建部賢弘之研究－以《綴術算經》為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：洪萬生. 博士. 左台益. 博士. 建部賢弘之研究－以《綴術算經》為例. 研究生：林美杏. 中華民國一 ○ 二年七月.

(2) 誌謝蟄伏許久，論文終於完成，心中的喜悅難以言喻。感謝洪萬生老師給我機會，踏入嚮往已久的「洪門」，並且在我讀書與論文寫作期間，不厭其煩地指導並引導我正確的研究方向。還有其數學史讀書會團隊的經驗分享與幫助，讓我藉由閱讀典籍累積經驗，並對和算有深入的瞭解。其中，更感謝學長英家銘、學弟黃俊偉，在我研究期間，給我許多寶貴的建議，也在我最沮喪時，不斷地鼓勵我，讓我有信心繼續完成研究。其次，我要感謝三位口試委員：林炎全教授、左台益教授、洪萬生教授在口試時給我許多寶貴的建議，讓我的論文得以更加完善。同時，我也要感謝台北市立中正國中同仁們在課務與班務上的協助，讓我在職進修期間，能安心向學。此外，也謝謝我的家人一路上的支持，尤其是爸爸、媽媽在我論文撰寫期間，二話不說立即接手照顧未滿周歲、活動力正旺盛的女兒，讓我可以全心致力於論文撰寫工作。還有先生昌煇的體貼，讓我無須掛心家務。當然，我那可愛的女兒凱晽也功不可沒，因為妳，媽咪才能在這一個月內擁有最大的動力去完成這個艱鉅的任務。完成論文這條路，受到很多人的幫忙，套一句陳之藩的話：「需要感謝的人太多，那就感謝天吧！」. 林美杏謹誌於 102 年 7 月.

(3) 摘要日本江戶時代（1603~1867）的傳統數學－和算，以關流為主流。關流的創始者為關孝和（1642？~1708），而建部賢弘（1664~1739）是關孝和的重要弟子，也是關流中重要的建設者，在近二十年成為研究和算的史學家們所關注的焦點。《綴術算經》（1722）正是建部賢弘關於其數學研究之集大成作品，書中除包含了開頭與結尾的自序和自質說，以及探法則四條、探術理四條與探員數四條等十二個數學問題的討論，還涵蓋諸多重要的算學研究成果，是建部賢弘重要研究的總結。建部賢弘站在高觀點去看數學，善於從複雜的現象中發現問題的本質，找出潛藏在問題背後的法則，並以自身的經驗提出學習、研究算學之原則，亦論及人的資質差異之於學習算學之態度。除了其算學研究上的成就之外，建部賢弘的種種數學觀與教育觀，亦發人省思，值得探討。從該書中，我們除了可以一窺建部數學知識之淵博與創新外，其中隱含的教學想法，更是與國中數學教學的引導與探索理念不謀而合。本研究根據徐澤林譯注之《和算選粹》中的《綴術算經》，透過文本分析與歷史敘事的方式，一方面對第一手文本作深入研究，同時，綜合目前與建部賢弘或《綴術算經》相關的二手研究成果。透過本研究，我們能更瞭解《綴術算經》的體例風格與建部賢弘對於數學知識分類及數學研究之看法，並重新釐清建部賢弘在《綴術算經》中具原創性發展的數學知識，以及與其師關孝和相較之下，在算學研究上有所突破之處。這些都可為建部賢弘以及其算書，提供更多元而豐富的論述。更重要的是，透過《綴術算經》中反映的教育思想，結合 HPM 的觀點，研究者希望對於今日之中學數學教學有所啟迪。. 關鍵字：和算、建部賢弘、《綴術算經》、數學教育、HPM.

(4) 目次目次 ······························································································· I 表目錄 ·························································································· III 圖目錄 ·························································································· IV 第 1 章緒論 ····················································································· 1 1.1 1.2 1.3 1.4. 研究動機 ················································································· 1 文獻探討 ················································································· 2 研究問題 ················································································ 8 研究取向與章節安排 ································································· 8. 第 2 章歷史脈絡－江戶時代 ······························································ 10 2.1 江戶時代的幕藩制度與社會階級 ················································· 10 2.2 江戶時代的教育傳統 ································································ 14 2.3 江戶時代的社會風潮 ································································ 15 2.3.1 遺題承繼 ·········································································· 15 2.3.2 算額奉納 ·········································································· 17 2.3.3 家元免許制度 ···································································· 19 2.3.4 算學普及與藝道化發展 ························································ 21 第 3 章和算學家－建部賢弘 ······························································ 23 3.1 生平與交遊 ············································································ 23 3.2 建部賢弘的數學學習與研究生涯 ················································· 25 3.3 關孝和與建部賢弘 ··································································· 30 3.3.1 和算流派 ·········································································· 30 3.3.2 關流和算家譜系 ································································· 31 3.3.3 建部賢弘與關孝和年代、事蹟、著作比較 ································ 32 第 4 章《綴術算經》 ········································································ 35 4.1 關於《綴術》 ········································································· 36 4.2《綴術算經》之版本·································································· 41 4.3《綴術算經》十二問之內容分析 ··················································· 44 4.3.1 探法則 ············································································· 45 4.3.2 探術理 ············································································· 64 4.3.3 探員數 ············································································· 73 第 5 章結論 ··················································································· 92 I .

(5) 5.1 研究結論 ··············································································· 92 5.1.1《綴術算徑》體例、風格、特色 ············································· 92 5.1.2 建部賢弘《綴術算經》中的數學成就 ······································ 94 5.1.3 建部賢弘與關孝和之比較與突破 ············································ 96 5.1.4 建部賢弘對數學知識的分類與數學研究方法 ····························· 96 5.2 HPM 之反思與討論 ··································································· 99 5.3 研究建議 ·············································································· 101 參考文獻 ······················································································ 103 附錄一 ························································································· 107 附錄二 ························································································· 113 附錄三 ························································································· 114 . II .

(6) 表目錄表 1-1 《綴術算經》12 問之相關專書或研究論文 ······································ 6 表 3-1 建部賢弘的學術生涯三階段 ······················································ 25 表 3-2 建部賢弘的學術生涯五階段 ······················································ 26 表 3-3 建部賢弘各階段之重要著作（僅列出著作年代確定者） ··················· 28 表 3-4 關孝和與建部賢弘任職年表 ······················································ 33 表 4-1 十三世紀以前中國、朝鮮、日本方面關於《綴術》的討論與流傳狀況 · 40 表 4-2 三種抄本的比較 ····································································· 41 表 4-3 《綴術算經》版本內容比較表 ··················································· 43 表 4-4 《綴術算經》十二問 ······························································· 45 表 4-5 建部賢弘「探招差術」術文之整理 ············································· 60 表 4-6 表 4-5 對應之原理 ··································································· 62 表 4-7 各定差與泛差之值 ·································································· 80 表 4-8 各泛差之係數表（1） ······························································ 83 表 4-9 各泛差之係數表（2） ······························································ 84 表 4-10 各定差之值（2） ·································································· 90 表 5-1 建部賢弘與關孝和之比較表（以《綴術算經》為例）······················ 96 表 5-2 建部賢弘在《綴術算經》12 問中所提到的解題方法與研究方法 ········· 97 表 5-3 《綴術算經》十二問與國中數學連結之單元比較表························ 100 表 5-4 《綴術算經》與《算學啟蒙》比較 ············································ 101. III .

(7) 圖目錄圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 2-5 圖 2-6 圖 2-7 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 圖 3-4 圖 3-5. 德川家康畫像 ········································································ 10 《新編塵劫記》之遺題承繼關係圖 ············································· 16 《數學乘除往來》之遺題承繼關係圖 ·········································· 16 《算法勿憚改》之遺題承繼關係圖 ············································· 17 《算法天元樵談集》之遺題承繼關係圖········································ 17 日本明治神宫的繪馬 ······························································· 18 奉納的算額 ··········································································· 19 建部家譜 ·············································································· 23 《研幾算法》書影 ·································································· 27 《發微算法演段諺解》書影 ······················································ 27 《算學啟蒙諺解大成》書影 ······················································ 28. 《算學啟蒙》書影 ·································································· 29 圖 3-6 名古屋市立鶴舞中央圖書館所藏《古說記》中之關孝和像 ················ 31 圖 3-7 關流譜系 ·············································································· 32 圖 4-1 祖沖之畫像 ··········································································· 36 圖 4-2 內閣文庫《綴術算經》書影 ······················································ 41 圖 4-3 東大本《綴術算經》書影 ························································· 41 圖 4-4 狩野本《綴術算經》書影 ························································· 42 圖 4-6 星野實宣《新編算學啟蒙注解》書影 ·········································· 51 圖 4-7 《古今算法記》書影 ······························································· 51 圖 4-8 《楊輝算法》書影 ·································································· 59 圖 4-9 《楊輝算法》目錄之書影 ························································· 59 圖 4-10 細截法求圓周長 ···································································· 74 圖 4-11 削片法求球體積 ···································································· 74 圖 5-1 《綴術算經》十二問之內容編排結構 ·········································· 93 圖 5-2 《綴術算經》12 問之分類 ························································· 97 圖 5-3 《綴術算經》之解題思路 ························································· 99 圖 5-4 《算學啟蒙》目錄之書影 ························································ 102 . IV .

(8) 第 1 章緒論. 1.1 研究動機近幾年來，筆者常在電視媒體、報章雜誌中看到學者們大聲疾呼當代青少年閱讀量的不足，導致文學程度下滑，筆者身為中學老師，對此現象更是感同身受。無意間在「台灣數學博物館」科普特區的深度書評中看到《算法少女》這本推薦給中學生閱讀的小說。1其中，同是數學史家也是科普評論家的洪萬生賦予《算法少女》相當的好評：本書除了日本江戶時期數學史的適當鋪陳外，小說情節豐富繽紛，人物刻畫溫暖而又富含正義，是一部非常適合青少年閱讀的歷史小說名作。」「這是一部非常成功的兒童文學作品，它融入了不落痕跡的勵志書寫，也相當巧妙地討論數學知識的意義與有用，因此，也非常適合給青少年甚至於一般的社會大眾閱讀，實在是不可多得的數學普及佳作！」2 此評論，也激起筆者想一窺究竟的好奇心，從而閱讀了此書。《算法少女》中記述的故事發生時間為日本江戶時代後期，故事主軸為一位町上醫師千葉桃三，親自教導女兒小章學習算法的過程。擁有出眾數學能力的小章，某一天與同伴參加淺草寺舉行的浴佛節活動時，意外發現有人（關流傳人藤田貞資的弟子）即將供奉給觀世音菩薩的繪馬算額上的題目答案有誤，因而引起了當時的藩主注意，進而想要召見小章。結果，學習非主流之「上方」算法的小章，竟因此捲入了當時的算法主流「關流」的數學流派之爭，於是，在一場策劃下，她必須與另一位學習關流算法的少女中根宇多一較長短。3 《算法少女》書中談及日本江戶時代各流派對於算學主流的鬥爭，引發了筆者探討該時代數學發展的興趣。在江戶時代，和算究竟是如何在庶民之間擴展. 1. 參閱「台灣數學博物館」－科普特區－深度書評（網址：http://science.math.ntnu.edu.tw/museum）。《算法少女》，作者：遠藤寬子（2009），台北小知堂文化出版。 2 引自洪萬生（2009），〈江戶和算與《算法少女》〉，「台灣數學博物館」網站（網址： http://science.math.ntnu.edu.tw/museum） 3 參閱同上。繪馬，指懸掛於神社、廟宇，向神佛祈願的彩色匾額。江戶時代將數學問題的解法記在匾額上或繪馬上，用以酬神的供品，稱為算額。上方算法，指近畿（今之關西）地方的算法。關流，和算的流派之一，以關孝和為始祖。 1 .

(9) 的？4學習和算的目的是什麼？此時和算的主流為何？又有哪些成就？等等問題，也令筆者想進一步去探討。自古以來，日本與中國的交流頻繁，中國宋元以降的數學著作及成果經由朝鮮半島而傳入日本。歷史上，中國古代傳統數學知識大規模地傳入日本主要有兩次，分別為魏漢時期與元明時期。這些知識在江戶時代的日本有了蓬勃的發展，進而成為和算的重要發展基礎。關孝和的出現，讓日本傳統數學成就達到一個較高的水準，日本傳統數學從原本對中國數學知識的攝取，轉變為獨立的數學研究與發展。此一時期和算成就達到鼎盛，被日本數學史學界稱為「日本數學獨立時期」。5 和算以關流為主流，而建部賢弘是關孝和的第一代傳人，也是關流數學中重要的建設者，建部賢弘畢生著作頗多，其中又以《大成算經》與《綴術算經》最具代表性。《大成算經》乃由建部賢弘、建部賢明、關孝和三人合作完成之著作，而《綴術算經》則是由建部賢弘獨力完成。6《綴術算經》是建部賢弘擔任德川吉宗的天文曆學顧問時期關於數學研究之集大成作品，亦是呈獻給德川吉宗之唯一著作，對於研究建部賢弘來說，具有相當的代表性。《綴術算經》書中探討的各種數學方法，不但反映出江戶時代的數學樣貌與數學發展，更具有豐富的討論面向。從該書中，除了可以一窺建部數學知識之淵博與創新外，其中隱含的教學想法，更是與國中數學知識的引導與探索理念不謀而合。以上諸點正是筆者選定《綴術算經》一書作為研究建部賢弘學術面貌之因。筆者透過本研究，試圖還原建部之教學現場，在此歷史現場去觀摩他的教學，應該是一件快意之事。. 1.2 文獻探討建部賢弘一生中的研究頗多，他在和算圓理、極數術、三角函數、數值逼近等方面有很大的貢獻。日本學者對於建部賢弘的研究遠不及關孝和那樣全面與深入，其數學成就和數學思想沒有得到充分的理解和認識，歷史學界也沒有給予以 4. 和算，指日本的傳統數學。參閱周畅（2006），《《缀术算经》研究》，頁 1。 6 《大成算経》共二十卷，主要分成首篇（第一卷開頭部分）、前集（第一卷後面部分～第三卷）、中集（第四卷～第十五卷）、後集（第十六卷～第二十卷）四部分。（引自若林和明（2003），〈大成算経巻之七における計子及び験符〉，数理解析研究所講究録，1317：p.134。）首篇，敘述算學基本常識，沿襲元代及明代算書之傳統。中集論即五技，介紹加、減、乘、除、開方五種運算及其各種計算技巧。中集論三要，把數學問題分為「象」、「形」兩大類，根據象、形的滿、干變化，以討論各種數學問題。後集論兩儀，以數學問題的結構為中心，討論有解數學問題的條件與無解問題的條件及其改造法，進而討論如何利用代數方程式或方程組解題。此書為關孝和、建部賢弘、建部賢明於 1683 年開始編輯，日本數學史論述中，一般將其歸屬於建部賢弘的著作。（參閱徐泽林（2002），〈建部贤弘的数学认识论－论《大成算经》中的“三要”〉，《自然科学史研究》，第 21 卷第 3 期，頁 233-234。） 2 5.

(10) 應有的歷史地位。7直到近二十年，研究建部賢弘與《綴術算經》的日本數學著作與論述，才開始增多，而大陸數學史界亦興起對建部賢弘及其著作的研究熱潮。 8筆者整理了近年來學術界對建部賢弘與其著作的相關研究，分列如下：首先，筆者將關於日本數學史的專書與論文整理如下：一、通史類著述 ‧Fukagawa Hidetoshi & Tony Rothman (2008), Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry. New Jersey: Princeton University Press. ‧遠藤利貞（1918），《日本数学史》。東京：岩波書局。 ‧遠藤利貞（1981），《增修日本数学史》。東京：星設書局。 ‧三上義夫（1999），《文化史上より見たゐ日本の数学》。東京：岩波書局。 ‧日本学士院編（1954），《明治前日本数学史》第一卷。東京：岩波書局。 ‧日本学士院編（1956），《明治前日本数学史》第二卷。東京：岩波書局。 ‧日本学士院編（1957），《明治前日本数学史》第三卷。東京：岩波書局。 ‧平山諦（1956），《東西数学物語》。東京：恒星社厚生閣。 ‧平山諦（1966），《和算の歷史－その本質と発展》。東京：至文堂。. 二、期刊論文 ‧Morimoto Mitsuo (2006), “Differentiation and Integration in Takabe Katahiro’s Mathematics”, Study of the History of Mathematics，1513: 131-143. ‧Tsukane Ogawa (2001), “A Review of the History of Japanese Mathematics”, Revue d’histoire des mathématiques: 137-155. ‧張建偉（2006），《江户时代的和算流派》，天津：天津師範大學碩士論文。上述這些專書或論文主要就大歷史的角度，探討建部賢弘在和算史上所扮演的角色與地位，偏向紀錄建部賢弘之生平事蹟與貢獻。有些文獻中雖有少數題目之探討，但對於建部賢弘解題的方法與思考過程方面著墨不多。然關於建部賢弘與其算書的深入研究，在近十年間開始受到學者們的重視，並快速發展。除此之外，筆者也搜集近二十年來中日數學史家對於建部賢弘的研究成果，這些論文主要針對建部賢弘的著作或文本內容進行分析、論述，除了闡述其所使用的數學方法之外，亦提及他的數學思想等。目前筆者可及的論文主要如下：. 7. 參閱徐泽林（2002），〈建部贤弘的数学认识论－论《大成算经》中的“三要”〉，《自然科学史研究》，第 21 卷第 3 期，頁 232。 8 參閱周畅（2006），《《缀术算经》研究》，頁 1-2。 3 .

(11) ‧Annick Horiuchi(2010)，Japanese Mathematics in the Edo Period (1600-1868).Basel： Springer。 ‧小川束（2004），〈狩野本『綴術算経』について〉，数理解析研究所講究録， 1392：pp.60-68。 ‧小川束、佐藤健一、竹之内脩、森本光生著（2008），《建部賢弘の数学》，東京：共立出版社。 ‧小松彥三郎（2000），〈綴術算経の異本と成立の順序〉，数理解析研究所講究録，1130：pp.229-244。 ‧小松彥三郎（2004），〈綴術算経の異本と成立の順序補遺〉，数理解析研究所講究録，1392：pp.69-70。 ‧村田全（1982），〈建部賢弘の数学とその思想〉（全 6 回），《日本評論社》，数学セミナ：1982 年 8 月號,pp.70-75；9 月號,pp.69-75；10 月號,pp.62-67,11 月號,pp.63-69；12 月號,pp.60-64；1983 年 1 月號,pp.76-81。 ‧周畅（2006），《《缀术算经》研究》，天津：天津师范大学硕士论文。 ‧周畅（2008），〈和算分析方法的开拓者：建部贤弘〉，《内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) 》，第 37 卷第 1 期，頁 124-131。 ‧周畅（2010），〈《缀术算经》：东亚数学归纳推理的典范〉，《自然科学史研究》，第 29 卷第 1 期，頁 69-86。 ‧周畅、张建科（2008），〈建部贤弘的数学方法论与数学思想〉，《自然科学史研究》，第 27 卷第 2 期，頁 213-226。 ‧徐泽林（1997），〈试论中日“缀术”之异同〉，《西北大学学报(自然科学版) 》，第 27 卷第 4 期，頁 277-282。 ‧徐泽林（1998），〈建部贤弘的累遍增约术与 Romberg 算法〉，《自然科学史研究》，第 17 卷第 3 期，頁 240-249。 ‧徐泽林（1999），〈中日方程论之比较〉，《自然科学史研究》，第 18 卷第 3 期，頁 206-221。 ‧徐泽林（2001），〈中算数学机械化思想在和算中的发展－解伏题的机械化特征〉，《自然科学史研究》，第 20 卷第 2 期，頁 120-131。 ‧徐泽林（2002），〈和算极数术与中算极值概念萌芽〉，《自然辩证法通讯》，第 24 卷第 1 期，頁 63-67。 ‧徐泽林（2002），〈建部贤弘的数学认识论－论《大成算经》中的“三要”〉，《自然科学史研究》，第 21 卷第 3 期，頁 232-243。 ‧徐泽林（2004）〈和算の諸約術と Diophantus 近似及びその中算の源法〉，《數學史研究》，第 182 卷第 4 期。 ‧徐泽林（2008），《和算选粹》。北京：科学出版社。 ‧徐泽林、周畅（2010），〈建部贤弘的业绩与关孝和的影响〉，《内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) 》，第 39 卷第 6 期，頁 640-648。. 4 .

(12) ‧野中雄一（2010），〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉，数理解析研究所講究録，1677：pp.83-92。從上述研究之閱讀中不難發現，建部賢弘與其重要著作，的確是近二十年研究和算的史學家們所關注的焦點。然而，我們也發現，過去數學史家重視的是建部賢弘的數學成就，以及文本中所包含的數學知識本身。雖然，這些研究對建部賢弘與《缀術算經》都有不同程度的介紹與評論，但筆者研究目前相關研究成果與重要文獻之後，認為以《綴術算經》作為研究題材，仍有許多值得發展之處。主要理由如下：一、從數學的觀點來看，上述的研究只針對《綴術算經》中部分例題進行詳細分析。二、從史學觀點來看，上述的研究，對《綴術算經》出現過度詮釋之現象。三、《綴術算經》中隱含的教學想法，與現今國中數學知識的引導與探索理念不謀而合，這都不是上述研究的關注所在。建部賢弘的《綴術算經》文本，除了展現他對數學知識與數學方法的評論之外，也顯現數學學習、數學研究與數學教育相關思想，這似乎是和算文本中僅見。筆者身為中學數學教師，並有幸與 HPM 台灣團隊共同學習與討論，提供筆者研究上的新觀點與新視野。9因此，在本研究中，除了透過建部賢弘的《綴術算經》來探討其算學成就之外，亦從 HPM 的觀點切入，期能為建部賢弘以及其算書，提供更多元而豐富的論述。《綴術算經》共有三個版本，分別為內閣本、東大本、狩野本，皆以日文書寫。徐澤林譯注之《和算選粹》中的《綴術算經》，是以內閣本為基礎進行翻譯，筆者在此簡稱其為「徐版」，為本研究中所根據的第一手文本。由於本書共包含了 12 個問題，因此，筆者閱讀前述二手資料後，再進一步針對《綴術算經》當中的 12 個問題，分別整理了相關的專書或研究論文（如表 1-1 所示），以作為筆者分析討論之參考。. 9. 所謂 HPM（International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），是指隸屬於國際數學教育委員會（ICMI）的一個研究群，專門推動數學史與數學教學之關聯。洪萬生認為，HPM 是數學史學對數學教育的一種應用，目的是利用數學史的研究成果、以及數學史與數學教育的互動，來提升數學教師的教學品質與學生的學習成效。（參閱洪萬生（1998），〈發刊詞〉，《HPM 通訊》，第一卷第 1 期，頁 1。） 5 .

(13) 表 1-1 《綴術算經》12 問之相關專書或研究論文問題. 所屬題目之相關文獻. 探乘除法. ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数. 第一探立元之法第二. 12 題皆有討論之相關文獻. 学思想〉。 ‧關孝和，《開方翻變之法》、《解隱題之法》、《解伏題之法》、《大成算經》。. ‧周畅，《《缀术算经》研究》。. ‧黃俊瑋，〈關孝和之《解隱題之法》〉。 ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数. 东亚数学归纳推理的典. 学思想〉。探約分法. ‧《九章算術》〈方田〉的「約分術」。. 第三. ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数. 探招差法. ‧關孝和，《括要算法》元卷。. 第四. ‧楊輝，《楊輝算法》。 ‧劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》。 ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。. 換術第五. ‧《九章算術》之「今有術」。. 探直堡求极. ‧徐泽林，〈和算极数术与中算极值概念萌芽〉。. 积术第六. ‧徐泽林、周畅，〈建部贤弘的业绩与关孝和的影响〉。 ‧周畅，〈和算分析方法的开拓者：建部贤弘〉。 ‧徐泽林，〈试论中日“缀术”之异同〉。 ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。 ‧Morimoto Mitsuo, “Differentiation and Integration in Takabe Katahiro’s Mathematics”, Study of the History of Mathematics (2006,1513): 131-143.. 探算脫術. ‧吉田光由，《塵劫記》。. 第七. ‧關孝和，《七部書》。. 探求球面積. ‧關孝和，《括要算法》貞卷。. 術第八. ‧周畅，〈和算分析方法的开拓者：建部贤弘〉。 ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。 ‧林典蔚，《關孝和《三部抄》之內容分析》。 ‧Morimoto Mitsuo, “Differentiation and Integration in Takabe Katahiro’s Mathematics”, Study of the 6. . 范〉。. ‧村田全，〈建部賢弘の. 学思想〉。. 探織工重互. ‧周畅，〈《缀术算经》：. 数学とその思想〉。.

(14) History of Mathematics (2006,1513): 131-143. 探碎抹數第九. ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。 ‧劉雅茵，《關孝和《括要算法》之內容分析》。 ‧Morimoto Mitsuo, “Differentiation and Integration in Takabe Katahiro’s Mathematics”, Study of the History of Mathematics (2006,1513): 131-143.. 探開平方數第十. ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。. 探圓數. ‧關孝和《括要算法》利卷。. 第十一. ‧徐泽林，〈建部贤弘的累遍增约术与 Romberg 算法〉。 ‧徐澤林，〈和算の諸約術と Diophantus 近似及びその中算の源法〉。 ‧徐泽林、周畅，〈建部贤弘的业绩与关孝和的影响〉。 ‧周畅，〈和算分析方法的开拓者：建部贤弘〉。 ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。 ‧黃俊瑋，〈關孝和與祖沖之的邂逅〉。 ‧Tsukane Ogawa, “A Review of the History of Japanese Mathematgics”, Revue d’histoire des mathématiques (2001): 137-155.. 探弧數. ‧建部賢弘，《研幾算法》。. 第十二. ‧關孝和，《括要算法》貞卷。 ‧徐澤林、周暢，〈建部賢弘的業績與關孝和的影响〉。 ‧周暢，〈和算分析方法的開拓者：建部賢弘〉。 ‧野中雄一，〈建部賢弘『綴術算経』における数学思想〉。 ‧小松彥三郎，〈綴術算経の異本と成立の順序〉。 ‧Morimoto Mitsuo, “Differentiation and Integration in Takabe Katahiro’s Mathematics”, Study of the History of Mathematics (2006,1513): 131-143.. 7 .

(15) 1.3 研究問題綜合前述研究動機與文獻探討，筆者擬出本研究所要探討的研究問題： 1.《綴術算經》一書的體例風格有什麼樣的特色？ 2.《綴術算經》中的數學知識有哪些原創性發展？ 3.與其師關孝和相比，建部賢弘在哪些算學研究上有所突破？ 4.建部賢弘對於數學知識分類與數學研究之看法為何？ 5.《綴術算經》一書反應了什麼樣的教育思想？關於上述問題，筆者將於後文的各個章節中逐一探討。. 1.4 研究取向與章節安排一、研究取向本研究主要透過文本分析與歷史敘事的方式，一方面對第一手文本《綴術算經》作深入研究，同時，也將綜合目前與建部賢弘或《綴術算經》相關的二手研究成果。至於《綴術算經》之版本，目前所及的有：內閣本、東大本、狩野本，皆以日文書寫。「內閣本」為建部賢弘呈現給德川吉宗的自抄本，此抄本錯誤較少，字跡清晰且結構完整。同時，徐澤林譯注之《和算選粹》中的《綴術算經》，乃以內閣本為基礎進行翻譯，因此，本研究以「徐版」作為筆者所參考之第一手文本。至於有關《綴術算經》各版本之內容，後文將會說明。筆者身為一位教育工作者，在前人研究的基礎上，將以歷史、文化的角度出發，結合教育關懷與 HPM 的觀點，透過對建部賢弘所著之《綴術算經》做直接的內容解析，深入探索他在本書中所使用的數學方法與探索法則，並比較建部與其師關孝和在數學研究上的異同處，進而說明建部賢弘的思維模式與教育思想。二、本論文章節之安排在章節的安排上面，筆者將於第二章介紹歷史脈絡－江戶時代。第三章介紹建部賢弘的生平與交遊、數學學習與研究生涯、重要著作等，以及關孝和對建部之影響。在第四章中，將分析並探討建部賢弘的《綴術算經》一書，包含書中的算學知識、建部賢弘對於數學研究以及數學知識之分類。第五章將分析《綴術算 8 .

(16) 經》的體例、風格與特色，以及建部賢弘在《綴術算經》中的數學成就、對數學知識的分類與數學研究方法，並探討建部賢弘相較於關孝和之突破。最後，提出總結，試圖讓讀者更能瞭解建部賢弘這位和算家與其重要著作《綴術算經》之面貌。. 9 .

(17) 第 2 章歷史脈絡－江戶時代研究建部賢弘，當然必須瞭解其所處之時代背景。建部賢弘是江戶時代的武士，故筆者遂將歷史脈絡的時間軸聚焦在武士崛起之江戶時代。江戶時代（1603~1867），又稱為德川時代，指德川幕府所統治的時代，從德川家康（1542~1616）在慶長 8 年（1603）受封為為征夷大將軍，在江戶（今東京）設立幕府時開始，到慶應 3 年（1867）大政奉還的 264 年間。10. 圖 2-1 德川家康畫像11. 2.1 江戶時代的幕藩制度與社會階級幕藩體制，指的幕府（將軍）與藩（大名）的主從關係，是一種獨特的封建體制。德川家康建立中央集權統治制度的「幕藩體制」，德川幕府實施封建制，統治政策含有極度的集權，以防止諸侯造反。這種集權制度，由家康奠基，中經秀忠，至家光而完成。幕藩體制的特點有四：將軍擁有最終領有權的領主土地所 10. 德川幕府共十五代。各代將軍分別為德川家康、德川秀忠、德川家光、德川家綱、德川綱吉、德川家宣（德川綱豐）、德川家繼、德川吉宗、德川家重、德川家治、德川家齊、德川家慶、德川家定、德川家茂、德川慶喜。 11 圖片引自「維基百科」（網址： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%B7%E5%B7%9D%E5%AE%B6%E5%BA%B7） 10 .

(18) 有制、集權與分權相結合的政治制度、嚴格的不可逾越的身份等級制度與閉關自守的鎖國制度。幕府處理政治的機關，稱為部屋。部屋內設大老、老中、若年寄等職。12大老一職，多由譜代大名擔任，僅參與幕政大事，非常設之官。整個江戶時代，不過十人而已。任老中的都是譜代城主，經常設五～六人，職務為處理公文、處理財政與一般行政。若年寄的任務，在管理旗本及御家人，處理普通建築及江戶城內庶務，人數為五～六人。13 老中之下設有寺社奉行、町奉行、勘定奉行等三奉行。寺社奉行共有四人，管理全國的寺社、僧侶、裁決關東八州以外直屬將軍領地之人民的訴訟。町奉行共有二人，司掌江戶市政、警察與裁判。勘定奉行共有四人，管理幕府財政，聽決關東八州以內人民的訴訟。14老中、若年寄、三奉行等職，採用合議制，其中一人稱月番，亦稱御用番，即為當值之意，每月輪流交替，處理日常公務，目的在防止大權落入一人之手。此外，隸屬於老中以下，還有留守居、高家、奏者番、監察大名、大目附等。若年寄以下，有監察旗本，御家人以下，有目附。15平時擔任警衛職務的稱為番方。凡遇戰時，各大名、旗本、御家人，都有從軍之義務。16 德川家康在西元 1615 年頒佈「一國一城令」，諸大名除本城外，其餘支城城垣均需拆毀。17另在同年七月，頒佈了「武家諸法度」與「禁中及公家諸法度」，藉此確定幕府對朝廷與大名的統治方針。18「武家諸法度」中，大名不得新建居城，居城修理必須經過許可，且居住地方時，妻兒要留在中央做為人質。「禁中及公家諸法度」的目的是將天皇疏隔於政治之外，同時，更干涉公卿的席次，以武家與公卿來區分官位，意欲分離公家與武家之關係。19. 12. 大老，幕府中的最高官職，是將軍的輔佐顧問，參與重要事物的裁決。老中是執政官，處理幕府政務，管轄各地大名及其領地。日本稱老者為「年寄」，年輕者為「若」，「若年寄」直譯為「年輕的長者」。（引自栗田元次著，胡錫年譯（1947），《日本近代史》，頁 23。） 13 譜代大名中，為受封之城的城主者，稱為譜代城主。旗本，御家人，皆為直屬將軍封地不滿萬石的武士，旗本可謁見將軍，但御家人不行。旗本作戰時騎馬，御家人徒步。（引自栗田元次著，胡錫年譯（1947），《日本近代史》，頁 23、頁 39。） 14 參閱李永熾（1972），《日本史》，頁 196。 15 留守番，負責在將軍外出時，留在江戶掌管家內事務。高家，指專司有關朝廷、公家儀禮的官。奏者番、監察大名，指司武家儀禮的官。大目附，負責傳布法令。目附，御家人以下，負責監察江戶諸官吏。（引自栗田元次著，胡錫年譯（1947），《日本近代史》，頁 27-28。） 16 參閱栗田元次著，胡錫年譯（1947），《日本近代史》，頁 27-28。 17 參閱李永熾（1972），《日本史》，頁 187。此處的「國」為日本古代律令制之下的地方行政單位，日本全土共分六十餘國。江戶時代實際對百姓進行行政管理的單位為大名的「藩」，因此「國」成為純粹的地理名詞。「一國一城」令雖然使用「國」的名詞，事實上是指每個藩只能擁有一座「城」。 18 參閱同上。 19 參閱同上，頁 188。 11 .