樣式推理

一、關於規律（pattern）

「規律」（pattern）在一般英文字典的翻譯大略有「圖案、花樣、式 樣、典型」，在數學上有人譯成模式，有人認為翻譯成樣式，近來亦有能人 根據pattern在數學獨特的性質與諧音稱為「胚騰」，「騰」的原意是馬在 奔馳的意思，也可引申為興起突現之意，「胚」是胚胎，引申為事之發端，

與騰字合起來，意指「其來有自的突現」，也就是說任何一個看似突然或特 別的現象，其實在其背後隱含著發生的依據或規律（曹亮吉，2003）。

曹亮吉（2003）認為日常生活中的事物莫不隱藏著數與形，尋求數與形 的規律及過程是學習數學之主要目的，例如：火車的座位表、日曆上的數字 及地面上地磚的圖形等等，都有其奧妙所在。「樣式規律」的探究就是面對 生活萬象裡一些問題、現象，鼓勵學生去觀察、從雜亂中看出樣式，再從同 一個樣式中看出規律，培養出學生觀察、分析、歸納的能力。當我們從實際 的生活中或其他學習領域中取材來探討其中的數與形的樣式規律時，可以培 養出一種能力，這些能力包括了能夠察覺情境中的問題，將之轉化為真正的 數學問題，在數學問題求解之後還能夠回到實際的情境，評析解題的結果是 否回答了原來的問題？是否能進一步的推展出一般化的通則便能把發現提 供給別人分享？學生能用這樣的察覺、轉化、解題及評析等步驟，把數學和 生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體而有用。

簡單地說，「胚騰與規律性是密不可分的，它強調的是形式上、而非實

質上的規律。我們需要把心理的認知向更高抽象的層次提升，胚騰標示了物 件之間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、

抽象的關係，甚至思維的方式」（李國維，引自史都華自然的數學遊戲 (Ian Stewart, 1996)，序文）。本研究所探討的樣式推理能力（胚騰）指的就是 物件之間隱藏的規律關係，可視為廣義的規律。也就是說，「樣式推理」就 是這種規律的尋求，讓學生能夠根據問題中所提供的線索，透過推理思考的 過程，找出規律，然後確認規律，而且能夠更進一步地將所尋求到的規律一 般化（generalize），藉以解決所遇到的問題。

有學者認為規律覺察有助於學生解決數學問題（黃敏晃，民 89，Howdwn, 1989; Rays, 1999; Whimbey ＆ Lochhead, 1999）。但是，他們所提之規 律的意義並不完全相同，Rays（1999）所提及的規律察覺大致分成圖形與數 列兩部分；Whimbey 和 Lochhead（1999）則是只從數列中去發現規律；有些 學者則是在運算中找規律以利數字運算（Coburn, 1987；Howden, 1989; 鍾 聖校，1998）。在數字的運算上，有些學者使用規律觀察加減法（Howden, 1989；鍾聖校，1998），但也有些學者則使用規律觀察乘除法（Coburn, 1987）。G. Pόlya 在解題策略中也提及其規律指的是將題目化簡，找出能 適用於同類問題解決的通則，類似於數學上之歸納法（引自 Musser & Burger, 2000）。黃敏晃（2000）提出的則是不同的規律，含有幾何上的規律、多項 式、分式，以及遊戲上的規律等。

曹亮吉（2003）認為：從「尋找數與形的規律，可從二個方向延伸。規 律是規則與定律，是嚴格的，無例外的。然而通性、風格、樣式、形態、圖 樣、結構、特色、模式等等，多多少少有規律可尋，可視為廣義的規律」。

但胚騰的種類與領域繁多，實不可能一一列舉或以一概全，有學者認為數學 討論的素材是數量與圖形，研究哪些數量與圖形在什麼樣的條件下，會產生 什麼樣的關係。…各學科討論的現象（素材）也許不同，但追求的目標則是 一致的，即變化的規律（黃敏晃，1986）。本研究探討的是偏向國小六年級 學生對「形」與「數」中的一些pattern現象的察覺與其差異之辨識，為方 便閱讀及避免混淆，將將pattern一詞以「規律」呈現在於本研究各章節之 中。

二、推理與思考

Gardner（1983）透過對人類能力的研究，認為人類的能力應可包括邏 輯－數學智能（logical-mathematicalintelligence）－有效地運用邏輯和 推理的能力。這項智能包括對運用邏輯的方式、關係、陳述、主張、功能及 對其它相關抽象概念。用於邏輯-數學智能的各種步驟包括分類、分等、推 論、概括、計算和假設檢定（Campbell ＆ Martin, 1995）。Krulik和Rudnick

（1993）指出推理（reasoning）是思考的歷程中，高於回憶之層次，包含 (Garfield ＆ Gal, 1999；Burrill ＆ Romberg, 1998）。這樣經驗可使學 生有機會讓自己扮演數學問題解決的主角，讓他們可以在真實世界裡從事用 數學來解決問題（Moore, 1998； Greer, 2000）。

批判性思考能力是指是對所遭遇到的問題或情境，具有審查、欣賞或評 估的思考能力。此層次所包含的能力是：聚焦（focusing）、蒐集

（gathering）、確認（validating）、分析（analyzing）、回憶（remembering）

和結合（associating）。創造性思考則是指具有原創性和有效性，並擅於

ideas）、產生概念（generating ideas）和應用概念（applying ideas）。

數學推理是數學的核心，也是數學的基礎。人們使用二種相當不同的數 學推理：在一般情況下運用已知慣例或規則解決標準問題；面對特殊問題時 會使用數學策略，例如轉譯成其他方式、尋找樣式、類化推理、歸納、簡化、

探索具體案件、提取去除毫不相關的細節、去蕪存菁去解題（Forman & Lynn, 1995）。

Coles和Robinson（1989）認為推理思考兼具批判性思考和創造性思考 的思考模式，批判性思考是指能檢核、連結和評鑑某一情境或問題的各個面 相，且能集中問題的焦點、能蒐集、組識和分析資訊，還能連結先前已學過 的經驗、決定答案的合理性以及能提出有效結論的思考。創造性思考是指一 個想法，具有原創性和有效性、善於發明、能產生精緻複雜之思考方式。具 有創造性思考的人，能夠綜合其想法，產生創意，以及能運用概念以解決問 題。而所謂「解決問題」，並不是指解決例行性數學問題中「文字題」或「應 用問題」而已，因為應用題與文字題只是一種練習題（exercise）或是習題，

用以解釋已教過的觀念、技巧或是計算的過程而已。

近年來美國國家研究院（The National Academies, 2001）的研究報告 指出，學生的數學能力就如同五股相互交織的繩索，五種能力必須同時地、

統整地發展，方能成就其功能，五股數學能力包括：1.概念的理解：理解數 學概念、運算及關係。2.流暢的運算能力：彈性地、準確地、有效地及適當 地執行程序技巧。3.選擇策略的能力：能形成、表徵及解決數學問題。4.

適當的推理能力：邏輯思維、反思、解釋及辯證的能力。5.具生產力的數學 性向：視數學是有知覺的及有價值的。這五股能力在數學能力的發展中是同 等重要的，且其間的關係並不是獨立的，而是相互依賴的，它們表徵了一個 複雜全體的不同向度，形成了數學能力。能力好的學生應有能力瞭解和應用 重要的概念及定理，他們也能毫不困難進行計算、瞭解問題和解決問題，並 能解釋他們的推理過程。最後，他們能對自己的數學推理能力有信心，並視 數學這門學科為有價值的，如此才能使這樣的數學知識具有生產力（黃志 賢，2003）。

三、推理與認知發展

認知發展論的首要代表人物 Piaget，他研究如何從直覺推理發展至邏 輯、抽象推理的過程了解兒童。他將兒童認知發展的歷程分成四個階段，他 稱這四個階段為：感覺動作階段、前運思階段、具體運思階段、形式運思階 段。每個階段各有其行為上的特徵，各階段的連續成一定的順序，階段不能 省略，順序不能顛倒（張春興，1977）。以下將此四階段簡略說明：

(一) 感覺動作階段（sensorimotor stage）：

從出生到2歲左右的兒童屬於這個階段。在這階段裡，幼兒靠身體的動 作及動作所獲得的感覺，去對四周環境的刺激發生反應。對看不見的東西沒 有保留的觀念，以為看不到的東西就不存在。這一階段是以後認知發展為基 礎。

(二) 前操作階段（pre-operational stage）：

屬於這階段的兒童大約在2歲到7 歲之間，他們開始運用語言、文字、

圖形等較為抽象的符號去從事他們的思考。此時期的兒童可以開始學習簡單 的文字、數字和圖形，自我中心很強，還不知道邏輯之可逆性，沒有質量、

容積等保留觀念，雖然能開始思考，但還無法進行邏輯的思考和推理。

(三) 具體操作階段（concrete operational stage）：

7歲到11歲的兒童屬於這個階段，在此階段的兒童已有質量、容積等保 留的概念，也有可逆性的觀念。他們開始做簡單的邏輯推理，能排列次序

（serial order），能用不同的特性分出類群（group），但仍須透過具體 的實物或教具方能理解，他們還不能靠抽象的符號來處理事物。這個年齡的 兒童，多數已能進行物的分類、比較以了解其間的關係。

(四) 形式操作階段（formal operational stage）：

11歲到15歲的青少年屬於這個階段，它和具體操作階段比較起來，此階 段的青少年大多已經脫離依賴直接感覺處理事物的方式，思考能力漸趨成 熟，能運用概念的、抽象的、純屬形式邏輯的方式去進行推理。他們具有系

統的和抽象的邏輯思考，可以和成人一樣反省，也可以根據假設進行演繹推 理（deductive reasoning），並進行控制變因的實驗。

至於兒童幾何認知概念的形成，Piaget認為隨著年齡的成長對於空間之 決能力的發展，可分為拓樸性（topological）、投影性（projective）、

歐幾里得性（Euclidean）三個階段。

（一）拓樸性知覺階段：

此一階段的兒童相當於運思前期認知發展階段，僅能掌握拓樸性的 圖形概念，即只能注意到圖形的大概形狀而已，而不會分辨出精確的形 狀，例如要求兒童仿畫正方形或長方形，他們往往只能繪畫成近似長方 形的形狀，線條凹凸不直，甚至畫成近乎圓的一種拓樸變換出來的圖形

此一階段的兒童相當於運思前期認知發展階段，僅能掌握拓樸性的 圖形概念，即只能注意到圖形的大概形狀而已，而不會分辨出精確的形 狀，例如要求兒童仿畫正方形或長方形，他們往往只能繪畫成近似長方 形的形狀，線條凹凸不直，甚至畫成近乎圓的一種拓樸變換出來的圖形