結論 - 探討高中數學教師的數學推理信念

一、個案數學教師所認為的數學推理本質

由研究結果可知，僅 T5 教師主動提出在定義理解中的數學推理，在概念定義等敘述之介入下，反而造成 T1、T2 和 T5 教師原本對於數學推理的認知產生混淆，但在自我釐清之後，便更加清楚自己對數學推理的認知。以下是六位個案教師在概念、定義、性質或公式的脈絡下，所認為的數學推理：T1 教師認為在定理的證明過程，T2 教師認為針對定理敘述的理解及探討性質的合理性，T3 教師認為進一步的探討其正確性或在解釋其由來，T4 和 T6 教師強調在概念性質定義或公式理解上的表徵，特別是圖形表徵上的應用與理解，T5 教師認為要解釋或加以引用至其他情況。否則其敘述純粹只是一個數學事實，只把他當成一個知識或常識、內容，並無數學推理。

T2 和 T3 教師較聚焦在論證中的數學推理，特別的是 T2 教師在論證中集中在辯證與反駁的部份，亦強調其他教師無提及的論證的格式，且在解題的形式中稍微提及演算推理這種形式不太算數學推理，而 T3 教師在論證中提及的類別較多樣，不只集中在辯證與反駁的部份，更有辯證前的探究與辯證後的評估；而 T1、T4 和 T5 教師較聚焦在解題中的數學推理，其中 T4 和 T5 教師在解題的歷程中，皆論述出其他教師無提及的驗算與回顧的部份，而 T4 教師的數學推理集中在了解問題，T5 教師的數學推理則集中在執行計畫，T4 教師也在論證中強調論證的格式無數學推理，T5 教師只在論證中提出辯證後的評估，且這兩位教師皆無提及辯證與反駁的部份； T6 教師則是同時聚焦在解題和論證中的數學推理。

因此，若無課本的介入，教師比較少會去談在概念、定義、定理或公式的理解中的數學推理。而在論證的脈絡下，教師所認為的數學推理還是較集中在辯證與反駁，偶有延伸至辯證前與辯證後的部份。從解題形式來看，教師皆聚焦於創新推理中合情推理的形式，皆認為模仿推理較不屬於數學推理；從解題歷程來看，

教師認為的數學推理聚焦於擬定計畫的部份，亦有些在了解問題及執行計畫中，

而在驗算與回顧的部份較少。

而本研究結果所發現的高中數學教師對於數學推理本質的信念，大致上與既有文獻從論證的角度（e.g. Lannin et al., 2011）、解題的角度（e.g. Lithner, 2000, 2006, 2008；Polya, 2006）等所呈現的數學推理分類相符，但仍可看出有些教師對於數學推理的脈絡及其意涵的信念較廣。有些教師的信念涵蓋論證中的許多子類別或解題歷程中的許多步驟；而有些教師的信念集中在論證中的辯證與反駁或解題歷程中的擬定計畫，並且較少有教師主動提及概念、定義、定理或公式的理解中的數學推理。因此，本研究的分析架構除了呼應文獻上對數學推理的分類，

也進一步提出新的脈絡(概念、定義、定理或公式的理解)，以及探討高中數學教師在四種脈絡下更為精細的數學推理本質之信念。未來的研究可延續本研究之分析架構來設計量化問卷，還可以參考此架構加以探討學生的數學推理信念。在師資培育上，也建議師資培育者能培養數學教師有更廣泛的數學推理信念。

二、個案數學教師對於數學推理教與學的信念

研究結果指出，個案數學教師有三種不同的數學推理教與學的信念，分別是偏向「傳遞－接受觀」、兼具「傳遞－接受觀」與「發展－建構觀」的混合觀、

以及偏向「發展－建構觀」。而偏向「傳遞－接受觀」的教學模式以教學過程中的順序性及關鍵條件的呈現為主，讓學生能夠跟著教師所規畫好的路徑學習數學推理，還會搭配記憶一些公式的口訣，並需透過模仿和訓練的方式來學習。偏向

「發展－建構觀」的教學模式以透過與他人討論、對話以及辯證或自行閱讀的方式來學習數學推理，但皆由於時間和進度的壓力，無法確實執行。

兼具「傳遞－接受觀」與「發展－建構觀」的混合觀之三位教師有以下特殊的教學模式，T3 教師透過 Geogebra 軟體融入課程中，藉由此軟體的介入形成猜測，進而激發學生思考；T4 教師在傳遞知識的過程中，融合發展－建構觀，讓學生不會那麼順利的接受，利用認知上的衝突，得以讓學生思考以及自行建構知識；T6 教師雖然有論述出許多討論式的課程、以及引導學生思考的教材，但是由於現實中趨向考詴領導教學的影響與時間的壓力，只好在現實與理想間取捨，

採取最有效率、有系統的將知識傳遞給學生。如同臺灣數學師資培育跨國研究

（Taiwan TEDS-M）指出我國中學數學職前教師在數學本質信念及數學學習信念的彈性非常大（唐書志與謝豐瑞，2012），本研究個案教師所呈現數學推理教與學的信念之研究結果，其彈性亦非常大。

然而，國內期刊論文甚少以培養中學數學推理為主的相關教學研究，在此本研究將高中數學教師的數學推理教學與學習的信念合併，稱為數學推理教與學的信念，並呈現教師實際的教學情形與學習方法，藉由本研究整理出不同信念下的教學與學習方式，可供未來的研究加以設計不同的教學課程來探討學生在此課程下的數學推理學習情況。並且，本國高中課程綱要所提出的數學推理面向（教育部國民與學前教育署【教育部國教署】，2013）只談到「能認識證明，並進行推論」，本研究的分析架構能建立教師更廣義的數學推理本質的面向以及兩種觀點各自的學習與教學特點。

三、個案數學教師進行數學推理與數學推理教學時的自我效能

根據研究結果，分別以（__，__）呈現六位個案教師在進行數學推理和數學推理教學的自我效能層次，T1 教師的自我效能為（高，中）、T3 教師的自我效能為（中，高）、其餘四位教師的自我效能皆為（高，高）。然而，個案教師在評斷自己的自我效能時，有下列兩種評斷的依據：依據解決問題時自己本身的表現、

依據與他人之比較。其中 T1、T4 和 T6 教師教是依據解決問題時自己本身的表現來評斷自己進行數學推理時的自我效能，T2、T3 和 T5 教師則是依據與他人之

比較來評斷自己進行數學推理時的自我效能。而個案教師在評斷自己數學推理教學自我效能時的依據，僅 T6 教師強調依據學生對於自己教學的評斷，其他五位教師皆是根據教學時自己能夠呈現的教學表現。

教師自我效能的來源依據是過去的研究較少探討的部份（Philippou &

Christou, 2002），在此本研究呈現高中數學教師對於本身在數學推理及其教學的自我效能，並由訪談資料可分析出教師自我效能可能的來源依據，對於未來的研究可加以分析高中數學教師對於本身在數學推理及其教學的自我效能與其來源依據的關係。

四、個案數學教師在三個面向之間的交互關係

1. 個案教師在數學推理本質與數學推理教與學的信念之間的關係

對於數學推理教與學擁有混合觀信念的教師，其對於數學推理本質的看法亦較為廣泛。從聚焦在論證脈絡中的 T2 和 T3 教師來看，T2 教師偏向傳遞－接受觀的信念，與其在論證的脈絡中較著重在辯證與反駁的部份，T3 教師為混合觀的信念，與其在論證的脈絡中，談論的類別亦較為多元。而 T4 教師聚焦在解題的脈絡中，解題歷程雖然著重在了解問題的步驟，但亦有提及其他歷程中的數學推理，與其較為廣泛的混合觀信念相對應。至於 T5 教師偏向發展－建構觀的信念，強調概念定義理解中的數學推理，以及在辯證和解題後的反思。然而，無法看出 T1 教師在論述數學推理本質與其教與學的信念偏向發展－建構觀的關聯。

T6 教師在數學推理本質亦有較多元的看法，符合其教與學為混合觀的信念。因此，教師對於數學推理本質的廣度與其教與學的信念有關。

2. 個案教師在數學推理教與學的信念與數學推理及其教學的自我效能間的關係 認為數學推理需要有一部份天份的教師，若具有高自我效能且在數學推理教與學為傳遞－接受觀的信念之下，對於學生困難可能會產生無法理解或體會的情

況，但在數學推理教與學為發展－建構觀的信念之下，可能比較不會有無法理解學生困難的問題。因此，教師對於數學推理教與學的信念會影響其數學推理及其教學時的自我效能。

3. 個案教師在數學推理本質與數學推理及數學推理教學的自我效能之間的關係 在數學推理及其教學皆呈現偏高的自我效能之四位個案教師（T2、T4、T5、

T6），對於數學推理本質的信念無一致性，其中 T2 聚焦於論證脈絡中的辯證與反駁、T4 和 T5 教師著重於解題的脈絡、T6 教師呈現綜合的論證與解題；而 T1 教師在數學推理及其教學呈現偏高和中等的自我效能，以及 T3 教師呈現中等和偏高的自我效能，兩位教師在數學推理本質的信念中亦無一致性。故教師對於數學推理的本質與其進行數學推理與數學推理教學的自我效能之間較無明顯的關係。

在此本研究結果指出三個面向之間的交互關係，對於未來的研究可提出「高中數學教師對於本身在數學推理及其教學的自我效能會影響其數學推理本質或數學推理教與學的信念？」之類的假設，並設計數學推理相關信念的量化問卷，

在文檔中探討高中數學教師的數學推理信念 (頁 157-162)