江戶時代由於商業發達、教育普及，形成很多具有獨特性的風潮。遺題承繼、
算額奉納之風氣與家元免許制度，不僅讓算學普及於平民階層，亦將和算推往藝 道化之路。
2.3.1 遺題承繼
「遺題承繼」又稱「遺題繼承」，是江戶時期形成的獨特文化。所謂「遺題 承繼」，乃「解前人之難法而致疑問於後人」，意指和算家在自己著作的算書卷 末，提出一些數學難題，供讀者繼續研究發展。41一旦他們的門人、弟子或其他 讀者解決了這些難題，通常都會撰寫難題的解答，並在書末深入提示問題的意義，
進一步提出難度更高的問題。42
遺題承繼的風氣前後約170 多年，終結於文化十年（1813）石黑信由《算學 鉤致》，這段期間形成了四個遺題承繼大系，這四大系始於吉田光由的《新編塵 劫記》，歷經村瀨義益《算法勿憚改》（1673）、池田昌意《數學乘除往來》（1674）、
中村政榮《算法天元樵談集》（1702）。43
38 參閱李永熾（1972），《日本史》，頁 238。
39 引自高明士（2005），《東亞傳統教育與學禮學規》，頁 429。
40 參閱李永熾（1972），《日本史》，頁 239。
41「解前人之難法而致疑問於後人」語出前田憲舒《算法至源記》。（引自乌云其其格（2009），
《和算的发生─东方学术的艺道化发展模式》，頁 151。）
42 參閱劉雅茵（2011），《關孝和《括要算法》之內容分析》，頁 15。
43 參閱乌云其其格（2009），《和算的发生─东方学术的艺道化发展模式》，頁 151。
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吉田光由的《新編塵劫記》（1641）開遺題承繼之先例，書末附上 12 題遺 題，由後人為之解答，隨後又出現一些解答書，這些解答書又各自提出自己的一 些遺題。44圖2-2 即為《新編塵劫記》這一系之遺題承繼關係。
圖 2-2 《新編塵劫記》之遺題承繼關係圖45
池田昌意精通《授時曆》，是德川幕府第一代天文方澀川春海的老師。1674 年著《數學乘除往來》3 卷，在下卷提出以勾股為主的 49 個遺題。46關於這一系 的繼承關係如圖2-3：
研幾算法（1683）
數學乘除往來（1672）
算法入門（1680）
圖 2-3 《數學乘除往來》之遺題承繼關係圖47
村瀨義益著《算法勿憚改》（1673）5 卷，較之前的代數學提出了一些新的 內容，如：勾股定理的證明、方程的逐次近似解法、圓周率和圓積率的精確計算 等。48關於這一系的繼承關係如圖2-4：
44 《新編塵劫記》書末的 12 個題目為：勾股積、圓截積、二組四色、三組三色、二組三色（即 方程問題）、盈朒法（即盈不足問題）、方台、圓台、栗石積、圓弦截、九連圖（二題）（引 自乌云其其格（2009），《和算的发生─东方学术的艺道化发展模式》，頁 152。）
45 圖引自徐泽林译注（2008），《和算选粹》，頁 20。
46 引自乌云其其格（2009），《和算的发生─东方学术的艺道化发展模式》，頁 155。
47 引自同上，頁 156。
48 引自同上。
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具應算法（1696）三宅賢隆---100問 算法勿憚改（1681）
大成算經續錄（1745）
圖 2-4 《算法勿憚改》之遺題承繼關係圖49
中村政榮著《算法天元樵談集》（1702）九問，雖屬於發生較晚的承繼體系，
但內容卻較第一系更為廣泛與深刻，涉及了不知段數、垛術、角術、整數術、剪 管術、招差術、容術、級數術等諸多問題。這一體系可視為享保元文至寬保延享 年間頗具代表性的數學著作。50關於這一系的繼承關係如圖2-5：
圖 2-5 《算法天元樵談集》之遺題承繼關係圖51
不管是哪個體系，遺題承繼之風氣對江戶前半期數學的發生與發展有極大的 刺激作用。這種形式使得和算知識的傳承演變成帶有競技性質，推動了和算的普 及與發展。52
2.3.2 算額奉納
從中世至整個近世，各種藝能已普及至一般社會階層，浮世繪、和歌、和算、
劍道、柔道、武道等學藝流行發達。53日本許多學者出自於寺院，他們負擔著文 化傳播的重任，因此，日本的寺院不只是學佛聖地，同時也是各類型學術思想的
49 引自乌云其其格（2009），《和算的发生─东方学术的艺道化发展模式》，頁 156。。
50 引自同上，頁 157。
51 圖引自同上。
52 參閱徐泽林译注（2008），《和算选粹》，頁 20。
53 參閱劉雅茵（2011），《關孝和《括要算法》之內容分析》，頁 18。
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存身之地。54「繪馬」（如圖2-6）是懸掛在神社、廟宇的木製彩色匾額，用以向 神佛祈願或感謝的木板畫，到了江戶時代演變成為記載著數學問題的匾額，「算 額」（見圖2-7）即是這種帶著學問性質的特殊繪馬。從字面上可以理解「算額」
即為寫著算術問題的匾額，上頭除了「問」、「答」、和「術文」之外，還會有精 緻的幾何圖形與奉納者及其門人的相關訊息，懸掛於神社或佛閣的繪馬堂中。書 寫在算額中的數學問題以幾何題居多，主要是在討論圓、橢圓、各種多邊形之間 的相容、相切關係，算額也因此成為江戶時代各數學流派較勁學問高下之物。算 額中，為了區隔不同的幾何圖形，需以不同色彩表示，所以常具有藝術效果，由 於數量關係複雜、難度也高，成為獨特的和式幾何。55
圖 2-6 日本明治神宫的繪馬56
「算額奉納」是指將解題方法刻在匾額上獻給神社、寺院之作法。奉納算額 的意義有三種：一是感謝神佛的恩賜，二是對和算教師的尊崇，最後則是展示其 研究成果。57。算額奉納之風興起的確切年代不得而知，目前只知約略在寬文年 間開始盛行。58從享保年間開始，以江戶、京都、大阪三都為中心，算額奉納現 象十分盛行。5917 世紀江戶城中算額奉納的大規模出現，反映了這一時期學期數 學人數遽增，這也是江戶數學發展的一個重要因素。60三上義夫（Mikami Yoshio）
所著之《算額雜考》將各地算額的奉納年代、奉納寺社、奉納者姓名等做過詳細 統計。61這種獨特的風氣，使得許多數學方法得以廣泛流傳，而達到交流的目的，
亦是日本藝能發展的一種獨特方式。
54 參閱乌云其其格（2001），＜论和算发生的社会文化基础＞，《自然科学史研究》，第 20 卷 第2 期，頁 106-119。
55 參閱徐泽林（2007），〈江户时代的算额与日本中学数学教育〉，《数学传播》，第 31 卷第 3 期，頁 70-78。
56 左圖引自「台灣 WiKi」（網址：http://www.twwiki.com/wiki/%E7%B9%AA%E9%A6%AC），
右圖為筆者於2006 年親訪日本明治神宮時所拍攝之照片。
57 參閱蘇意雯（2009），〈探索日本寺廟的繪馬數學〉，《當數學遇見文化》，頁 184-192。
58 參閱乌云其其格（2009），《和算的发生－东方学术的艺道化发展模式》，頁 158-162。
59 引自同上，頁 160。
60 引自同上，頁 161。
61 引自同上，頁 159。
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圖 2-7 奉納的算額62
2.3.3 家元免許制度
「家元－免許制度」是「家元制度」與「分段免許制度」之合稱，由上下師 承關係所構成。「家元－免許制度」在江戶初期開始形成，並成為各藝道普遍採 納的制度。江戶時代，藝道的學習與研究都是在此「家族」單位中進行的。這種
「家族」有別於傳統，並非具有血源關係，而是一種師徒關係，以門派方式存在。
各個門派內，家元及門人弟子各以特定的權力與義務。在日本學藝社會中，掌管 家族的家長便稱為「家元」、「某某流道統」、「宗統傳人」，而不具有此特殊 身份的弟子，通常被稱為「某某流第幾代傳人」，如建部賢弘是關流的第一代傳
62 圖片引自「和算の館」（http://www.wasan.earth.linkclub.com/）。上、左下、右下三個分別為 寛政12 年（1800），寬正元年（1788）的算額，嘉永 8 年（1854）奉納的算額。
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人。歷代家元傳承的主線構成了整個門派的主系，而非家元師承關係傳承下來的，
則是支系。63
免許狀，即「等級證明」。家元對於弟子或門人在該流派中之修業成果達到 的水平或段位，給予之書面證明。關孝和將其算學分為兩段：「算學許符」與「算 學印可」，松永良弼將其分類改為「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」與「別 傳免許」四段，又山路主住時將之制定為「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」、
「別傳免許」與「印可免許」五段，並以「段位」等級表示弟子的學業程度與水 平，使得關流的免許制度成為當時江戶時期和算學派中最為完備者。64以下列出 關流的六傳弟子藤田貞資授予門人、弟子的免許狀目錄，從中我們可以了解關流
的數學內容。65 第一見題免許
卷首
河圖；洛書；三成；大極；四象；大數；小數；諸率。
算法草術；加減乘除之法；開除法；九章；平垛解術；圓法玉率及弧矢弦 玉欠論；諸法根源；諸法慎始；統術；點竄；籌策；一算盈朒；之分法；
統術解；同秘傳；同目錄之解；單伏點竄；再乘和門；總括；見題蘊奧。
第二隱題免許
太極；全積門；差分門；因積門；勾股門；互換門；形容門；截積門；收 約門；雜式門；諸角門；分合；形寫兌換盈縮；勾股變化之門；隱題蘊奧。
第三伏題免許
無極；單伏演段；眾伏演段；單伏起術；維乘；兩式演段；方程演段；交 離；商一演段；因府；消長又曰加減反復；起率演段；兩義式；潛伏式；
造化式；諸角經術；解伏題蘊奧；交式斜乘之解。
別傳目錄
經緯式；探差；方步式；直差；脫差；諸約；兩一術；剪管演段；剪管；
類約經術；垛術；對換式；演段雜式；索術；探術；括術；步術；綴術；
廉術；徑術；算法變形草；桃李；蹊經；燕尾猿臂兩術；無有奇；得商；
增約求積；太陰率。
63 引自乌云其其格（2009），《和算的发生－东方学术的艺道化发展模式》，頁 163。
64 參阅徐泽林译注（2008），《和算选粹》，頁 32。
65 引自张建伟（2006），〈关孝和与关流学派〉，《内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) 》，
第35 卷第 1 期，頁 125。
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算法印可狀
招差總術；垛疊總術；諸約總術；剪管總術；角法一級演段；平圓率之解；
立圓率之解；弧矢弦；方陣；算脫驗符法；病題明致；開方翻變；題術辨 議；球缺變形草；求積；太陽率。
和算各流派內的知識，靠的是一種稱為「私受家傳」的秘傳方式，透過「家 元－免許制度」形成各流派，各流派透過如算額奉納、遺題承繼等學術競爭產生 學術互動。
2.3.4 算學普及與藝道化發展
日本數學的發展分為三個時期：第一期為飛鳥奈良時代開始到江戶初期，約 1000 年的時間。第二期為延寶天和到寶曆年間，100 年的時間。第三期為寶曆以 後到明治維新為止，此時期為日本數學普及時代。
和算的普及與江戶時代教育普及有關，武家教育是在幕府直轄的學校或各藩
和算的普及與江戶時代教育普及有關，武家教育是在幕府直轄的學校或各藩