本研究欲探討教師在數學推理教學及數學推理學習的信念，文獻上並沒有特 別針對數學推理來探討教與學的信念，因此，主要探討數學教學及數學學習的教 師信念為主。本節分成兩部份，第一部份為數學教師的數學教學與學習的信念，
第二部份探討教師相關信念的實徵研究。
（一）數學教學與學習信念的意涵 一、數學教師的數學信念
Ernest（1989）認為教師的數學信念實際上會融合多種不同觀點中的元素，
而將數學教師的數學信念分成三種類型，分別是問題解決觀、柏拉圖觀、工具主 義觀。
1. 問題解決觀：數學是動態的、問題導向且為人類持續探索而延伸的領域，數 學不是一個已完成的結果，他的結論仍然開放修正。
2. 柏拉圖觀：數學是靜態、由互相關聯的結構和事實組成的一致性知識，數學 是非常巨大的，但靜態永不改變的結果，是需要被探索的而不是被創造的。
3. 工具主義觀：數學是有用的，但沒有關聯的事實、規則與技巧累積而成的知 識體系。
二、數學教師的數學教學信念
Ernest（1989）的數學教學模型為一種教師在教學行為的類型以及課室活動 的範圍之概念，這概念反應出個人對於數學教學的態度。此模型包含典型的課室 教學和學習活動的心智圖像，以及在教學導向之下的規準，相關的構想如下：
1. 一個狹隘、工具主義以及基本技能類型的數學教學觀點 V.S 一個寬廣、創新 以及探索性的數學教學觀點。
2. 一個有意義、理解以及知識為一體的數學教學觀點 V.S 一個事實和技能精 熟，一個聚焦於表現以及答對率的數學教學觀點。
3. 在課程所使用的工具中：一個數學是完全嚴格地根據課本或計畫的方法 V.S
Raymond（1997）則反應出 Thompson 的觀察，數學教學可以描繪出教師如 何看待自己在教學時的角色，以及學生在學習時的角色，因此，將教師在數學教
教師同等強調記憶與理解
Kuhs & Ball（1986）以一個建構觀的數學學習信念，將數學推理教學的教師 信念分成四類，分別是以學習者為中心、以內容為中心強調概念性的理解、以內 容為中心強調表現、以及以教室為中心。
1. 以學習者為中心：
數學教學聚焦在學習者個人建構的數學知識。以學生為中心的探索及形式化 概念，這樣的教學模式對應到 Ernest（1989）的問題解決觀，視數學為動態的。
將教師視為促進者，促使學生學習，並布置有趣的問題或情境，挑戰學生的想法，
幫助他們發現自己不適當的想法。學生需對自己評斷的思想適當性負責，知識是 評估學生在建構思想及分享思想的意義方面的一致性，以及有能力去證實猜測或 為自己的結論辯護。
2. 以內容為中心強調概念性的理解：
內容引導數學教學且強調概念性的理解。數學教學自然地源自於數學概念的 本質，對應到 Ernest 的柏拉圖觀。教學是在課室活動中注重數學內容，並強調學 生對過程和概念的理解。此教學觀如同 Brownell 認為「有意義教學（meaning theory of instruction）」是強調學生對多樣數學思想中的邏輯關係，以及在數學程 序底下的邏輯和概念之理解。
3. 以內容為中心強調表現：
數學教學強調學生的表現及規則和程序的精熟。此教學觀亦以數學內容為焦 點，然而，卻以數學概念、數學學習、一般學校教育為本質，異於前兩種信念，
如同Brownell的「訓練理論（drill theory）」強調規則為所有數學知識的基礎材料，
且所有的數學行為皆為「規則決定」。數學知識能夠得到答案，並且運用規則來 解決問題是能夠學習的。至於計算的程序應該被自動化。不需要了解學生錯誤的 原因，進一步的使用正確的方法教學達到合適的學習。在學校中精熟技能是了解 數學意義的教學目標。教師角色為說明、解釋和定義那些工具，學生的角色為傾 聽並參與教學的互動（例如回答教師的問題），以及利用模仿教師或課本中的程 序來解習題或問題（Kuhs & Ball, 1986, p. 23）。
4. 以教室為中心：
數學教學是基於知識在教室中的有效性。此信念的中心概念為課室活動必頇 根據有效的教師行為加以建構並有效的組織，除此之外，此教學模式不必建立在 任何特定的理論上學習，「假設學生在清楚的課程架構及有原則的有效教學下學 習得最好」。教師在整個課室活動中，扮演積極的角色，並清楚的呈現整個課堂 或小群組中的工具，因此提供學生獨立練習的機會。相對地，學生的角色為專心 聆聽，並依循教師的指示、解答問題、以及完成任務（Kuhs & Ball, 1986, p.
26-27）。
三、數學教師的數學學習信念
Ernest（1989）的數學學習模型是由教師對於數學學習的過程之觀點所組成 的，包含學習者在學習數學時有何行為和心智活動，以及適當和典型的學習活動 的組成為何，因此，此模型是由學習活動的目標、期望、概念和圖像，以及一般 數學學習過程所組成。兩個學習數學模型範圍的主要構想如下：
1. 一個積極建構所有知識間的有意義聯結之學習觀 V.S 一個被動的接受知識之 學習觀
2. 發展學生自主以及自己對數學的興趣之學習觀 V.S 一個服從與順從的學習觀 利用以上構想，進而建構出下列精簡的數學學習模型：
學生的探索和自主尋求自己的興趣之模型
學生理解的建構和興趣驅使之模型
學生對於技巧的精通之模型
學生透過課程計畫而線性進步之模型
學生順從行為之模型
教師數學學習之模型關心學生活動的本質，以及學生所決定的角色分配，然 而，數學學習的模型在所有教育觀念型態中的教師信念扮演一個重要的角色。
Raymond（1997）根據 Underhill 的知識傳遞觀與知識理解的建構，將教師 在數學教學的信念分成五類，此五類亦相當於 Ernest 提出的六個數學學習模型中 的五種，並提出一套判別教師信念的標準：
1. 傳統觀
學生是經由教師被動的接受知識
學生獨自作業來學習數學
學生致力於反覆的練習來精熟技能
學習數學僅有一種方法
記憶和精熟演算意味著學習
學生僅從教科書及工作表中學習數學
許多學生無法學習數學
學生的數學學習僅能完全依靠教師
2. 傾向傳統觀
Ayalon & Even（2008）以半結構式訪談調查 21 位數學教育者（包括不同年 級的數學教師、課程發展者、職前或在職的師範教育者、數學教育研究員、其中
有四位非數學相關人員，但有很深的邏輯和演繹推理的知識）以數學學習的角色 來對演繹推理的發展提出各自的看法，縱使每位數學教育者都覺得發展演繹推理 為數學教學的目標之一，然而經過紮根理論的整理分析後，可歸類出三種不同的 看法，分別為介入觀（intervention view）、保留觀（reservation view）、以及自然 觀（spontaneity view）。
1. 介入觀
主張為了達到顯著的進步，必頇要在數學教學的過程中謹慎的介入。
除了將演繹推理視為一種以正規邏輯規則來作推論的行為之外，更主張 在非數學的情境中，人們使用”較輕鬆的”規則來推論。雖然這些受訪者 對學習數學可發展演繹推理皆表示肯定，卻將演繹推理這個名詞以論辯 相關的名詞取代，例如：辯證（justifying）、表達得清楚有力的主張
（articulating claims）、以及對論證的評估（evaluating arguments）等。
數學為一個適合教論辯的習慣和技巧的學科，學生可以運用在帄時的談 話中。
將發展論辯的習慣視為在教學過程中需要詳盡明確的注意力。
教師為製造氣氛來促進論證的執行及規範的重要角色。
2. 保留觀
主張學習數學可能會影響學生的演繹推理，且演繹推理的發展為數學教 育的一個重要目標。
很難指出如何達到此目標，並質疑能夠確實達到的可能性。
主張在數學內容之外，人們不會或甚至不能使用演繹推理。
對學習數學發展演繹推理，且可以在非數學的情況下使用，保持著懷疑 且保留的態度。
3. 自然觀
學習數學自然地改善學生的演繹推理，並主張不需刻意介入來達成這個 改善。
在數學和其他領域中，演繹推理為一種有系統的、一步接著一步的解決 問題方法，不必注意推論中邏輯的有效性。
做數學提供了系統化工作的經驗，必然地促進學生自發形成系統性的思 維習慣。