探討高中數學教師的數學推理信念

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：楊凱琳博士. 探討高中數學教師的數學推理信念. 研究生：劉桂安. 中華民國一百零四年六月.

(2)

(3) 致謝能夠順利地在兩年內完成論文及學業，絕非我一個人能夠達成的。首先，由衷地感謝我的指導教授楊凱琳老師。在跟隨老師的這一年當中，不僅紮實的學習到如何做一篇有質感的研究，還包括做研究的態度、嚴謹思想的廣度及深度等，都是隨著時間而慢慢累積的寶貴經驗，沒有老師的細心指導這篇論文不可能完成。感謝兩位口試委員鄭英豪老師與曹博盛老師細心地閱讀論文，並在口試期間提點個人思考不周與寫作不全的部份，得以讓我的論文更加完整。感謝論文計劃發表時的評論教授謝豐瑞老師與同為口試委員的曹博盛老師，在論文形成初期給予寶貴的意見與建議，讓論文架構能夠更完備。再來，感謝六位研究對象，願意提供課餘的時間並無私地分享寶貴的思想與經驗，得以形成整個論文的核心資料。感謝健恆、韋樺與佳陽抽空協助論文編碼的三角校正，得以提升編碼信度。感謝美倫在忙於計畫之時，還提供給我撰寫論文的寶貴意見。感謝欣怡分享搜尋文獻的秘訣，更幫我借到學校沒有的書。感謝育萍提供我關於課程比較的相關文獻及意見。感謝共同修習數學教育研究法的同學們：泳欣、梅芳、雪惠、侃君、書豪、宗儒，在不時的課堂討論中提供多元的意見。還要非常感謝陪伴我度過整個研究所期間和撰寫論文非常時期的精神夥伴：小郁和大鍋，感謝小郁陪我一起分享兩年生活的大小事物，且在我研究遇到瓶頸或最無助時給予莫大的鼓勵與最中肯的意見。感謝大鍋在撰寫論文階段陪我一起泡爛在研究室，並互相勉勵、給予正向能量，更幸運的是與你們的友誼從高中至今十年了，還能夠再更加深厚。最後，感謝我的父母與家人們無償無悔的支持，得以讓我幾經波折後完成所有學業，並朝向未來教師之路邁進。.

(4)

(5) 摘要本研究的研究目的欲探討高中數學教師對於數學推理的信念，將從數學推理的本質、教師對於數學推理的教與學的信念、以及教師對於數學推理與數學推理教學之自我效能等三個面向切入，並加以分析其中關係。本研究採取現象圖析學，此研究法主張不同的個體對於類似的經驗都有不同的體會與理解，故本研究以立意取樣選取六位經驗豐富的高中數學教師為研究對象。再利用半結構式的訪談，蒐集六位教師在數學推理的本質、數學推理的教與學的信念、以及數學推理與數學推理教學之自我效能三個面向上的論述，並透過既有文獻對數學推理的分類加以分析歸納，亦使用紮根理論進行編碼分析。第一個面向，將數學推理的本質分成三個部份加以探討，分別是四種脈絡下的類別、四種方法與兩種目標，並探討其中之交互關係。第二個面向，將數學推理教與學的信念分成兩種向度，分別是「傳遞－接受」的教學與學習觀、以及「建構－發展」的教學與學習觀。第三個面向，將數學推理與數學推理教學之自我效能分成三個層次，分別是高自我效能、中自我效能和低自我效能。資料分析結果顯示，第一個面向，六位教師在不同脈絡下的類別、方法、與目標中，以教師對於概念性質定義或公式的理解上之信念有較大之差異，亦容易造成教師對於數學推理原本的認知有所衝突。第二個面向，六位教師在教學與學習的信念中，有三位教師偏向單一向度的信念，另外三位教師呈現兩種向度混合的信念，並呈現不同信念的教學模式與學習特點。第三個面向，六位教師數學推理及其教學的自我效能皆呈現兩種不同的依據。就各面向之間的交互關係，研究者依據分析結果合理猜測，教師對於數學推理本質的信念越廣，其教與學信念偏向混合觀；教師對於數學推理教與學的信念也與其數學推理與數學推理教學時的自我效能有關。但是，教師對於數學推理的本質與其進行數學推理與數學推理教學的自我效能間較無明顯的關係。關鍵字：數學推理、教師信念、教師自我效能 i.

(6)

(7) 目錄摘要................................................................................................................................. i 目錄................................................................................................................................ii 圖目錄.......................................................................................................................... iii 表目錄........................................................................................................................... iv 第壹章緒論............................................................................................................ 1 第一節研究動機................................................................................................ 1 第二節研究目的與問題.................................................................................... 3 第三節名詞解釋................................................................................................ 4 第貳章文獻探討.................................................................................................... 5 第一節數學推理................................................................................................ 5 第二節教師的數學教學信念及學習信念...................................................... 18 第三節教師自我效能...................................................................................... 25 第參章研究方法.................................................................................................. 28 第一節研究設計.............................................................................................. 28 第二節研究對象.............................................................................................. 29 第三節研究工具.............................................................................................. 31 第四節資料的蒐集與分析.............................................................................. 35 第肆章研究結果.................................................................................................. 85 第一節數學推理的本質.................................................................................. 85 第二節數學推理的教學與學習信念............................................................ 120 第三節數學推理與數學推理的教學之自我效能........................................ 135 第四節數學推理本質、教與學的信念和自我效能交互關係.................... 144 第伍章結論與建議............................................................................................ 147 第一節結論.................................................................................................... 147 第二節建議.................................................................................................... 152 參考文獻.................................................................................................................... 153 一、中文部份.................................................................................................... 153 二、英文部份.................................................................................................... 153 附錄............................................................................................................................ 157 附錄一訪談大綱............................................................................................ 157 附錄二訪談同意書........................................................................................ 158 附錄三課本介入之參考資料........................................................................ 159 附錄四數學推理的本質之分析單位............................................................ 166 附錄五數學推理教學與學習信念之分析單位............................................ 167 附錄六數學推理與數學推理教學的自我效能之分析單位........................ 168 ii.

(8) 圖目錄圖 1-1. 新加坡的數學課程架構（Singapore Ministry of Education, 2013）. 圖圖圖圖圖. ................................................................................................................ 2 數學推理過程的模型（Lannin et al., 2011） ...................................... 7 以論證的角度的數學推理架構圖 ........................................................ 7 數學推理過程的示意圖（Lithner, 2000, 2006, 2008）..................... 11 以任務解決角度的數學推理架構圖 .................................................. 11 相互決定論中的三元交互作用（Bandura, 1978） ........................... 25. 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5. 圖 2-6 圖 3-1 圖 3-2. 自我效能訊息的主要來源，以及透過這些不同的治療模式運行的主要來源圖（Bandura,1977） ....................................................... 27 研究設計流程圖 .................................................................................. 28 數學推理本質的編碼架構圖 .............................................................. 37. 圖圖圖圖圖圖. 在概述的脈絡下之數學推理分類架構圖 .......................................... 46 在論證的脈絡下之數學推理分類架構圖 .......................................... 48 在解題脈絡下的兩種分析角度 .......................................................... 48 在解題的脈絡下，解題的形式之數學推理分類架構圖 .................. 49 在解題的脈絡下，解題的歷程之數學推理分類架構圖 .................. 49 數學推理的方法與目標之編碼 .......................................................... 50. 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8. iii.

(9) 表目錄表表表表表表表表. 2-1 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 4-1. 不同推論運作的說明（Lin & Yang, 2002） ................................... 17 研究對象基本資料 ............................................................................ 30 訪談時程 ............................................................................................ 35 每個分析單位的各編碼範例表 ........................................................ 37 數學推理本質的脈絡與類別之編碼說明 ........................................ 38 數學推理本質的方法與目標之編碼說明 ........................................ 45 數學推理教學與學習信念之編碼說明表 ........................................ 79 T1 教師在數學推理方法與目標上的次數表 ................................... 90. 表表表表. 4-2 4-3 4-4 4-5. T2 教師在數學推理方法與目標上的次數表 ................................... 92 T3 教師在數學推理方法與目標上的次數表 ................................... 94 T4 教師在數學推理方法與目標上的次數表 ................................... 95 T5 教師在數學推理方法與目標上的次數表 ................................... 97. 表表表表表表. 4-6 T6 教師在數學推理方法與目標上的次數表 ................................... 98 4-7 六位教師在數學推理方法與目標上之次數表 ................................ 99 4-8 G1 說明解釋中教師的關鍵字詞 ...................................................... 99 4-9 G2 根據已知推演中各教師的關鍵字詞 ........................................ 100 4-10 G3 探究評估預測分析中各教師的關鍵字詞 ................................ 100 4-11 G4 有關數學的內容中各教師的關鍵字詞 .................................... 101. 表 4-12. 表 4-17 表 4-18 表 4-19. 概述脈絡中的類別與數學推理方法和目標之分析單位次數關係表.................................................................................................. 101 Ar1 猜測與一般化及其表徵意義中各教師的關鍵字詞 ............... 102 Ar3 辯證與反駁中各教師的關鍵字詞 ........................................... 103 Ar4 辯證與反駁中各教師的關鍵字詞 ........................................... 104 論證脈絡中的類別與數學推理方法和目標之分析單位次數關係表.................................................................................................. 105 TSF2-1 合情推理中各教師的關鍵字詞 ......................................... 107 TSF2-2 在已確立的經驗上推理中各教師的關鍵字詞 ................. 108 解題形式中的類別與數學推理方法和目標之分析單位次數關. 表表表表. 係表.................................................................................................. 109 TSP1 了解問題中各教師的關鍵字詞 ............................................ 110 TSP2 擬定計畫中各教師的關鍵字詞 ............................................ 111 TSP3 執行計畫中各教師的關鍵字詞 ............................................ 112 TSP3-X 執行計畫有「非」數學推理的部份各教師的關鍵字詞. 表表表表. 4-13 4-14 4-15 4-16. 4-20 4-21 4-22 4-23. .......................................................................................................... 113 表 4-24 TSP4 驗算與回顧中各教師的關鍵字詞 ........................................ 113 iv.

(10) 表 4-25 表表表表. 4-26 4-27 4-28 4-29. 表表表表. 4-30 4-31 4-32 4-33. 解題歷程中的類別與數學推理方法和目標之分析單位次數關係表.................................................................................................. 114 解題的形式與歷程之間的關係表 .................................................. 114 CC1 有推理中各教師的關鍵字詞 .................................................. 116 CC2 無推理中各教師的關鍵字詞 .................................................. 117 在概念定義、性質或公式脈絡中的類別與數學推理方法和目標之分析單位次數關係表.............................................................. 117 六位教師認為各脈絡中有數學推理的分析單位個數 .................. 119 六位教師在各脈絡中的各類別之分析單位次數表 ...................... 119 六位教師的數學推理教與學的信念 .............................................. 133 六位教師進行數學推理和數學推理教學時的自我效能 .............. 143. 表 4-34 表 4-35. 數學推理本質和教與學的信念之間的關係表 .............................. 145 數學推理教與學的信念與數學推理及其教學的自我效能之間的關係表.......................................................................................... 145. 表 4-36. 數學推理本質與數學推理及其教學的自我效能之間的關係表 .. 146. v.

(11) 第壹章第一節. 緒論. 研究動機. 隨著十二年國民教育的推動，根據我國修正普通高級中學課程綱要中（教育部國民與學前教育署【教育部國教署】，2013），普通高級中學必修科目「數學」課程綱要提出的主要核心能力有七項，其中一項為推理能力：能認識證明，並進行推論。除了我國課綱之外，西方的國家中，美國《各州共同核心標準》（Common. Core State Standards [CCSS], 2010）提出八項數學實踐標準，其中第二項：兼重抽象及量化推理，第三項：建構可行的論辯並評論他人的推理，以及第八項：在反覆推理中尋找並傳達規律性。而英國的新國家數學課程規劃研究（Department for Education, 2013）公佈的新數學課程內容，也將其中一個課程目標設定在藉由一序列的探查、臆測關係與歸納，並用數學語言發展出一個論點、辯證或證明的數學化推理過程。亞洲地區的中國大陸、日本、南韓、新加坡的數學課程分別針對推理部份的闡述如下：中華人民共和國教育部（2011, p. 2-9）制定的大陸義務教育課程標準在數學課程目標中，將總目標分成四個面向，而其中的數學思考面向強調在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。日本國家數學課程（Takahashi, Watanabe & Yoshida, 2008）的中學階段課程目標也強調，在推理與做判斷時，傾向去使用數學理解、表徵與程序。南韓新數學課程（Lew, 2012）目標亦提出為了在適宜的情境中合適地使用這些工具，未來導向課程強調數學與日常生活的連結、搭配電腦科技素材的操作式活動、以及提升推理能力的辯證活動。且在南韓教育部公布的一項數學教育政策中強調推理與辯證：基於學生的數學知識與經驗推理並辯證數學結果，以提升學生與公眾社會的數學態度。最後，新加坡的課程綱要（Singapore Ministry of Education, 2013）提到，發展思維、推理、溝通、應用和後設認知技能，經由數學方法以解決問題為各階段的數學教育目標之一，新加坡各階段的數學課程架 1.

(12) 構如圖 1-1，數學學習以數學問題解決為中心，而發展數學問題解決的能力依賴五個相關的成份包括概念、技能、過程、態度和後設認知，其中推理是很重要的過程之一。信念興趣欣賞信心毅力. 數值計算代數操弄空間心像資料分析測量使用數學工具估計. 圖 1-1. 監控自我的思維學習的自我調整. 推理、溝通和連結應用和模式化思維的技能和啟發數值代數幾何統計機率分析. 新加坡的數學課程架構（Singapore Ministry of Education, 2013）. 由上述可知，各國數學課程皆顯示出數學推理的重要性，而在各國提出的數學推理當中，又可以看出數學推理本身有很多不同的面向，例如：與辯證和證明有關的推理、與數學問題解決有關的推理、合情推理和演繹推理等等。然而增加學生的推理和理解，可以幫助他們組織知識，增強數感（number sense）、增進代數的流暢性（algebraic fluency）和函數的關係（functional relationships）、幾何的推理（geometric reasoning）和統計思考（statistical thinking）上的發展（Martin et al., 2009）。十二年國教實施後，高中的課程型態也將跟著轉變，既然推理能力為其中一項欲培養的核心能力，現職的高中教師對於數學推理的看法為何？又會如何教學？既有文獻已探討許多關於數學、數學教學、數學學習，甚至於數學解題中的教師信念，但數學推理相較之下就非常少。如臺灣社會科學引文索引（Taiwan Social Sciences Citation Index，簡稱 TSSCI）中的期刊論文，自 1973 年迄今 40 2.

(13) 餘年間共有 35 篇關於教師信念的文章，其中僅有 5 篇以數學內容為主，且研究對象為國小、國中和在職進修的數學教師。由此可知，國內相對嚴謹的期刊論文甚少深入分析高中數學教師有關數學本質、數學學習與教學的信念。而在教師信念相關研究中，Ernest（1989）認為影響數學教師教學實務最主要的因素之一為教師對於數學本質、數學教學、學生數學學習的觀點。Thompson （1992）針對數學教師信念的相關研究文獻進行分析後亦提出，需針對教師的數學信念、數學教學與學習信念進行更深入的探討，以增進數學教學與學習的效果。國內較大型的研究為臺灣數學師資培育跨國研究(Taiwan TEDS-M)，其中指出我國中學數學職前教師在數學本質信念及數學學習信念的彈性非常大（唐書志與謝豐瑞，2012）。Xenofontos 與 Andrews（2014）對於數學解題的教師信念研究，將教師自我效能列入欲探討的信念向度之一。許多高中數學老師認為在數學教學與學習過程中公式推導相當重要，但我們仍不確定教師所認為的數學推理會不會只著重在公式的推導或定理證明。因此，本研究欲針對高中數學教師對於數學推理的本質、教師對於數學推理的教與學以及教師的自我效能進行深入的探討。. 第二節. 研究目的與問題. 基於以上研究動機，本研究的主要目的為探討高中數學教師對於數學推理的本質、數學推理教與學的信念，以及教師在數學推理和數學推理教學的自我效能。具體而言，本研究的研究問題有下列四項：. 一、高中數學教師認為何謂數學推理？二、高中數學教師認為數學推理如何教與學？三、高中數學教師對自己進行數學推理與數學推理教學之自我效能為何？四、上述三個信念之間的交互關係為何？. 3.

(14) 第三節. 名詞解釋. 一、數學推理（mathematical reasoning）基於已知的訊息，經過與數學有關的轉化過程後，得到新的訊息，稱為數學推理。此轉化過程包含演繹、歸納、類比、隱喻、觀察、預測、直覺等（Lin & Yang, 2002）。由於數學推理型式的多樣化，本研究將針對高中數學教師加以深入探討其認為的數學推理本質、教師在數學推理教與學之信念為何。. 二、自我效能（self-efficacy）社會認知論學者 Bandura（1978）認為自我效能是個人對於自己能否成功地因應特殊情境的自覺。本研究中的自我效能針對教師對於自己在進行數學推理與數學推理教學時的能力之自我評估，及其評估的依據。. 4.

(15) 第貳章. 文獻探討. 本研究主要探討高中教師的數學推理信念，因此，研究者根據文獻加以探討數學推理之相關研究，從不同的角度瞭解數學推理的面向，作為日後資料分析的依據。接著討論數學教師相關信念，並參考數學教師信念之實徵研究，進而發展出本研究之訪談架構。最後，藉由教師自我效能之相關研究，探討教師在數學推理和數學推理教學時的自我評估，分別與教師在數學推理和數學推理教學的信念之相關情形。故本章共分為三節：第一節為數學推理，內容包含（一）數學推理的意涵，（二）從論證的角度探討數學推理，（三）從任務解決的角度探討數學推理，（四）從不同方法的使用探討數學推理。第二節為數學教師信念，內容包含（一）數學教師相關信念，（二）數學教師信念之實徵研究。第三節為自我效能，內容包含（一）自我效能的意涵，（二）教師自我效能之實徵研究。. 第一節. 數學推理. （一）數學推理的意涵根據中華民國教育部國語辭典，推理是一種邏輯的思考方式，由已知或假定的前提來推求結論，或由已知的答案結果，反求其理由根據。凡由因以求果、由果以溯因、由現象以歸其原理、以原理說明現象等，演繹、歸納、類比的思考活動，皆稱為「推理」。然而，數學教育學家經常使用「推理」這個名詞，卻沒有一個明確的定義，但在一個隱含的假設下，推理的意思有一個共同協議（Yackel & Hanna, 2003）。Lithner（2008）在任務解決之下提出的數學推理定義為一連串的思維、思考的方式，以及產生斷言和得到結論，並不一定要基於形式上的邏輯，因此也不受限於證明，甚至可能是不正確的，但只要推理者背後有一些合理的理由。Russell（1999）提出數學推理在辯證、數學使用上的一般化是必要的發展。因此，數學推理從不同角度切入會有不同的定義，但似乎皆依循著某個共同的意涵。 5.

(16) 從各國課綱所提到的數學推理來看，美國強調的是抽象和量化推理、以及辯論中的推理；英國則是在探查、臆測關係與歸納、以及辯證或證明中的數學推理；中國大陸在數學思考面向中強調觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐中發展合情歸理和演繹推理；南韓的教育政策則是強調數學知識與經驗推理並辯證數學結果；最後，新加坡從發展數學問題解決的能力來看，推理是其中一個重要過程。從以上各國課綱可看出數學推理有辯證、探查、臆測、歸納、演繹推理、合情推理等不同的面向。丹麥學者 Niss（2003）所提出的八大數學能力其中一項為「數學推理」，強調此能力能理解別人論證的條理，並能評估論證的有效性、知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同、能從論證得調理中找到基本的想法、能將直觀論證轉化成有效的證明。Kilpatrick & Swafford & Findell（2011）提出數學的精熟（mathematical proficiency）應包含五股能力，其中一項為適性推理（adaptive reasoning），強調邏輯思考、反思、解釋、以及辯證等的處理能力。因此，本研究將從不同的角度來探討數學推理的分類，以及使用的數學推理方法和目標加以探討數學推理的本質。. （二）從論證的角度探討數學推理根據美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]）於 2011 年出版的《在帅稚園前至八年級之數學教學中，發展數學推理之必要的理解》（Developing essential understanding of mathematical reasoning for teaching mathematics in prekindergarten-grade 8），在數學推理上提出一個「大構想」（The Big Idea）以及九個「必要的理解」（Essential Understanding, EU）。此大構想強調「何謂數學推理」，而必要的理解則洞察出「何謂在帅稚園前至八年級的教學中所必需之數學推理」，這些都是教師必頇透徹理解且靈活運用的，使得教師在數學推理的教學上擁有高效率（Lannin, Elliott, & Ellis, 2011）。其中大構想將數學推理的過程分成三大區塊，第一個區塊為「猜測與一般化」（Conjecturing & Generalizing），第二個區塊為「探究為什麼」（Investigating Why）， 6.

(17) 第三個區塊為「辯證與反駁」（Justifying or Refuting）。通常推理的過程會從猜測與一般化開始，再檢驗多樣的因素，探究為什麼猜測是有效或無效的，最後辯證猜測的正確性或錯誤性，可能還會再回到猜測，因此，推理的過程可能在這三個區塊之間來來回回的移動（Lannin et al., 2011），如圖 2-1。 1. 例如：設數列<an>的遞迴關係式為. a1 = 2. ，請問一般項 an 為何？ n an = n+1 an−1 , (n ≥ 2). 此時，必頇先進行第一步驟猜測與一般化：猜測一般項 an 可能為多少，在進行第二步驟探究為什麼：代幾項進去猜測的一般項，看看是否皆符合，最後再進行第三步驟辯證與反駁：進而利用數學歸納法辯證所猜測的一般項在 n≧2 的整數時，是否成立，如一般項成立，則可確認猜測無誤；如一般項不成立，則進行反駁，可找到不符合的反例，然後再回到第一步驟重新進行猜測。猜測與一般化 EUs 1, 2, 3, 4. 圖 2-1. 探究為什麼. 辯證與反駁. EU 5. EUs 6, 7, 8, 9. 數學推理過程的模型（Lannin et al., 2011）. 在此為了更了解多樣的數學推理面向，將大構想的三大區塊再細分為九個 EU，而這九個 EU 有相互的關係並集結成更大的數學推理概念（Lannin et al., 2011），如圖 2-2。以下將詳細介紹此文獻中的九個 EU：大構想. 猜測與一般化. 探究. EU1 EU2 EU3 EU4 EU5 圖 2-2. 以論證的角度的數學推理架構圖 7. 辯證與反駁 EU6 EU7 EU8 EU9.

(18) 第一區塊：猜測與一般化 (1) EU1：猜測是在數學關係式中形成一些「不知道是否正確，但暫時認為是正確」的敘述。 3. 7. 例如：假如將4 和 8相加，猜測其結果會比 2 小。 (2) EU2：(a)一般化是考慮兩個例子之間的「關係、觀念、表示式、規則、模式或其他數學性質」找出共同特性，或(b)一般化是延伸推理至更廣的領域、定義域或範圍。例如：(a)比較分數條（fraction bar）. 的大小。 7. 學生將每一個分數條視為全滿的一整條中少了一塊，由目測可知，8少的那 4. 7. 4. 一般化. 一塊比5少的那一塊還要小，所以得知8 > 5。 5. 比較. 6. 的大小，也可以由此得知6 > 7。學生在這兩個例子之間的圖形表示式之變化中找到了共同特性，這裡的分數 7. 4. 5. 6. 不管是8 、 5 、 6 或 7皆可視為整份圖形中少了一塊，因此可由同樣的方式比較兩圖的大小關係，故此稱為一般化。例如：(b)由上述分數條的型式. 一般化. 學生由圖形的表示式延伸至直接由數字 3. 2. 10. 9. 之間的關係判斷分數的大小，因此可直接說出4 > 3 或 11 > 10 ，甚至可抽象 x. y. 化至「當 x>y，對所有的正整數 x, y，使得x+1 > y+1都成立」。 (3) EU3：一般化是藉由認定相關的領域、定義域或範圍來確認一般化的應用。例如：「相乘使數變大」這句話在相乘的數大於 1 時是正確的，但在相乘的數小於等於 1 時是錯誤的。所以必頇要仔細考慮一般化的範圍，以精煉出這些敘述，使得這些敘述在更廣的範圍中皆正確。. 8.

(19) (4) EU4：猜測和一般化的過程中，有關「名詞、符號和表示式（或圖像）」意義的「使用和澄清」。例如：考慮 3+5 這個表示式，一年級的學生可能會寫出 3+5=4+4。這是一個正確的敘述，但在學生寫出此關係式前，必頇先認識「=」這個數學符號是表示等號兩邊的量是相等的，因此學生使用「=」這個數學符號，是知道 3+5 的值和 4+4 的值是一樣多的，這個關係式才有意義。第二區塊：探究為什麼 (5) EU5：在探究的過程中，去調查多樣的潛在因素，進而解釋為什麼一般化的敘述為正確的或錯誤的。例如：在未證明之前，探究可計算三角形面積之海龍公式的合理性。海龍公式為 s s − a s − b (s − c)，其中 s 為周長的一半，所以 s、(s-a)、 (s-b)、(s-c)的單位皆為公分，所以 s s − a s − b (s − c)的結果，單位為帄方公分，符合面積的單位，因此可初步判斷這個公式是正確的。第三區塊：辯證與反駁 (6) EU6：數學辯證是一個基於已理解概念進行邏輯論證。例如：為了提供有效的論證，學生必頇提供一個邏輯順序的敘述，這敘述是建立在「已經知道是正確的」敘述、觀念或理解，去達成結論。接續上述 EU5 的例子，已初步判斷海龍公式是正確的，而在 EU6 必頇要以邏輯論證的方式進行證明，才得以證實公式是正確的。 (7) EU7：數學反駁為說明特定敘述是錯的。例如：如果將海龍公式寫成. s − a s − b (s − c)，則必頇提出反駁，以表 1. 示此公式錯誤。假設一個邊長為 3、4、5 的直角三角形，面積= 2 × 3 × 4 = 6 ≠ 6=. 6 − 3 6 − 4 (6 − 5)，舉出一個反例來反駁公式的錯誤。. 9.

(20) (8) EU8：辯證和反駁為評估論證的有效性。例如：針對 EU6 正確的話就證明和 EU7 錯誤的話就給反例，要能夠區辨或評估以上的辯證和反駁是否有效。 (9) EU9：一個有效的數學辯證在一般的敘述中，並非一個基於權威、直覺、大眾輿論或範例的論證。例如：到底什麼樣才算證明有效？並不是因為課本說的算或是老師說就對，而是因為辯證的過程中有數學基礎的根據。由以上九個 EU 組成的大構想形成了推理的過程，而在過程中不斷的在這九個 EU 中反覆進行數學推理，但此文獻較以論證的角度來探討數學推理，因此，以下進而探討在任務解決角度中的數學推理。. （三）從任務解決的角度探討數學推理在任務解決的角度中，分別又以任務解決的形式和任務解決的歷程來加以探討其中的數學推理。一、任務解決的形式不同於論證的角度，Lithner（2000, 2006, 2008）所提出推理的架構是建立在任務解決（Task Solving）之上，「任務」包括要求學生在教室中做的大多數工作，例如：隨堂練習、測驗、小組工作等等。而解決數學任務可視為解決一組不同大小和特性的子任務，假如子任務並非慣例，以下將推理描述為四個步驟：（1）步驟一「有問題情境」：當遇到子任務時，該如何進行是不明確的。（2）步驟二「策略的選擇」：詴著選擇一個可以解決困難的策略。「策略的選擇」可以被『預測性的論證』支持：為什麼策略會解決此任務？假如不會，則選擇其他策略。（3）步驟三「策略的執行」：執行步驟二所選擇的策略。「策略的執行」可以被『證實性論證』支持：為什麼策略能解決此任務？假如不能，則重新回到步驟二或步驟三。 10.

(21) （4）步驟四「結論」：得到一個結果。其中，「策略」的範圍從局部的步驟到普遍的方法皆可，「選擇」為一個廣泛的意思，例如：選擇、回憶、建構、發現、推測等等。推理的過程可表示成下圖 2-3，點 vi 表示知識或子任務短暫的狀態，推理者在點 vi 中做策略的選擇，然後根據選擇的策略進行 ei, j 策略的執行，ei, j 可視為從點 vi 至點 vj 之間所執行的策略，其中推理的動機為保持點和點之間的轉換，然而任務被分成許多子任務，且透過策略的選擇和執行後，最後得到結論，則可解決此任務。因此，在任務的解決之中，需要經過一連串的數學推理過程。可能的結論. 任務. 圖 2-3. 數學推理過程的示意圖（Lithner, 2000, 2006, 2008）. 而 Lithner（2000, 2006, 2008）將數學推理的方式分成兩大類，分別是模仿推理（Imitative reasoning, IR）以及創新推理（Creative reasoning, CR），在這兩大類之下又再細分成數個子類別，如圖 2-4，而每一類的數學推理以不同的「策略的選擇」和「策略的執行」描述如下：模仿推理. 創新推理. IR. CR. 記憶推理 MR. 演算推理. 合情推理. AR. PR. 在已確立的經驗上推理 EE. 圖 2-4. 以任務解決角度的數學推理架構圖. （1）模仿推理（Imitative reasoning, IR）（i）記憶推理（Memorised reasoning, MR）策略的選擇：建立在從記憶中回想一個完整的答案。策略的執行：只需將答案寫下來。 11.

(22) 例如：請敘述「虛根成對定理」。或回憶證明中的每一個步驟。或回憶一公升等於 1000 立方公分的事實。（ii）演算推理（Algorithmic reasoning, AR）策略的選擇：建立在回憶一組演算規則，保證能夠得到正確的解答，可能有很多種不同的預測性論證，但不需要去創造一個新的解法。策略的執行：只要執行演算，剩下的推理部份對推理者而言是顯然的，只有粗心的錯誤才得不到答案。例如：運用公式來解一元二次方程式的解。雖然他的過程很短，而且是從記憶中去延伸，但不同步驟之間的順序是重要的。因此「順序性」為 MR 和 AR 的區別。（2）創新推理（Creative reasoning, CR）此推理在解答最後的結論時，可被公式化成一個「根據事實的敘述」，對推理者來說CR為一連串「新的」解答推理，容許用不同的方法和情境的適應，並且在策略的選擇或策略的執行中都有理由來支持論證。CR滿足以下三個準則： . 新穎性：創造／重創一個對推理者而言為新的／已遺忘的推理順序。. . 合理性：有論證支持的策略選擇或策略執行，促使結論為真的或合理的。. . 數學的根據：論證被支撐在含有推理成份的固有數學性質上。. 因此，可再將創新推理（CR）分成合情推理（PR）和在已確立的經驗上推理（EE）。（i）合情推理（Plausible reasoning, PR）建立在數學性質上的推理。意圖引導至「什麼可能是真的」，不必是完整或正確的。例如：T 是一個計算極大值的題目，應該如何解 T 呢？策略的選擇：假設函數圖形有峰也有谷，極大值會在峰頂，而峰頂的切線斜率為零，此斜率可表示為導數，所以要解 T 只需檢查在 f´(x)=0 的點即可。策略的執行和結論：當解決任務者熟悉這個程序，則可直接結束。 12.

(23) （ii）在已確立的經驗上推理（Reasoning based on established experiences, EE）建立在「已確立在個人先前學習環境中之經驗」的概念和程序為基礎。意圖引導至「什麼可能是真的」，不必是完整或正確的。例如：T 是一個計算極大值的題目，應該如何解 T 呢？策略的選擇：在我曾經解過的題目中，要求極大值的解法皆為「找出 f´(x)=0 在何處」。所以找 f´(x)在何處為 0 就可解出 T。策略的執行和結論：當解決任務者熟悉這個程序，則可直接結束。 PR 和 EE 的區別為 EE 為建立在學習環境的經驗上，而並非像 PR 只建立在數學性質的成分上。以上是從解決任務的方式區分出不同的數學推理類型，接下來，將以任務解決的歷程來區分不同類型的數學推理。二、任務解決的歷程 Polya（2006）在「怎樣解題」一書中提到整個解題的歷程必需經過四個主要的階段，分別是了解問題、擬定計畫、執行計畫和驗算與回顧。第一階段「了解問題」必頇很清楚的知道，什麼是我們要尋找的答案，其中所牽涉到的數學推理為猜測暫時的答案、了解或使用符號與記法等，第二階段「擬定計畫」必頇了解問題裡存在的各種關係或考慮類似的問題，例如已知數和未知數間的關係，並據此擬定一個計畫，其中牽涉到的數學推理為歸納、類比、一般化、特殊化、分解與重組等，第三階段「執行計畫」確實動手執行所擬定的計畫，其中牽涉到的數學推理為證實或檢驗正確性等，第四階段「驗算與回顧」回顧整個解答過程，驗算答案並討論它的意義，其中牽涉到的數學推理為探討合理性及有效性或做更進一步的應用推廣等。以下將詳細介紹每一階段中的數學推理。（1）第一階段「了解問題」中的數學推理：猜測暫時的答案：在解題之初，除了知道什麼是已知數、未知數以及條件之外，還可以進一步的思考題目所給的條件是否足以決定未知數？條件是否不夠？太多？抑或是矛盾？這時還不需最終的答案，只是一個暫時性的答案或猜測就夠了。這樣的提問也許能夠提高我們對問題的興趣，有助於解題（Polya, 2006）。 13.

(24) 符號與記號的了解與使用：數學的符號與記號相當於一種數學語言，而圖形和符號與數學思考推理的關係非常密切（Polya, 2006）。因此，要在解題之初選定合適的符號和記號，以利了解問題進而加以推理。（2）第二階段「擬定計畫」中的數學推理：歸納：藉由觀察發現隱藏在背後的規律性與一致性，最常見的工具為一般化、特殊化與類比。詴著從觀察到的現象，尋找類比關係或檢驗更多的特殊例子，而逐步提出一些詴驗性、暫時性的一般化規律。很多創造或發現新數學的過程，都是透過歸納而來的，最後還需經過嚴謹而有系統的證明來判斷真偽（Polya, 2006）。類比：互相可類比的兩物體間，從某方面看來具有一致性。類比推理提供些許合理臆測，在經驗或嚴格的推理檢驗之後，這些臆測可能正確也可能錯誤（Polya, 2006）。因此，在擬定計畫的過程中，可運用類比的方式推理，找尋相似的題型或相關條件，加以進行解題。一般化：藉由將考慮的範圍擴大，從原本的某個對象或集合，擴大到另一組包含此對象或集合之更大的對象或集合上（Polya, 2006）。因此，在擬定計畫的過程中，以一般化的方式推理，有利於從更大的對象或集合中找到解題的線索。特殊化：把對某一集合中的對象之考量，移到對其中一個較小的集合，或只是某個單一對象上，以利於找出問題的解。因此，在擬定計畫的過程中，利用一個較簡單、較單純、較特殊的輔助問題當作跳板，來解決一個較困難、較複雜、一般的原始問題（Polya, 2006）。分解與重組：將問題或已知條件拆解成數個較小的問題或部份，從這些問題或部份中，再去審視進一步的細節，之後詴著以新的方式將這些細節組合起來，重新拼裝成一個比較容易求解的問題，或是輔助問題（Polya, 2006）。因此，在擬定計畫的過程中，不斷的將原本的問題拆解，以審視較小的細節或特徵後，再使用一些方法將它重組成較簡單、較單純的新問題後加以解題。. 14.

(25) （3）第三階段「執行計畫」中的數學推理：證實或檢驗正確性：在執行計畫的過程中，逐步檢驗或證實先前的猜測或暫時的答案，必頇確認每一步驟皆是正確無誤的，進而確實執行所擬定的計畫，以致最終的正確答案。（4）第四階段「驗算與回顧」中的數學推理：探討合理性及有效性：在得到正確答案之後，需再探討其結果之合理性和有效性，重新思索解題的過程是否能夠精簡或修正，使其更加融入先前學過的知識體系中。更進一步的應用推廣：在得到正確答案之後，重新審視求解的方法，找出其意義，並使其得以應用推廣到別的問題上。以上從 Lithner 任務解決的形式及 Polya 任務解決的歷程中探討數學推理的類型，接下來，將從邏輯推理的角度探討數學推理的方法。. （四）從不同方法的使用探討數學推理根據 Peirce（1878a, 1878b）、Ho（1994）和 Niiniluoto（1999）對於邏輯推理的分類整理可將數學推理的方法分成三種，分別是演繹推理（deduction）、歸納推理（induction）、和溯因推理（abduction or hypothesis）。 Peirce（1878b）對於三種邏輯推理方法說明舉例如下：（1）演繹推理是從「規則」和「前提」推論出「結果」。例如：「規則」：袋子中的豆子全都是白色的「前提」：這些豆子是從袋子中取出的 ∴「結果」：這些豆子是白色的（2）歸納推理是從「前提」和「結果」推論出「規則」。例如：這些豆子是從袋子中取出的這些豆子是白色的 ∴袋子中的豆子全都是白色的 15.

(26) （3）溯因推理是從「規則」和「結果」推論出「前提」。例如：袋子中的豆子全都是白色的這些豆子是白色的 ∴這些豆子是從袋子中取出的（Peirce, 1878b） Ho（1994）除了討論這三種邏輯推理方法外，更進一步分析 Peirce 邏輯系統的優缺點，如下：（1）演繹推理：第一，演繹推理無法探索新的知識，因為其結論已隱含在前提之中。第二，使用演繹方法推論，無法具體說明前提是必要條件或充分條件或是充要條件，例如：在做正確的選擇時，合理性是必要條件，但不是充分條件。第三，演繹推理容易出錯，因為我們無法邏輯地證明所有前提都是真的，例如：幾何上的規則，所有三角形的內角和都是 180 度，當前提從二維空間延伸到三維空間時，這個演繹的結果就會是錯的。（2）歸納推理：第一，歸納推理在無窮的時間下是不確定的，因為在無窮的時間下，總是會有新的案例或現象發生。第二，歸納推理在單一案例中是不可定義的。第三，歸納推理產生的是經驗上的法則而不是理論上的法則。第四，歸納推理是根據一般性和龐大數量的法則。（3）溯因推理：第一，溯因推理並非代表性的邏輯，而是批判性的思考。第二，溯因推理是一種假設的產生，這樣的一個探究過程適用於資料的分析，並非詴驗每個案例，而是利用觀察、預測、直覺找出最合理的。第三，溯因推理並非輕率的判斷，而是適當的分類。 Lin & Yang（2002）則在「原有資訊在經過推理的運作後，得到新的資訊」論證的理論架構上，針對這三種推理的運作給予詳細說明，如下表 2-1：. 16.

(27) 表 2-1. 不同推論運作的說明（Lin & Yang, 2002）. 推論的運作. 資訊. 推論的方式. 新資訊. 功能. 演繹推理. 給定假設和必需的結果. 演繹規則. 被反駁或被證明的命題. 證實一個猜測. 歸納推理. 特定的例子. 類比、一般化. 可能的模式. 延伸一個結論猜測一個模式. 溯因推理. 類比、可見的觀察、潛意識、推理（轉換）、創新的概念證據（跡象）洞悉. 以一個創新的假設去解釋出乎意料的證據以及激發未來行動的方向. 綜合以上文獻，且本研究中的任務解決以解題為主，因此，將從論證、解題的形式、解題的歷程、以及邏輯推理中的數學推理方法等不同的角度來分析數學教師的對於數學推理的看法，並擷取文獻中對於數學推理的分類加以整理修改後，以形成本研究的編碼操作型定義，做為資料分析的依據。. 17.

(28) 第二節. 教師的數學教學信念及學習信念. 本研究欲探討教師在數學推理教學及數學推理學習的信念，文獻上並沒有特別針對數學推理來探討教與學的信念，因此，主要探討數學教學及數學學習的教師信念為主。本節分成兩部份，第一部份為數學教師的數學教學與學習的信念，第二部份探討教師相關信念的實徵研究。（一）數學教學與學習信念的意涵一、數學教師的數學信念 Ernest（1989）認為教師的數學信念實際上會融合多種不同觀點中的元素，而將數學教師的數學信念分成三種類型，分別是問題解決觀、柏拉圖觀、工具主義觀。 1. 問題解決觀：數學是動態的、問題導向且為人類持續探索而延伸的領域，數學不是一個已完成的結果，他的結論仍然開放修正。 2. 柏拉圖觀：數學是靜態、由互相關聯的結構和事實組成的一致性知識，數學是非常巨大的，但靜態永不改變的結果，是需要被探索的而不是被創造的。 3. 工具主義觀：數學是有用的，但沒有關聯的事實、規則與技巧累積而成的知識體系。. 二、數學教師的數學教學信念 Ernest（1989）的數學教學模型為一種教師在教學行為的類型以及課室活動的範圍之概念，這概念反應出個人對於數學教學的態度。此模型包含典型的課室教學和學習活動的心智圖像，以及在教學導向之下的規準，相關的構想如下： 1. 一個狹隘、工具主義以及基本技能類型的數學教學觀點 V.S 一個寬廣、創新以及探索性的數學教學觀點。 2. 一個有意義、理解以及知識為一體的數學教學觀點 V.S 一個事實和技能精熟，一個聚焦於表現以及答對率的數學教學觀點。 18.

(29) 3. 在課程所使用的工具中：一個數學是完全嚴格地根據課本或計畫的方法 V.S 一個教師補充或使課本充滿額外的問題或活動的方法 V.S 一個教師或學校自編的數學課程工具。利用以上構想，進而建構出下列六個精簡的數學教學模型：     . 探究解題導向解題中豐富概念理解概念性理解導向精熟技能和事實的概念理解精熟的技能和事實. . 度日子求生存. Raymond（1997）則反應出 Thompson 的觀察，數學教學可以描繪出教師如何看待自己在教學時的角色，以及學生在學習時的角色，因此，將教師在數學教學的信念分成五類，此五類亦相當於 Ernest 提出的六個數學教學模型中的五種，並提出一套判別教師信念的標準： 1. 傳統觀 . 教師的角色為授課並提供數學知識.        . 教師的角色為指派個人作業教師尋求「正確答案」並不必關心其解釋教師每次獨自處理數學主題教師強調技巧和事實的精熟與記憶教師的教學僅使用教科書課程的計畫和執行皆為明確無偏離的教師僅透過標準測驗及考詴來評量學生每日皆依循著相同的課程及活動. 2. 傾向傳統觀     . 教師的角色傾向提供知識教師傾向強調正確答案更甚於過程教師強調記憶更甚於理解教師傾向傾向於使用教科數教學（並無排他）教師包含有限的問題解決的機會. 3. 兼具傳統觀與非傳統觀  . 教師的課堂教學包含多樣的數學任務教師同等重視結果與過程 19.

(30) . 教師同等強調記憶與理解.     . 教師花費同等的時間在當一個知識提拱者與促進者課程的計畫在時間方面很明確，而在其他方面很彈性教師以等量的讓學生小組合作和獨立進行教師等量使用教科書和問題解決活動教師讓學生不僅享受數學更看見其有用之處. 4. 傾向非傳統觀   . 教師傾向於促進者和引導者，並有少量授課教師重視過程比結果多一些教師強調理解更甚於記憶.  . 教師使問題解決成為課堂中不可或缺的教師有限度的使用教科書. 5. 非傳統觀       . 教師的角色為引導學習且佈置挑戰題教師的角色為促進知識的分享教師清楚的重視過程多於結果教師教學時，並不會依循教科書教師僅提供問題解決和操作導向的活動教師並不會設計明確和沒有彈性的課程教師經常讓學生小組合作學習.  . 教師促使學生的主動性教師幫助學生喜歡且重視數學. Kuhs & Ball（1986）以一個建構觀的數學學習信念，將數學推理教學的教師信念分成四類，分別是以學習者為中心、以內容為中心強調概念性的理解、以內容為中心強調表現、以及以教室為中心。 1. 以學習者為中心：數學教學聚焦在學習者個人建構的數學知識。以學生為中心的探索及形式化概念，這樣的教學模式對應到 Ernest（1989）的問題解決觀，視數學為動態的。將教師視為促進者，促使學生學習，並布置有趣的問題或情境，挑戰學生的想法，幫助他們發現自己不適當的想法。學生需對自己評斷的思想適當性負責，知識是評估學生在建構思想及分享思想的意義方面的一致性，以及有能力去證實猜測或為自己的結論辯護。 20.

(31) 2. 以內容為中心強調概念性的理解：內容引導數學教學且強調概念性的理解。數學教學自然地源自於數學概念的本質，對應到 Ernest 的柏拉圖觀。教學是在課室活動中注重數學內容，並強調學生對過程和概念的理解。此教學觀如同 Brownell 認為「有意義教學（meaning theory of instruction）」是強調學生對多樣數學思想中的邏輯關係，以及在數學程序底下的邏輯和概念之理解。 3. 以內容為中心強調表現：數學教學強調學生的表現及規則和程序的精熟。此教學觀亦以數學內容為焦點，然而，卻以數學概念、數學學習、一般學校教育為本質，異於前兩種信念，如同Brownell的「訓練理論（drill theory）」強調規則為所有數學知識的基礎材料，且所有的數學行為皆為「規則決定」。數學知識能夠得到答案，並且運用規則來解決問題是能夠學習的。至於計算的程序應該被自動化。不需要了解學生錯誤的原因，進一步的使用正確的方法教學達到合適的學習。在學校中精熟技能是了解數學意義的教學目標。教師角色為說明、解釋和定義那些工具，學生的角色為傾聽並參與教學的互動（例如回答教師的問題），以及利用模仿教師或課本中的程序來解習題或問題（Kuhs & Ball, 1986, p. 23）。 4. 以教室為中心：數學教學是基於知識在教室中的有效性。此信念的中心概念為課室活動必頇根據有效的教師行為加以建構並有效的組織，除此之外，此教學模式不必建立在任何特定的理論上學習，「假設學生在清楚的課程架構及有原則的有效教學下學習得最好」。教師在整個課室活動中，扮演積極的角色，並清楚的呈現整個課堂或小群組中的工具，因此提供學生獨立練習的機會。相對地，學生的角色為專心聆聽，並依循教師的指示、解答問題、以及完成任務（Kuhs & Ball, 1986, p. 26-27）。. 21.

(32) 三、數學教師的數學學習信念 Ernest（1989）的數學學習模型是由教師對於數學學習的過程之觀點所組成的，包含學習者在學習數學時有何行為和心智活動，以及適當和典型的學習活動的組成為何，因此，此模型是由學習活動的目標、期望、概念和圖像，以及一般數學學習過程所組成。兩個學習數學模型範圍的主要構想如下： 1. 一個積極建構所有知識間的有意義聯結之學習觀 V.S 一個被動的接受知識之學習觀 2. 發展學生自主以及自己對數學的興趣之學習觀 V.S 一個服從與順從的學習觀利用以上構想，進而建構出下列精簡的數學學習模型： . 學生的探索和自主尋求自己的興趣之模型.    . 學生理解的建構和興趣驅使之模型學生對於技巧的精通之模型學生透過課程計畫而線性進步之模型學生順從行為之模型. 教師數學學習之模型關心學生活動的本質，以及學生所決定的角色分配，然而，數學學習的模型在所有教育觀念型態中的教師信念扮演一個重要的角色。. Raymond（1997）根據 Underhill 的知識傳遞觀與知識理解的建構，將教師在數學教學的信念分成五類，此五類亦相當於 Ernest 提出的六個數學學習模型中的五種，並提出一套判別教師信念的標準： 1. 傳統觀 . 學生是經由教師被動的接受知識.       . 學生獨自作業來學習數學學生致力於反覆的練習來精熟技能學習數學僅有一種方法記憶和精熟演算意味著學習學生僅從教科書及工作表中學習數學許多學生無法學習數學學生的數學學習僅能完全依靠教師. 22.

(33) 2. 傾向傳統觀      . 學生傾向致力於練習來精熟記能學習成效的驗證主要是由記憶和精熟演算相較於學生，教師有更多的學習責任數學學習傾向於從教科書及工作表學生以獨立作業為主學生傾向於被動的學習者，偶爾提出問題. 3. 兼具傳統觀與非傳統觀  . 學生應該同時透過問題解決與教科書來學習數學學生應該同時理解以及精熟技能和演算.   . 學生應該同量的獨立作業以及小組合作學習數學的方法不只一種大多數的學生能夠學習數學.   . 學習數學同時是學生和老師的責任努力嘗詴可能會幫助數學學習，且與天生的一樣好反覆的練習可能會幫助數學的學習，且藉由探索的結果擁有洞察力. 4. 傾向非傳統觀  . 學生傾向於透過問題解決的任務來學習數學學生傾向於與其他學生合作來學習數學.   . 驗證學習成效是透過解釋理解的能力，並非透過熟練的執行演算與記憶相較於老師，學生有更多的學習責任學生學習數學傾向於為主動的學習者. 5. 非傳統觀     . 學生的角色是自主的探索者學生學習數學僅透過問題解決的活動學生不需要透過教科書及紙筆活動來學習數學學生透過小組合作互動來學習數學學生是主動的數學學習者.  . 全部的學生皆可學習數學每一個學生學習數學都有自己的方式. （二）教師數學教學與學習信念的相關實徵研究 Ayalon & Even（2008）以半結構式訪談調查 21 位數學教育者（包括不同年級的數學教師、課程發展者、職前或在職的師範教育者、數學教育研究員、其中 23.

(34) 有四位非數學相關人員，但有很深的邏輯和演繹推理的知識）以數學學習的角色來對演繹推理的發展提出各自的看法，縱使每位數學教育者都覺得發展演繹推理為數學教學的目標之一，然而經過紮根理論的整理分析後，可歸類出三種不同的看法，分別為介入觀（intervention view）、保留觀（reservation view）、以及自然觀（spontaneity view）。 1. 介入觀  . 主張為了達到顯著的進步，必頇要在數學教學的過程中謹慎的介入。除了將演繹推理視為一種以正規邏輯規則來作推論的行為之外，更主張在非數學的情境中，人們使用”較輕鬆的”規則來推論。雖然這些受訪者對學習數學可發展演繹推理皆表示肯定，卻將演繹推理這個名詞以論辯相關的名詞取代，例如：辯證（justifying）、表達得清楚有力的主張.   . （articulating claims）、以及對論證的評估（evaluating arguments）等。數學為一個適合教論辯的習慣和技巧的學科，學生可以運用在帄時的談話中。將發展論辯的習慣視為在教學過程中需要詳盡明確的注意力。教師為製造氣氛來促進論證的執行及規範的重要角色。. 2. 保留觀 . 主張學習數學可能會影響學生的演繹推理，且演繹推理的發展為數學教育的一個重要目標。  很難指出如何達到此目標，並質疑能夠確實達到的可能性。  主張在數學內容之外，人們不會或甚至不能使用演繹推理。  對學習數學發展演繹推理，且可以在非數學的情況下使用，保持著懷疑且保留的態度。 3. 自然觀  學習數學自然地改善學生的演繹推理，並主張不需刻意介入來達成這個改善。  在數學和其他領域中，演繹推理為一種有系統的、一步接著一步的解決 . 問題方法，不必注意推論中邏輯的有效性。做數學提供了系統化工作的經驗，必然地促進學生自發形成系統性的思維習慣。. 24.

(35) 第三節. 教師自我效能. 一、自我效能的意涵自我效能的概念源自於 Bandura 的社會認知理論（social cognitive theory），其中結合了行為學派和認知理論的觀點，社會認知理論主張個人在社會情境中的「個人」、「行為」、以及「環境」三者之間的交互關係皆互相影響，即相互決定論（reciprocal determinism），如圖 2-5。然而，社會認知論的學者認為影響一個人行為表現的認知作用，以個人對其本身的認知最為重要，即「自我概念」（self-concept），這是一種透過直接的經驗、重要他人的評估之複合式觀點。而在自我概念當中，Bandura 最重視的就是「自我效能」。個人. 行為圖 2-5. 環境. 相互決定論中的三元交互作用（Bandura, 1978）. Bandura（1978）提出的自我效能是個人對於自己能否成功地因應特殊情境的自覺。透過個人效能信念影響著活動的選擇和動機的程度，且對於獲得技能所建立的知識結構有很重大的貢獻。個人效能信念也透過形成期望和結果並預期個人的努力來調節動機。當人們遇到困難的任務時，自信能夠決定他們是否發揮自己的能力；但自我懷疑會輕易的否定最佳的能力（Bandura, 1997）。. 二、自我效能的來源根據 Bandura（1978）所提出的自我效能訊息來源主要有四個，分別是：過去成就與表現（Performance Accomplishments）、替代的經驗（Vicarious Experience）、言語上的勸說（Verbal Persuasion）、以及情緒上的激擾（Emotional Arousal），如圖 2-6。. 25.

(36) 1. 成就表現（Performance Accomplishments）因為它是個人在過去的成功與失敗的經歷，故為自我效能知覺四個來源中最具影響力者。如果過去的親身經歷是成功的，那麼就會提昇自我效能的預期，若一再失敗，自我效能的預期則會降低，特別是失敗的經驗發生在早期、無法反映努力的程度或是外在環境的轉換時。另外，自我效能感的形成在某種程度上受制於個體對形成自我行為表現成敗的各個因素之權衡，例如：任務的難度、個人的努力程度、外界援助的多寡等。 2. 替代性的經驗（Vicarious Experience）經由社會的模範提供替代性的經驗。當觀察與自己水帄相近的他人成功時，能提昇自我效能，並確信自己有能力完成相似的行為操作；然而，當觀察到跟自己能力相近的人，雖然付出了很大的努力，仍遭失敗時，會降低自我效能。當觀察的模範和自己較無相關時，對自我效能的影響也較低。一般來說，替代性的經驗對自我效能的影響並不如個人親身的體驗，但替代性的經驗對低自我效能卻有深遠的影響。 3. 言語上的說服（Verbal Persuasion）影響自我效能感的另一個信息源是他人的鼓勵、評價、建議、勸告等。言語說服是進一步加強人們認為自己擁有的能力信念的手段。尤其是當個體在努力克服困難時，如果外界有人表達了對他(她)的信任或積極的評價，會較容易增強其自我效能。然而，言語的說服效果雖然比不上過去成就與表現和替代性的經驗但往往是老師和教練時常使用的方法。 4. 情緒上的激發（Emotional Arousal）有壓力或艱難的情況通常會引發情緒上的激發，對於個人的能義可能會有益價值。因此，情緒上的激發是另外一個訊息來源，會影響到在面對威脅處境中的自我效能。即個體在面臨某項活動任務時的心身反應：帄靜的反應使人鎮定、自信；焦慮不安則使人對自己的能力發生懷疑。. 26.

(37) 效能期望來源. 歸納的方式參與式的模仿帄淡而減敏感的表現在眾人面前表現自我教導式的表現體驗模仿象徵性的模仿建議勸戒自我教導說明、解釋歸因放鬆、生理回饋象徵性減敏感象徵式揭露. 成就的表現替代性的經驗. 言語上的說服. 情緒上的激發. 圖 2-6 自我效能訊息的主要來源，以及透過這些不同的治療模式運行的主要來源圖（Bandura,1977）. 三、數學教師自我效能之實徵研究 Philippou & Christou（2002）探討小學教師數學教學的效能信念，此研究藉由分析 157 位畢業於教育大學（Pedagogical Academiy, PA）、塞普勒斯大學（University of Cyprus, UC）、希臘的大學（Greek universities, GU）的小學教師自評問卷，及其中 18 位教師的訪談資料，發現教師認為能夠勝任數學教學和效能層次的改善，皆在初任期間後逐漸減少。然而，教師似乎通常都會批判那些他們通過的職前課程，但這些職前課程似乎能夠改變教師數學教學的效能信念。. 27.

(38) 第參章. 研究方法. 本章詳細介紹研究實施方法與程序，共分四節來說明，第一節為研究的流程與架構，第二節說明研究對象的選取及其基本資料，第三節介紹本研究的研究工具設計及資料收集的過程，第四節呈現資料的整理與分析。. 第一節. 研究設計. 本研究之研究設計分成三個階段，第一階段為準備階段，在產生研究動機、確立研究主題之後，參考多方文獻才形成研究問題，進而閱讀一篇比較兩國數學教師對於數學問題和數學問題解決的教師信念之研究，並且參考此篇的訪談架構之分類初擬本研究之訪談架構與訪談問題。第二階段為確立且實行階段，過程中透過持續的文獻回顧與專家討論再進行詴探性研究，將不適當的問題修正後，便確定訪談大綱和訪談對象，經過訪談對象同意並填妥訪談同意書之後進行半結構式訪談，如附錄二。第三階段為資料收集與分析階段，首先將訪談的錄音檔轉為逐字稿，再針對質性資料作分析，最後進行研究結果與討論。上述流程可參照下圖 3-1：. 圖 3-1. 研究設計流程圖 28.

(39) 第二節. 研究對象. 本研究採取現象圖析學（Phenomenography），現象圖析學為一種質性研究的方法，其目的是在於經驗的描述、分析及瞭解（Marton, 1981），因此本研究之研究對象採取立意取樣，所選取的研究對象皆服務超過十年以上，在學習或教學經驗上已有所累積。以下表 3-1 為本研究之研究對象基本資料，教師年齡範圍有兩位 31-35 歲、三位 46-50 歲、一位 51-55 歲，而教師畢業的高中集中在各地區的前三志願，畢業的大學和研究所也以師範院校為主，有三位教師有國中服務的經驗，且每位教師皆服務過兩間以上學生程度不同的學校（包含國中和高中），其中有三位教師還經常有帶領特殊班級的經驗，而任教過的學生性別也呈現多樣性，包含男女混合班級和單一性別班級，由於教師的教學也會因為學生程度差異而不同，因此選擇的研究對象皆有豐富的各式經驗，而現今服務學校聚焦於前五志願，以第一志願為主。為遵守研究倫理，將研究對象以代號表示，分別是 T1、T2、 T3、T4、T5 和 T6。. 29.

(40) 表 3-1. 研究對象基本資料 T2 男 31-35. T3 男 46-50. 高雄地區畢業高中第一志願 /師範院 /大學校數學系 /非師範 /研究所院校應用數學所. 臺中地區第一志願 /師範院校數學系 /師範院校所數學組. 高雄地區第一志願 /師範院校數學系 /師範院校數學所. 國中服務年資. 臺北地區某國中 4年. 無. 性別年齡. T1 男 31-35. 無. 臺北地區臺北地區臺北地區某家商某家商地方高中高中服務 2 年/ 2 年/ 3 年/ 年資臺北地區臺北地區臺北地區第一志願第一志願第一志願 9年 4年 16 年上述年資中特殊班級經驗. 1年. 男女混合班 3 年/ 男生班曾任教的 9 年/ 班級情況一、二、三年級帄均現今服務臺北地區學校第一志願. 無. 9年. T4 T5 T6 男男男 46-50 51-55 46-50 台北地區高雄地區前三志願高雄地區第一志願 /非師範私立高中 /師範院院校應用 /師範院校數學系數學系/ 校數學系 /師範院非師範院 /師範院校 40 學校應用數校數學所分班學所高雄地區屏東地區無某國中某國中 10 年 6年高雄地區地方高中 5 年/ 高雄地區高雄地區高雄地區地方高中第一志願前五志願 5 年/ 22 年 19 年高雄地區第一志願 10 年 3年. 男女混合男女混合男生班 10 年/ 19 年 2 年/ 女生班男生班 10 年/ 4 年/ 一、二、最常任教最常任教三年級二、三年三年級帄均級臺北地區臺北地區高雄地區第一志願第一志願第一志願. 30. 無. 14 年. 男女混合 10 年/ 女生班 22 年一、二、三年級帄均高雄地區第一志願. 男女混合 25 年. 一、二、三年級帄均高雄地區前五志願.

(41) 第三節. 研究工具. 本研究使用現象圖析學的目的為深入瞭解高中數學教師以他們的經驗出發，教師本身所理解的數學推理的本質、教師對數學推理的教學、以及教師對學生學習數學推理之信念為何，亦深入瞭解在教師的學習或教學經驗中，教師對本身在數學推理和數學推理教學之自我效能與上述信念之相關情形。本研究的資料收集以半結構式訪談進行深度訪談，企圖找出每位研究對象對於數學推理的信念之不同層面，並參考 Xenofontos 與 Andrews（2014）的訪談架構之分類發展出訪談大綱，共五個面向作為訪談依據，如附錄一，爾後，將透過質性資料的詮釋（訪談）呈現五個面向的發現。. 一、研究工具的形成本研究之研究工具主要根據 Xenofontos 與 Andrews（2014）之訪談架構的分類發展出訪談大綱，此篇文獻主要是針對兩國數學教師對於數學問題和數學問題解決的教師信念之比較，而將教師信念分成五個面向，分別為數學問題和數學問題解決的本質、基於問題解決的教學、基於問題解決的學習、對解決數學問題的自我效能、對解決數學問題教學的自我效能。根據本研究之研究目的及此篇作為研究工具的參考，擬定出教師信念的五個面向而發展出本研究之研究問題，分別為數學推理的本質、有關教師在數學推理的教學、有關學生在數學推理的學習、教師在進行數學推理上之自我效能、教師在數學推理的教學上之自我效能，再根據上述五個面向設計出半結構式訪談的問題。以下針對五個面向加以說明：. 31.

(42) 1. 數學推理的本質：此面向包含數學推理的形式、類型、特徵、架構等等，在訪談問題的設計上，首先，直接訪問教師對於數學推理特徵、類型和架構的信念，接下來再以龍騰版第一冊及第二冊的課本，介入已預先選定的概念、定義、性質、證明以及例題來訪問教師的信念，以不同的脈絡建構出教師對於數學推理本質的信念。例如：教師心中對於數學推理的理解為何？並且會根據哪些特徵對數學推理加以分類？以及教師對於數學推理的架構之呈現為何？在此稱為數學推理的本質。 2. 有關教師在數學推理的教學：此面向包含教材的使用、教學的過程、可呈現數學推理之教材或教學方法之分類等等，在訪談問題的設計上，著重教材和教學方法的使用，以建構出教師對於數學推理教學的信念。例如：教師如何以本身所述之數學推理來教學，教師認為可呈現數學推理的教材或教學方法有哪些？在此稱為有關教師在數學推理的教學。 3. 有關學生在數學推理的學習：此面向包含教師認為數學推理學習活動之特徵、學生對於數學推理學習的困難等等，在訪談問題的設計上，著重在從教師的角度是如何看待學生在數學推理的學習中，遇到的困難、教師能解決的方法，以及數學推理學習活動的特徵等等，以建構出教師對於數學推理學習的信念。例如：教師對於學生在數學推理上的學習有何看法？教師認為學生在數學推理上會遇到的困難，以及教師針對此學生問題會如何解決？教師認為學生能夠透過哪些學習活動來增進數學推理？在此稱為有關學生在數學推理的學習。 4. 教師在進行數學推理上之自我效能：此面向包含教師在進行數學推理時的自我評估、教師如何克服數學推理遇到的困難等等，在訪談問題的設計上，以循序漸進的方式詢問教師認為數學推理能力佳的特徵為何，再引導至教師對本身數學推理能力的評估以及數學推理時欲到的困難。例如：教師認為數學推理好的人有何特徵？而教師本身是否具備此特徵？ 32.

(43) 教師進行數學推理是否遇到困難？教師在進行數學推理時，是從教師在當學生時的經驗或是當老師時的經驗出發，對於自我之感受如何？在此稱為教師在進行數學推理上之自我效能。 5. 教師在數學推理的教學上之自我效能：此面向包含教師在進行數學推理教學時的自我評估、以及能夠呈現的數學推理教學有何特徵等等，在訪談問題的設計上，亦以循序漸進的方式詢問教師認為的數學推理教學特徵，引導至教師對於本身教學的自我評估。例如：教師對於本身之數學推理教學具備哪些特徵？教師會如何透過教學解決學生之數學推理困難？教師對於數學推理教學之信心為何？在此稱為教師在數學推理的教學上之自我效能。. 二、研究工具的詴用與調整根據上述方式設計出訪談問題後，由 10 位師範院校數學所的專家針對訪談問題之內容加以詴問與討論，並選取兩位師範院校數學所畢業的碩博士生，皆擔任高中數學家教 10 年以上，其數學知識及數學教育相關背景皆有十足的經驗，來進行詴探性研究。由於原本的訪談問題較粗略，比較難直接問到問題的核心，經過詴用、討論與詴探性研究後，加以修改及調整，形成最後的訪談大綱，如附錄一。以下就五個面向，各舉出一個修改前後的例子。例如：在數學推理的本質中，原本的其中一個訪談問題為「對老師來說，數學推理代表什麼意思？請老師定義它」，經詴探性研究後，此問題過於廣泛及抽象，受訪者只能回答出一些，研究者欲更加深入了解教師心中對於數學推理的看法，故再增加追問「（拿出課本中預先選好的例子或片段分成明顯的數學推理和隱藏的數學推理），請問老師覺得是不是數學推理？為什麼？」，藉由課本中具體的例題、證明、定理、定義、性質等片段，引導老師說明其中數學推理的部份。在數學推理教學中，原本的其中一個訪談問題為「請問老師，什麼樣的教材可以培養數學推理能力？」，相對於 33.

(44) 教材再延伸出另一個訪談問題「請問老師，什麼樣的教法可以培養數學推理能力？」。在數學推理學習中，原本的其中一個訪談問題為「學習者從數學推理的過程中能夠得到什麼好處？」，由於此問題在探討數學推理的價值且較難回答出關於數學推理學習的歷程，經過討論和建議後，將此問題修改成「老師認為學生是否能夠自學數學推理？要透過什麼樣的學習？」，將問題集中在數學推裡學習的本質上。在數學推理的自我效能中，原本的其中一個訪談問題為「你會如何描述自己是一個擁有數學推理能力者？為什麼？」，由於此問題是參考西方國家的文獻，考量到訪談對象皆為東方人士較不會描述自己的能力，因此，將訪談問題改為「請老師描述一個人有哪些表現時，你會說他擁有數學推理能力？那老師自己具備哪些？給自己打幾分？」，先以老師對他人的論述出發，再拉回來問老師自己的能力，藉此手法引導老師談論出數學推理時的自我效能。在數學推理教學的自我效能，原本的其中一個訪談問題為「假設一些學生在數學推理的活動中面臨困難，為了要幫助他們，你會怎麼做？」，由於數學推理活動較不明確，與專家多方討論後，將此問題修改成「如果學生在課堂中提出不懂老師的推理方式，老師你會怎麼解決這個學生的問題？」，利用較具體的課堂活動，教師較容易談論出此數學推理教學的自我效能。. 34.