放聲思考法融入形成性評量對提升國中生數學概念理解能力之探究
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(2) 謝誌 為了圓夢，臨近退休的我，毫不猶豫的踏進了台師大教育系課教在職專班修讀 學位。在進行論文研究的這一年中，新冠肺炎已經讓研究教學可否順利完成受到威 脅，而撰寫實務報告時的毫無頭緒與壓力，與許多未預期的困境，一個接著一個的 出現。曾經，多次，我都懊惱於兩年前追夢的決定，還好有教授、同學、同事與家 人的加油打氣與溫暖關懷，讓我重新振作，爬著也要到達終點。 智慧而溫暖的指導教授，甄曉蘭老師是我最崇拜也最感謝的恩師。當研究陷入 困境，找不到方向時，總是智慧的曉蘭老師指引我，帶著我找到爬出泥濘的方法。 當心靈受創，挫敗喪志時，也是溫暖的曉蘭老師擁抱我，為我充電。還要感謝札實 而堅持的王力億教授，是札實為學的力億老師，一直手把手的領著我撰寫報告，完 成口試。也是用心堅持的力億老師，一次次仔細的指導我進行修改與調整。也要感 謝口試委員鍾静教授，從計畫審查到論文考試與報告修改，鍾静老師從研究與實務 的角度給予我許多的提點與建議，促使研究能更充實而完備。 感謝我的好同學，盈佩、珮姍、雅欣、雅筑……，感謝我的好同事，欣樺、敏 文、靜婷、郁翔、鈺嘉……，這一路上，大家為我療傷加油，為我赴湯蹈火，陪著 我一步一步地爬上碩士學位。 最後，一定要感謝我的家人。謝謝我最愛的爸爸、媽媽，是你們給我成長的養 份，相信我，愛我。謝謝親愛的老公，是你扛下所有的家事，讓我專心求學。還要 在我感到疲累時，幫我按摩推拿，幫我排除身、心、靈的各種痠痛。謝謝疼愛我的 兩個兒子，是你們的肯定與支持，讓我可以重拾翅膀，展翅高飛，更上層樓。 瓊雯. 謹誌. 2020 年 8 月. i.
(3) ii.
(4) 放聲思考法融入形成性評量對提升國中生數學概念理解能力之探究 中 文 摘 要 本研究旨在探討數學教師改變教學評量模式，以放聲思考法融入形成性評量 後，是否對於提升國中學生數學概念理解能力造成影響。其研究目的有三：探討放 聲思考法融入形成性評量之評量模式的實施歷程與調整方向；探討放聲思考法融 入形成性評量對學生數學概念理解能力之影響；探討放聲思考法融入形成性評量 對教師專業成長之影響。 本研究採取行動研究法，以研究者所任教國中的七年級一個班級，共 32 位學 生為研究對象，並且將學生分為高、中、低三種成就組別進行分組分流的探究。配 合試探期與實踐期的課程教學進度，形成性評量的試題範圍定錨於「一元一次方程 式」與「二元一次聯立方程式」兩個單元。行動規劃有課堂概念教學、課前形成性 評量、書面解題篩選、兩階段學生解題回溯放聲思考、評量回饋討論等歷程，用以 擴展學生對於新概念學習的理解層面，進而提升對數學概念的理解能力。 將研究過程中所蒐集之質性與量化資料進行彙整與分析後發現：一、在評量次 數、題數的精簡與學生的分組分流後，方案實施可以不影響教學，不增加進度壓力； 二、不同學習成就學生對數學概念的理解有層面上的落差，透過口述解題與評量回 饋能幫助學生提升對於概念的「能說明」 、 「能應用」與「自我認識」 ，進而發展「能 詮釋」 、 「有觀點」與「有同理心」的能力，並且提升學習成效；三、行動方案可以 幫助教師提升學生學習問題診斷能力，學習評量運用能力與抽象概念的教學能力， 並且促使教師在教學態度上產生開放、公平、關懷與包容的正向轉變。 根據研究發現提出的建議有：一、教師以放聲思考法融入形成性評量前，需引 領學生進行放聲思考練習，並且營造班級的安全學習氣氛。因應學生學習程度與學 習現況，適性地從不同理解層面來培養學生對數學概念的理解能力；二、未來研究 者可在不同學科或不同學習階段進行評量與概念理解能力的相關探究。 iii.
(5) 關鍵字：數學概念理解、形成性評量、放聲思考法. iv.
(6) The Study of Integrating Thinking Aloud Method with Formative Assessment for Enhancing Understanding of Mathematical Concepts for Junior High School Students ABSTRACT This study aimed at enhancing students’ understanding of mathematical concepts through using Thinking Aloud Method to conduct formative assessment instead of using traditional ways in junior high school. By conducting mixed-methods research, the study addressed three research objectives: (1) to explore how courses of Thinking Aloud Method with formative assessment are conducted and adjusted (2) to explore how Thinking Aloud Method with formative assessment influences students’ understanding of mathematical concepts and (3) to explore how Thinking Aloud Method with formative assessment influences Teacher Professional Development. The study is an action research of an actual classroom in the junior high school that the teacher-researcher is at. A total of 32 seventh graders were invited to participate in this study and they were divided into three groups by different proficiency levels which are high, intermediate and low. There are two phases of Thinking Aloud Method with formative assessment, which are Development and Enactment. The study focused on Onevariable Linear Equation and Two-Dimensional Linear Systems of Equations. The teaching process contains concepts teaching, following by formative assessment, choice of participants, two-phase orally problem solution and feedback discussion. Through these steps, the facets of students’ understanding were broaden and at the same time students’ abilities of understanding concepts were enhanced. The data of the study were collected qualitatively and quantitatively. The findings of the study are discussed in three sections. Firstly, after decreasing the number of math problems and assessment frequency as well as grouping students, Thinking Aloud Method v.
(7) with formative assessment didn’t affect the original teaching method and process. Secondly, students in different levels behaved differently in facets of understanding mathematical concepts. Through orally math problem solution, students enhanced their abilities of Explanation, Application and Self-Knowledge. Meanwhile, feedback discussion helped students improve their Interpretation, Perspective and Empathy abilities. Lastly, the study enhanced teachers’ professional abilities of diagnosing students’ learning problems, applying assessments, and teaching abstract concepts. Additionally, the study positively changed teachers’ teaching attitudes to a more open, fair, caring and concerning status. Two suggestions for teachers and future research were provided. For teachers, they should create a safe environment for students, guide students to practice thinking aloud before conducting Thinking Aloud Method and cultivate students’ understanding of mathematical concepts from different facets based on students’ current learning stage and proficiency. For researchers, they can use Thinking Aloud Method with formative assessment in different subjects and different learning stages in the near future.. Key words: understand of mathematical concepts, Formative assessment, Thinking Aloud Method. vi.
(8) 目 次 第一章. 緒論 .......................................................................................... 1. 第一節 研究背景 .................................................................................. 1 第二節 研究動機與目的 ............................................................................. 7 第三節 名詞解釋 ................................................................................... 9 第二章 文獻探討 ..................................................................................... 11 第一節 數學概念理解 .............................................................................. 11 第二節 促進學習的形成性評量 .......................................................... 17 第三節 放聲思考法的理論與實務 ........................................................ 24 第三章 研究方法與實施 .................................................................. 31 第一節. 研究取徑與架構 ............ ............................................. 31. 第二節. 研究場域及參與者 .............................................................. 41. 第三節. 資料蒐集、管理與分析 .................................................... 44. 第四節. 研究信效度與研究倫理 ...................................................... 54. 第四章 研究結果與討論 ............................................................................ 57 第一節 放聲思考法融入形成性評量之實施歷程與調整方向 .................... 57 第二節 放聲思考法融入形成性評量對學生數學概念理解能力之影響 ...... 65 第三節 放聲思考法融入形成性評量對教師專業成長之影響 ..................... 86 第五章. 結論與建議 ................................................................................................ 101. 第一節. 結論 .............................................................................. 101. 第二節. 建議 .............................................. ............................... 105. 參考文獻 .............................................................................................. 107 中文部份 .............................................................................................. 107 西文部份 .............................................................................................. 111. vii.
(9) 附錄 ................................................................................................................ 115 附錄一 第一階段解題回溯放聲思考提問大綱 A .................................... 115 附錄二 第一階段解題回溯放聲思考提問大綱 B .................................... 116 附錄三 第一階段解題回溯放聲思考提問大綱 C .................................... 117 附錄四 第二階段解題回溯放聲思考提問大綱 ........................................ 118 附錄五 形成性評量之班級回饋活動-諍友教師觀察檢核表 ..................... 119 附錄六 七下第一次校內定期考之總結性評量試題 ...................................... 121 附錄七 參與研究學生及家長同意書 ........................................................... 123 附錄八「一元一次方程式」概念評量之非選題任務 ................................. 125 附錄九「二元一次聯立方程式」概念評量之非選題任務 ...........................129. viii.
(10) 表 次 表 2-1-1 理解六層面 .............................................................................................. 15 表 2-1-2 評量國中學生數學概念理解之六大層面展現 ....................................... 16 表 3-2-1 學生分組與編碼說明 ................................................................................43 表 3-3-1 資料類型編碼意義舉例說明 ....................................................................48 表 3-3-2 研究目的與研究資料對照表 ....................................................................51 表 3-3-3 學生數學概念理解展現舉隅 ....................................................................52 表 3-3-4 七下第一次校內定期考之總結性評量試題分析雙向細目表 ................54 表 4-1-1 行動試探期形成性評量試題數量統計表 ................................................59 表 4-1-2 行動試探期形成性評量之解題「正確」的學生百分比.............................59 表 4-2-1 「二元一次聯立方程式」概念評量之學生解題書寫情形 ..................... 73 表 4-2-2 七下第一次校內定期考之總結性評量試題學生正確答題率 ...................75 表 4-2-3 七上第一次、七上第三次、七下第一次定期考學生成績表現 .............85 表 4-3-1 行動實踐期形成性評量試題數量統計表 ..................................................91 表 4-3-2 諍友教師觀察檢核表-課室的評量回饋討論與教學 ..............................96. ix.
(11) x.
(12) 圖 次 圖 2-1-1. 知識與理解的差異 ...................................................................................... 13 圖 3-1-1. 研究架構圖 .................................................................................................. 32 圖 3-1-2. 行動試探期「3-1 代數式的化簡」課堂進度與教學活動安排 .................. 34 圖 3-1-3. 行動試探期「3-2 一元一次方程式」課堂進度與教學活動安排 ........... 34 圖 3-1-4. 行動試探期「3-3 應用問題」課堂進度與教學活動安排 ....................... 35 圖 3-1-5. 放聲思考法融入形成性評量活動試探實施流程圖 .................................. 35 圖 3-1-6. 行動實踐期「2-1 二元一次方程式」課堂進度與教學活動安排 .............. 37 圖 3-1-7. 行動實踐期「2-2 解二元一次聯立方程式」課堂進度與教學活動安排 . 37 圖 3-1-8. 行動實踐期「2-3 應用問題」課堂進度與教學活動安排 ....................... 38 圖 3-1-9. 放聲思考法融入形成性評量活動實踐實施流程圖 .................................. 38 圖 4-1-1. 評 MS03-191219 ........................................................................................ 58 圖 4-1-2. 評 MS06-191218 與評 HS08-191219 ....................................................... 58 圖 4-1-3. 評 HS23 與評 MS14-191211-2 ................................................................ 60 圖 4-1-4. 放聲 1-200310、放聲 2-200407 ................................................................ 63 圖 4-2-1. 評 LS04 與評 LS28-200330 ...................................................................... 70 圖 4-2-2. 課室-200319 ............................................................................................... 74 圖 4-2-3. 評 MS34 與評 LS37-200309-2 和 200309-3 .......................................... 76 圖 4-2-4. 評 LS04-200317-2 ...................................................................................... 77 圖 4-2-5. 評 HS27-200309 ......................................................................................... 81 圖 4-2-6. 評 HS08-200317-2 與評 MS01-200324-3 ................................................ 83 圖 4-3-1. 評 LS25-200310-2 ...................................................................................... 87 圖 4-3-2. 總評題-200409 ........................................................................................... 88 圖 4-3-3. 評 MS01、評 MS30 與評 LS09-200323-1 .............................................. 89 圖 4-3-4. 評 LS04-200330-2 ...................................................................................... 93 xi.
(13) 圖 4-3-5. 評 HS21、評 LS36、評 MS06 等-200323-2 .......................................... 94 圖 4-3-6. 評 HS08、評 MS01、評 LS02 等-200323-2 .......................................... 94. xii.
(14) 第一章. 緒論. 第一節 研究背景 壹、重理解的數學素養教育趨勢 傳統數學教育，在 1950 年前，強調算術，其教育重點在於數學的技術能力。 此時期的美國學者 Joseph Ray 認為：算術，除了是日常生活計算的技術外，同時 具有頭腦訓練的功能(陳梅生、吳德邦，1986 )。1957 年蘇聯領先世界各國將首顆 人造衛星送入地球軌道後，數學教育進入第一次改革， 「新數學」( New Mathematises ) 教育。在 1950 至 1975 年間，數學教育的主流是，強調數學的正確術語、原則與教 材的組織、排列，重視數學的學術層面，不再強調數學在日常生活上的連結應用 ( 陳梅生、吳德邦，1986 )。此波改革以教材為中心，主張學生應該提早學習，著 重於以教材的選取與教學的安排來提升教育的效益，卻忽略對學習主體身心發展 狀態與既有能力程度差異的關心。 第二次世界大戰後，電腦時代來臨，科技快速發展，國際間數學教育再次進行 改革。1977 年，美國的全國數學督學協會( The National Council of Supervisors of Mathematics , NCSM ) 發表「數學基本技巧大綱」 ( A Position Paper on Basic Mathematical SkilIs )，主張直接放棄「新數學」 ，要「返回基本」 ( Back - to - Basics )。 爾後，數學教育又再度關注於計算技巧能力的培養， 「問題解決」的能力成為數學 教育的重心( 劉湘川、許天維、林原宏，1993 )。學生應俱備的「問題解決」能力 是，在數學解題過程中，必須能應用邏輯的定律，將舊有的知識應用到新的情境或 不熟悉的情境中( 陳梅生、吳德邦，1986 )。此時的數學教育也同時受建構主義精 神的影響，認為數學知識學習是學生主動建構的結果，因而數學教育應以學生為中 心，因應學習者的個別差異，採取適性的教學策略與教材，提高學生的數學能力。 此時的數學教育趨勢重視學習主體的差異性，強調培養學生能因應情境變化、帶得 走的問題解決能力。 1.
(15) 2019 年起台灣推動十二年國民基本教育 (以下簡稱十二年國教)新課程綱要 (以下簡稱 108 課綱)，與世界教育改革潮流同步，重視學習者核心素養的培養，強 調素養導向課程(鄭章華、單維彰，2015)。其中「核心素養」即為「一個人為適應 現在生活及未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度」 （教育部，2018） ；素養導向 的課程，單維彰(2016) 認為應該包括「知道」和「能做」兩個向度，而且要以「實 用」作為判斷的規準。2013 年國內學者林福來、單維彰、李源順和鄭章華等人在 十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研究報告中以『知』 、 『行』 、 『識』來 詮釋十二年國教數學課程的內涵，單維彰(2018) 建議應以『知』 、 『行』 、 『識』作為 數學素養培育的課程架構，對每一項學習內容，設定包含知、行、識的學習目標， 規劃屬於知、行、識的教學活動。其中知是指學習內容，即「是什麼」 ；行是操作 技能，即「做什麼」；識則是關於理解和連結的後設認知，以及對其價值的認同， 即「為什麼」 (單維彰，2018)。由此，省思國內過往國中階段的數學教育，在教學 上，教師透過各種教學設計與策略融入，其目的皆是讓學生知道教材內容的『知』 與做解題計算的『行』 ，而且已有許多研究成果可以提供教師在實際教學場域中實 踐、應用以達標。但是，關於「為什麼要這樣」 、 「為什麼是這樣」以及「為什麼學 習它」等更高的抽象概念理解層次，培養學生『有識』於數學的有效教學策略，卻 是相對缺乏的。在數學評量上，透過紙筆測驗， 『知』與『行』也早已是總結性評 量與形成性評量常見的主要評量內容。但傳統的紙筆測驗卻無法幫助教師有效的 辨識出學生的學習結果，是真正理解已習得的數學概念知識後所展現『識』的學習 成效，還是僅僅機械式的在試卷上背誦出概念知識與解題步驟。 張鎮華(2015)在十二年國教數學課程綱要實施前提醒教師：「老師沒有選擇學 生的權利，卻有了解學生的義務，要知道自己的學生程度何在」。在教學歷程中， 教師該如何確實掌握學生的學習情形，瞭解是否已真正理解所學習的內容，並且給 予學生最即時、有效的學習導引？研究者認為，藉由學生的放聲思考與師生的對話、 提問與互動融入評量，可以同時在教學與評量上成為教師培育學生數學素養中， 2.
(16) 『識』 ，的最佳媒介管道。在促進學習的形成性評量過程中，學生以口語敘述內在 解題思維歷程的放聲思考，可以彌補傳統紙筆評量的缺漏，提供教師深入瞭解學生 概念鷹架的建構情形，判斷學生的學習是否確實理解「為什麼要這樣」及「為什麼 是這樣」 ；而師生互動的提問與對話討論過程，則可提供教師進行即時且適性教學 的機會，亦能提供學生即時且積極的學習回饋，協助學生對學習內容產生意義，掌 握自我學習能力的完整建構。 貳、數學教育研究中教學成效的黑洞 從國內科技部數學教育學門在 2019 年 3 月的發表來看，近年來國內數學教育 研究方向分為數學課程與教學研究、數學學習與評量研究、數學素養與數學文化研 究、數學師資培育及教師專業發展與資訊科技輔助數學教育等五大方面。由此分類 可以窺見，迎合現代數學教育發展的潮流，目前數學教育的研究多聚焦於數學素養 的提升，教師教學、學生學習與評量的研究，以及在實際教學情境中的研究，皆是 期待能從各種研究中找到能有效地培育學生靈活運用學習能力，有助於學生自主 學習、解決問題與適應未來的正確解方。 當數學素養成為數學教育潮流的核心，研究者在國中教育實務的最前線卻看 見校園內的數學教育實況是：為了提升學生的學習動機與學習成效，數學教師們想 方設法，各種策略融入教學，精心編排教材與教學內容，企圖為教學找到活路。但 學生卻是在數學學習上不斷地受挫，學習意願低落，討厭數學、放棄數學。事實上， 教學策略的改變、教材的調整確實提升了學生學習當下的興趣，但學習興趣的火苗 被點燃了，但學生最在乎的成績表現提升了嗎？真正能支持學生繼續學習的成效 與有意義的學習回饋似乎被忽視了。 在臺灣博碩士論文知識加值系統中，以『國中數學』為關鍵詞，進行博、碩士 論文中有關數學教育的研究查詢，歸納統整後可發現：在 2014 到 2018 年的五年 間，多達 275 篇研究資料是針對國中數學教育進行的研究。其中，採用某種教學策 略或活動融入數學教學，以提升學生數學學習成效與與學習動機的相關研究的篇 3.
(17) 數是為數最多的，數量多達 136 篇。例如，以教師為中心傳統的直接教學法；以學 生為中心的教學，如翻轉教室、差異化教學、學思達教學、奠基活動與合作學習等； 數學寫作、閱讀理解、心智圖、學習共同體、摺紙和桌遊等活動導入課堂教學；或 是數位媒體平台融入教學，如均一教育、MOODLE 與 PaGamO 遊戲等數位學習平 台；RTI 補救教學、數學 GSP 電腦輔助教學、IRS 即時反饋等數位工具的運用。多 種教學策略、多元評量模式、多樣學習活動在教學場域中一一被實驗，被融入教學 進行行動研究，然從各個研究結果的分析來看，教學策略的融入確實支持學生學習 興趣的提高，但部份研究結果卻也同時反應出，學生的學習成效卻不一定相應而升。 如，黃宇莊 (2017) 的研究發現，以 PaGamO 遊戲式學習平台融入國中八年級學生 的課後作業後，學生的學習成效並未有顯著的提升；李宜矯 (2018)則以桌遊融入 國中七年級之平面直角坐標系單元的教學中，而其研究結果也發現，班級中除了高 成就組學生以外，中和低成就組的學生在學習成效上的提升是無明顯差異的。而造 成教師教學成效與學生學習成就提升不明顯的原因何在？研究者認為，多數教學 策略或活動融入教學的研究僅關注於研究結果的分析，依學生的表現結果來解釋 其成就，卻忽略學生內在概念建構的正確或完整與否，讓教師的教學成效只停留在 表面的熱鬧歡樂效果，無法對學生的學習困境提供實質的協助，也讓學生在努力學 習數學後應有的成就被概念建構中的黑洞所吞食。 台北市北一女中退休數學教師李政貴老師直言：數學本質是難的(李政貴， 2002 )。Thurston 從建構主義的觀點指出，數學概念的結構就如同由許多支柱搭建 而成的立體鷹架，奠基的鷹架若穩固，向上擴建就容易，但若鷹架支柱有缺漏，增 建難度將增加，甚至只能停止(黃馨霈譯，2015 )。由此可見，數學概念建構的健全 穩固與否在提升數學教學成效上是個非常重要的關鍵因素。從近五年的研究文獻 統整後也發現，針對學生數學學習概念建構或解題歷程的相關研究共有 38 篇，例 如洪于雅(2018)以新北市某國中八年級學生為對象，以放聲思考法對學生等差數列 與等差級數解題歷程進行分析研究；闕妤安(2017)以眼球追蹤法分析國中數學幾何 4.
(18) 試題的解題歷程。但由多篇研究文獻的結論可發現，研究雖是針對學生數學學習概 念建構或解題歷程進行分析探究，但多數研究結果的呈現就止步於解題歷程或單 元概念的分析，少有將分析所得的結果直接回饋於學生，提供學生進行概念建構修 補與調整的機會。108 數學領域課程綱要中指明，數學概念的結構是層層累積的， 其發展需要依賴學習者的直覺與推理。學習者若未能充分理解前一階段的概念，必 然影響後續階段的學習(教育部，2018 ) 。對於學生概念建構或解題歷程進行研究 後，若僅將研究結果回饋於教師的教學，卻忽視對學習主體自我建構的瞭解與回饋， 是看不見學生學習需求的，讓教學仍然只是教師的一廂情願罷了！ 周伯勳(2016)以台中市一所完全中學的國中二年級普通班和資優班的學生為 研究對象，透過錯誤題目的訂正跟整理，幫助學生澄清數學學習上的錯誤概念。其 研究結果發現兩個班級的學生中，有確實的訂正的學生在成績上皆有明顯的進步。 此一研究結論反映出，雖然是學習程度或能力不同的學生，但其學習成效提升的關 鍵皆在於他們透過有效教學策略的協助，能夠檢視自我的學習，並且澄清概念上的 誤解或迷思，得以在學習過程中即時補救，讓學習鷹架的建構更穩健。 綜合以上對於國內數學教育研究趨勢與結果的討論，可見以往研究只注重學 生學習結果的教學策略或活動融入已經無法滿足學生核心素養能力提升的需求。 因此，本研究在以放聲思考法融入形成性評量後，聚焦於學生數學概念的正確建構 與理解，探尋能有效的提升教師教學與學生學習成效的行動方案。因此，在學生數 學學習的歷程中，教師的教學必須以學生的學習為中心，透過學生口述的思維，持 續地從學生的視角來瞭解教師教學的成效，掌握學生的學習現況，看見學生學習的 需求；結合促進學習的形成性評量，提供適性且積極的回饋，為學生的數學學習成 效提升找到活路。 參、課堂概念理解教學的困境 在國中實際教學場域中，大多數的數學教師為了趕上行事曆上既定的教學進 度，仍是偏向選擇以教師為中心的傳統教學模式，由教師主導的學生學習活動，以 5.
(19) 便利教學的進行。通常是由教師主導單元概念重點、原理原則與解題關鍵的統整， 再依邏輯順序講解單元概念和解題技巧予學生，而後舉例說明、提問，僅是進行知 識與概念的單向傳遞。長久以往在課室內，學生只是被動的學習者，他們最主要的 任務就是聽講知識和反覆練習。但如此單向傳輸的數學教學模式只是缺乏師生互 動的統一規格輸出，換言之，就是在忽視學生個別差異的狀況下，快速且大量製造 學生的學習結果。數學教師們因為關心自己的教學成效，所以經常運用各種評量方 式來探查學生的學習結果，其中方便大量使用的紙筆測驗便成為最簡單快速，並且 可用同時偵知多位學生學習成果的方式，而學生評量成績的高低則自然的成為教 師判斷學生學習情況的唯一數據。 而學生的學習呢？為了應付考試，提升成績，被迫或勉為其難的反覆練習解題。 就在學生大量的練習解題過程中，個人的錯誤概念與迷思若未被發現與得到澄清， 便連錯誤的理解也一併反覆練習而更加根深蒂固。有時就算學生能夠快速、準確地 求出正確答案，卻也未必是真正理解問題背後所潛藏之意義與數學概念。部份學生 更可能只是以模仿的方式來獲取答案，並非真正的理解，可能是「只知其然」 ，而 「不知其所以然」，未發現學習的黑洞隱藏在其中。根據簡清華與蔡佳霏(2012)的 研究結果發現，在課堂的班級教學活動中，當學生面對與自己以往經驗不同的新數 學概念、問題或解題策略時，會以自己既有的數學基模來進行詮釋。而班級中二十 多個學生因個人數學學習經驗的不同，自我建構的基模也有所不同，因此對於相同 的數學訊息可能產生不同的解讀。然數學概念或問題的錯誤解讀，必定造成後續錯 誤的推論與結果，形成學生學習成就提升的阻礙，學習努力成果的黑洞。唐淑華 (2013)也認為在學習的道路上，若學生數學概念迷思未能盡早釐清，學習的失敗率 將隨之提高。 根據認知心理學的論點，有意義的學習是學習者對知識進行主動建構、重組及 統整。而從建構主義的論點來說，學生是學習的主角，必須注重學生主動探索的意 願與自我建構知識的歷程。因此針對數學的教學，李長燦(2003)建議教師應以對話 6.
(20) 和反省為教學的核心主軸，由師生透過數學談話的互動來建構數學的意義。張景媛 (1994)也主張數學教師的教學重點，是讓學生於學習過程中正確地進行數學概念的 自我建構。由此可見，教學成效提升的關鍵就在於學生的正確自我建構，但數學概 念建構與解題歷程既是屬於高階的心智活動，又內隱於學習者的思緒中，教師是否 能夠敏銳地覺察學生的學習狀況與迷思，又應如何確定與培養學生具備正確數學 概念和運用原理原則解決問題的素養能力呢？ 本研究規劃放聲思考法的運用，其用意在於提供教師覺察學生的概念學習狀 況的有效方法，透過學生對數學概念或解題實例的操作與解說，教師藉以監控並診 斷學生的學習概況，了解學生對概念與算則的理解掌握。同時利用形成性評量的回 饋機制，適時地調整教學的策略，進而改善教師教學與學生的成效。. 第二節. 研究動機與目的. 壹、研究動機 初任教職的前幾年，教學工作常壓得生活喘不過氣。身處台北市升學的明星國 中，立志成為明星教師，自以為成功的教學就是讓學生提高成績、考試考得好，最 重要是衝高班級聯考後進入第一志願的人數。所以課堂中，責罵、處罰、講義與考 卷滿天飛，自以為只要老師努力教好教滿，學生就會考好考滿。如若不然，就是學 生不夠用功、不夠認真與不夠爭氣的錯。在此階段，研究者教給學生的是：要死背、 不斷反覆練習，直到精熟的數學，但卻不是學生真正想要的知識。而學生在國中三 年學習數學的道路上，怨聲載道，越來越多學生選擇放棄數學。 成為媽媽後的十幾年間，因為陪著自己孩子成長、就學，那幾年懷著直升機媽 媽的愛，溫暖地教著書。此時期，教學如同要把最營養、完全沒有刺的魚肉，完整 的直接餵食給學生。自以為，只要有愛，把最好、最齊全的教材教好教滿，學生就 能學好學滿。如若不然，則是學生練習的時間不夠長、次數不夠多。結果是，一切 都等老師教。研究者直接剝奪了學生運用數學思考問題、分析問題、解決問題、主 動探索和自我建構的機會，而給的養份也並非真正有益於學生的學習。 7.
(21) 再次回到師大進修，省思自己過去的教學，錯了！花全部的時間企圖把學生變 成同一規格，真的錯了！若期盼能對學生的學習有更多正面的影響，教師必得要先 檢視、調整個人的教學信念，清楚認知教學(甄曉蘭，2008)。在十二年國教新課綱 推行實施下，教師該如何幫助學生，為一個尚未存在的未來生活做準備？ 在 Google、Siri 和各種搜尋引擎的網路時代，學生的學習已不能再只是記憶書 本上的知識，因為 AI 永遠記得比人類多，算得比人類精確，但人類的價值何在？ 阿里巴巴創辦人馬雲表示，推理、解決問題和創造能力，就是 AI 不容易學習的人 類智慧。科技 4.0 的時代，取代讓學生死背公式和反覆熟練解題，數學教學應關注 於學生的學習過程，協助學生掌握概念與原理原則，以培育學生擁有能在問題情境 中靈活運用所學的探索力、思考力、判斷力與行動力。本研究動機之一即為，期望 透過師生互動的形成性評量活動，深化學生對數學概念的正確理解與掌握，確定學 生自我建構的學習鷹架，培養能在未來情境中自主學習的能力。 建構主義的觀點：知識是為適應環境而創造出來的產物。對於新概念的學習， 學生會選擇自己既有的基模進行「同化」(assimilation)與「調適」(accommodation)， 建構有助於適應新變化的理解知識，然其選擇與建構的歷程是不易為外界所知悉 的。張新仁(2006)建議教師可採用觀察、晤談、放聲思考、同儕教導等方式，蒐集 學習者隱藏於內在思維的學習策略知識，將內隱轉化為外顯。因此，本研究的研究 動機之二為，期望透過學生對數學概念理解與解題歷程的放聲思考，輔以師生間的 提問、對話與觀察，促使學生透明化在課堂學習中自我建構的數學概念，協助教師 於課堂教學後，瞭解學生學習鷹架的建構情形，掌握學生學習時所遭遇的困難與阻 礙，為有效教學提供有意義的回饋。 升學競爭壓力下，考試領導教學，學生校外補習的現象不減反增，卻未見學生 學習成就的提升，只是更疲累於學習。林生傳(1998)主張評量的重點不在於評量學 習結果的多少，而應著重在學習過程中學生如何接觸問題情境，如何對問題進行詮 釋與產生意義。甄曉蘭(2008)認為促進學習的評量必須能提供訊息與證據做為教師 8.
(22) 和學生的回饋，來進行自我評價、相互評估及修正教與學的活動，滿足學習的需求。 有鑑於此，本研究的研究動機之三為，寓學習於評量之中，聚焦於形成性評量的促 進學習功能，在教學過程中即時運用評量，為學生的學習結果進行診斷，找出學生 概念建構的不全，或解題策略安排、原則技巧運用的缺失，提供學生有意義的學習 回饋，導引學習調整的方向。 貳、研究目的 綜合上述研究動機，本研究旨在探討數學教師改變教學評量模式，透過國中學 生對數學解題歷程的放聲思考，進行師生對話的形成性評量，對於國中學生數學概 念理解能力之提升是否有正面影響。故主要研究目的有三： 一、探討放聲思考法融入形成性評量之實施歷程與調整方向。 二、探討放聲思考法融入形成性評量對學生數學概念理解能力之影響。 三、探討放聲思考法融入形成性評量對教師專業成長之影響。. 第三節 名詞解釋 壹、數學概念理解 (mathematical concept understanding) 根據維高斯基概念論(Vygotsky Concept Theory)，概念(concept)是人類的智慧與 精神的工具，透過概念的形成幫助人們在處理或面對混亂且不相同的事物時，整理 出簡單又有思緒的方法來辨別，完成對事或物的理解。十二年國教之數學課綱中說 明，數學概念是包涵數、量、形及其相互關係的概念(教育部，2018)。 依據國教院之「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」中陳碧祥、李奉儒和劉威 德三人對於學習方面的理解之釋義：在認知學習後，能切實地掌握所學習之訊息， 並形成概念的一部分。 數學概念理解是指學生能以記憶性的知識來辨識、轉換數學概念或原理，並以 文字語言說明之(鄭章華、單維彰，2015)。本研究將依 Grant Wiggins 與 Jay McTighe 所分析之理解六個層面進行學生數學概念理解能力之探究，包含：能說明(explain)、 能詮釋(interpret)、能應用(apply)、有觀點(perspective)、有同理心(empathy)、自我認 9.
(23) 識(self-knowledge) (賴麗珍譯，2008)。 貳、形成性評量（formative assessment） 形成性評量立論於將教學歷程與評量歷程相互結合，其主要精神是在教學過 程中，透過評量結果提供回饋給學生和老師，以期達成教學改進與學習效果提高的 目的(郭生玉，2016)。甄曉蘭(2008)主張，形成性評量應符合「促進學習的評量」 的概念，具有模式「多元」 、學生「爲學習負責任」 、教師「隨時診斷即時治療」及 師生「增權益能」等精神。本研究將依據形成性評量「促進學習的評量」的概念， 於數學單元概念教學後的第二天，對學生進行學習新概念後的形成性評量，其評量 範圍較小，評量內容侷限於教學單元的概念或原理原則。以評量結果作為教師瞭解 學生學習情形之管道，並且將評量回饋提供給師生雙方，以為教師改進教學與學生 學習修正之用。 參、放聲思考法(thinking aloud) 放聲思考法或譯為有聲思考法、大聲思考法，是一種在研究數學解題歷程時， 常用以評估受測者程序知識的方法。引用國家教育研究院（以下簡稱國教院）的「雙 語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」中段曉林的定義，放聲思考法的進行是在施測者 對受測者提出數學問題後，要求受測者在執行解題任務時，將腦中的想法藉口語大 聲地表達出來。 本研究之對象為國中生，考量國中學生之數學語言表達能力生澀，為減少學生 同時操作解題任務與執行口述的認知負荷，故採用回溯放聲思考法。由學生在靜默 情境中完成解題任務後，再與教師進行口說回顧。一方面讓學生的解題可以在寧靜 專注下，更加貼近自我建構的歷程；另一方面，回顧解題歷程時，學生能夠對解題 操作行為和想法進行補充解釋，教師因此得以蒐集更多資訊深入瞭解與進行適性 回饋。. 10.
(24) 第二章. 文獻探討. 第一節 數學概念理解 壹、數學概念 根據「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」李奉儒對概念(Concept)一詞的解釋， 概念是人類經過抽象化作用後，用以表徵「某事物是甚麼」的統整原則。 「具備某 概念」則表示能透過語言、文字來表述；能正確使用該概念；而且能對該概念的統 整原則瞭然於心。維高斯基概念論(Vygotsky Concept Theory)對概念的看法，概念 是人類智慧與精神所使用的工具，人類運用概念來認知環境中複雜的變化，幫助個 體以最簡單的方法來統整之(喻平、馬再鳴，2002)。在未來，情境的變化是未知且 複雜的，學生可學習的教材也是無限的，但概念和原理原則卻是精簡且有限的。理 解基礎的概念和原理原則就是通往適當學習遷移的主要途徑(賴麗珍譯，2008)，因 為概念既被理解習得後，就能成為學習的基模而久存於心，當面對相關或類似的問 題情境時，就能幫助個體規劃出因應的解決策略。 從數學領域來定義數學概念則是，將文字及符號語言連結，以簡馭繁，即用簡 明的公式與理論，來解釋各種複雜的現象，用以更簡潔、精確的方式來理解生活與 世界 (教育部，2018)。本研究所指的數學概念則是根據十二年國民教育之數學課 程綱要中的相關說明，數學概念 (mathematical concepts)包涵數、量、形及其相互 關係的概念。第四學習階段的國中學生在代數方面要熟悉代數式的運算、解方程式 及簡單的函數(教育部，2018)。從康軒版教材細目安排可見，其國中七年級課程從 第一冊第三章以符號代表數、一元一次方程式到第二冊第一章二元一次方程式，都 是屬於抽象代數概念的學習。以符號代表數為抽象代數概念學習的入門，旨在能把 複雜的文字與數字關係使用符號進行準確的表徵。而一元一次方程式與二元一次 方程式的概念學習則始於對於未知數量的探知，學習運用方程式概念與運算法則， 解決各種數量的問題。其中，「元」的概念是指在方程式中運用文字符號，如 11.
(25) 𝑥、𝑦、𝑧、 … … ，代表未知數的種類。 「一元」是使用一個文字符號來代表一個未 知數， 「二元」則是使用兩個文字符號來分開代表兩個未知數； 「次」是指用來表徵 未知數的文字符號之最大的次數。例如， " 2𝑥 − 3 = 5 " 為一元一次方程式； " 2𝑥 − 3𝑦 = 5 " 為二元一次方程式。 對於新概念的習得方法，Whitehead (1967)認為必須是經過學生在實際情境中 體驗、操作，並且證明其有用後產生認同。李政貴(2002)從中學數學教育實務工作 者的經驗來談數學概念學習的難為，因為數學新概念的認識，必須先以學習者已有 的知識與經驗作為建構的基礎，透過具體化事物的媒介，讓學習者經歷且證實新概 念的用途，之後新概念才可能被學習者實際應用之。數學概念的抽象化、形式化、 邏輯化和簡明化特徵(喻平、馬再鳴，2002)，使其理解必須同時涉及「語文數學」 與「形式數學」兩種複雜的認知歷程，對於國中學生而言，張景媛(1994)認為是相 當困難的。然數學概念理解程度嚴重影響學生對問題的分析，以及所使用的解題策 略，同時也與學生對既存經驗、回憶的檢索和提取有很大的關係，更是學生學習鷹 架自我建構穩固與否的關鍵因素。由以上論述可見，在數學教學情境中，教師僅透 過傳統單向口說傳輸，要拉近學生與抽象數學概念的遙遠距離，必然是低成效的。 唯有透過教學策略的運用，將概念具體化，如此才能提高學生的經驗感與接收理解 的程度。 貳、概念理解 鄭章華、單維彰(2015)認為數學概念理解是指學生能以記憶性的知識來辨識、 轉換數學概念或原理，並以文字語言說明之。而理解的內涵包括，基本的 to understand， make sense of（使產生意義） ，be aware of（意識到） ，以及 have an insight into（洞察）的意思。有別於「知道」，McTighe 和 Wiggins 認為，「理解」就是個 體能審時度勢，依情境中的條件需求，有效地遷移所知，將知識和技能成功且有效 率地運作在任務和情境中(賴麗珍譯，2008)。與根據回想或記憶而來的僵硬、公式 化的「知道」大不相同，「理解」應是一種流暢的領會。Jerome Bruner 認為理解 12.
(26) 是以正確的方式來思考，能透過有效應用、分析、綜合、評鑑，而明智且適當地組 織技能和事實的能力(賴麗珍譯，2008)。McTighe 和 Wiggins 將知道的「知識」與 「理解」之間的差異進一步分析比較，如下圖所示。. 知識 1. 事實資訊 理解. 2. ㄧ系列連貫的事實資訊 3. 可以區辨的主張. 1. 事實資訊的意義. 4. 非對即錯. 2. 賦予這些事實資訊連貫性和意義的是「理論」. 5. 我知道某件事物是真實的. 3. 容易有錯的、發展中的理論. 6. 我以所知來回答提示的問題. 4. 程度問題或複雜度問題 5. 我理解為什麼如此及哪些內容構成問題 6. 我會判斷何時應用或何時不應用所知. 圖 2-1-1. 知識與理解的差異 資料來源：出自賴麗珍(譯)(2008：31)。 十二年國教的教育改革以「知識、能力、態度」作為素養的詮釋，且以素養作 為十二年國教的總願景，期望學生能擁有帶得走的能力，成為終身學習者。單維彰 (2018)認為，符合素養期待的教學，除了需要注意數學課題「是什麼」的『知』 、 「做 什麼」的『行』，還要進一步注重『識』的教學，即「為什麼要這樣」、「為什麼是 這樣」等問題的理解。對學習內容獲得真正的理解是學生學習成效提升的關鍵 (陳 聖謨，2007)，而且經過學生真正理解的數學概念才能轉化成素養來靈活運用，也 才能真正成為學生能掌握且能帶著走的素養能力，否則它們只能是平躺在數學教 13.
(27) 科書上冰冷的知識。 為加深學生對數學概念之理解，在數學的教學實施上，教師應該引導學生應用 數學知識與發展解題策略來有效地解決數學問題(教育部，2018)。McTighe 和 Wiggins 對於提升學生學習概念的理解，主張在課程設計上，教師要提供概念鷹架， 幫助學生對情境中的事實和相關技能進行準確的理解，促使能主動探究，並且感受 與概念互動的經驗，從中獲益，產生學習遷移。在教學過程中，應該以不斷且持續 的正式和非正式評量來蒐集學習者學以致用的證據，關注於發現學生的理解結果 和錯誤理解，並且由教師積極回應學習者的理解展現 (賴麗珍譯，2008)。在評量內 容上，則應能促使學習者學以致用，展現概念學習的理解(陳偉仁、吳雅萍和陳明 聰，2018)。 要如何評量學生的理解，「證明」學生的理解？McTighe 與 Wiggins 認為，評 量學生是否理解的最基本就是關注於學生產出「答案」或解決方案時的思考過程。 讓學生表現其學習和揭露其思考，由學生來說明為什麼這麼做、說明支持該方法或 該答案的理由，以及對學習結果反省說明(賴麗珍譯，2008)。因此，本研究規劃以 非選擇試題為任務的形成性評量，促使學生運用新習得數學概念進行解題，以表現 所學；並且以放聲思考法揭露所思，幫助教師對學生的理解程度獲得更完整的瞭解， 進行檢視與導正，提供回饋，以期深化學生對於新概念的學習與理解。 參、概念理解層面 李政貴(2002)認為數學雖常以概念符號與關係來表達抽象的意念，但倘若經過 真正的理解，將能進一步體會它如古典詩詞般，抽象的美。但在師生的教學歷程中， 有哪些證據可以幫助教師瞭解學生是否已經習得概念，獲得真正理解呢？ 理解有不同的方法、不同類型，而理解的展現更是複雜、多層面的。McTighe 和 Wiggins 根據成熟理解的構成要素發展出「六面概念」的看法，主張當真正的理 解形成時，學習者將擁有，能說明、能詮釋、能應用、有觀點、有同理心和自我認 識等多層面的觀點，而完全成熟的理解則應是六種理解的全面發展。對 McTighe 和 14.
(28) Wiggins 發展的理解六大層面簡短說明統整於下表(賴麗珍譯，2008)。 表 2-1-1 理解六層面 理解層面. 理 解 展 現. Explanation. 運用適當的理論和原則對事件、行動、概念等提出有知識、有. 說明. 系統的合理敘述；提出例證產生連結。. Interpretation. 為易於說明概念或事件，發展故事、圖像、軼事、類比、擬人. 詮釋. 化等模式進行轉換，提供有意義的詮釋、敘述，或適當的翻譯。. Application. 在多元、真實的新情境中，有效地活用符合情境脈絡的已知知. 應用. 能。. Perspective 客觀地洞見全局，提出批判的或不同的看法。 觀點 Empathy 同理心. 尊重他人的情感和世界觀；能根據直接的經驗，設身處地的覺 知，發現其中蘊含的意義與價值。. Self-Knowledge 表現後設認知的覺察力；瞭解自己的思考風格與行為模式；覺 自我認識. 知個人偏見或無知，省思學習和經驗的意義。. 資料來源：出自賴麗珍 (譯) (2008：90 -114）。 這份專業實務研究擬以放聲思考法融入形成性評量提升學生數學概念理解能 力，將蒐集學生於形成性評量中數學概念理解之表現資料為研究證據，並進行分析。 由以上對於數學概念理解的相關文獻分析後，因應本研究之研究需求與目的，以 McTighe 與 Wiggins 六個理解層面作為藍本，並且參酌個人過往於數學教學場域之 實際教學經驗與學生數學學習表現情形，設計發展評量概念理解的規準，讓「六面 概念」之分析更貼近國中學生數學概念理解之展現。經調整修改後，評量國中生真 正理解數學概念的展現說明如下表 2-1-2 所述。 15.
(29) 表 2-1-2 評量國中學生數學概念理解之六大層面展現 數學概念 理 解 展 現 理解層面 針對所指定的評量任務，完整掌握題意，揭露其自我表徵的題 意和口述解題策略安排的內隱思維；除了正確解題，還需要根 能說明. 據有用的證據闡明自己自己的答案為什麼是正確的；避免過 度簡化的觀點或不精確的原理原則，正確回應教師的提問。 以適當直接的經驗思考，發現教師或同儕所提出不同解題策. 能詮釋. 略的合理性，進行有意義的、闡述的說明；或能積極發展自己 不同的解題策略規劃。 在新的或類似的問題情境中，運用已習得的概念或原理原則，. 能應用 有效地自我調整，正確完成解題任務。 對同儕所提出未經檢視的假設、解題策略、答案或結果，根據 有觀點. 概念或原理原則來推論，明確地提出批判或疑問；或透過觀點 轉換和以新的角度提出另類的正確解題概念或策略。 敏銳地理解同儕的觀點，設身處地洞察同儕運用何種概念或. 有同理心. 原理原則完成解題任務，洞見其中合理的解題安排或覺察產 生錯誤解題的原因。 檢視自己解題任務的執行過程，找出自己的迷思概念或錯誤. 自我認識. 解題的關鍵點，以及瞭解自己的思考和策略安排如何影響解 題；能自省，接受回饋和批評。. 資料來源：修改自賴麗珍 (譯) (2008：186 -187）。 16.
(30) 依據學生實際課堂之學習表現來看，上述數學概念理解六大層面並不一定是 逐一的被發現於學生的概念理解表現中，故本研究並未對此六個層面設定發展的 先後順序或層次高低之別。此外，學生可能同時有多個層面的理解表現而非獨立單 個理解層面的表現，本研究更是期待學生的數學概念理解能有多個層面的同時表 現，強化教學成效之回饋。. 第二節 促進學習的形成性評量 傳統量化的紙筆評量過於注重準確測量學生的學習成就、分類與排名，讓教師 淪為替各類機構、單位將學生進行分類的機器。緣起於對傳統評量的疑慮，Bloom 則提出，教師的任務本應是指導並協助學生的學習，是以評量應以改善教學為的目。 甄曉蘭(2008)也同樣認為，評量應是幫助教學，而不是主導教學。所以，教師進行 評量的最主要的目的應是為師生雙方提供建設性的回饋，從評量結果瞭解學生已 習得的、尚有缺漏的或尚未明白理解的內容，以為教師調整教學活動或學生改變學 習策略的依據。從現代評量典範的發展趨勢來看，評量規劃運作是以關注於教學、 學習與評量三者之間的高度結合為主要潮流。 壹、促進學習形成性評量的意涵 簡茂發 (1999)從評量的操作時機和性能將評量分為「形成性評量」 （formative evaluation）和「總結性評量」 （summative evaluation） 。形成性評量是結合教學歷程 與評量歷程，以改進教學與提高學習成效為目的，採取隨機而多元的評量方式。總 結性評量則是通常安排在單元教學結束後，以教師確定教學目標達成程度與確認 學生學習精熟等級為主要目的，較常採用傳統的紙筆測驗模式（郭生玉，2016）。 從評量與學習的關係取向來看，江文慈(2007) 認為有三種關係，分別是「對學習的 評量」 、 「促進學習的評量」 ，以及「評量即學習」 。甄曉蘭(2008)認為「總結性評量」 通常是在一個學習階段完成後進行，其關注的是學生的學習成就表現，是「對學習 的評量」 ；而「形成性」的評量，其計畫與運作是以提升學生學習為主要目的，而 關注於學生學習需求的滿足，屬於「促進學習的評量」 。因為形成性評量可以是在 17.
(31) 教學過程中經常運作的學習評量，幫助教師對學生學習進行問題診斷，部份學者認 為形成性評量可稱為「促進學習的評量」。 就評量目的來看，Gronlund(1976)認為形成性評量是在教學過程中進行的簡短 測驗，用以提供學生學習成功或失敗的相關訊息，作為師生教學的回饋。Gipps 和 Murphy(1994)從功能面對形成性評量進行定義，認為它是能讓教師瞭解學生已學會 哪些內容、還有哪些內容未學會，以及學習窒礙所在的評量。Heritage(2007) 從評 量運作層面認為形成性評量是系統性的持續蒐集學生學習證據的過程，其蒐集的 證據則成為確知學習狀況及調整課業的依據資料。郭生玉在 1985 年出版的「教育 測驗與評量」一書中為形成性評量定位，實施形成性評量是教師在教學過程中，瞭 解學生學習進步情形必須採取的方法，以確認學生在哪些學習已達標？又有哪些 學習仍需教師的幫助？(郭生玉，2016)同樣強調在教學進行中，呂金燮認為教學者 與學習者都需要監控教學和學習，利用形成性評量的監控與診斷策略，隨時提供回 饋給教師與學生，以知道教學是否有效，是否需要進行教學調整或補充其他教學活 動(王文中、呂金燮、吳毓瑩、張郁雯和張淑慧，1999)。 分別從功能、目的、實際運作等面向進行剖析發現， 「在教學過程中」 、 「提供 回饋」 、 「促進學生學習」與「提升教師教學」 ，是國內、外學者對於形成性評量進 行釋義的四個共識，也正是形成性評量有別於傳統或總結性評量的四個關鍵點所 在。教師在教學歷程中透過形成性評量的安排與運作，可以提供教學相關訊息回饋 給予教師與學生，發揮支持教師教學與促進學生學習的功能。換言之，形成性評量 是將評量與學習緊密結合，符合「促進學習的評量」現代評量的革新概念。 江文慈(2007)從評量典範的轉移視角發現，二十一世紀新評量典範關注的焦點 已延伸至學生，學習主體，而且個人化評量成為新的趨勢。本研究以提升學生數學 概念理解為目的，為幫助教師有效的瞭解並輔助學生的數學概念建構，將在教學歷 程中加入形成性評量。在師生互動的形成性評量中，以學生個人的數學解題放聲思 考為媒介，蒐集學生個人內在自我建構的抽象思維鷹架，瞭解教師概念教學的結果， 18.
(32) 並且診斷學生已學習概念理解的程度，是否有迷思？是否有不足？作為接下來教 學安排的參考依據。同時也為學生提供即時的評量回饋與補救教學，以澄清學習的 迷思，排除學習的阻礙，促進學生對新數學概念的深化理解。 貳、促進學習形成性評量的實施 形成性評量的實施有層次與取向上的差異，其考量的面向可能有課堂的教學 結構、師生互動模式、實施的動機、實施的時機、所需學習證據與回饋的類型、任 務執行的操作型態、學生的特質……，因應不同條件與特徵的需求（McMillan, 2010）。鍾靜和陸昱任(2014) 解析國外不同學者們對於形成性評量的意涵論述後， 認為影響形成性評量實施方式不同的三個關鍵點是：1.學生在評量過程中的角色， 是被動的受評者，或是參與評量規劃與實施的主動角色；2.形成性評量的實施是否 經過預先的設計規劃，或是在情境中由教師與學生互動而隨機產生；3.形成性評量 發生的時機，是在課堂中，教學前，或可能是在教學後。 簡茂發(1999) 則是從評量的發展演進中“ Assessment”的涵義來看現代評量 的實施，強調評量的設計應考量整體教學情境，可以透過各種可能的途徑，進行全 面且多元的資料蒐集。再從各個不同的角度、觀點加以比較、分析與研判，並且進 行整體性的詮釋和瞭解。郭生玉(2016) 認為就評量範圍而言，形成性評量為是在 教學過程中實施，所以是針對較小的範圍，可能是一個概念、原則或限於當下教學 的特定內容，採取各種方法，評估學生的學習情形，以提供不斷的回饋給學生和教 師。歐滄和(2002)在實行方法上則主張要從多種角度以多種方法去評量，如紙筆測 驗、教學觀察、作業任務，或師生晤談等方法，瞭解學生的學習結果，導引學生解 決學習上產生的困難。甄曉蘭(2008)對「形成性」的評量實施過程提出的看法則是， 「促進學習的評量」可以發生在平日教學過程中的任何時刻；可以是任何評量形式 或策略，如：教師提問，師生對話回饋，學生自評，同儕評量，學習檔案，以及形 成性地運用總結性測驗等，皆是以提升學生學習為主軸來進行設計與實施的。並且 在評量活動後，必須能產出評量分析的證據、訊息，做為回饋，提供給教師和學生， 19.
(33) 促進師、生對於教學與學習狀態進行自我評估；教師也必須進一步將所獲得的「形 成性」評量訊息回饋到的教學實踐中，進行教學調整或修正，滿足學習主體的需求。 綜觀以上學者文獻，對於形成性評量的實施可歸納出五個重點，分別如下： (1) 評量的使用時機與時間是彈性的，考量教學進行或學生學習的需求，可以由教 師安排、學生選擇或師生共同協商來決定；(2)評量內容範圍是較小的，且以學生當 下的學習內容為主軸，關注於學生學習情形的瞭解；(3)評量方法是多元的，可變通 的，如測驗、觀察、作業、提問、回饋、師生對話、學生自評、同儕互評、學習檔 案及形成性地運用總結性測驗等，同樣可經由教師安排、學生選擇或師生共同協商 來決定進行評量形式；(4)評量結果著重在學生學習的診斷，故回饋是兼具有描述 性與個別化的特性，並非僅是量化的數字或等級，期待給與師生雙方有機的回應； (5)評量實施後，教師根據評量結果即時調整或改變教學，同時必須提供學生修正 與改進學習的機會，滿足學生學習的需求。 參、促進學習的形成性評量在概念教學的實踐 學生若未能充分理解前一階段的概念，或概念的建構有誤，必然對後續階段的 學習產生負向的影響(教育部，2018 )。檢視數學教學與學習成效，最常被教師使用 的是傳統的紙筆測驗，尤其是方便評分的選擇題與填充題，因其只需注意學生解題 結果的「對」或「錯」 ， 「得分」還是「扣分」即可。但透過紙筆評量後所得的量化 數據資料，是無法詳細釐清學生的學習現況，是「知其所以然」 ，還是「知其然」 ， 甚或是完全「不解」 ，更遑論提供教師瞭解學生內在想法與概念理解程度的相關資 訊。由此而知，僅是運用傳統紙筆測驗的教學評量設計，是難以產出有助於教師診 斷學生學習及判斷教學得失的有機回饋。為能讓師生的教與學從成效無法提升的 泥濘困境中脫離，於概念教學的過程中安排形成性評量是必要之舉，其目的是為了 讓教師有機會在瞭解學生既有的概念鷹架與想法後，提供學生有意義的學習回饋， 幫助學生縮短理想表現與真實表現的差距；幫助教師探尋阻礙學生學習表現的錯 誤運算技能、迷思概念，作為即時補救教學的依據。 20.
(34) 林宜臻(2002)聚焦在數學課堂中如何設計促成學生思考的形成性評量，認為數 學形成性評量試題的設計應以能促成學生對數學概念及原理原則的掌握、靈活思 考與運作為主軸；而且評量必須能提供學生進行個人思考與表達想法的機會，讓學 生得以透過理性溝通和積極討論，在互動中建構數學知識與自我修正。張景媛、鄭 章華、范德鑫和林靜君(2012)對國外學者的評量相關文獻進行分析後發現，現代數 學評量的趨勢是透過師生對話進行的動態形成性評量，評量實施的兩個關鍵成份 是「提問」與「回饋」 ，其中教師給予學生的回饋更是左右評量品質的最核心因素。 他們因此建議，教師應該在教學中不斷的以即時性的評量「嵌入」教學，並且適時 運用提問與對話，進行學生思考發展與技能學習的有效探測，檢視學生的學習進展 或概念迷思，以期促進學生的學習概念理解。 著眼於如何有效的幫助教師蒐集學生內在學習思考的重要證據，本研究在探 查諸多研究方法後，擬以放聲思考法融入形成性評量中，藉助放聲思考法能有效的 蒐集內在思維的研究效益，幫助教師瞭解學生的學習現況。除此之外，關注於學生 學習概念的澄清、修正與補救，更結合提問與對話，提供教師進行即時的教學修正 與補救時機，從而促進學生概念理解的學習，導引學生往學習目標接近，以期學生 於形成性評量後產生正向的學習改變。 肆、促進學習的形成性評量在數學教學上的相關研究 運用形成性評量可以有效的提升教師教學成效的事實早已為國內外多位學者 的研究所證明，在 Black 和 William(2010)蒐集幾近 20 年有關形成性評量對教學 成效影響的相關研究，進行分析研究後，更加證實形成性評量的價值。 在台灣博碩士論文知識加值系統中，以「形成性評量」為關鍵字，進行論文題 目與摘要內容查詢，從 2014 年到 2018 年間發現有 60 篇形成性評量運用在各領域 教學研究的相關論文。其中，與數學科教學相關的研究共有 17 篇，是各領域中數 量最多的一個科目。進一步來看，此 17 篇與形成性評量運用相關的數學教學研究 中，其研究階段皆是以國中、小學的課程為主，而屬於國小階段數學科的形成性評 21.
(35) 量教學研究佔有 14 篇，國中階段的相關研究則為少數，僅有 3 篇。黃敏晃(2019) 在「談國中、小數學課程的銜接問題」一文中指出，國小數學以配合學生的認知結 構來安排教材內容；國中教材內容則偏重數學解題和結構方式的文化傳承。在解題 方法上，國中階段是以抽象文字符號表徵來解題；國小則以圖形表徵、具體操作來 解題。解題方法不同，在邏輯與概念運用上更是截然不同。由此可見，在國中階段 的數學抽象概念教學中，運用形成性評量來幫助學生進行抽象概念建構與澄清，是 有其必要價值的。 在各領域的 60 篇形成性評量相關研究的論文內容中可發現，形成性評量的運 作策略大多數仍是形成性地運用總結性測驗的評量方式，使用書面紙筆測驗進行 評量，蒐集學生的量化成績進行分析研究。在教學活動前的評量成績，則提供研究 者預先瞭解學生的先備能力，方便教師安排、規劃教學活動；運用於教學歷程中的 評量成績，則幫助教師瞭解學生的學習狀態，再評估是否調整教學；而教學活動後 的形成性評量成績則直接成為教師教學成功與否的證據。如此看來，形成性評量的 回饋資料似乎仍僅是提供教師進行教學評估，而學生仍舊只是被研究的對象，並未 從形成形評量中得到有意義的回饋。書面紙筆測驗的形成性評量，只能呈現學生數 學解題對或錯的結果，而其內在思考的歷程或迷思概念仍不易為教師所窺見探知。 在 14 篇以國小學生為研究對象的論文中，以建構反應題進行形成性評量的教 學研究，如劉宜禎(2017)從數學任務觀點探討以建構反應題進行二年級形成性評量 之行動研究、鄧善惠(2014)以建構反應題進行國小五年級數學課室形成性評量之行 動研究等，共有 6 篇。由教師先預想學生在數學學習過程中可能的難點或迷思概 念，選取能診斷出錯誤概念的建構反應題成為學生的解題任務。先透過評量，由學 生執行解題任務後，上台發表、全班討論或教師提問，蒐集學生的解題表現資料， 進行課堂的教學活動，將評量結果回饋給學生，幫助學生澄清迷思概念。此 6 篇研 究結果皆顯示，學生的學習成效都是大為提升的。可見經由建構反應題的解題發表， 提供教師幫助學生排除學習難點或錯誤概念的阻礙，具有提升教師教學與學生學 22.
(36) 習成效的評量價值。但由於研究大多是利用課堂時間進行建構反應題的形成性評 量教學，考量若在具升學壓力下的國中階段實施可能產生以下的疑慮：(1) 提升教 學進度的壓力，同時考驗教師課程進度與教學活動進行的掌控能力；(2)學生上台 發表解題歷程時，可能受限於口語表達能力，或不知如何表達自己的想法，直接將 解題的程序按步驟說出，而缺乏實質解題概念運用的分享；(3)青春期的國中生格 外在乎同儕對自己的看法，進行全班討論時有必要營造安全且開放的氣氛，避免讓 數學學習上表現弱勢的學生在團體中被忽略或自動隱藏。 透過適切設計的評量任務，能提供學生呈現自我解題步驟與策略安排的機會， 同時也是提供教師能進一步瞭解學生內在思維與個人學習狀態的媒介。在國中教 育會考，為評量學生運用數學知識解題，以及其解題思維與理由說明的表達能力， 在數學科題本中設計有非選擇題 2～3 題。而設計非選擇題型之試題，就是以評量 國中生的數學溝通能力，以及幫助教師的教學，了解學生的數學能力表現為目的。 因此，本研究在不增加教師課堂教學進度壓力與適應國中學生學習特質的原則下， 配合課堂概念教學的進度，採擷康軒版教科書內之例行性題目進行數字或題意的 適切調整，以非選擇題的形式進行隨堂小考本測驗的形成性評量，並引以為放聲思 考的試題任務，利用課間時間進行學生概念理解與學習狀況的瞭解。即先由教師檢 核學生個人在小考本上書寫的解題情形後，依高、中、低三種成就組別，並且參考 解題書寫情形(如解題錯誤或解題策略安排模糊不清)，每組篩出選兩位學生，共六 人，利用課間時間進行解題回溯的放聲思考，以蒐集學生概念思維資料。最後，在 解題回溯放聲思考後，教師應將透過學生個人的解題、提問與對話所蒐集之迷思或 錯誤解題資料帶入班級教學中，進行班級討論，為班級學生提供形成性評量後的回 饋與教學補救，滿足學生學習需求，以期提升學習成效，並促成學生概念理解能力 之提升。. 23.
(37) 第三節 放聲思考法的理論與實務 壹、放聲思考法之意涵與特點 放聲思考法(Thinking Aloud)，也有稱為「有聲思考法」或「大聲思考法」， 是一種用以評估受測者程序知識的方法，研究數學解題歷程時經常被使用。早期， 在心理學的研究中，經常使用「內省法」(introspection ) 將被研究者的內隱思考外 在化，幫助研究的分析。後來相繼發展出「歷程追蹤法」(process tracing ) 、 「回溯 法」(retrospection ) 與「放聲思考法」的變化應用(吳和堂，1995) 。 「內省法」是鼓勵受測者描述、解釋並分析自己思維中的感受、經驗與反應， 研究者據以推論其思考歷程。採用此法進行對思維歷程的研究前，受測者必須先接 受「內省法」的訓練，練習將自己的思緒進行其中細節的解析。但由於內省法所蒐 集的資料主要來自於受測者對自己思維的再加思考、詮釋後才重新說出，容易理由 化(rationalization) 而影響研究結果的真實性與推論的適切性(顏晴榮，2007)。 「歷程 追蹤法」是研究人類選擇行為時經常採用的方法之一，以探究個體的決策行為為目 的，主要研究是追蹤分析受測者對個人內在決策運作歷程的具體描述資料 (林正昌， 1995)。 「回溯法」研究不同的是，於實驗任務完成後，受測者才以口語述說任務執 行當下的認知過程。但與內省法相同，其蒐集所得的資料，大多來自於受測者的記 憶，也容易產生過度解釋的理由化疑慮，而且在受測者回溯思考的過程中，當下的 思維與過去思緒可能產生混淆，反而增加了研究推論的瓶頸。 「放聲思考法」的普 及則是在 1960 年代訊息處理論出現之後(吳和堂，1995)。 Newell 和 Simon 從訊息處理的觀點來進行問題解決 (problem solving)的相關 研究，其關注焦點在於問題解決者隱藏於行為背後的認知歷程 (cognitive process)。 他們主張問題解決策略是由解題者以某種方式在訊息處理歷程中加以選擇並組合 而成的，而且策略的安排與選擇會隨任務特性不同而有所不同，會因情境差異而進 行調整(林正昌，1995)。並且認為以放聲思考法進行問題解決歷程的研究，所蒐集 的資料將有助於研究者對解題歷程的分析研究更深化，可以將隱藏於問題解決行 24.
(38) 為背後的複雜內在象徵機制(internal symbolic mechanisms) 加以解構，再聚焦，便 於表面化認知歷程 (Ericsson & Simon,1980；Newell & Simon,1972)。由此，對於內 在複雜認知思維的相關研究，放聲思考成為讓問題解決者將心中所想、所思的內容 或歷程說出來的常用研究方法(吳和堂，1995)。顏晴榮(2007)認為放聲思考法因為 操作的步驟簡單、獲取資料直接且即時，所以常被研究者用來提取個體認知歷程中 的內隱知識。在教育研究領域的質性研究上，教師可藉此法讓學生的認知思維呈現 出來，進一步指導學生思考與學習。針對數學解題歷程相關研究使用放聲思考法進 行，國教院「雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網」中段曉林指出，可以在施測者對 受測者提出數學問題後，要求受測者在執行解題任務時，將腦中的想法藉口語大聲 地表達出來。 放聲思考法的特點在於能透明化問題解決的複雜認知歷程，方便進行解構、聚 焦，而且在應用上有操作步驟簡單與受測者容易學習、容易配合等廣受認同的優勢 (Ericcson & Simon, 1980；Nielsen, Clemmensen & Yssing, 2002；Schoenfeld,1985； 吳和堂，1995)。本研究旨在探究教師改變評量模式後，對學生數學概念理解能力 提升的影響情形，故必須對學生思維鷹架的現況先行瞭解，若採用放聲思考將屬性 內隱的心理活動呈現、透明化(顏晴榮，2007)，可以有效的幫助教師探究學生問題 解決的內在心理活動，讓思維運作轉內在為外在，換無聲為有聲。 貳、國內放聲思考法之相關研究與應用 吳和堂(1995)從國外文獻中發現放聲思考法在研究上的應用是相當普遍的，而 研究者從國內近五年的臺灣博碩士論文中也發現了相同現象，而且採用放聲思考 法所進行的相關研究包含許多層面，如醫學、生態環保、閱讀寫作與 APP 設計等， 尤其是在新興科技產品的應用研究方面，常以放聲思考法來蒐集產品使用者的使 用習慣資訊，提供產品設計與調整的證據，以為提升使用者對產品的使用滿意度。 例如：邱郁庭(2018)以放聲思考法與訪談法，評估 AR 人臉辨識科技嵌入病人自主 法資訊網頁對相關使用人員的影響；陳政叡(2017)針對 AR 與行動電子商務的設計， 25.
(39) 以腦波儀結合放聲思考法、問卷調查，瞭解使用者操作 AR 行動電子商務的想法； 莊齊珉(2016) 在研究中邀請 12 位參與者，挑戰 4 款不同的手機遊戲，並以放聲思 考法蒐集遊戲執行者的口語資料。就國內教育研究來看，採用放聲思考法的研究數 量也是相當多，以下擬採取其中幾篇研究作爲佐證。 就研究對象而言，研究涵蓋各個學習階段的學生，以及研究生和教師。如，范 欣茹(2017)為探究研究生在數學解題的固著與變通力表現，採用放聲思考法為研究 方法之一；洪蓉宜(2017)以放聲思考進行研究，發現科學教師在進行視覺化任務時 會運用，包括提取資源、調節過程、由下而上的歸納、由上而下的演繹，和具體可 視化等五種後設視化策略；郭政良(2014)由國中數理資優生口述解排列組合題目時 的解題歷程；邱馨誼(2014)運用教學模組進行國小一年級補救教學之行動研究，以 放聲思考法進行研究資料的蒐集。 就研究領域而言，跨越數學、科學、語文閱讀與翻譯、生態環保等。如，徐金 君(2016)應用放聲思考法探討高職生之三角函數解題歷程；何惠珊(2015)使用放聲 思考來研究機器輔助人工翻譯之過程；吳芝羽(2018)則以放聲思考的方式對國小高 年級學生進行沿海濕地保育教育桌遊遊戲測試，研究學生在知識、態度、技能及學 習動機的改變。 就研究目的而言，有瞭解個體語文閱讀理解表現與策略使用狀態，數學解題歷 程與各領域的學習診斷。如，薛依寧(2015)探討閱讀策略教學對高中生英語閱讀理 解力之影響，以放聲思考法蒐集高中生的口述資料；陳妍儒(2017)使用放聲思考法 與事後晤談方式對台北市國中八年級學生的等差級數應用題之解題歷程進行分析 研究，以研究結果作為改進教學方法與實施課後輔導的依據。 在教學課堂中，教師為提升教學成效而運用不同的教學策略進行教學，再以學 生最後的評量成就進行學生學習的結論。從現代新興科技產品的開發觀點，為求更 符合消費者需求，提高產品競爭性，經常以放聲思考法蒐集消費者使用產品與使用 後的想法以進行研究分析，並且進一步將結果實際運用於後續產品或設計的修正 26.
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