形數概念之相關理論

一、形、數與數學概念

概念是一個抽象化的結果，一種認知統整後的經驗。 張春興（1989）

認為：「概念是對同類事物獲得概括性的單一認知經驗。…狹義一點講，以 單一概括性的名稱或符號，來代表具有共同屬性的一類事物全體時，此名稱 或符號所代表的即為概念」，Skemp（1995）也說：「抽象化是一種心智活 動的歷程，使人瞭解各種環境情經驗間的相似性與共同性；概念是抽象化的 結果」。

在各種概念的形成發展中，不能否認的，數學概念是相當特殊的人為概 念，因為它不像一些具體事物能夠很容易從視覺感官接收到此概念的相關訊 息；但基本上它仍然是概念的一種，所以很多學者試圖對數學概念提出不同 的見解並嘗試描繪它形成發展的特徵。

數學概念的特殊之處有如Skemp（1989）、Fischbein（1996）所提到的：

數學概念是抽象、有階級的。例如初級概念可直接由感官經驗得來，如三角 形；但次級概念則要再多一階的抽象，如圖形或數的進位是具體物及其計數 更高一層的抽象。因此Fischbein指出數學概念這種理想的、抽象的東西幾 乎全受其定義制約。

Sfard（1991）認為可用兩種不同的方式來理解抽象數學概念的形成：

一種是結構性（structurally），另一種是運算性（operationally）。他 也主張大部分的人獲得新數學概念的第一步是藉由運算獲得的；而他也認為 要從一個過程(processes)的概念過渡到成為一個物件（objects）是漫長且 困難的（Kieran，1992）。

人類最初的思維中不容易形成「數」與「形」的概念，它必須經由漫長 的遞變才逐漸形成。「數概念」的感覺從多與少的察覺所產生出來的，人們 對於「數」的認識在第一次接觸是模糊的，經過多次的接觸而漸加以成形，

終於形成一個完整的概念。對「形」的認識也是這樣子，人們從日常生活中 逐漸累積對「形」的認識，例如尼羅河水災氾濫，人們要把土地圍起來測量，

便形成了簡單的幾何圖形概念；從觀看日月的形狀而獲得了圓的概念，看見

樹木獲得了垂直的概念，為繪製圖飾獲得了對稱和全等圖形的概念（蕭文 強，1995）。由此我們可看出形與數的概念，的確有許多是逐步經由將經驗 統整抽象化而來。

吳貞祥（1980）將此觀點說得更為清晰：「數是為了明確表現事物的量 的大小與其相互關係的需要而產生的。至於圖形，則為了明確表現物的形 狀、大小、位置等的需要而產生的。」「數與圖形都是將現實世界的事物，

各以特有的觀點予以抽象化之後所得的概念，因此所謂三角形、四邊形、圓、

長方體、三角錐等的圖形，並非它本身有存在的事實，而是僅只形成於人們 頭腦之中的一種概念而已」；「圖形概念包含：（1）抽象化與理想化（統 稱抽象化）：當我們站在某一個觀點去看具體物的時候，這具體物必然會有 一些與它被理想化之形式不同的地方（與本質無關的屬性），摒除那夾雜物 叫做「抽象化」，彌補不周全的部分使之周全，謂之「理想化」；（2）一 般化與特珠化：去除一些內涵條件的限制可以使它的屬性適用於更大的範圍 或對象，稱為一般化。例如：直角三角形去除形成直角三角形的條件、等腰 三角形去除形成等腰三角形的條件、正三角形去除形成正三角形的條件後，

將它們稱之為三角形。特殊化是將條件函次增加之後，合乎條件的事物範圍 逐漸縮小，也就是所謂內涵增加、其外延縮小稱之為特殊化。例如：三角形

→銳角三角形→正三角形。（3）類推：把某一個空間所獲得的概念，聯想 到其他空間在其內部實現時的作用稱之為類推。如平面上的直線多邊形概念 到空間的多面體概念。」

在圖形規律的察覺上，學生對圖形的感覺（或辨識）是學生能察覺圖形 規律最先遇見的問題。一般而言，辨識一詞是相當抽象的，可以說是從來沒 有感覺至有感覺至獲得知識、記憶與思想的作用。也就是說，根據約定的各 種模式或標準圖案群，去辨識圖案本身或其象徵物的內容，這種過程即為圖 案辨識（pattern recognition）（陳偉銘、趙涵捷，2001）。

辨識除了必須具有某種概念、或可稱為能力之外，「類比」也是圖形規 律察覺過程中極具關鍵的必備概念。「類比」這一個名詞是由英文演變而來，

在英文中，類比的英文是“analog＂。所謂的類比，泛指自然界連續不可斷 的事物，在我們的一般生活中，各項事物大多以很類似的、可以類化的序列

性型態之表現形式存在。」（陳偉銘、趙涵捷，2001）。類比的思維結構是：

A 有性質 a b c d

B有性質d′(類似於d′)

B 有性質 a′ b′ c′ d′

二、數概念層次

數概念對於初等數學而言是非常重要而基本的概念，數與數之間關係的 建立是學習高階數學的重要課題。van Hiele提出數概念發展的三個層次

（Gravemeijer, 1994）：

1.基礎層次：在此層次的學生他的能力仍在嘗試觀察量，並以具體的實物來 做數的操作。例如：小朋友通常會先按照數序去數具體物的個數，透過不 同情境之下的數數經驗，會將數視為一個靜態的狀態描述，這個時候數的 概念就發展成是一個物件，我們就可說小朋友具有該數的數概念了。

2.一階思考：在此層次的學生，他的能力能觀察數量之間的關係，開始產生 數與數之間關係架構（relational framework）的想法。例如：當學生能 在月曆中的規律中，發現月曆日期上下兩數量之間的關係都是差7，左右 相鄰兩數量之間的關係都是差1，能從在行與行以及列與列數量之間找出 日期變化之關係的思考能力就是一階思考，如圖1所示。

3.二階思考：是指能在數與數關係之間，開始建立各種進行連結和邏輯化的 思考，並且進行有意義的學習之能力。例如：學生已經找出月曆中的規律，

行的數量關係與列的數量關係之後，接著學生探究九個數字總和與中間數 的關係時，他的思考必須能與行的數量關係與列的數量關係之間建立好的 連結之後，才能有能力去進行的思考能力，就是二階思考，如圖1 所示。

類似

圖1 一階思考與二階思考圖

三、van Hiele幾何思考層次理論

van Hiele 夫婦研究幾何思維發展與幾何課程教學設計，提出了幾何思 考的發展模式理論，主張幾何思考的發展模式包含五個層次，分別是視覺期

（ visualization ） 、 分 析 期 （ analysis ） 、 非 形 式 演 繹 期 （ informal deduction）、形式演繹期（formal deduction）以及嚴密性期（rigor）。

他們主張學習者經由適當的教導與經驗，能從最基本的視覺層次（此層次只 是經由視覺觀察而不了解圖形屬性），最後可到達最高的嚴密性層次（此層 次包含抽象的思考與歸納能力），但很少人可以到達最後這一層次（Clements

& Battista, 1992）。van氏的五個層級他本人認為，各層次間是有順序性 的，而與年齡無直接相關，也就是說，學習者必須將每一個層次的技能與策 略充分發展後，才有提升到下一個層次的可能。

對於這五個層次的描述方式，國內外的研究者有兩種不同的表達方式，

一部份研究者使用「層次０、層次一、層次二、層次三、層次四」來描述這 五個幾何思考層次（盧銘法，1999；黃盈君，2001），另一部份研究者則使 用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來描述van Hiele的五個幾 何思考層次（Usiskin, 1982; van Hiele, 1986；吳德邦，1998，2000a，

2000b，2001)。本研究採用van Hiele（1986）對層次的說法，分別為層次 一：視覺的（visual）層次、層次二：描述的（descriptive）層次、層次

2 3 4 9 10 11 16 17 18

A A+1 A+2 A+7

A+14

A-8 A-7 A-6 A-1 A A+1 A+6 A+7 A+8 一階思考

二階思考

三：理論的（theoretical）層次、層次四：形式邏輯的（formal logic）

層次、層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次。下 列就各層次要點概略敘述：

(一) 層次一：視覺的（visual）層次

這個層次的學生，主要是根據外型來判斷圖形，也就是藉著視覺觀察物 體的輪廓來掌握圖形。例如，像太陽的形狀為圓形，像門的形狀為長方形。

又如◇看起來，不像正方形，在此階段的兒童認為這不是正方形。這個階段 兒童的思考推理，受到視覺外觀的影響很大，對於圖形的特質與圖形各部分 的關係不是很清楚；但此階段的兒童，可以透過移動或旋轉等方法來辨識圖 形的異同，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能根據圖形的性質或 組成要素來進行分析。

(二) 層次二：描述的（descriptive）層次

這個層次的學生，具有豐富的視覺辨識經驗，已經具有辨別圖形特徵的 能力，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的基本要素及這些圖形 之間的關係。因此，能夠知道圓形沒有邊，三角形有三個邊，正方形有四個 一樣長的邊。但是卻無法說明不同類圖形間的關係(如：他們不會認為正方 形也是長方形)。

(三) 理論的（theoretical）層次

這個層次的學生，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道各種幾何 圖形的內在屬性以及各種圖形之間的包含關係，能運用非正式邏輯思考卻去 推理並認識圖形特徵，將圖形以最少的特徵加以定義、分類。例如，平行四 邊形有兩雙平行且相等的對邊，長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形 其中一個角為 90°時，這個四邊形就是長方形。也就是說圖形的構成要素被 秩序化（ordered），這階段的學生已能夠依據圖形的性質進行非正式的推 演，但是還不能進行有系統的證明。

(四) 形式邏輯的（formal logic）層次

這個層次的學生開始思考推論的意義、理論的相對性、必要與充要條 件，能夠經由抽象推理的過程來證明幾何問題及相互間的關係，也能了解這 些定理證明的方法可能不只一種（如：能證明三角形的內角和是 180°）。

這個層次的學生開始思考推論的意義、理論的相對性、必要與充要條 件，能夠經由抽象推理的過程來證明幾何問題及相互間的關係，也能了解這 些定理證明的方法可能不只一種（如：能證明三角形的內角和是 180°）。