部賢弘在此題中，主要探討了求圓周率近 似值與近似分數的看法，他先以割圓術求圓周率的近似值，再以增約術求更精確 之近似值，最後再以零約術求周率、徑率。²⁰³

首先，他提到關孝和在《括要算法》中，先割圓至2 、¹⁵ 2 、¹⁶ 2 邊形，然¹⁷ 後，再依增約術計算出圓周率之近似值，準確至小數點後10 位。²⁰⁴他接著提到：

今以角面幂求截周幂者，省開平方之功也。是自首非察用幂數，先用截周，

後玄探而會用幂數。

因此，建部提出自己改良的累遍增約術：

以其截周冪四角以上，逐與前段相減，餘為各一差，探以後差除前差，會得 逐差數以四分之一為極限，

即依增約術，以約法內減一餘三，約各一差，加於各其段截周冪，為一遍約 周冪；以一遍約周冪八角以上，逐與前段相減，餘為各二差，探以後差除前 差，會得逐差數以一十六分之一為極限，即依增約術，以約法內減一餘一十 五，約各二差，加於各其段一遍約周冪，為二遍約周冪；以二遍約周冪一十 六角以上，逐與前段相減，餘為各三差，探以後差除前差，會得逐差數以六 十四分之一為極限，

即依增約術，求三遍約周冪；求四遍約周冪者，增約之數為二百五十六分之 一為極限；五遍者，一千○二十四分之一，如此，探會得增約之法為四因之 數也，而累約周冪之遍、用增約術求定周冪也 其增約諸數載於圓率，故今略此。 而建部依此術計算出圓周率的近似值，準確至小數點後40 位。對於累遍增 約術的相關研究，過去受到中日學者的重視，特別是徐澤林與周暢的研究已經非 常詳細，筆者亦認同其看法，礙於篇幅之故，在此不贅述。²⁰⁵

203 參閱周畅（2006），《《缀术算经》研究》，頁 38。

204 相關研究可參考：劉雅茵（2011），《《括要算法》之內容分析》，頁117-126。以及，黃俊瑋（2011），

〈關孝和與祖沖之的邂逅〉，HPM 通訊第十四卷，第 7、8 期合刋，頁 4-12。

205 相關研究可參考：徐泽林（1998），〈建部贤弘的累遍增约术＆Romberg 算法〉，《自然科学史 研究》，第17 卷第 3 期，頁 240-249。以及，徐泽林（1997），〈试论中日“缀术”之异同〉，《西 北大学学报(自然科学版) 》，第 27 卷第 4 期，頁 277-282。以及，周畅（2010），〈《缀术算经》: 东亚数学归纳推理的典范〉，《自然科学史研究》，第29 卷第 1 期，頁 69-86。

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數的部分，亦是據數探。可見同一個問題中，存在著不同的思維模式與理論基礎，

這是《綴術算經》書中的特色之一。

探討完圓數後，建部賢弘接著探討弧數。

探弧數第十二

求弧長之公式在《九章算術》的〈方田章〉即已提及，然而那僅是近似公式。

和算家對於此問題也多有研究，其中關孝和於《括要算法》一書之中提出了新的 方法。²⁰⁸建部賢弘在「探弧術第十二」的一開始，便透過累遍增約術之法，先求 得「半背幂」（即弧長之半的平方）之近似值。接著，藉由此近似值，進一步提 出三個求弧背冪的公式。其中，前兩個方法即將弧長表示成與「徑」、「矢」有關 的幂級數展開式，而此二個方法充份展現了《綴術算經》書名中「綴術」的精神。

而其中的第三個方法，目前史家並未作深入討論與解讀，因此，筆者將聚焦於第 三個方法的術文內容以及建部所提供的造術方法，進行深入的分析與探討。

關於求弧長，建部賢弘的第一個方法（筆者稱之為「方法一」）如下：

始以徑一尺，碎約求矢一寸、矢二寸、矢三寸、矢四寸等之定背，續又求矢 四寸五分、矢四寸九分等之定背，探其數，於近半圓者，敢不會為據者？故 往歲關氏改造弧率再次，吾亦重新改造一次，皆不精，而其術廢。依其矢一 寸之半背冪一十寸○三強、與矢一分之半背冪一寸○○三三強之數，預探會 矢之極微者，察真數必顯，求得矢一忽之半背冪之定數而探會其質。

截矢一忽之弧造二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造一十六斜，逐如此 倍截斜之數，求各截半背冪，依累遍增約之術，得定半背冪一絲○○○○○○

三三三三三三五一一一一一二二五三九六九○六六六六七二八二三四七七 六九四七九五九五八七五強 同於碎約之法求圓周冪，但求至背之截數為六十四斜之截半背冪，以 增約術究真數，得五十餘位也，其截數略之。

依矢一寸者，半背冪一十之數；矢一分者，半背冪一寸之數；矢一忽者，半 背冪一絲之數，探會為矢徑相乘之原數也者，是即符合二斜之截背冪。

建部賢弘不斷更動矢的長度，從一寸、兩寸、三寸、四寸、到四寸五分、四寸九 分，進而再設定矢的長度從一寸、一分、到一忽，去計算出定差與泛差之值，並 試圖尋找求出定半背冪的過程中，所需的各項數值間之關連性，進而找到一些規

208 相關研究可參考劉雅茵（2011），《《括要算法》之內容分析》。

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律。²⁰⁹下表4-7 是當「矢」的長度＝一忽（10^5寸）時，建部利用累遍增約術與 零約術，求得之定差與泛差之值：

表 4-7 各定差與泛差之值²¹⁰

（單位：絲。一絲＝10^4寸）

定半背冪 1.0000003333335111112253969066667282347769479595875 強 泛半背冪 1

一定差 0.0000003333335111112253969066667282347769479595875 強 一泛差 0.0000003333333333333333333333333333333333333333333 強 二定差 0.0000000000001777778920635733333949014436146262542 強 二泛差 0.00000000000017777777777777777777777777777778 弱 三定差 0.0000000000000000001142857955556171236658368484764 強 三泛差 0.0000000000000000001142857142857142857142857142857 強 四定差 0.0000000000000000000000000812699028379515511341907 強 四泛差 0.0000000000000000000000000812698412698412698412698 強 五定差 0.0000000000000000000000000000000615681102812929209 強 五泛差 0.0000000000000000000000000000000615680615680615681 弱

一定差 0.0000003333335111112253969066667282347769479595875 強 一泛差 0.0000003333333333333333333333333333333333333333333 強 二定差 0.0000000000001777778920635733333949014436146262542 強 二泛差 0.00000000000017777777777777777777777777777778 弱 三定差 0.0000000000000000001142857955556171236658368484764 強 三泛差 0.0000000000000000001142857142857142857142857142857 強 四定差 0.0000000000000000000000000812699028379515511341907 強 四泛差 0.0000000000000000000000000812698412698412698412698 強 五定差 0.0000000000000000000000000000000615681102812929209 強 五泛差 0.0000000000000000000000000000000615680615680615681 弱

在文檔中 建部賢弘之研究－以《綴術算經》為例 (頁 80-99)