研究動機

本章共分為三節，第一節說明本研究之動機，第二節說明本研究之和目 的，第三節針對本研究所提及的重要名詞進行釋義。

第一節 研究動機

對大多數的學生來說，數學是一門重要卻令人頭痛的學科，由於數學學 習涵蓋了各種數值、代數、圖形及語意表徵之間的交互作用（Kaput, 1992）， 使得中小學學生的數學學習情況極為艱苦。根據 1994 年「國際數理成就評 量」（International Assessment of Educational Progess，簡稱 IAEP）

對世界各地國小數學能力測驗之後，師大數學研究所對此測驗的評析，認為 台灣地區的學生概念理解與計算能力的表現均屬於高分，但在解題過程及推 理能力的表現上卻差人一等（曹銘宗，1994）。周筱亭（1995）也認為我國 的學生在數學方面，優於計算、記憶，卻劣於推理、解題。可見台灣學生對 於數學能力之養成，偏重於數學公式的記憶與計算過程的訓練，忽略了解 題、推理思考能力的訓練。

全球知名數學家史都華Ian Stewart (1996) 說：「我們生活在一個充 滿pattern的宇宙中、…自然界每一個pattern都是一個謎而且幾乎總是很深 的謎。數學的拿手好戲就是幫我們解謎，能將藏在某些pattern 底下的法則 與結構發覺出來。」Steen也認為數學已從「一門研究數、量、形的學問」

轉變成為「一門pattern的科學」；數學家從數字中、空間中、電腦裡甚至 是從想像中尋找pattern、從數學定理研究pattern、研究pattern間的關係

（洪明賢，2003；引自Zimmermann & Cunningham, 1991）。

生活本身其實正是一連串問題解決的過程，知識其實就是工具，是被用 來統整、活用、分析、推理、解決所遭遇情境的工具，不可能只是片段毫無 用處的記憶。法國數學家何密得(Charles Hermite, 1822～1901)曾提到：「在 一團亂糟糟的事物中，一條小小規律的察覺，宛如黑暗中摸索時的一線光 明，常引導我們到達新的數學天地。這份經過『柳暗花明又一村』帶來的喜

悅，就是許多學者窮盡畢生之力，研究純粹科學的內在動機。」(黃敏晃，

2000)。民國 82 年教育部所公佈的國小數學課程標準（教育部，1993）中便 強調：必須將數學視為推理。

Resnick(1987)強調教育的目的主要是在教導學生思考(thinking)，無 論學習教材是多麼簡單，學生都必須透過思考、能向他人做完整的、清楚的 解釋自己所學習到的知識才是正確有效的學習。一般國小學生學數學到底要 學什麼呢？從實用的觀點來看，答案大多是學會計算，或少量的幾何與代數 概念。國小學生由於考試領導學習的陋習，解題目的只問答案的對錯，不計 較答案的來源。可喜的是，近年來，家長對學習數學的想法漸有改變，家長 開始認同學數學必須用推理尋求數與形的規律及過程，將之看成是學習數學 的重要方式。九年一貫數學領域課程基本理念也述及：「我們周遭的自然與 社會環境中，到處可見數與形；而各種數與形都有一些規律，數學探討的就 是這些規律。透過數學，我們觀察到很多自然與社會的現象，並瞭解這些現 象形成的原因，因而為人類增添了不少文化資產。數學一直是國民教育的核 心課程，過去一直如此，未來也不會改變。」

國中小的數學涵養，對其目前所處的生活環境，其實是不足以保證讓自 己能存活下去的，所以再學習是極需要的；所需要的無疑是是學習的方法。

方法讓我們能從實際的生活或其他學習領域中學得知識，來探討如何推理，

研究其中數學的困難、模式，進而培養自己胚騰的能力。我們要培養能夠察 覺情境中的問題，再把察覺到的問題轉化成真正的數學問題的能力，以解決 生存的障礙。進行有效學習才能獲得能力，獲得的知識足夠以後才可以溝 通，對外也要能與別人溝通與分享。經過察覺、轉化、解題、溝通及評析等 種種步驟，把數學和生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體 而有用。民國 89 年所公佈的九年一貫課程（教育部，2000）在數學科的分 段能力指標中，加入了「連結」這個新主題，就是為了培養學生能夠運用推 理的方法達到解題的能力。

樣式也是解決數學問題的一個方式。數學家 Pόlya（1945）所提的數學 問題解決策略裡面含有一個步驟就是發現樣式（Look for a pattern）的步 驟，其他許多學者也認為發現樣式（pattern）有助於解決問題（曹亮吉，

2003； Howden, 1989； Krulik & Rudnick, 1983； Whimbey & Lochhead,

1999）；許多國家的數學教育家也認為，在數學教育中，教學生進行邏輯推 理的方法，讓他們自己推理出某種結構的教學比單純告訴他們結論還重要，

中國有句古話說：「授之魚不如授之以漁」，意思就是給一個人一些魚不如教 他捕魚的方法。這個道理在當代數學家和教育家引起了共鳴，民國 82 年國 小數學改革就以這個口號來支持它改革的宗旨。美國密西根大學教育學院的 德博拉‧鮑爾認為，數學具有吸引力的原因之一就在於它能夠引導學生進行 奇妙的推理，推理的培養讓學生由死記解題過程轉為以理解來解題的方式，

在小學數學教育中具有極重要的作用。

尋找樣式是推理思考的一種，推理思考是指對某些已知的跡象，根據邏 輯的原則循序推尋可能導致的結果。因此，推理思考活動是一種尋求因果關 係的心理歷程。依照Piaget的認知發展歷程來看，兒童的推理能力隨著年齡 的增長，會逐漸的發展、改變，直到進入形式運思期後，才會趨於成熟（黃 幸美，1994； Piaget, 1967）。因此，推理能力是屬於一種高層次的認知，

也是一種重要的能力。Nickerson（1991）強調：倘若學生在學習過程中少 了樣式規律的歸納推理能力，學習便無法進行。從學習的觀點來說，學生在 學習語文時，也需在閱讀的歷程中進行閱讀推論的活動，以理解文章的意 義；數學是一連串的推理，學生學習數學時，更需要讓他們進行邏輯推理的 活動，以培養他們解決問題的能力。再從心理學的觀點來看，推理與智力之 間存在著密切的關係；再從心理測驗的角度來看，推理代表著智力的重要特 質（Guilford, 1967； Sternberg, 1986；林軍治，1985；黃幸美，1994），

而教育研究的結果已經證明智力、認知發展程度和學業成就有關（譚光鼎，

1988），且不論是在日常生活中，或是學校的課業學習裡，推理能力都是一 項非常重要的能力。也因此，培養學生具有推理思考能力一直是教育界努力 的目標之一，這些目標就是希望能透過培養推理思考能力的方式，使學生具 備將來進德修業的能力。

能察覺樣式的能力之培養是重要的，國內數學新課程的主要特色是要落 實以學生為本位，進行有意義的學習一定要將數學內容放在對兒童有意義且 有趣的情境中，讓兒童由他對問題的自然想法開始，逐步聯結到他自己建立 好了的數學知識結構；如果教學活動提供有利於學生了解數字樣式或數列的 機會，帶領學生應用知識、產出大量成果、發現數與形及實驗驗證先前預測

一連串的結果（黃幸美，1997；林達森，2002）。數學教育除了數學知識的 培養外，學生的演算能力、抽象能力及推論能力的培養也是整個數學教育的 主軸，以上三者是連貫而非獨立分開的，是培養學生數學能力的三個具體面 向。所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性 的感覺；在學習數學時，一般比較重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗

（或數學感覺）的培養其實是具有同等重要地位的。要確保學生能學好數學 教材，必須引導並利用自己已經具備的前置經驗（或感覺），這種數學的經 驗或感覺就是對數學的直覺能力。學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的 直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直覺。在認知能力上，直覺是 思維流暢的具體展現；在能力培養上，直覺讓學生能從根本上，擺脫數學形 式規則的束縛，充實學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是兒童 數學智能發展中的重要指標（教育部， 1998）。然而在台灣升學主義的壓 力下，學生所受的教育總是離不開填鴨式的同質性教育，造就的是考試的機 器，學生漸漸地失去獨立思考的能力，學生的想像力與觀察能力也漸漸被丟 棄，創造的能力也在標準的答案下被抹滅。

人們的創造力是重要的，人類文化與文明創造的表現，端在人的思考能 力（賈馥茗，1972）。 Katz & Kahn（1978）指出，任何社會系統為求生存 必定存在著一種適應機能，以預知環境的變化並求適應，這種預知和適應的 機能就是創造力（creativity）。富蘭克林曾說：「停止創新的思想，便是 停止了生命」（陳樹勛，1981）。人類心智的活動是在創造環境，而不是在 適應環境，人類是在創化，而不是進化。創造與適應，創化與進化之間的關 鍵，在於創造之動機與創造力之發展（郭有遹，1983）。因此，在19世紀60、

70年代，隨著社會、生產、科學技術的迅速發展，各領域中創造經驗事實的 不斷累積，研究方法的改進，便開始有目的地採用科學方法和手段來研究和 探討創造力及有關的問題（董奇，1995）。

創造力相關研究之發展，約可分為四個階段，第一階段是1869～1907 年，此階段關於創造力的文獻大都在理論上的探討，未進行實驗研究；第二 階段是1908～1930年，此階段率先研究創造人格，對創造力進行個性心理的 分析及研究；第三階段是1931～1949年，此階段從精神分析的角度轉向認知 方面，開始研究創造力的認知結構和思考方法；第四階段從1950年迄今，此

階段主要是以Guilford為主流，他所發表的創造性演講，以及由於蘇聯人造

階段主要是以Guilford為主流，他所發表的創造性演講，以及由於蘇聯人造