本節將分別呈現六位教師對於數學推理在教學與學習上的信念，並加以描述 六位教師信念中的特點，此部份之分析單位可參考附錄五。
一、T1 教師
T1 教師之數學推理教學與學習信念偏向「發展－建構觀」。
在教學的部份，T1 教師扮演一個促進者和引導者的角色，例如：學生在數 學推理上遇到困難時，教師會「C-T1-1 先問學生現在有什麼想法、現在知道了些什麼東西，
再給可能往下一步的提示。」，並以學生為中心，根據不同學生的不同想法，給予適 當的協助，並且不會直接告訴他答案。教師教學也會根據學生不同的程度，提供 課本相關知識以外的策略，找一些文章讓學生利用自行閱讀的方式去學習，如：
B-T1-1 最主要就是找一些文章讓同學去看，只要去看自然會產生推理的過程。也許裡 面的每一句話都看得懂，但也許裡面的數學不是很清楚，那你就會開始去思考它的正 確性，就是開始在推理，可能就只是跟著裡面的說明一起去進行推理
C-T1-4 只要能夠找到那種適當的書然後慢慢的、好好的把他看過去。有老師或者一些 長輩可以給他一些適當的那些東西。即使他拿到的第一本書叫做微積分，他就開始看，
那我認為如果他有興趣的話，他開始會去找資料，也有機會看懂。
並且不會每次都詳細講解每個步驟，提供給學生思考的機會，例如：
C-T1-1 也許學生需要某一條輔助線。有兩種方法，一種是先從後面的定理讓他看看能 不能推理出能用哪一個輔助線是比較適合的，至少我可以告訴他，你接下來可能用到 什麼工具，那他可能會從那個工具的那個條件去想，我要怎麼去製造出這些條件 C-T1-3 推理的學習活動的特徵：學生自主學習，不要告訴他們太多，給他一段時間讓 他們自己去想
因此，T1 教師在數學推理教學信念中，有以下幾個特點：
教師提出問題或提示或一些合適的教材讓學生思考，讓他們自己去尋找解題 線索或答案（B-T1-1~B-T1-3、C-T1-1~C-T1-4）
數學推理教學較以學生為中心，考慮學生的個別差異性（B-T1-2、C-T1-1）
除了課本的相關知識外，教學中還配合不同的策略來培養數學推理能力
（B-T1-1、C-T1-2、C-T1-4）
教師／課本的角色為促進者或引導者（B-T1-2、B-T1-3、C-T1-1、C-T1-3、
因此，T1 教師在數學推理學習信念中，有以下幾個特點：
透過對話、討論、搜尋答案、自己閱讀、自己思考的方式來學習數學推理
（B-T1-1~B-T1-3、C-T1-2~C-T1-4）
以小組合作或與老師和同學產生多方面的互動交流來學習數學推理（B-T1-2）
依照本能主動的進行思考和學習數學推理（B-T1-1、B-T1-3、C-T1-2~C-T1-4）
根據教師所提供些許的鷹架結構繼續思考下去，進而學習數學推理（C-T1-1）
二、T2 教師
T2 教師之數學推理教學與學習信念偏向「傳遞－接受觀」。
在教學的部份，T2 教師扮演一個知識提供者的角色，經過教師規劃而系統 性地講述課本內容或習題，例如：「B-T2-6 所以我們好處就是老師上課可以很彈性，但是 彈性不是說我東講西講的亂跳，這個不是彈性，這叫隨便，就是有一個目的性的順序性。其實你
的順序性夠明確，老師在做上課的步驟，或者在做自己的教案的時候，你也可以很容易的記下
來。」，詳細的講解過程中會清楚地標示重要步驟，例如：「B-T2-3 因為兩個正數相加，
可以想到算幾不等式，所以我在下面就寫算幾不等式五個字」，並以教師設計的口訣幫助 學生學習與記憶，例如：「B-T2-3 我的方法就是用一些口訣來記教他們，比較好記，你先記 起來，之後怎麼發揮，就是你的本錢。因為兩個正數相加，可以想到算幾不等式，所以我在下面
就寫算幾不等式五個字，正數相乘對不對，正正和積、和積求極值，就算幾不等式」，因此，
教學以教師為中心，例如：「B-T2-5 這個就是我們開始要學習推論、推理、數學理解這邊 很重要的一種訓練的過程。」、「B-T2-7 我剛出來教書的時候，在國中，大概都是我在講，真的 是這樣子，就講很多」，雖然 T2 教師在講解例題時，會提出問題與學生互動，但是 此提問只是讓學生利用先備知識直接的回答教師的問題，僅只於課堂互動的層面，
例如：「B-T2-7 我看到這個題目我的教法就是來兩點在圖形上，那我們要想到什麼，我直接問 大家了，兩點，圖形通過這兩點，圖形有方程式，那你們會想到什麼？就先問一下，這個是一個
非常低的一個互動，馬上就會得到答案，如果有人沒有得到答案，聽別人講大概也會想到了，就
代入。」。
因此，T2 教師在數學推理教學信念中，有以下幾個特點：
教師有順序性的講述課程內容，讓學生跟著教師的腳步學習數學推理
（B-T2-2~B-T2-7、C-T2-1）
數學推理教學較以教師為中心（B-T2-1、B-T2-3~ B-T2-7）
詳細講解每個解題步驟（B-T2-3、C-T2-1）
以課本的相關知識作為數學推理教學的主要內容（B-T2-1、B-T2-4）
教師／課本的角色為知識提供者（B-T2-3、B-T2-4、B-T2-6、B-T2-7）
在學習的部份，T2 教師認為學生可以透過模仿及被訓練的方式學習數學推 理，例如：「B-T2-2 模仿的過程可能也是學習的一塊，數學也是要學的，那學的過程就是模仿，
人家做什麼就跟著做什麼。」、「B-T2-5 這個就是我們開始要學習推論、推理、數學理解這邊很 重要的一種訓練的過程。」，並且學生可依循著教師所提供的推理思路進行學習，例 如：「B-T2-6 其實好處就是學生很聰明，如果你有一個很好的順序的話，他們很快就可以吸收 完畢，就是有一個目的性的順序性。」，而教師亦認為學生以單向的接收知識來學習數 學推理，「B-T2-7 雖然我們數學大概都是一些我講他們學，大部份是這樣啦」。
因此，T2 教師在數學推理學習信念中，有以下幾個特點：
透過模仿、訓練等方式來學習數學推理（B-T2-2、B-T2-3、B-T2-5、B-T2-7）
僅單向的接收資訊來學習數學推理（B-T2-3、B-T2-7）
學生跟著教師的講述被動的進行或學習數學推理（B-T2-1、B-T2-3、B-T2-4、
B-T2-6、B-T2-7）
完全依賴教師的數學推理路徑來學習數學推理（B-T2-3、B-T2-5~B-T2-7、
C-T2-1）
三、T3 教師
T3 教師之數學推理教學與學習的信念為「傳遞－接受觀」及「發展－建構 觀」兼具的混合觀。
在教學的部份，T3 教師既屬於引導者亦屬於知識的提供者，教師認為在課 本相關內容之外，還可以透過閱讀像是數學女孩的書籍或與 Geogebra 的數學軟 體結合來教學，透過 Geogebra 結合教學課程，可以引發學生一些新的猜測並思 考，例如：「B-T3-3 我覺得這方面如果也算數學推理的話，當然是有幫助，因為你會得到不同 的結果，常常學生如果會的話，他處理這種問題的時候，他覺得我這個猜測怎麼樣子，那很簡單，
把軟體叫出來，用軟體去稍微去驗證這個結果，可以做初步的驗證，我這個猜測到底對或不對，
至少是可以做一些驗證的工作」，並在學生閱讀及自學的過程給與適當的引導，例如：
「C-T3-5 閱讀跟自學還是要引導，閱讀的過程中，其實你可能要會問對問題，一樣的人會讀的 跟不會讀的，他看同樣的文字產生的效果不一樣，數學程度好不見得是考試成績，有時候我看的
是學生問問題的品質」。由於時間及進度的壓力，教師大部份在課堂內的教學傾向於 傳遞者的角色，讓學生能夠依照教師的思考路徑走，「B-T3-6《困難點》上課大部份 時間還是傳統教學，可能要設計那種跟同學去討論才有辦法，那種問題比較會多元的碰出來，因
為學生現在是聽你講，然後你替他設想好某一些東西，所以他跟著你的思路走，你要他碰出從不
懂到懂，這個過程他可能要多很多很多時間，讓他從這個過程到這個過程，不過高中很難，因為
時間的壓力很難」，並且有順序性的教學，讓學生跟著教師的腳步進行推理，例如：
C-T3-2 一般在教虛根成對定理這種證明，你要呈現這個定理，其實你要前面很多例子，
讓他感覺至少有一些實際的例子才會得到這個結論
C-T3-3 你可能要跟學生講清楚，這是一種處理對無窮無盡東西的一種手法，那講穿了 這還是一個公設，你要告訴學生你要推倒第一張骨牌，他要有骨牌效應第 k 張，下一 張第 k+1 張要跟著倒，你要有建立這樣的機制。
由於 T3 教師的角色混合著引導者與知識提供者，教師在學生遇到數學推理 困難時，會先根據條件引導學生，讓學生思考過後，最後再進行知識的統整，例 如：
C-T3-1 你要問什麼問題、要得什麼結論？那你這個結論跟什麼樣的結果是聯結的，最 後再去想辦法跟你的已知條件接在一起。真的要幫助學生去瞭解這個證明也好、或者 這個推論過程，我會引導他有時候是兩方面同時進行，在中間打通了我就覺得那重新 再來把他的整個邏輯順序寫清楚。
因此，T3 教師在數學推理教學信念中，有以下幾個特點：
教師有順序性的講述課程內容，讓學生跟著教師的腳步學習數學推理
（B-T3-4、B-T3-6、C-T3-1、C-T3-3）
教師／課本的角色有時為知識的提供者（B-T3-2、B-T3-4、B-T3-6、C-T3-1~
C-T3-3）
數學推理教學有時以教師為中心（B-T3-4、C-T3-2）
數學推理教學有時以學生為中心，亦會考慮學生的個別差異性（B-T3-1、
B-T3-6、C-T3-4、C-T3-5）
教師提出問題或提示或一些合適的教材讓學生思考，讓他們自己去尋找答案
（B-T3-1、B-T3-6、C-T3-5）
不一定每次都詳細講解每個解題步驟，常以跳步驟或提問的方式刺激學生自 己思考（C-T3-1）
除了課本的相關知識外，教學中還配合不同的策略來培養數學推理能力
（B-T3-1、B-T3-3、B-T3-6、C-T3-4）
以猜想激發學生思考（B-T3-3）
教師／課本的角色有時為促進者或引導者（C-T3-1、C-T3-4）
教師的數學推理教學重視過程更甚於結果（B-T3-1、C-T3-4）
在學習的部份，T3 教師認為學生在課本相關知識之外的數學推理學習，主 要還是要透過閱讀後由教師的引導，進行反覆地討論、辯證和反思，例如：「B-T3-6 可能要設計那種跟同學去討論才有辦法，那種問題比較會多元的碰出來」、「C-T3-5 這個需要老
在學習的部份，T3 教師認為學生在課本相關知識之外的數學推理學習，主 要還是要透過閱讀後由教師的引導，進行反覆地討論、辯證和反思，例如：「B-T3-6 可能要設計那種跟同學去討論才有辦法，那種問題比較會多元的碰出來」、「C-T3-5 這個需要老