探術理

「術」，指算法的程序，或者計算公式。建部賢弘在這個主題中，先討論重 互換術，舉一個日常生活例子－「織工」問題，來進行算法程序的說明。其次討 論求極積術，再來討論古老的數學遊戲－「繼子立」問題，最後探求球的表面積。

此主題分為「據理探術」和「據數探術」兩類，「探織工重互換術」、「探直堡 求極積術」屬於「據理探術」，「探算脫術」、「探立元法求球面積術」屬於「據 數探術」。

探織工重互換術第五

「探織工重互換術」，屬於比例計算問題，其中涉及分數之乘除法。建部提出 的問題如下：

假如有織工三人，二十一日織錦四端，今織工七人，織四十五日，問錦幾端？

答曰：織錦二十端。

建部賢弘的作法如下：

建部的想法（原文部分） 現在數學算式或說明 置初云錦四端，以織工三人除時，

得一人二十一日織錦 ^{一端三三三三三強} ，

累以二十一日除時，得一人一日織錦 ^{六厘三四九二一弱}， 故乘後云四十五日時，得一人四十五日織錦 ^二端八五

七一四三弱，累乘七人，得七人四十五日織錦二十端

也。

4÷3＝1.33333…

1.33333÷21＝0.0634921 0.0634921×45＝2.857143 2.857143×7＝20

65

觀察上述步驟，雖可合併寫成：{〔(4÷3)÷21〕×45}×7，但顯然此處若用分 段計算會導致誤差擴大，而無法得到真實的數據，於是，建部賢弘給了一個評論：

「雖說元術如此，用累除，有數不整者，失之還原，故立先乘後除之法式為括術。」

為了解決這個問題，建部改成用下面之作法：「累乘當乘為實，累乘當除為法，

用一般之除，起首難會，先碎探得每一數之術理，後括乘除造本術也。」。亦即 分別將位於分母、分子的數字各自相乘後，再進行除法運算，這樣一來，誤差過 大之困擾即可獲得解決。

接下來，建部賢弘給了如下的解題本術：「置初云錦 ^四端，以後云織工 ^七人 乘之，亦以日數 ^四十五 乘之，為實，置初云織工 ^三人，以日數 ^二十一 乘之，為法，

除之，得織錦數也。」將此段文字以現在數學算式表示，即為

3 21

) 4 7 ( 45





 ＝20。

建部對此段文字的體悟如下：

織工重互換之術，據理碎探術者，即依術立互換之法式也，如法術之原本索 其理時，難立顯，本是探索據理所立，故為據理探術者。

探討完織工重互換術後，建部賢弘接著探討直堡求極積術。

探直堡求極積術第六

「探直堡求極積術」中所舉的例子，是在有限制條件下，求使得直堡(長方體) 有最大的體積時，長方形的長、寬、高與體積各是多少。建部提出的問題如下：

假如有直堡，長闊差七尺，闊高和八尺，欲使積至多，問長、闊、高及極積 各幾何？

答曰：闊四尺 ^{三分尺之二}、長一十一尺 ^{三分尺之二}、高三尺 ^{三分尺之一}、積一百八 十一尺 ^{二十七分尺之一十三}。

上述問題，筆者以白話文來說明，即為「有一個長方體，長與寬差7 尺，寬與高 差8 尺，若想要得到最大體積，則此時的長、寬、高各為多少？又最大體積為多 少？」，換句話說，即為「A－B

＝

7， B

－ C＝8，求當 A‧B‧C 最大時，A、B、

C 分別為多少？且此時 A‧B‧C 為多少？」。

建部認為「此題雖可以數求，欲為本術，書題辭之號，而求其畫式也。」意 思是以這題來說，是可以直接用題目所給之數字直接求解的，但為了探究緣由，

所以改成探討一般狀況。筆者在下表的右欄中，以符號 n 代替「（長闊）差」（亦

66

67

68

此題中，m－n＝8－7＝1，mn＝8×7＝56

 方程式為：

 3 x

²

 2 x  56  0

69

探討完直堡求極積術後，建部賢弘接著探討算脫術。

探算脫術第七

「探算脫術」，即著名的數學遊戲「繼子立」問題。繼子立問題，是日本古老 的數學遊戲之一，最早見於吉田光由的《塵劫記》。原題目如下：

一位富商有30 個孩子，15 個為前妻所生（即繼子），剩下15 個為後母所生。

現在要分家產給30 個小孩，後母希望自己生的小孩得到所有家產，所以將 30 個小孩圍成一個圓圈，按照順序數，每數到第十個的小孩被淘汰，家產 留給最後剩下的那一位。

關孝和在《七部書》中，首次對這個遊戲進行一般性討論，稱為「算脫」。¹⁹⁴建 部賢弘將後母與前妻所生的小孩以黑棋子與白棋子來表示，並希望最後剩下的那 個棋子是黑色的。建部提出的問題如下：

交備黑白橫子三十 ^{一半白子、一半黑子}，順數，脫去每當十之數。既脫黑子十四而 止一黑子，於此，自其所止一黑子逆數 ^{雖順數也同，故從古傳}，脫去每當十之數時，

卻白子咸脫盡而止黑子一。

建部賢弘的作法如下：

建部的想法（原文部分） 現在數學算式或說明

以棋子併布 ^{黑子一，他皆用白子}，驗其整、

不整。

二脫止白子，整於一、三、七、十五、

三十一等；

三脫止白子，整於三、五、八、三十 等；

四脫止白子，整於一、四、八、一十 一、一十五等；

假定：

黑色棋子一個，其他都是白色棋子時，

討論可滿足（整）或不可滿足（不整）條 件的棋子數。

（令脫數=m）

m=2 時，白色棋子數可為 1、3、7、15、

31。

m=3 時，白色棋子數可為 3、5、8、30。

m=4 時，白色棋子數可為 1、4、8、11、

15。

194 參閱徐泽林译注（2008），《和算选粹》，頁 286。

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五脫止白子，整於二、五、一十一、

一十四、三十六等；

六脫，整於一、二、七、一十三等數。

往返探其驗，必有不整之數、可整之 數，於其可整數，亦得有整、不整。

m=5 時，白色棋子數可為 2、5、11、14、

36。

m=6 時，白色棋子數可為 1、2、7、13。

以此類推，便可找出滿足條件之棋子總 數。

此題並未像前幾題一樣給「答曰」，而是透過由一個、兩個、三個、…到六 個的狀況，歸納出一般情形。最後，建部給了「求限本術」作為總結：

求限本術（原文部分） 現在數學算式或說明

置一^擬黑子於法 ^實空也，法一，實脫數各累加 之，實滿法除去之，實盡者減法一 ^{原擬黑子者}

也，餘為正限數也。

由

N

1＝ 1

N

2≡N1＋m（mod2）

N

3≡N2＋m（mod3）

N

4≡N3＋m（mod4）

： ： ： ：

N

n ≡ Nn-1＋m（mod n）

法（n）每次增加 1，實（Nn）每次 增加 m

當 Nn ≡ 0（mod n）時，

黑棋子數＝n－1（正限數）

棋子總數為2( n－1)

回到建部賢弘最初所給的問題，可知：

每十個一數時，n－1＝1、15、21、70、226、…，所以 n＝2、16、22、71、227 為其解。透過上面說明，我們可知，此題其實是一種歸納後的結果，所以屬於「據 數探數」的狀況。

探討完算脫術後，建部賢弘接著探討求球面積術。

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探求球面積術第八

建部在此術中，探討如何求球表面積。建部提出的問題如下：

假如有球徑一尺，問面積幾何？

答曰：面積三百一十四寸一五九二六五三五九弱。

在探討這個問題之前，筆者先介紹關孝和求球體積的方法。關孝和在求球體積時，

用了兩個方法：分別是「削片法」與「視錐法」。¹⁹⁵所謂「削片法」，是將球截成 多個平行截面，每個平行截面看成圓台，將這些圓台體積相加，即可得球體積。

至於「視錐法」，建部在書中提及「將球心視為錐尖，球半徑視為錐高，球積視 為錐積。」，意思是將球拆成多個小圓錐，將小圓錐體積相加，即可得球體積。

探討建部作法前，筆者先簡單說明後面術文中會提及的單位，以便瞭解各單 位之間的轉換規則。長度單位，由大到小依序為引、丈、尺、寸、分、厘、毫、

絲、忽、微、纖、渺、塵、埃，採十進位制。關於小數部分（指一以下或單位以 下的數），中算與和算書說法有些微出入，筆者將其比較、整理於附錄二。

接下來，筆者回到建部賢弘所提之問題來討論。建部賢弘提出第一個作法：

「將球表面積視作兩個球（半徑差極小）的體積差」。筆者將此「方法一」原文 與現在數學算式或說明整理如下：

建部的想法（原文部分） 現在數學算式或說明 方法一：薄皮饅頭法¹⁹⁶

依削片術 ^{細抹者不順質，故不用}

令球直徑＝R，球半徑＝r（單位：尺）

球體積＝V，

片實積（大球體積－小球體積）＝W，

片厚（兩球半徑差）＝h，

片面積（球表面積）＝A，

195「視錐法」乃筆者為了方便陳述，視其特性而給予命名，並非關孝和所用之稱呼方式。

196 此處沿用徐澤林在《和算选粹》中的命名方式。利用「薄皮饅頭法」求球表面積時，需要用 到球體積之差，而透過關孝和的削片法可求得球體積。關於削片法可參閱關孝和《括要算法》

貞卷。

72

W

1＝0.157236764672 強

h

1＝0.0005

所以 A1＝31.4473529344 強 又，當 R2＝1.00001，R0＝1

W

2＝0.00157081203481 強

h

2＝0.000005

所以 A2＝31.4162406962 強 又，當 R3＝1.0000001，R0＝1

W

3＝0.0000157079648387 強

h

3＝0.00000005

73

除，得錐面之積，便為球面之積。

球徑再自乘，乘圓周法，六而一，得 球積。是乘錐法三，球半徑除，得球 面之積。

＝球體積×3 錐高

∵球體積 V＝

3

6

R





∴球面之積 A＝

V

3 ²

r

^ =

 R

比較上面兩種作法後，建部給了下面的發想：

關氏曰：理會萬法，以視形立道條為原要。此乃不為探，自首會真術之奧旨 也。乃後之術，察球之形，以中心為極，視作錐形，即視形立道條而不探，

直理會真術也。故以初始之術為下等也。

我們可以發現，透過「方法一」來求球表面積時，必須先求出大球與小球之體積，

再相減求兩球體積差後得到球表面積，但用「方法二」求解時，可以避開這些繁 複的計算過程，確實簡化許多。無怪乎建部說方法一「為下等也」，而對方法二 給了「故化此術時，始省求其球積術之徑，又省六而一者。本術，徑自乘、乘圓 周法，直得球面積也。」之評價。

最後，在整個術文後面，建部賢弘給了如下的「解題本術」：

置球徑，自乘，以圓周率乘之，如徑率而一，得面積也。

將此解題本術以現在數學算式來表示，即為球表面積＝ ² ( 4 ²) 1

R

^





 r

建部賢弘說明如何「探術理」之後，接著，進入書中佔了大半篇幅的「探員 數」。此處，同樣用四個例子－「探碎抹數」、「探開平方數」、「探圓數」、

「探弧數」來說明。

在文檔中 建部賢弘之研究－以《綴術算經》為例 (頁 71-80)