國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育學系
在職進修教學碩士學位班碩士學位論文
指導教授：陳鉪逸 教授
國小學生樣式推理與數學創造力之研究
（以國小六年級學生為例）
研 究 生：黃子千 撰
中 華 民 國 九 十 五 年 六 月
摘 要
一、本研究的主要目的：探究國小六年級學生在樣式推理能力、數學創造力 上之表現，與數學成就之分析比較與探討。 二、研究方法與樣本：以量的統計分析軟體 SPSS 進行，收集的樣本是以中 彰地區國小六年級學生為主。 三、研究結果發現： （一）學生於樣式推理能力表現，以數字推理能力最優異，圖形推理能力與 形數推理能力次之。 （二）學生於數學創造力表現上，以流暢力最優異，變通力次之，獨創力最 差。 （三）學生的樣式推理能力與數學創造力之間呈現低度相關。 （四）學生數學成就高者在圖形推理能力、數字推理能力、形數推理能力、 樣式推理能力、流暢力、變通力及數學創造力的表現，均優於數學成 就低之學生。 （五）學生樣式推理能力、數學創造力與數學成就間相互多元迴歸方面： 1.樣式推理能力之最有效迴歸方程式為： 樣式推理能力＝0.468 ×數學成就＋0.183 ×數學創造力 2.數學創造力之最有效迴歸方程式為： 數學創造力＝0.227 ×數學成就＋0.203 ×樣式推理能力 3.數學成就之最有效迴歸方程式為： 數學成就＝0.253 ×數字推理能力＋0.250 ×圖形推理能力＋0.197 ×流暢力 4.國小六年級學生之樣式推理能力、數學創造力與數學成就間，存在 的某種程度的交互影響，以樣式推理能力能用來預測數學成就之解 釋量高於數學創造力預測數學成就之可解釋變異量來的高。 關鍵字：樣式推理、數學創造力、數學成就Abstract
1. Purpose
The purpose of this study was to explorethe interrelationships among mathematics achievement scores, the abilities of pattern reasoning and
mathematics creativity of the sixth-grade students Taichung and Changhwa area. 2. Research design and Procedures
The questionnaires designed for the sixth-grade students were distributed, collected and returned by their teachers. The total number of questionnaires was four hundred and eighty six whereas available return was four hundred and forty. Data were collected and analyzed by linear regression and SPSS software.
3. Result
A. With respect to students’ achievement scores of pattern reasoning abilities, students’ numeral pattern reasoning abilities stood out best, their
visualization pattern reasoning abilities showed good and their shapes exploring and geometric pattern reasoning abilities were passable. B. With respect to the interrelationships among the students’ abilities of
pattern reasoning (PA), mathematics creativities (MC), and math
achievement scores (MA) and their regression equations were found and were illustrated as following:
(a) PA ＝0.468 × MA＋0.183 × MC (b) MC＝0.227 × MA＋0.203 × PA
(c) MA＝0.253 × NR＋0.250 × VR＋0.197 × FL Where NR, VR, and
FL stand for numeric pattern reasoning, visualization pattern reasoning,
and ability of fluency respectively.
C. With respect to students’ achievement scores of mathematical creativity, students’ abilities of fluency stood out best and flexibility was good. However, the originative abilities were poor.
D. Low interrelation between students’ abilities of pattern reasoning and mathematical creativity was found.
E. The students with high mathematics achievement showed better abilities of pattern reasoning including visualization, numeric pattern reasoning, geometric shapes pattern reasoning, and creative abilities such as fluency of math reasoning, flexibility of mathematics thinking and originative than those with low mathematics achievement.
F. To predict the mathematics achievement scores through using students’ pattern reasoning abilities was much more efficient than using math creativity abilities.
目 次
第一章 緒論……….. 1
第一節 研究動機………
1 第二節 研究目的………
7 第三節 名詞釋義………
7第二章 文獻探討……….…. 13
第一節 樣式推理………...
13 第二節 形數概念之相關理論………...…
26 第三節 數學創造力………..
31第三章 研究方法………. 55
第一節 研究架構與步驟……….
55 第二節 研究對象………
57 第三節 研究工具………
58 第四節 資料處理………
70 第五節 研究限制………
73第四章 資料分析與討論……….. 75
第一節 資料描述………
75 第二節 樣式推理能力測驗結果分析……….
77 第三節 數學創造力測驗結果分析……….
89 第四節 樣式推理能力與數學創造力間之關聯分析………..
95 第五節 樣式推理能力、數學創造力、數學成就之多元迴歸分析…….
101第五章 結論與建議……….. 109
第一節 結論………..
109 第二節 研究建議………
114參考文獻………...……. 117
一、專書………
117 二、學術論文………
118 三、期刊論文………
120 四、英文部分………
121附錄……… 125
附錄一 國小學童樣式推理能力測驗（初稿）………
125 附錄二 修正後之國小學童樣式推理能力測驗……….
133 附錄三 樣式推理能力測驗試題分析………
140 附錄四 國小學童數學創造力測驗及計分表………
155 附錄五 學創造力變通性分類表及獨創性分類計分表………
161 附錄六 國小學童數學創造力測驗作答樣本………
174 附錄七 國小數學創造力評測使用同意書………
179表 次
表 2-3 創造力的定義………
33 表 2-4 國內有關創造力評量的工具………
44 表 2-5 性別、年齡與創造行為之相關研究（國內）………
47 表 2-6 性別、年齡與創造行為之相關研究（國外）………
49 表 2-7 國內學業成績與創造力之相關研究………
51 表 3-2 施測樣本分配一覽表………
58 表 3-3-1 試題變項一覽表………
61 表 3-3-2 樣式推理能力測驗 Cronbach＇s α係數表………
62 表 3-3-3 樣式推理能力難度鑑別度係數表………
63 表 3-3-4 樣式推理能力測驗試題雙向細目表………
65 表 3-3-5 數學創造力測驗設計理念表………
66 表 3-3-6 數學創造力測驗評分指標內涵表………
68 表 3-3-7 數學創造力測驗計分標準表………
68 表 3-3-8 數學創造力測驗之重測信度分析表………
69 表 3-3-9 數學創造力之評分者信度分析表………
69 表 3-3-10 數學創造力測驗各指標之內部相關表………
70 表 4-1-1 學生基本資料次數分配及百分比統計表………
76 表 4-1-2 樣式推理能力測驗之描述性統計表………
76 表 4-1-3 數學創造力測驗之描述性統計表………
76 表 4-2-1 樣式推理三類型能力之 Pearson 相關摘要表………
77 表 4-2-2 樣式推理三類型能力之成對樣本 T 檢定摘要表………
78 表 4-2-3 重覆規律成對樣本 T 檢定摘要表………
79 表 4-2-4 旋轉規律成對樣本 T 檢定摘要表………
80 表 4-2-5 等差規律成對樣本 T 檢定摘要表………
81 表 4-2-6 二級階差規律成對樣本 T 檢定摘要表………
82 表 4-2-7 等差規律和二級階差規律成對樣本 T 檢定摘要表………
83 表 4-2-8 數字規律和形數規律成對樣本 T 檢定摘要表………
84 表 4-2-9 樣式推理能力與數學成就分組之 Pearson 相關摘要表………
85 表 4-2-10 數學成就與樣式推理能力之變異數分析摘要表………
87表 4-3-1 不同創造指標與數學創造力之 Pearson 相關摘要表
…………
89 表 4-3-2 數學創造力測驗三種創造力指標之成對樣本 T 檢定摘要表……
90 表 4-3-3 數學創造力與數學成就分組之 Pearson 相關矩陣表…………
91 表 4-3-4 數學成就與數學創造力之變異數分析摘要表………
93 表 4-4-1 樣式推理能力與數學創造力之 Pearson 相關摘要表…………
95 表 4-4-2 樣式推理和數學創造力與數學成就分組之 Pearson 相關摘要表……
96 表 4-4-3 樣式推理能力和數學創造力與數學成就分組之 Pearson 相關摘要表…
97 表 4-5-1 樣式推理能力之逐步迴歸分析結果摘要表（一）………
101 表 4-5-2 樣式推理能力之逐步迴歸分析結果摘要表（二）………
102 表 4-5-3 數學創造力之逐步迴歸分析結果摘要表（一）………
103 表 4-5-4 數學創造力之逐步迴歸分析結果摘要表（二）………
104 表 4-5-5 數學成就之逐步迴歸分析結果摘要表（一）………
105 表 4-5-6 數學成就之逐步迴歸分析結果摘要表（二）………
106 表 4-5-7 數學成就之逐步迴歸分析結果摘要表（三）………
107 表 4-5-8 數學成就之逐步迴歸分析結果摘要表（四）………
107圖 次
圖 1 一階思考與二階思考圖………
12 圖 2 思考層次的階級圖………
15 圖 3-1-1 研究架構圖………
55 圖 3-1-2 研究流程圖………
56 圖 4-4-1 數學成就高分組之樣式推理與數學創造力相關圖…………
98 圖 4-4-2 數學成就中分組之樣式推理與數學創造力相關圖…………
98 圖 4-4-3 數學成就低分組之樣式推理與數學創造力相關圖…………
99 圖 4-4-4 研究樣本之樣式推理與數學創造力相關圖………
99第一章 緒 論
本章共分為三節，第一節說明本研究之動機，第二節說明本研究之和目 的，第三節針對本研究所提及的重要名詞進行釋義。第一節 研究動機
對大多數的學生來說，數學是一門重要卻令人頭痛的學科，由於數學學 習涵蓋了各種數值、代數、圖形及語意表徵之間的交互作用（Kaput, 1992）， 使得中小學學生的數學學習情況極為艱苦。根據 1994 年「國際數理成就評 量」（International Assessment of Educational Progess，簡稱 IAEP） 對世界各地國小數學能力測驗之後，師大數學研究所對此測驗的評析，認為 台灣地區的學生概念理解與計算能力的表現均屬於高分，但在解題過程及推 理能力的表現上卻差人一等（曹銘宗，1994）。周筱亭（1995）也認為我國 的學生在數學方面，優於計算、記憶，卻劣於推理、解題。可見台灣學生對 於數學能力之養成，偏重於數學公式的記憶與計算過程的訓練，忽略了解 題、推理思考能力的訓練。 全球知名數學家史都華Ian Stewart (1996) 說：「我們生活在一個充 滿pattern的宇宙中、…自然界每一個pattern都是一個謎而且幾乎總是很深 的謎。數學的拿手好戲就是幫我們解謎，能將藏在某些pattern 底下的法則 與結構發覺出來。」Steen也認為數學已從「一門研究數、量、形的學問」 轉變成為「一門pattern的科學」；數學家從數字中、空間中、電腦裡甚至 是從想像中尋找pattern、從數學定理研究pattern、研究pattern間的關係 （洪明賢，2003；引自Zimmermann & Cunningham, 1991）。生活本身其實正是一連串問題解決的過程，知識其實就是工具，是被用 來統整、活用、分析、推理、解決所遭遇情境的工具，不可能只是片段毫無 用處的記憶。法國數學家何密得(Charles Hermite, 1822～1901)曾提到：「在 一團亂糟糟的事物中，一條小小規律的察覺，宛如黑暗中摸索時的一線光 明，常引導我們到達新的數學天地。這份經過『柳暗花明又一村』帶來的喜
悅，就是許多學者窮盡畢生之力，研究純粹科學的內在動機。」(黃敏晃， 2000)。民國 82 年教育部所公佈的國小數學課程標準（教育部，1993）中便 強調：必須將數學視為推理。 Resnick(1987)強調教育的目的主要是在教導學生思考(thinking)，無 論學習教材是多麼簡單，學生都必須透過思考、能向他人做完整的、清楚的 解釋自己所學習到的知識才是正確有效的學習。一般國小學生學數學到底要 學什麼呢？從實用的觀點來看，答案大多是學會計算，或少量的幾何與代數 概念。國小學生由於考試領導學習的陋習，解題目的只問答案的對錯，不計 較答案的來源。可喜的是，近年來，家長對學習數學的想法漸有改變，家長 開始認同學數學必須用推理尋求數與形的規律及過程，將之看成是學習數學 的重要方式。九年一貫數學領域課程基本理念也述及：「我們周遭的自然與 社會環境中，到處可見數與形；而各種數與形都有一些規律，數學探討的就 是這些規律。透過數學，我們觀察到很多自然與社會的現象，並瞭解這些現 象形成的原因，因而為人類增添了不少文化資產。數學一直是國民教育的核 心課程，過去一直如此，未來也不會改變。」 國中小的數學涵養，對其目前所處的生活環境，其實是不足以保證讓自 己能存活下去的，所以再學習是極需要的；所需要的無疑是是學習的方法。 方法讓我們能從實際的生活或其他學習領域中學得知識，來探討如何推理， 研究其中數學的困難、模式，進而培養自己胚騰的能力。我們要培養能夠察 覺情境中的問題，再把察覺到的問題轉化成真正的數學問題的能力，以解決 生存的障礙。進行有效學習才能獲得能力，獲得的知識足夠以後才可以溝 通，對外也要能與別人溝通與分享。經過察覺、轉化、解題、溝通及評析等 種種步驟，把數學和生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體 而有用。民國 89 年所公佈的九年一貫課程（教育部，2000）在數學科的分 段能力指標中，加入了「連結」這個新主題，就是為了培養學生能夠運用推 理的方法達到解題的能力。 樣式也是解決數學問題的一個方式。數學家 Pόlya（1945）所提的數學 問題解決策略裡面含有一個步驟就是發現樣式（Look for a pattern）的步 驟，其他許多學者也認為發現樣式（pattern）有助於解決問題（曹亮吉， 2003； Howden, 1989； Krulik & Rudnick, 1983； Whimbey & Lochhead,
1999）；許多國家的數學教育家也認為，在數學教育中，教學生進行邏輯推 理的方法，讓他們自己推理出某種結構的教學比單純告訴他們結論還重要， 中國有句古話說：「授之魚不如授之以漁」，意思就是給一個人一些魚不如教 他捕魚的方法。這個道理在當代數學家和教育家引起了共鳴，民國 82 年國 小數學改革就以這個口號來支持它改革的宗旨。美國密西根大學教育學院的 德博拉‧鮑爾認為，數學具有吸引力的原因之一就在於它能夠引導學生進行 奇妙的推理，推理的培養讓學生由死記解題過程轉為以理解來解題的方式， 在小學數學教育中具有極重要的作用。 尋找樣式是推理思考的一種，推理思考是指對某些已知的跡象，根據邏 輯的原則循序推尋可能導致的結果。因此，推理思考活動是一種尋求因果關 係的心理歷程。依照Piaget的認知發展歷程來看，兒童的推理能力隨著年齡 的增長，會逐漸的發展、改變，直到進入形式運思期後，才會趨於成熟（黃 幸美，1994； Piaget, 1967）。因此，推理能力是屬於一種高層次的認知， 也是一種重要的能力。Nickerson（1991）強調：倘若學生在學習過程中少 了樣式規律的歸納推理能力，學習便無法進行。從學習的觀點來說，學生在 學習語文時，也需在閱讀的歷程中進行閱讀推論的活動，以理解文章的意 義；數學是一連串的推理，學生學習數學時，更需要讓他們進行邏輯推理的 活動，以培養他們解決問題的能力。再從心理學的觀點來看，推理與智力之 間存在著密切的關係；再從心理測驗的角度來看，推理代表著智力的重要特 質（Guilford, 1967； Sternberg, 1986；林軍治，1985；黃幸美，1994）， 而教育研究的結果已經證明智力、認知發展程度和學業成就有關（譚光鼎， 1988），且不論是在日常生活中，或是學校的課業學習裡，推理能力都是一 項非常重要的能力。也因此，培養學生具有推理思考能力一直是教育界努力 的目標之一，這些目標就是希望能透過培養推理思考能力的方式，使學生具 備將來進德修業的能力。 能察覺樣式的能力之培養是重要的，國內數學新課程的主要特色是要落 實以學生為本位，進行有意義的學習一定要將數學內容放在對兒童有意義且 有趣的情境中，讓兒童由他對問題的自然想法開始，逐步聯結到他自己建立 好了的數學知識結構；如果教學活動提供有利於學生了解數字樣式或數列的 機會，帶領學生應用知識、產出大量成果、發現數與形及實驗驗證先前預測
一連串的結果（黃幸美，1997；林達森，2002）。數學教育除了數學知識的 培養外，學生的演算能力、抽象能力及推論能力的培養也是整個數學教育的 主軸，以上三者是連貫而非獨立分開的，是培養學生數學能力的三個具體面 向。所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性 的感覺；在學習數學時，一般比較重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗 （或數學感覺）的培養其實是具有同等重要地位的。要確保學生能學好數學 教材，必須引導並利用自己已經具備的前置經驗（或感覺），這種數學的經 驗或感覺就是對數學的直覺能力。學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的 直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直覺。在認知能力上，直覺是 思維流暢的具體展現；在能力培養上，直覺讓學生能從根本上，擺脫數學形 式規則的束縛，充實學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是兒童 數學智能發展中的重要指標（教育部， 1998）。然而在台灣升學主義的壓 力下，學生所受的教育總是離不開填鴨式的同質性教育，造就的是考試的機 器，學生漸漸地失去獨立思考的能力，學生的想像力與觀察能力也漸漸被丟 棄，創造的能力也在標準的答案下被抹滅。 人們的創造力是重要的，人類文化與文明創造的表現，端在人的思考能 力（賈馥茗，1972）。 Katz & Kahn（1978）指出，任何社會系統為求生存 必定存在著一種適應機能，以預知環境的變化並求適應，這種預知和適應的 機能就是創造力（creativity）。富蘭克林曾說：「停止創新的思想，便是 停止了生命」（陳樹勛，1981）。人類心智的活動是在創造環境，而不是在 適應環境，人類是在創化，而不是進化。創造與適應，創化與進化之間的關 鍵，在於創造之動機與創造力之發展（郭有遹，1983）。因此，在19世紀60、 70年代，隨著社會、生產、科學技術的迅速發展，各領域中創造經驗事實的 不斷累積，研究方法的改進，便開始有目的地採用科學方法和手段來研究和 探討創造力及有關的問題（董奇，1995）。 創造力相關研究之發展，約可分為四個階段，第一階段是1869～1907 年，此階段關於創造力的文獻大都在理論上的探討，未進行實驗研究；第二 階段是1908～1930年，此階段率先研究創造人格，對創造力進行個性心理的 分析及研究；第三階段是1931～1949年，此階段從精神分析的角度轉向認知 方面，開始研究創造力的認知結構和思考方法；第四階段從1950年迄今，此
階段主要是以Guilford為主流，他所發表的創造性演講，以及由於蘇聯人造 衛星發射成功，加上人本主義心理學的興起及發展，推動了創造力的研究熱 潮。此階段中，創造力的研究對象已擴展至一般人，測驗工具開始有系統地 編定及使用，關於富有創造力的個人人格特質、智力和作品創造性的評價方 法均有進展。 在台灣關於兒童創造力及其發展的研究主要是結合教育和培訓展開 的，可分為兩方面，一是結合各具體學科進行較長期的創造性教育實驗，一 是運用創造性思考的方法進行短期的創造性教育實驗。在60年代末期有賈馥 茗的創造性培養與教育實驗，70年代有林幸台、徐玉琴、吳靜吉等人之實驗 研究，80年代初有陳龍安、黃光雄、張玉成等的創造性教學和訓練的實驗研 究。上述之研究較接近生活實際情形，比較實用、有效，然而對兒童創造力 的發展規律、年齡特徵及影響因素並未作深入研究及探討（董奇，1995）。 我國由於傳統教育的束縛、升學競爭的壓力，教育偏重背書、考試，忽 略了思考創造，以致於培養出「功利、自私、缺乏積極主動，以及團隊精神」 的人才，多年來一直為有識之士所詬病，近年來，各界莫不呼籲加強創造人 才的培養（賈馥茗，1979；陳龍安，1984；陳英豪等，1987）。事實上，我 國在學術方面，從賈馥茗（1972）倡導創造思考能力的發展實驗，開啟了創 造力學術研究的新機，有關論述及研究日益增多，在此之前有關創造力的學 術研究，從國家圖書館博碩士論文的查詢中幾乎找不到相關之論文，1970 年至 1991 年增為 180 篇之多；在行政方面，台北市教育局為培養學生之創 造力及革新教學方法乃在保有傳統教學法之同時，注入新的精神與理念，於 民國 72 年由毛連塭局長倡導全面實施創造思考教學。為配合創造力的推 動，台北市立師範學院成立學術界第一個創造思考教育中心，中華創造學 會、中華創意發展學會亦相繼成立。 為順應全球以創新為核心的知識經濟時代的來臨，政府近來持續將提昇 創造力列為主要的國家發展策略。民國 85 年行政院教改會公佈之「中華民 國教育改革總諮議報告書」提出「多采多姿，活潑創新」之現代教育方向， 為創造力教育時代拉開序幕；爾後除了經濟部與國科會積極推動一系列之創 造力相關研究外，社會各界亦不斷推出各項激發創造力發展之競賽活動。在
與「第六次全國科技會議」中，創造力與創新能力均為重要議題。國民教育 階段九年一貫課程綱要總綱、台北市資優教育白皮書、中華民國人文社會科 學白皮書、國家科學技術發展計畫、全國教育評估指標、以及大學教育政策 白皮書等也皆有關於創造力教育的政策宣示與規劃（教育部，2001）。 教育部顧問室也在顏鴻森主任的規劃下，自民國 89 年起陸續推動「創 造力與創意設計教育師資培訓計畫」、「創造力教育 91-94 年度中程發展計 畫」，並著手草擬「創造力教育白皮書」，期望能更持續與有效地推動創造力 教育。民國 91 年教育部公佈了「創造力教育白皮書」，希望整合相關政策， 全面推動創造力教育；創造力教育白皮書的公佈可說是我國全面推動創造力 的開始。 著名數學家波利亞（Pόlya）曾說：「數學是需要用猜測造成的」，為了 有所發現，首先必須有所猜測……而最初的猜想才是數學最具創造力的部分 (張靜嚳、念家興譯，1997)。英國科學家何勒（Hoyle）也說：「今日不重 視創造思考的國家，明日即將淪為落後國家而蒙羞」（張玉成，1983；陳龍 安，1984）。綜上所知，我們知道創造力是一個人不可或缺的，創造力在生 活中扮演非常重要的角色，它提供了各種新的解決方式，以適應瞬息萬變的 社會，面對眾多複雜的問題。近年來，培養學生創造思考的能力，也已成為 世界各國教育的發展趨勢。我們的確想激發學生擴散性思考，培養學生流 暢、變通、獨創、精進的能力，以解決所面臨的問題。 基於以上論述，研究者深覺在國小數學領域中樣式推理與創造力的重要 性，因此本研究擬採用問卷調查，研究中彰地區國小六年級學生在樣式推理 能力與數學創造力上之表現情形，並以學生之數學成就來進行與樣式推理、 數學創造力間之相關分析比較與探討。
第二節 研究目的
本研究的主要目的包括： （一）了解國小六年級學生在樣式推理能力上的表現情形。 （二）了解國小六年級學生在數學創造力上的表現情形。 （三）了解國小六年級學生樣式推理能力與數學創造力之間的關聯情形。 （四）了解樣式推理能力、數學創造力、數學成就三者之間多元迴歸之情形。第三節 名詞釋義
為使本研究中所使用的名詞意義更為明確，茲將相關名詞界定如下： 一、創造（create）： 「創造」的字源來自拉丁文的creatus，意思是製造或製作，或按字面 解釋為生長。依據韋氏大字典的解釋，有賦予存在（to bring intoexistence）的意思，具無中生有（make out of nothing）或首創（for the first time）的性質，亦是「有中生有」推陳出新的意義（陳龍安，1995）。 牛津字典對創造的解釋為：造成某事物存在（cause something to exist）， 或做出某種新的或原始的事物（make something new or original）之義（李 慧芳，2000）。 二、創造力（creativity）： 「創造力」即為創造的能力。創造力是一個人綜合運用其認知與情意特 質，不同派別的心理學者對於創造力的定義皆有所不同，其中強調智力結構 及心理計量的學者將創造力視為一種發散性思考的能力，由流暢力、變通 力、獨創力和精進力等基本能力所組成（陳龍安，1997；董奇，1995）。本 研究之數學創造力分數，以學生在「數學創造力測驗」所得的流暢力、變通 力、獨創力等三種分數之總分來表示之。 （一）流暢力：指思想的流暢程度，也就是說個體產生相似觀念多少的程度。 （二）變通力：指不同分類或不同方式轉換思考的能力。
（三）獨創力：指能想出與眾不同或很少人能想到之反應的能力。 三、樣式推理能力（pattern reasoning）： 指能察覺樣式（pattern）的推理能力。推理能力指的就是以某種原則 為基礎，由已知的跡象，推求未知結果的過程。由既有資料引出新概念的思 考，個體必須根據系統的原則，在各前提、實例間建立起特殊關係，以進行 評鑑，產生邏輯論點（Anderson, 1990; Rosser, 1994; 張春興，1991）。 數學推理技巧是一種思考過程，學生對某些概念的瞭解必須與某些事物拉上 關係。故此為培訓推理技巧而設的活動，必須深藏於文脈環境（contextual settings）內（NCTM, 1997）；而這些文脈環境可包括圖形大小數字類型等， 它們均能協助學生發揮思考能力。 所以本研究之樣式推理能力測驗便是以「圖形題」和「數字題」，以及 以圖形數量來表徵數字之「形數題」三大類型來佈題，以瞭解學生是否能從 題目所給予的幾項提示圖形或數字中，發覺其中存在的規律關係，進而順利 地將結果推算出來。也就是說，學生能將每題的規律找出來，並將最後結果 正確表徵出來的題數越多者，表示其推理能力愈佳，反之則愈低。 四、形數題： 本研究中所提及的形數題指的是以由許多相同圖案所組成的圖形序 列，在序列中各圖形所含「圖案的數目」所成的規律，即為形數題之規律。 也就是說，用圖形數量來表徵數字之意義，例如： …之規 律和數列「1、2、3…」規律相同。 本研究中所提及之「形數」有別於畢達哥拉斯學派（簡稱畢氏學派）所 主張的：萬物都是數，每個整數都有「形」，因此又稱為「形數」(figurate numbers)。如可以排成三角形的小石子數稱為三角形數，可以排成正方形的 小石子數稱為正方形數。例如： 36 粒小石子可以排成三角形也可以排成正 方形，如下圖：
所以，36 既是三角形數也是正方形數。雖然三角形數也可視為由若干 個連續的自然數相加所形成的數： 而正方形數則是由若干個連續的奇數相加所形成的數，例如： 但此數列規律不在本研究討論之範圍裡。故本研究所指的「形數題」， 單純是指：用圖形數量來表徵數字之各個圖形所組成的圖形數列之題目，稱 為「形數題」。 五、圖形題：概指無法運算操作的圖形（含文字或符號）所成之規律試題。 六、數字題：指用整數與分數所成之規律試題，不含文字、符號。 七、重覆規律：
若二序列{a1,a2,a3…}與{b1,b2,b3…}符合 a1 = b1、a2 = b2、a3= b3、…、
an = bn；即稱此二序列符合「重覆規律」。
八、對稱規律：
九、旋轉規律： 圖形序列中的圖形元素若依順（逆）時針方向旋轉，且旋轉角度或旋轉 位移數含規律變化，即稱此圖形序列符合「旋轉規律」。 十、屬性規律： 圖形序列中的圖形元素若含某共同特徵或變化（如：大小、顏色…）， 即稱此圖形序列符合「屬性規律」。 十一、階差數列： 數列經由一次「運算變化」後呈現學生能察覺之規律性，則稱此數列為 「一級階差數列」；若數列經由二次「運算變化」後呈現學生能察覺之規律 性，則稱此數列為「二級階差數列」。 十二、形數數列： 把數字用形數的方式表示出來，並有次序的串成一列，稱為形數數列。 十三：階層：具有相同階差結構的階差數列即稱它們在同一階層。 十四、單因、多因： 圖形規律中影響學生察覺的主要變因；一個變因即稱「單因」，二個變 因以上（含二個）即稱「多因」。 十五、序列： 把圖形排成一列，就稱為圖形序列；把數字排成一列，就稱為數字序列， 又稱數列。於本研究中，圖形序列含幾何圖形、符號及字母形式（字串）。 十六、子序列： 構成圖形序列的各個圖形，又稱之為圖形序列的子序列。
十七、水平思考與垂直思考： 垂直思考（vertical thinking）就是傳統的邏輯思考方式，之所以 稱為垂直思考，是因為思考者是從資訊的某個狀況，直接推演到另一個狀 況；就好像蓋一棟大樓時，把石頭一塊接一塊、牢固地疊起來；也好像是 從現有的洞穴，再往下鑿出更深的洞。垂直思考的特性之一就是連貫性 （continuity），而水平思考的特性之一就是不連貫（discontinuity）。 水平思考是有創造力的，是為了改變而改變。水平思考的目的是移動， 從一個概念移動到另一個概念，從一種看事情的方法移動到另一種。水平思 考並不去認定哪種解決方案才最適當，而總是在尋找更好的方案。水平思考 總是帶著希望，希冀可以經由重新組合達到更好的模式。水平思考絕對不是 要嘗試證明什麼，而只是要探尋、引發新想法。 學校教育關心的幾乎全是垂直思考，長久以來人們一直使用這種方式思 考；對許多人而言，它也是唯一的思考方法。垂直思考係由古希臘人發展出 來，我們有時也會因原封不動地將這套思維方式保存下來而感到驕傲。由於 垂直思考實在是太廣為人知、太牢不可破了，所以只要能顯示水平思考和垂 直思考的不同之處，就可以清楚說明水平思考的本質。同樣地，除非我們能 辨別兩者間的基本差異，否則就不可能運用水平思考。 某些水平思考的原則，和垂直思考的傳統原則互相矛盾。正因為有這種 矛盾，所以更需要充分了解這二者的本質，才能區分它們的差異。若無法劃 分這兩者，將會造成極度混淆，也就無法有效地運用這兩種思維方式。 水平思考與垂直思考的原則固然十分不同，但最終結果卻往往相同。 一根棍子有不同的兩端，但是棍子上的每一點都和這兩端有關。某一點或許 在中央，或許較靠近某一端。水平思考和垂直思考正是相反的兩端，但在兩 者之間有一道光譜，我們心中任何一個特殊的思考步驟，都會落在光譜的某 個地方，它也許是純粹的水平思考、或是垂直思考，但通常的情況都是介於 兩者之間（Edward de Bono）。 十八、一階思考與二階思考： 藉由觀察數量之間的關係，產生關係架構（relational framework）的 想法M稱為一階思考。例如：月曆中的規律，當學生發現上下兩數量之間的
關係都是差7，左右兩數量之間的關係都是差1，在行與行以及列與列數量之 間找出關係就是一階思考，如圖1所示。 而可以從關係之間的探討建立各種連結和邏輯化，並且有意義的學習， 稱為二階思考。例如：月曆中的規律，學生已經找出行的數量關係與列的數 量關係之後，接著讓學生探究九個數字總和與中間數的關係，必須在前兩個 關係之間建立有意義的連結，就是二階思考，如圖1 所示。 圖1 一階思考與二階思考圖 2 3 4 9 10 11 16 17 18 A A+1 A+2 A+7 A+14
A-8 A-7 A-6 A-1 A A+1 A+6 A+7 A+8 一階思考
第二章 文獻探討
本研究的目的在探討國小六年級學生的樣式推理能力和數學創造力之 表現情形，及其與數學成就間的關聯情形。為了對國小六年級學生這方面能 力的瞭解，研究者收集與樣式推理基本內涵有關的文獻，以及對學生創造力 相關理論進行收集分類，以利本研究之進行。第一節 樣式推理
一、關於規律（pattern） 「規律」（pattern）在一般英文字典的翻譯大略有「圖案、花樣、式 樣、典型」，在數學上有人譯成模式，有人認為翻譯成樣式，近來亦有能人 根據pattern在數學獨特的性質與諧音稱為「胚騰」，「騰」的原意是馬在 奔馳的意思，也可引申為興起突現之意，「胚」是胚胎，引申為事之發端， 與騰字合起來，意指「其來有自的突現」，也就是說任何一個看似突然或特 別的現象，其實在其背後隱含著發生的依據或規律（曹亮吉，2003）。 曹亮吉（2003）認為日常生活中的事物莫不隱藏著數與形，尋求數與形 的規律及過程是學習數學之主要目的，例如：火車的座位表、日曆上的數字 及地面上地磚的圖形等等，都有其奧妙所在。「樣式規律」的探究就是面對 生活萬象裡一些問題、現象，鼓勵學生去觀察、從雜亂中看出樣式，再從同 一個樣式中看出規律，培養出學生觀察、分析、歸納的能力。當我們從實際 的生活中或其他學習領域中取材來探討其中的數與形的樣式規律時，可以培 養出一種能力，這些能力包括了能夠察覺情境中的問題，將之轉化為真正的 數學問題，在數學問題求解之後還能夠回到實際的情境，評析解題的結果是 否回答了原來的問題？是否能進一步的推展出一般化的通則便能把發現提 供給別人分享？學生能用這樣的察覺、轉化、解題及評析等步驟，把數學和 生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體而有用。 簡單地說，「胚騰與規律性是密不可分的，它強調的是形式上、而非實質上的規律。我們需要把心理的認知向更高抽象的層次提升，胚騰標示了物 件之間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、 抽象的關係，甚至思維的方式」（李國維，引自史都華自然的數學遊戲 (Ian Stewart, 1996)，序文）。本研究所探討的樣式推理能力（胚騰）指的就是 物件之間隱藏的規律關係，可視為廣義的規律。也就是說，「樣式推理」就 是這種規律的尋求，讓學生能夠根據問題中所提供的線索，透過推理思考的 過程，找出規律，然後確認規律，而且能夠更進一步地將所尋求到的規律一 般化（generalize），藉以解決所遇到的問題。 有學者認為規律覺察有助於學生解決數學問題（黃敏晃，民 89，Howdwn, 1989; Rays, 1999; Whimbey ＆ Lochhead, 1999）。但是，他們所提之規 律的意義並不完全相同，Rays（1999）所提及的規律察覺大致分成圖形與數 列兩部分；Whimbey 和 Lochhead（1999）則是只從數列中去發現規律；有些 學者則是在運算中找規律以利數字運算（Coburn, 1987；Howden, 1989; 鍾 聖校，1998）。在數字的運算上，有些學者使用規律觀察加減法（Howden, 1989；鍾聖校，1998），但也有些學者則使用規律觀察乘除法（Coburn, 1987）。G. Pόlya 在解題策略中也提及其規律指的是將題目化簡，找出能 適用於同類問題解決的通則，類似於數學上之歸納法（引自 Musser & Burger, 2000）。黃敏晃（2000）提出的則是不同的規律，含有幾何上的規律、多項 式、分式，以及遊戲上的規律等。 曹亮吉（2003）認為：從「尋找數與形的規律，可從二個方向延伸。規 律是規則與定律，是嚴格的，無例外的。然而通性、風格、樣式、形態、圖 樣、結構、特色、模式等等，多多少少有規律可尋，可視為廣義的規律」。 但胚騰的種類與領域繁多，實不可能一一列舉或以一概全，有學者認為數學 討論的素材是數量與圖形，研究哪些數量與圖形在什麼樣的條件下，會產生 什麼樣的關係。…各學科討論的現象（素材）也許不同，但追求的目標則是 一致的，即變化的規律（黃敏晃，1986）。本研究探討的是偏向國小六年級 學生對「形」與「數」中的一些pattern現象的察覺與其差異之辨識，為方 便閱讀及避免混淆，將將pattern一詞以「規律」呈現在於本研究各章節之 中。
二、推理與思考
Gardner（1983）透過對人類能力的研究，認為人類的能力應可包括邏 輯－數學智能（logical-mathematicalintelligence）－有效地運用邏輯和 推理的能力。這項智能包括對運用邏輯的方式、關係、陳述、主張、功能及 對其它相關抽象概念。用於邏輯-數學智能的各種步驟包括分類、分等、推 論、概括、計算和假設檢定（Campbell ＆ Martin, 1995）。Krulik和Rudnick （1993）指出推理（reasoning）是思考的歷程中，高於回憶之層次，包含 基本的（basic）思考、批判性（critical）思考，以及創造性（creative） 思考，茲以圖2 說明推理的思考層次。 圖2 思考層次的階級圖 其中基本的思考包括對於數學概念的理解，如：加法、減法、乘法和除 法等運算的理解，不但能夠將以上運算運用在解決問題上，而且能夠運用在 解決學校或日常生活問題中。一般認為，學生的數學經驗應該來自實際情境 所給予的真實資料最有價值，給予機會來瞭解數學概念以統計方式呈現規則 (Garfield ＆ Gal, 1999；Burrill ＆ Romberg, 1998）。這樣經驗可使學 生有機會讓自己扮演數學問題解決的主角，讓他們可以在真實世界裡從事用 數學來解決問題（Moore, 1998； Greer, 2000）。
批判性思考能力是指是對所遭遇到的問題或情境，具有審查、欣賞或評 估的思考能力。此層次所包含的能力是：聚焦（focusing）、蒐集
（gathering）、確認（validating）、分析（analyzing）、回憶（remembering） 和結合（associating）。創造性思考則是指具有原創性和有效性，並擅於 發明，能產生精緻且複雜的思考能力；此能力包含綜合概念（synthesizing 創造性 （creative） 批判性 （critical） 基本的（basic） 回憶性（recall） 推理 reasoning 高層次 Higher-order
ideas）、產生概念（generating ideas）和應用概念（applying ideas）。 數學推理是數學的核心，也是數學的基礎。人們使用二種相當不同的數 學推理：在一般情況下運用已知慣例或規則解決標準問題；面對特殊問題時 會使用數學策略，例如轉譯成其他方式、尋找樣式、類化推理、歸納、簡化、 探索具體案件、提取去除毫不相關的細節、去蕪存菁去解題（Forman & Lynn, 1995）。 Coles和Robinson（1989）認為推理思考兼具批判性思考和創造性思考 的思考模式，批判性思考是指能檢核、連結和評鑑某一情境或問題的各個面 相，且能集中問題的焦點、能蒐集、組識和分析資訊，還能連結先前已學過 的經驗、決定答案的合理性以及能提出有效結論的思考。創造性思考是指一 個想法，具有原創性和有效性、善於發明、能產生精緻複雜之思考方式。具 有創造性思考的人，能夠綜合其想法，產生創意，以及能運用概念以解決問 題。而所謂「解決問題」，並不是指解決例行性數學問題中「文字題」或「應 用問題」而已，因為應用題與文字題只是一種練習題（exercise）或是習題， 用以解釋已教過的觀念、技巧或是計算的過程而已。
近年來美國國家研究院（The National Academies, 2001）的研究報告 指出，學生的數學能力就如同五股相互交織的繩索，五種能力必須同時地、 統整地發展，方能成就其功能，五股數學能力包括：1.概念的理解：理解數 學概念、運算及關係。2.流暢的運算能力：彈性地、準確地、有效地及適當 地執行程序技巧。3.選擇策略的能力：能形成、表徵及解決數學問題。4. 適當的推理能力：邏輯思維、反思、解釋及辯證的能力。5.具生產力的數學 性向：視數學是有知覺的及有價值的。這五股能力在數學能力的發展中是同 等重要的，且其間的關係並不是獨立的，而是相互依賴的，它們表徵了一個 複雜全體的不同向度，形成了數學能力。能力好的學生應有能力瞭解和應用 重要的概念及定理，他們也能毫不困難進行計算、瞭解問題和解決問題，並 能解釋他們的推理過程。最後，他們能對自己的數學推理能力有信心，並視 數學這門學科為有價值的，如此才能使這樣的數學知識具有生產力（黃志 賢，2003）。
三、推理與認知發展 認知發展論的首要代表人物 Piaget，他研究如何從直覺推理發展至邏 輯、抽象推理的過程了解兒童。他將兒童認知發展的歷程分成四個階段，他 稱這四個階段為：感覺動作階段、前運思階段、具體運思階段、形式運思階 段。每個階段各有其行為上的特徵，各階段的連續成一定的順序，階段不能 省略，順序不能顛倒（張春興，1977）。以下將此四階段簡略說明： (一) 感覺動作階段（sensorimotor stage）： 從出生到2歲左右的兒童屬於這個階段。在這階段裡，幼兒靠身體的動 作及動作所獲得的感覺，去對四周環境的刺激發生反應。對看不見的東西沒 有保留的觀念，以為看不到的東西就不存在。這一階段是以後認知發展為基 礎。 (二) 前操作階段（pre-operational stage）： 屬於這階段的兒童大約在2歲到7 歲之間，他們開始運用語言、文字、 圖形等較為抽象的符號去從事他們的思考。此時期的兒童可以開始學習簡單 的文字、數字和圖形，自我中心很強，還不知道邏輯之可逆性，沒有質量、 容積等保留觀念，雖然能開始思考，但還無法進行邏輯的思考和推理。
(三) 具體操作階段（concrete operational stage）：
7歲到11歲的兒童屬於這個階段，在此階段的兒童已有質量、容積等保 留的概念，也有可逆性的觀念。他們開始做簡單的邏輯推理，能排列次序 （serial order），能用不同的特性分出類群（group），但仍須透過具體 的實物或教具方能理解，他們還不能靠抽象的符號來處理事物。這個年齡的 兒童，多數已能進行物的分類、比較以了解其間的關係。
(四) 形式操作階段（formal operational stage）：
11歲到15歲的青少年屬於這個階段，它和具體操作階段比較起來，此階 段的青少年大多已經脫離依賴直接感覺處理事物的方式，思考能力漸趨成 熟，能運用概念的、抽象的、純屬形式邏輯的方式去進行推理。他們具有系
統的和抽象的邏輯思考，可以和成人一樣反省，也可以根據假設進行演繹推 理（deductive reasoning），並進行控制變因的實驗。 至於兒童幾何認知概念的形成，Piaget認為隨著年齡的成長對於空間之 決能力的發展，可分為拓樸性（topological）、投影性（projective）、 歐幾里得性（Euclidean）三個階段。 （一）拓樸性知覺階段： 此一階段的兒童相當於運思前期認知發展階段，僅能掌握拓樸性的 圖形概念，即只能注意到圖形的大概形狀而已，而不會分辨出精確的形 狀，例如要求兒童仿畫正方形或長方形，他們往往只能繪畫成近似長方 形的形狀，線條凹凸不直，甚至畫成近乎圓的一種拓樸變換出來的圖形 形狀。 （二）投影性知覺階段： 此一階段相當於運思前期到具體運思期的認知發展階段，此階 段的兒童對於外界的認知，以及在視覺的觀點比前一階段優越，凡經由 視覺所認同的事物，他們才認為是真實的存在。例如正方形紙張一旦拿 開，放在相隔一段距離的遠處，在兒童的心目中則認為變成了菱形、梯 形，且變小了；但如果再把它拿回原來位置，兒童卻又認為形狀及大小 都會回復到原來的大小，這是像在投影幾何所看到的情形一樣的。 （三）歐幾里得性知覺階段： 此一階段的兒童具有長度及距離保留能力，特別是在長度保留能力 發展之後，自然能發展出測量的概念，以最靠近自己的、最熟悉的工具 （自己的手或軀體）來測量，Piaget將此種策略稱為「手的遷移」及「軀 幹遷移」。以後隨著認知發展，兒童漸漸地會使用量尺工具來輔助測量， 面積保留概念大約也在此階段發展完成。
依照Piaget的認知發展歷程來看，兒童的推理能力隨著年齡的增長而逐 漸的發展、改變，直到進入形式運思期後才會趨於成熟。故11-15歲的青少 年認知發展已步入形式操作期，在小學低年級，兒童的圖形概念大部分都已 發展到歐幾里得幾何概念階段；對本研究之國小六年級學生而言，也都已具 備線段長短、角度大小及面積大小的保留概念。本研究以六年級學生為樣 本，探究學生認知發展進入形式操作期後，於樣式推理能力上的發展情形。 四、推理的形式 推理，是日常生活中用以解決某方面問題常用的思考模式。因其推理過 程必須合理，即合乎於邏輯，因此又稱為邏輯推理。推理思考的階段介於認 知記憶和高層思考技巧之間；推理思考以理解為基礎，含垂直思考和水平思 考；推理思考以布魯姆所述六項認知教育目標中的理解、應用、分析等三項 能力為主要內涵（張玉成，1993）。不同的推理思考方式，就產生不同的論 點。從 Piaget 的兒童認知發展歷程來看，國小六年級學生已進入形式運思 期（formal operational stage），這個時期的特徵是開始能以抽象方式思 考事物，能處理抽象概念，此階段的學生的思維方式具有以下三個特徵： （一）假設演繹 假設、演繹、推理是邏輯思維的基本形式。此種推理思維的特點是，先 對所面對的問題提出一系列的假設，然後根據假設進行驗證，從而得到答案。 （二）命題推理 認知發展臻於形式運思期的學生，在推理思維時，不必一定依據現實的 或具體的資料，只要擁有一個說明或一個命題，即可進行推理。 （三）組合推理 在面對由多項因素形成的複雜問題情境時，認知發展漸漸達到形式運思 期的學生，可以根據問題的條件，提出假設，然後一方面分離某些因素，一 方面組合另一些因素，從系統驗證中獲得正確答案。
從以上得知，國小六年級學生大都可能已經具備了抽象思考的能力，其 思考的過程也能有假設演繹推理、命題推理、組合推理三種方式，這階段的 學生大約是國小六年級到國中階段的學生，其思考方式已經不再是單一化思 考模式，因此在此階段如何培養學生具有獨立思考能力、多元化思考的能力 是非常重要的。 五、推理能力與學習 加納（Gardner）博士提出多元智慧理論，認為智力包括七種能力，數 字運算與邏輯思考能力也包含在其中；而且不論在比西智力量表、魏氏兒童 智力量表等，或是從語文到非語文的，團體或個別測驗中，推理能力始終是 重要的測驗內容之一。 推理思考是指對某些已知的跡象，根據邏輯的原則思考，推尋可能導致 的結果；因此，推理思考活動是一種尋求因果關係的心理歷程。依照Piaget 的認知發展歷程來看，兒童的推理能力隨著年齡的增長，會逐漸的發展、改 變，直到進入形式運思期後，才會趨於成熟（Piaget, 1969；黃幸美，1995）。 因此，推理能力是屬於一種高層次的認知能力，也是一種重要的能力；以學 習的觀點而言，學生在學習語文時，需在閱讀的歷程中進行閱讀推論的活 動，以理解文章的意義；學習數學時，需要進行邏輯推理的活動，以培養解 決問題的能力；從心理學的觀點而言，推理與智力之間存在著密切的關係。 再從心理測驗的角度來看，推理則代表著智力的重要特質（Guilford, 1967；林軍治，1985；Sternberg, 1986；黃幸美，1994），教育研究所獲得 的結論已經證明智力、認知發展程度和學業成就有關（譚光鼎，1998），且 不論是在日常生活中，或是學校的課業學習裡，推理能力都是一項非常重要 的能力。也因此，培養學生具有推理思考能力一直是教育界努力的目標之 一，要學生成為有用之材，就必須大力培養學生推理思考能力。
六、樣式規律是學習代數的重要課題 NCTM（1988）強調代數教學的概念：代數是算術的延展、解決問題必備 的工具，代數能幫助我們用語言來表達數學內容，清晰表達各數量的關係， 將問題具體化。依Piaget的認知階段論來分，六、七年級學生的思維方式為 具體運思，正屬形式運思的前一階段，處於具體到抽象的階段之間，在這階 段裡探究樣式與規律，本質與探討代數思維不謀而合，學生這些能力都正在 從具體過渡到抽象思維期間，但是代數由於過分強調運算，忽略了規律的探 究是代數教學重要的一環。有物就有「數量」與「形狀」，數學就是研究「數」、 「量」、「形」的學問，探尋它們的性質與規律（蔡聰明，1995）。美國國 家研究會議（National Research Council,簡稱NRC）也強調數學是一門很 重視尋找規律的學科，透過數學方法使我們理解事物，從中認識規律、了解 資料以及做出適當的推理，所以數學是訓練思考與溝通、判斷與推理的學門 （NRC, 1996）。 學習數學在引入符號之前，數學教師應提供機會讓學生去發現樣式規 律，引導學生注重數、量與形的聯繫，讓學生在具體實測與直觀中，獲得數、 量、形的概念，在思考的過程中發現原則是一種歸納的思考，以原則去操作 是演繹的思考，「歸納」和「演繹」是人類解決問題的兩大能力，所以讓學 生經驗發現的過程，讓學生經驗發現數學原則過程是不可少的，這種數學學 習方式才能將學生的學習由具體階段逐步進入抽象階段，體會數學所蘊含的 樣式性質，在樣式規律與符號之間產生有意義的連結。 NCTM（2000）也提到理想中的代數教學不只是移動符號，應強化從學前 到八年級一連串豐富而多樣的非正規代數經驗——樣式規律的學習，注重學 生認知層次的連貫性，建置一個讓學生能主動探索、啟動代數思維的教學情 境，一直到八年級後段才充份強調符號運算，這樣的教學目的是要學生能培 養出自信，能利用代數來呈現問題並解決問題。NCTM（2000）又強調：能辨 識及延伸樣式規律，對學生是重要的，從不同形式中辨識相同的樣式，運用 樣式來預測，這樣學生才能順利的引入代數符號，能應用於數學的學習。 在代數的教學過程，強調5-8年級的學習活動必須以尋求樣式規律的經 驗為基礎，學生應該持續在具體情境的數列中研究樣式規律，一開始能臆
測，接著以口語方式來描述樣式規律，再學會樣式規律的認定與規則辨識， 最後歸納出一般性。探究樣式規律需要一連串的練習和經驗，才能過渡到比 較抽象的思考方式，這就是代數思維的核心。 NCTM（1989）也明確指出5～8年級的學生應積極從事樣式規律與函數的 學習，內容蘊含以下各能力的培養： 1.對於廣義有變化的樣式規律能描述、延伸、分析及創造。 2.能以表格、圖形或式子來描述並表示數量之間的關係。 3.分析函數關係並解釋一個變數如何產出另一個變數。 4.能運用樣式規律及函數來呈現並解決數學問題。 另外，國內九年一貫課程能力指標也強調，在六、七年級學生的思考型 態正是辨識樣式規律的理想時機，要讓國小學生早一點接觸代數。在引入符 號操作之前，教師應先提供學生一些比較具體性的活動，讓學生體驗具體到 抽象的過程，做好學習樣式規律的學習基礎。其實樣式規律的學習在代數裡 就佔有舉足輕重的份量，例如國小數學能力指標：A-2-3 學生能透過具體觀 察及探索，察覺簡易數量樣式，並能描述樣式的一些特性。數量的樣式之察 覺在於能提供學生多元且充份的經驗，使學生明瞭數的概念，以及洞察數與 數之間的關係，進而提昇數學能力。例如：在以(半)具體物拼排正方形時， 察覺邊長逐次增加時，共需增加具體物個數的模式。希望學生能在第二階段 有充分的非正規代數經驗，並延續第二階段，在第三階段仍重視學習的連貫 性，而且此階段的學生思考模式能從事於辨識樣式間的關係，如指標：A-3-5 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。 A-3-7 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。提供學生豐富而多樣 的數量樣式經驗，此類的活動是學生數學抽象能力提昇的重要活動，亦有助 於後續學習中將兩數量樣式的關係外顯地表出。 從以上的論述，可以得知教導符號操作的本質並不是在於得到一個答 案，而是有助於我們將所察覺到的賦予意義，透過符號操作產出的不同表示 法可以展現對於情境不同的洞察力。綜而觀之，數學教學的目的之一是建立 數概念認知，如果教學可以提供有利於了解數樣式或數列的機會，學生因而 可以應用所學解決問題、引導出大量成果、發現數形及實驗驗證先前預測一
連串結果的歷程。 七、推理能力研究現況 Inhelder, Szeminska和Piaget（1960）認為，在形式運思階段這一階 段的推理能力包括下列幾項：1.控制變項（controlling variables）：系 統內正確地改變自變項，其他變項保持不變下，觀察依變項的思考模式。2. 相關推理（correlational reasoning ）：斷定變項間的相互關係之思考模 式，以建立變項間關係之推理歷程。3.組合推理（combinational reasoning）：適當地提取元素，而使其成為組合狀態，並找出所有組合狀 態之思考模式。4.機率推理（probabilistic reasoning）：判斷某個體在 全體中被抽中之機率為多少的一種思考模式。5.比例推理（proportional reasoning）：呈現兩個對應數值間之關係，改變期間的特性時，判斷所呈 現之另外量種對應質間，關係仍保持不變之思考方式。6.守恆能力 （conservation）：在具體運思階段已具有，即系統的狀態經過改變後，系 統的特性仍保持不變。 根據周鎬等人（引自林崇德，1995）的研究發現，小學生在關係推理的 發展和年齡有關，其發展如下：1.在小學階段，關係推理的發展很快，一年 級只有部分學生掌握關係推理；到了五年級，大部分已能良好的掌握並能用 以解決某些熟知的實際問題。2.小學生掌握關係推理的難易與事物之間關係 的邏輯特性有關。3.在關係推理中，小學生對關係詞的掌握具有重要的作 用，他們對所熟悉的事物之間的關係詞易於掌握、反之就難以掌握。 林崇德（1995）認為小學生的推理能力發展趨勢可分為：1.小學生在演 繹推理與歸納推理的發展上，不但存著年齡特徵，也表現出個體差異。2. 小學階段隨著年齡的增長、年級的增高，兒童推理範圍的抽象變化也在加 大，推理的步驟愈加簡鍊，推理的正確性、合理性和推理品質的邏輯性和自 覺性也在加強。 董奇（1995）在研究小學生掌握思考規則的特點中，也提出小學生思考 規則的發展速度有以下特點：隨年齡的增長而以「漸進」形式穩定的由低級
水準朝高級水準發展，沒有發現存在發展的加速期。發展的漸進規律是：每 經過3年，思考規則就發生顯著的變化；在整個小學期間內，兒童思考規則 的發展分為三個層次，、即一年級三年級和六年級。 王驤業等人（引自林崇德，1995）在其研究小學和國中生的推理能力發 展中發現，兒童推理能力可以分成五個等級，第一級：不會推理；第二級： 單純重複前提；第三級：自由聯想；第四級：推理基本正確但概念不周延； 第五級：推斷出合乎邏輯的正確結論。透過研究，研究者闡明了在小學生演 繹推理和歸納推理的發展中，10～12歲正處於思考發展的加速期，12歲兒童 似乎可以說是形成抽象思考能力的重要年齡階段。演繹推理和歸納推理在整 個推理的思考過程中是相互聯繫、密不可分的。 李丹（1989）也認為推理的發展存有年齡階段，認為學生推理的表現與 年級有顯著差異。在小學低年級兒童的推理表現方面，抽象概括性差、邏輯 性差（以自己的邏輯來推演）、自覺性差（常偏離推理的對象）等都是重要 特徵：他們是以事物外部特徵為依據，雖然提出不同假設，卻無法獨立辯證 其假設。到了三、四年級以上的兒童則較能獨立提出事實、理由，進行較複 雜的活動。由以上的描述可知，推理能力的發展是有階段性的，和學生的年 級有關，年齡會影響學生在推理能力方面的表現。 而性別對於學生在推理能力的表現是否有差異？從文獻來看答案是相 當分歧的。根據陳李綢（1996）指出在二前提下：樣本多且具代表性、評量 工具客觀，則男女之間不會有顯著差異性，但在發展速率方面則有不同。一 般而言，男女生長發育時期不一，在智力測驗所獲得的分數方面，青春期前， 女生發展速率略優於男生；青春期後，則呈現男生優於女生的傾向。由於智 力測驗所測知能力多半為推理能力，由此可略知兩性在推理能力之發展趨勢 為：青春期前，女性推理能力略優於男性；青春期後，則呈現男優於女的傾 向。
國外學者Anne Moir & David Jessel（2000）也指出：因為男女大腦各 自的特長與策略，所以在不同的作業上有不同的表現。對正常女孩子說，先 天就不善於處理空間知覺和數學問題。雖然男孩子在剛開始上學時，表現並 不是很好，但是到了青春期，男孩子開始快速的在語文能力和寫作方面追趕
上女生，在數學能力方面更是遙遙領先。男生的智商在十四歲和十六歲之間 開始爬高，而女生的智商則平穩下來，甚至有些下降。而其中最大的差異， 是在數學和科學性向方面；男生大腦處理視覺、空間的地區是比女性的組織 更嚴密、更專業。故當數學教學從四則運算轉到理論時，女生早期在數學上 的優勢便開始消失了。一九七二年，馬利蘭州的約翰霍蒲金斯大學也展開了 一項資優生的篩選。結果顯示：在數學部分，男生的表現非常好，男女通過 的比例隨著困難度的增加而比例加大。他們觀察到男生在推理能力表現的較 好，而女生在四則運算上較佳。 許多表現較資優的孩子並沒有學過代數，而是多用直覺上代數的方法來 解題。有人說「數學就是想像」，大部分男孩子解題的方式跟女孩不同，他 們可以看到，可以用概念和型態去想，找到不同東西的抽象關係，將它們連 結在一起。女孩子則把問題的每一部份看成獨立的個體，解決後再去做下一 題。男生也較容易專心於一個抽象的理論或看法，把它和其它會干擾的訊息 分開，就像他們比較會把一個隱藏在複雜圖形裡的幾何圖形抽出來一樣。這 個發現在美國、英國、荷蘭、法國、義大利和相關的研究中都被證實（Anne Moir & David Jessel, 2000）。
國內張秀蓁（1996）的研究則指出，各年級男女學生在整體推理能力的 測驗上之得分，並未出現顯著差異；但在國中二、三年級男生的推理能力優 於女生。由此可推論性別的差異存在於較高層次、複雜的數學推理方面。洪 麗晴（1996）的研究結果也顯示：不論受試學生的年級與籍別，男學生在整 體的推理能力的表現優於女學生。林軍治（1985）的研究則發現：推理能力 與性別有顯著相關，男生的表現優於女生。但何意中（1988）指出，性別是 不會影響學生的推理能力。林寶貴、吳純純和林美秀（1995）的研究也指出， 不同性別的學生於各項普通推理能力的表現上均無顯著差異。 故性別與推理能力的關係，各學者的研究結果並不一致。由此可見，性 別與推理能力的關係並無一個定論，而這方面的相關研究蠻值得後續研究者 繼續探討的。
第二節 形數概念之相關理論
一、形、數與數學概念 概念是一個抽象化的結果，一種認知統整後的經驗。 張春興（1989） 認為：「概念是對同類事物獲得概括性的單一認知經驗。…狹義一點講，以 單一概括性的名稱或符號，來代表具有共同屬性的一類事物全體時，此名稱 或符號所代表的即為概念」，Skemp（1995）也說：「抽象化是一種心智活 動的歷程，使人瞭解各種環境情經驗間的相似性與共同性；概念是抽象化的 結果」。 在各種概念的形成發展中，不能否認的，數學概念是相當特殊的人為概 念，因為它不像一些具體事物能夠很容易從視覺感官接收到此概念的相關訊 息；但基本上它仍然是概念的一種，所以很多學者試圖對數學概念提出不同 的見解並嘗試描繪它形成發展的特徵。 數學概念的特殊之處有如Skemp（1989）、Fischbein（1996）所提到的： 數學概念是抽象、有階級的。例如初級概念可直接由感官經驗得來，如三角 形；但次級概念則要再多一階的抽象，如圖形或數的進位是具體物及其計數 更高一層的抽象。因此Fischbein指出數學概念這種理想的、抽象的東西幾 乎全受其定義制約。 Sfard（1991）認為可用兩種不同的方式來理解抽象數學概念的形成： 一種是結構性（structurally），另一種是運算性（operationally）。他 也主張大部分的人獲得新數學概念的第一步是藉由運算獲得的；而他也認為 要從一個過程(processes)的概念過渡到成為一個物件（objects）是漫長且 困難的（Kieran，1992）。 人類最初的思維中不容易形成「數」與「形」的概念，它必須經由漫長 的遞變才逐漸形成。「數概念」的感覺從多與少的察覺所產生出來的，人們 對於「數」的認識在第一次接觸是模糊的，經過多次的接觸而漸加以成形， 終於形成一個完整的概念。對「形」的認識也是這樣子，人們從日常生活中 逐漸累積對「形」的認識，例如尼羅河水災氾濫，人們要把土地圍起來測量， 便形成了簡單的幾何圖形概念；從觀看日月的形狀而獲得了圓的概念，看見樹木獲得了垂直的概念，為繪製圖飾獲得了對稱和全等圖形的概念（蕭文 強，1995）。由此我們可看出形與數的概念，的確有許多是逐步經由將經驗 統整抽象化而來。 吳貞祥（1980）將此觀點說得更為清晰：「數是為了明確表現事物的量 的大小與其相互關係的需要而產生的。至於圖形，則為了明確表現物的形 狀、大小、位置等的需要而產生的。」「數與圖形都是將現實世界的事物， 各以特有的觀點予以抽象化之後所得的概念，因此所謂三角形、四邊形、圓、 長方體、三角錐等的圖形，並非它本身有存在的事實，而是僅只形成於人們 頭腦之中的一種概念而已」；「圖形概念包含：（1）抽象化與理想化（統 稱抽象化）：當我們站在某一個觀點去看具體物的時候，這具體物必然會有 一些與它被理想化之形式不同的地方（與本質無關的屬性），摒除那夾雜物 叫做「抽象化」，彌補不周全的部分使之周全，謂之「理想化」；（2）一 般化與特珠化：去除一些內涵條件的限制可以使它的屬性適用於更大的範圍 或對象，稱為一般化。例如：直角三角形去除形成直角三角形的條件、等腰 三角形去除形成等腰三角形的條件、正三角形去除形成正三角形的條件後， 將它們稱之為三角形。特殊化是將條件函次增加之後，合乎條件的事物範圍 逐漸縮小，也就是所謂內涵增加、其外延縮小稱之為特殊化。例如：三角形 →銳角三角形→正三角形。（3）類推：把某一個空間所獲得的概念，聯想 到其他空間在其內部實現時的作用稱之為類推。如平面上的直線多邊形概念 到空間的多面體概念。」 在圖形規律的察覺上，學生對圖形的感覺（或辨識）是學生能察覺圖形 規律最先遇見的問題。一般而言，辨識一詞是相當抽象的，可以說是從來沒 有感覺至有感覺至獲得知識、記憶與思想的作用。也就是說，根據約定的各 種模式或標準圖案群，去辨識圖案本身或其象徵物的內容，這種過程即為圖 案辨識（pattern recognition）（陳偉銘、趙涵捷，2001）。 辨識除了必須具有某種概念、或可稱為能力之外，「類比」也是圖形規 律察覺過程中極具關鍵的必備概念。「類比」這一個名詞是由英文演變而來， 在英文中，類比的英文是“analog＂。所謂的類比，泛指自然界連續不可斷 的事物，在我們的一般生活中，各項事物大多以很類似的、可以類化的序列
性型態之表現形式存在。」（陳偉銘、趙涵捷，2001）。類比的思維結構是： A 有性質 a b c d B有性質d′(類似於d′) B 有性質 a′ b′ c′ d′ 二、數概念層次 數概念對於初等數學而言是非常重要而基本的概念，數與數之間關係的 建立是學習高階數學的重要課題。van Hiele提出數概念發展的三個層次 （Gravemeijer, 1994）： 1.基礎層次：在此層次的學生他的能力仍在嘗試觀察量，並以具體的實物來 做數的操作。例如：小朋友通常會先按照數序去數具體物的個數，透過不 同情境之下的數數經驗，會將數視為一個靜態的狀態描述，這個時候數的 概念就發展成是一個物件，我們就可說小朋友具有該數的數概念了。 2.一階思考：在此層次的學生，他的能力能觀察數量之間的關係，開始產生 數與數之間關係架構（relational framework）的想法。例如：當學生能 在月曆中的規律中，發現月曆日期上下兩數量之間的關係都是差7，左右 相鄰兩數量之間的關係都是差1，能從在行與行以及列與列數量之間找出 日期變化之關係的思考能力就是一階思考，如圖1所示。 3.二階思考：是指能在數與數關係之間，開始建立各種進行連結和邏輯化的 思考，並且進行有意義的學習之能力。例如：學生已經找出月曆中的規律， 行的數量關係與列的數量關係之後，接著學生探究九個數字總和與中間數 的關係時，他的思考必須能與行的數量關係與列的數量關係之間建立好的 連結之後，才能有能力去進行的思考能力，就是二階思考，如圖1 所示。 類似
圖1 一階思考與二階思考圖
三、van Hiele幾何思考層次理論
van Hiele 夫婦研究幾何思維發展與幾何課程教學設計，提出了幾何思 考的發展模式理論，主張幾何思考的發展模式包含五個層次，分別是視覺期 （ visualization ） 、 分 析 期 （ analysis ） 、 非 形 式 演 繹 期 （ informal deduction）、形式演繹期（formal deduction）以及嚴密性期（rigor）。 他們主張學習者經由適當的教導與經驗，能從最基本的視覺層次（此層次只 是經由視覺觀察而不了解圖形屬性），最後可到達最高的嚴密性層次（此層 次包含抽象的思考與歸納能力），但很少人可以到達最後這一層次（Clements & Battista, 1992）。van氏的五個層級他本人認為，各層次間是有順序性 的，而與年齡無直接相關，也就是說，學習者必須將每一個層次的技能與策 略充分發展後，才有提升到下一個層次的可能。 對於這五個層次的描述方式，國內外的研究者有兩種不同的表達方式， 一部份研究者使用「層次０、層次一、層次二、層次三、層次四」來描述這 五個幾何思考層次（盧銘法，1999；黃盈君，2001），另一部份研究者則使 用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來描述van Hiele的五個幾 何思考層次（Usiskin, 1982; van Hiele, 1986；吳德邦，1998，2000a， 2000b，2001)。本研究採用van Hiele（1986）對層次的說法，分別為層次 一：視覺的（visual）層次、層次二：描述的（descriptive）層次、層次 2 3 4 9 10 11 16 17 18 A A+1 A+2 A+7 A+14
A-8 A-7 A-6 A-1 A A+1 A+6 A+7 A+8 一階思考
