放聲思考法融入形成性評量對學生數學概念理解能力之影響

在行動實踐階段之「二元一次聯立方程式」的各單元教學中，研究者落實試探 調整後的方案實施流程(請見圖 3-1-2) ，進行以放聲思考法融入形成性評量活動。

在本節將針對研究實施後的發現，對於學生概念理解能力的影響情形分為學生概 念理解表現和學生學習表現兩個面向來進行研究結果的說明與討論。

壹、 學生概念理解表現

以下將針對放聲思考法融入形成性評量的實踐對學生數學概念理解能力之影 響分為：能說明；能詮釋；能應用；有觀點；有同理心；自我認識等六個面向進行 說明。

一、能說明，能說明解題思維與策略安排

「能說明」的概念理解呈現，學生應針對所指定的評量任務，完整掌握題意，

揭露其自我表徵的題意和口述解題策略安排的內隱思維；除了正確解題，還需要根 據有用的證據闡明自己自己的答案為什麼是正確的；避免過度簡化的觀點或不精 確的原理原則，正確回應教師的提問。

學生進行解題回溯說明大致分三纇，一是先說出進行解題前，自己根據題意所 預先評估欲達成的解題目標，再根據目標擬訂解題策略，進行解題說明。如學生 MS10 對試題 200324-2 的說明，先依試題情境進行判斷後，採取有利的解題策略 進行解題。而學生 HS23 對試題 200330-1 的文字情境敘述能先一一明確掌握題意 敘述的內容，再依題意列出方程式進行解題。

我是先把它整理歸納，就是x 的在一邊，然後沒有未知數的在一邊。歸納完之 後呢，我看哪一個數字比較好算、比較小。所以就第一式乘以 4，然後第二式 乘以 9。之後就會變成負 36 跟 36，加起來就變成 83y 等於負 83，然後 y 就會 得 1，然後再代入整理好的第一式或第二式。 (音MS10-200324-2)

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它問你的是自動筆還有膠水，所以理所當然的我要從自動筆還有膠水兩個去 考慮。要在這裡設x 和 y。他說 8 瓶膠水就是 8x，總共錢。155 元可以買 8 瓶 膠水和 5y，8x 和 5y，所以8𝑥 + 5𝑦會等於 155。然後，他弄錯之後，不夠 15 元，就是 155 再加 15。然後 5 瓶膠水 5x 加 8y 會等於 155 加 15。這樣就可以 解聯立。 (音HS23-200330-1) 有一類學生是選擇將是題目套入固定的解題步驟中，按解題步驟進行解題，因 此在解題說明上，他們傾向於依序的按解題歷程直接說出解題動作與結果，並不會 對解題動作背後的解題思維有多說明。如學生 HS08 對試題 200324-1 說明與學生 MS14 對試題 200330-1 的說明，他們都只是將自己的解題過程與結果一一口述出。

這個是第一式，這個是第二式。我想要把x 消掉，所以我一式會乘以 5，二式 會乘以2，所以乘完就會變成這樣子。我會把這個列為第三式，這個列為第四 式。然後第三式減第四式，減完之後會變成負19y，然後這兩個相減會變成 0。

所以y 會等於 0，這我列為第五式。然後第五式再代進去第二式，所以代進去 會變成5x 加 0 會等於 5，所以 5x 等於 5，x 就會等於 1。 (音 HS08-200324-1) 先設x 跟 y，膠水設成 x，自動筆設 y。然後 8 瓶一樣價格就是 8x，跟 5 個自 動筆就是 5y，這樣合起來是 155。第二個式子就是它弄錯了，就是 5x+8y，不 夠 15 元，所以要加 15 元，就是 170。然後最後就解聯立。

(音MS14-200330-1) 還有一類學生，而且大多是學習成就較低落的學生，他們通常是按解題動作將 其拆解、斷裂後，一步驟、一步驟的說出。他們描述解題時，說明的內容較簡化、

模糊，以「這個」、「那個」代替數學用語，且容易在說明中出現不正確的概念與原 理原則，或是不確定、遲疑的停頓。因此，對需要教師針對學生口說內容進一步提 問與追問，才能補足學生自我解題概念的呈現。

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T：看到這一題時，妳是怎麼做的？

LS09：從這裡開始，先把它通分，然後這個乘這個、這個…

T：以後呢？

LS09：再把這個同項加起來。

T：同類項

LS09：同類項加起來。 (音 LS09-200310-2) T：這一題要怎麼算？

LS36：就是負 4y 加 4y，6x 等於 24。

T：你怎麼知道要用加的？

LS36：用看的啊！

T：怎麼看？你看到哪裡？

LS36：負的加正的就等於 0。

T：再來呢？

LS36：然後左邊的 4 代到右邊的。

T：什麼是左邊的代到右邊的。

LS36：這個，4 代到這裡加上負 4 再減 4。 (音 LS36-200323-2) T：你可以告訴我，你是怎麼算的嗎？

LS11：我就是把這個移到後面去。

T：誰移到後面去？

LS11：4y。

T：所以……

LS11：然後就只剩下 x 啊！ (音 LS11-200323-1)

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四位諍友教師對班級全體學生的課堂學習情形進行觀察後，認為在課堂評量 回饋討論過程中，被教師抽籤或指定進行回饋的學生，「能說明」概念理解表現在

「完整掌握討論試題的題意」與「正確回應教師與同儕的提問」兩個檢核重點上，

勾選「完全符合」和「大部份符合」的比例達94%。綜合來看，從班級教學過程中，

班級內學生普遍在「能說明」的觀察指標上，諍友教師勾選「完全符合」和「大部 份符合」的比例也高達94%。

二、能詮釋，能詮釋解題策略規劃的意義與合理性

「能詮釋」的概念理解呈現，學生應能以適當直接的經驗思考，發現教師或同 儕所提出不同解題策略的合理性，進行有意義的、闡述的說明；或能積極發展自己 不同的解題策略規劃。

高成就組學生在解題回溯放聲思考時呈現較能經過對題目情境與條件的瞭解 和掌握，有效地規劃自己解題策略進行解題。以學生HS05、學生 HS29 與學生 HS15 對解題策略決定的詮釋內容為例，他們能先依題目的情境佈置。如方程式的係數與 性質符號，判斷要消掉x 或是 y。而當他們對題意情境理解不明時，亦能透過反覆 推敲可能的列式，預想可能的結果，積極發展可能的解題策略。

HS05：因為它們兩個都沒有係數一樣的，然後這個 y 乘完之後，它們的公倍 數比較小，所以就找這個。所以第二式就要乘以 2。因為它們也是異號，

所以用加的。加完之後y 就消掉了。所以呢 x 也是加，加完之後變 9x。

然後後面常數也加完之後變負 9。所以兩邊都除以 9，所以x 等於負 1。

然後因為這個也是看起來比較小，所以就套第二式。(音HS05-200323-2) HS29：題目如果有分數和小數，就先把它整數化，然後要把 x 跟 y 歸到同一

邊，會比較好算。 (音HS29-200324) HS15：多出一間房間。我會想比較久，到底是加 1 還是減 1。第二個，我想比

較久是因為它 7 人住一間，我在想它如果除以 7 會變成什麼，就是如果x

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人除以 7，它會變成什麼。 (音HS15-200330-2) 相較於高成就組學生的詮釋解題的能力，中成就組學生與低成就組學生則較 缺乏解題的規劃能力，他們通常是寫過的題目就「順其自然」的按已經習得的解題 步驟來寫。如學生MS32 按解題步驟依序說出其解題思維。

T：這一題，你先從哪裡做起？

MS32：這裡。

T：然後呢？

MS32：就把這個加進去啊！

T：這個動作叫什麼？

MS32：合併。

T：什麼合併？

MS32：x、y 合併。

T：然後呢？

MS32：再拆括號，合併，寫答案。

T：第二題呢？

MS32：加括號，一個乘 3，一個乘 5。

T：然後呢？

MS32：然後再拆括號，合併。 (音 MS32-200310) 低成就組學生對於沒看過或無法理解題意的題目，會因為無法進行解題規劃 而空白未作答。如下圖4-2-1 所示，在 3 月 30 日評量試題的解題表現上，學生 LS04 對於第一個較生活化的題目可以完整解題，但對於試題情境條件較抽象的第二個 題目則是停留在假設未知數的階段。而學生LS28 對於兩個試題的解題書寫，也是 分別停留在列式與假設未知數階段。

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在第一階段解題回溯放聲思考時，研究者進一步檢視學生LS04 進行解題時的 想法。學生LS04 對於第一個題目能完整說明題意並且正確列式，求解。但對於第 二個題目，學生LS04 則直接回答「我不會」。

T：你怎麼解第一題？

LS04：我先假設膠水 x 元，自動筆 y 元，再題目說什麼我就怎麼寫下來。

T：譬如第一個式子你怎麼列？

LS04：8 瓶膠水然後膠水是 x 元，就寫 8x，然後加 5y，就是 5 枝自動筆，等 於155 元。他就是後來買錯，就變成買 5 瓶膠水，是 5x。買 8 枝自動筆，

加8y，等於 170。

T： 170 是什麼？

LS04：就是不夠 15，155 元加 15。

T：接下來你做什麼動作？

LS04：我第一式先乘以 5，我要消掉 x，第二式乘以 8。然後相減算出來 y 等 於15，然後再代入第一式，x 等於 10。 (音 LS04-200330-1) T：第二題呢？

LS04：我不會！ (音 LS04200330-2) 圖4-2-1. 評 LS04 與評 LS28-200330

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從評量回饋與討論的活動，學生主動提出自己的做法讓大家一起討論，找問題，

其餘同學則對其解題策略的合理性進行檢視，提出自己的看法。以下以3 月 16 日 的課堂錄影進行師生對話重點的擷錄，重現學生在課堂中對於2x+3y=370-160 的列 式進入一番有關「二元一次方程式」列式概念的討論內容。影片中多數學生以點頭 或搖頭來表現自己的想法，但能正確的運用「等式」概念來論述其正確性的是高成 就組學生。而中成就組學生能發現列式間的差異，亦能判斷其正確性，但卻無法使 用概念或原理原則來進行有意義的詮釋說明。可以發現中成就組學生對於數學的 學習較傾向於表面的意義與工具的應用層面，未能深入掌握概念或原理原則的真 正內涵，因此較無法進行活用與闡述、亦少有發展不同的另類解題規劃。低成就組 學生對於列式變化的理解較慢，反應也較遲疑。如學生LS24，他們較無法依自己 的主觀意識來判斷正確與否。

MS31：寫2𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 + 5𝑦 − 160，這樣可不可以？

T：可不可以呢？我不寫2𝑥 + 3𝑦 = 370 − 160，寫這一個？

多位學生說：可以！

(多位學生點頭表示認同) T：為什麼？

MS22：因為一樣。

HS27：因為 370 就是 4𝑥 + 5𝑦

LS24：上一個式子就有說 4𝑥 + 5𝑦 = 370 啊！ (影-200316)

在個別學生的解題回溯方生思考中也能發現，低成就組學生對於概念或原理 原則的學習建構較薄弱，甚至可能有所缺漏或不正確，因此他們在班級討論的場合 比較傾向於選擇少說或不說。如學生LS37 和學生 LS26 對於多項式中「括號」的 概念與處理方法是完全錯誤的，而學生LS36 對於要運用加法還是減法來消去未知 數的判別方法則是不清楚的。

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T：你先看這一題，你可以找出哪裡有錯嗎？

T：你先看這一題，你可以找出哪裡有錯嗎？