（一）數學推理的意涵
根據中華民國教育部國語辭典，推理是一種邏輯的思考方式，由已知或假定 的前提來推求結論，或由已知的答案結果，反求其理由根據。凡由因以求果、由 果以溯因、由現象以歸其原理、以原理說明現象等，演繹、歸納、類比的思考活 動，皆稱為「推理」。然而，數學教育學家經常使用「推理」這個名詞，卻沒有 一個明確的定義，但在一個隱含的假設下，推理的意思有一個共同協議（Yackel
& Hanna, 2003）。Lithner（2008）在任務解決之下提出的數學推理定義為一連串 的思維、思考的方式，以及產生斷言和得到結論，並不一定要基於形式上的邏輯，
因此也不受限於證明，甚至可能是不正確的，但只要推理者背後有一些合理的理 由。Russell（1999）提出數學推理在辯證、數學使用上的一般化是必要的發展。
因此，數學推理從不同角度切入會有不同的定義，但似乎皆依循著某個共同的意 涵。
從各國課綱所提到的數學推理來看，美國強調的是抽象和量化推理、以及辯 論中的推理；英國則是在探查、臆測關係與歸納、以及辯證或證明中的數學推理；
中國大陸在數學思考面向中強調觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐中發展合情 歸理和演繹推理；南韓的教育政策則是強調數學知識與經驗推理並辯證數學結果；
最後，新加坡從發展數學問題解決的能力來看，推理是其中一個重要過程。從以 上各國課綱可看出數學推理有辯證、探查、臆測、歸納、演繹推理、合情推理等 不同的面向。丹麥學者 Niss（2003）所提出的八大數學能力其中一項為「數學推 理」，強調此能力能理解別人論證的條理，並能評估論證的有效性、知道什麼是 數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同、能從論證得調理中找到基本的想法、
能將直觀論證轉化成有效的證明。Kilpatrick & Swafford & Findell（2011）提出 數學的精熟（mathematical proficiency）應包含五股能力，其中一項為適性推理
（adaptive reasoning），強調邏輯思考、反思、解釋、以及辯證等的處理能力。因 此，本研究將從不同的角度來探討數學推理的分類，以及使用的數學推理方法和 目標加以探討數學推理的本質。
（二）從論證的角度探討數學推理
根據美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]）
於 2011 年出版的《在帅稚園前至八年級之數學教學中，發展數學推理之必要的 理解》（Developing essential understanding of mathematical reasoning for teaching mathematics in prekindergarten-grade 8），在數學推理上提出一個「大構想」（The Big Idea）以及九個「必要的理解」（Essential Understanding, EU）。此大構想強 調「何謂數學推理」，而必要的理解則洞察出「何謂在帅稚園前至八年級的教學 中所必需之數學推理」，這些都是教師必頇透徹理解且靈活運用的，使得教師在 數學推理的教學上擁有高效率（Lannin, Elliott, & Ellis, 2011）。
其中大構想將數學推理的過程分成三大區塊，第一個區塊為「猜測與一般化」
（Conjecturing & Generalizing），第二個區塊為「探究為什麼」（Investigating Why），
第三個區塊為「辯證與反駁」（Justifying or Refuting）。通常推理的過程會從猜 測與一般化開始，再檢驗多樣的因素，探究為什麼猜測是有效或無效的，最後辯 證猜測的正確性或錯誤性，可能還會再回到猜測，因此，推理的過程可能在這三 個區塊之間來來回回的移動（Lannin et al., 2011），如圖 2-1。
例如：設數列<an>的遞迴關係式為 a1 =12
an = n+1n an−1 , (n ≥ 2) ，請問一般項 an為何？
此時，必頇先進行第一步驟猜測與一般化：猜測一般項 an 可能為多少，在進行 第二步驟探究為什麼：代幾項進去猜測的一般項，看看是否皆符合，最後再進行 第三步驟辯證與反駁：進而利用數學歸納法辯證所猜測的一般項在 n≧2 的整數 時，是否成立，如一般項成立，則可確認猜測無誤；如一般項不成立，則進行反 駁，可找到不符合的反例，然後再回到第一步驟重新進行猜測。
在此為了更了解多樣的數學推理面向，將大構想的三大區塊再細分為九個 EU，
而這九個 EU 有相互的關係並集結成更大的數學推理概念（Lannin et al., 2011），
如圖 2-2。以下將詳細介紹此文獻中的九個 EU：
猜測與一般化 EUs 1, 2, 3, 4
探究為什麼 EU 5
辯證與反駁 EUs 6, 7, 8, 9 圖 2-1 數學推理過程的模型（Lannin et al., 2011）
大構想
猜測與 一般化
EU1 EU2 EU3 EU4
探究
EU5
辯證與 反駁
EU6 EU7 EU8 EU9 圖 2-2 以論證的角度的數學推理架構圖
第一區塊：猜測與一般化
(1) EU1：猜測是在數學關係式中形成一些「不知道是否正確，但暫時認為是正 確」的敘述。
例如：假如將34和78相加，猜測其結果會比 2 小。
(2) EU2：(a)一般化是考慮兩個例子之間的「關係、觀念、表示式、規則、模式 或其他數學性質」找出共同特性，或(b)一般化是延伸推理至更廣的領域、
定義域或範圍。
例如：(a)比較分數條（fraction bar） 的大小。
學生將每一個分數條視為全滿的一整條中少了一塊，由目測可知，78少的那
一塊比45少的那一塊還要小，所以得知78>45。一般化 比較 的大小，也可以由此得知56> 67。
學生在這兩個例子之間的圖形表示式之變化中找到了共同特性，這裡的分數 不管是78、45、56或67皆可視為整份圖形中少了一塊，因此可由同樣的方式比 較兩圖的大小關係，故此稱為一般化。
例如：(b)由上述分數條的型式一般化 學生由圖形的表示式延伸至直接由數字 之間的關係判斷分數的大小，因此可直接說出34 >23或1011 > 109，甚至可抽象 化至「當 x>y，對所有的正整數 x, y，使得x+1x >y+1y 都成立」。
(3) EU3：一般化是藉由認定相關的領域、定義域或範圍來確認一般化的應用。
例如：「相乘使數變大」這句話在相乘的數大於 1 時是正確的，但在相乘的 數小於等於 1 時是錯誤的。所以必頇要仔細考慮一般化的範圍，以精煉出這 些敘述，使得這些敘述在更廣的範圍中皆正確。
(4) EU4：猜測和一般化的過程中，有關「名詞、符號和表示式（或圖像）」意 義的「使用和澄清」。
例如：考慮 3+5 這個表示式，一年級的學生可能會寫出 3+5=4+4。這是一個 正確的敘述，但在學生寫出此關係式前，必頇先認識「=」這個數學符號是 表示等號兩邊的量是相等的，因此學生使用「=」這個數學符號，是知道 3+5 的值和 4+4 的值是一樣多的，這個關係式才有意義。
第二區塊：探究為什麼
(5) EU5：在探究的過程中，去調查多樣的潛在因素，進而解釋為什麼一般化的 敘述為正確的或錯誤的。
例如：在未證明之前，探究可計算三角形面積之海龍公式的合理性。
海龍公式為 s s − a s − b (s − c)，其中 s 為周長的一半，所以 s、(s-a)、
(s-b)、(s-c)的單位皆為公分，所以 s s − a s − b (s − c)的結果，單位為帄 方公分，符合面積的單位，因此可初步判斷這個公式是正確的。
第三區塊：辯證與反駁
(6) EU6：數學辯證是一個基於已理解概念進行邏輯論證。
例如：為了提供有效的論證，學生必頇提供一個邏輯順序的敘述，這敘述是 建立在「已經知道是正確的」敘述、觀念或理解，去達成結論。接續上述 EU5 的例子，已初步判斷海龍公式是正確的，而在 EU6 必頇要以邏輯論證 的方式進行證明，才得以證實公式是正確的。
(7) EU7：數學反駁為說明特定敘述是錯的。
例如：如果將海龍公式寫成 s − a s − b (s − c)，則必頇提出反駁，以表 示此公式錯誤。假設一個邊長為 3、4、5 的直角三角形，面積=12× 3 × 4 = 6 ≠ 6 = 6 − 3 6 − 4 (6 − 5)，舉出一個反例來反駁公式的錯誤。
(8) EU8：辯證和反駁為評估論證的有效性。
例如：針對 EU6 正確的話就證明和 EU7 錯誤的話就給反例，要能夠區辨或 評估以上的辯證和反駁是否有效。
(9) EU9：一個有效的數學辯證在一般的敘述中，並非一個基於權威、直覺、大 眾輿論或範例的論證。
例如：到底什麼樣才算證明有效？並不是因為課本說的算或是老師說就對，
而是因為辯證的過程中有數學基礎的根據。
由以上九個 EU 組成的大構想形成了推理的過程，而在過程中不斷的在這九個 EU 中反覆進行數學推理，但此文獻較以論證的角度來探討數學推理，因此，以 下進而探討在任務解決角度中的數學推理。
（三）從任務解決的角度探討數學推理
在任務解決的角度中，分別又以任務解決的形式和任務解決的歷程來加以探 討其中的數學推理。
一、任務解決的形式
不同於論證的角度，Lithner（2000, 2006, 2008）所提出推理的架構是建立在 任務解決（Task Solving）之上，「任務」包括要求學生在教室中做的大多數工作，
例如：隨堂練習、測驗、小組工作等等。而解決數學任務可視為解決一組不同大 小和特性的子任務，假如子任務並非慣例，以下將推理描述為四個步驟：
（1）步驟一「有問題情境」：當遇到子任務時，該如何進行是不明確的。
（2）步驟二「策略的選擇」：詴著選擇一個可以解決困難的策略。
「策略的選擇」可以被『預測性的論證』支持：為什麼策略會解決此任務？
假如不會，則選擇其他策略。
（3）步驟三「策略的執行」：執行步驟二所選擇的策略。
「策略的執行」可以被『證實性論證』支持：為什麼策略能解決此任務？
假如不能，則重新回到步驟二或步驟三。
（4）步驟四「結論」：得到一個結果。
而 Lithner（2000, 2006, 2008）將數學推理的方式分成兩大類，分別是模仿 推理（Imitative reasoning, IR）以及創新推理（Creative reasoning, CR），在這兩大 類之下又再細分成數個子類別，如圖 2-4，而每一類的數學推理以不同的「策略 的選擇」和「策略的執行」描述如下：
（1）模仿推理（Imitative reasoning, IR）
（i）記憶推理（Memorised reasoning, MR）
策略的選擇：建立在從記憶中回想一個完整的答案。
例如：請敘述「虛根成對定理」。或回憶證明中的每一個步驟。
或回憶一公升等於 1000 立方公分的事實。
（ii）演算推理（Algorithmic reasoning, AR）
策略的選擇：建立在回憶一組演算規則，保證能夠得到正確的解答，可 能有很多種不同的預測性論證，但不需要去創造一個新的解法。
策略的選擇：建立在回憶一組演算規則，保證能夠得到正確的解答，可 能有很多種不同的預測性論證，但不需要去創造一個新的解法。